专题04 导数在不等式中的应用8考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题04 导数在不等式中的应用8考点复习指南 【问题背景】 不等式问题在数学领域广泛存在，涉及函数的取值范围、大小比较等多个方面.传统的不等式求解方法在面对一些复杂函数时往往遇到困境，而导数作为研究函数性质的有力工具，为不等式问题的解决提供了新的视角和途径.导数可以精确分析函数的单调性、极值和最值等性质，这些性质对于证明不等式、求解不等式恒成立或能成立问题至关重要.通过导数，能够将不等式问题转化为函数的性质研究问题，从而使复杂的不等式问题得以简化.在证明含有复杂函数的不等式时，利用导数研究函数的单调性，进而比较函数值大小，可有效证明不等式成立.但由于函数形式的多样性和不等式条件的复杂性，导数在不等式中的应用也面临诸多挑战，需要深入理解和灵活运用相关知识. 【处理角度】 1.求导分析函数性质：对函数求导是解决导数与不等式问题的核心步骤.通过求导，得到函数的导数表达式，根据导数的正负判断函数的单调性，导数大于0时函数单调递增，导数小于0时函数单调递减.根据导数为0的点确定函数的极值点，进而求出函数的极值和最值.在分析函数单调性和最值的过程中，为解决不等式问题提供了关键依据. 2.构造函数：根据不等式的特点和解题需要，构造合适的函数是常用的策略.构造函数后，通过对其求导，研究函数的性质，将不等式问题转化为函数的性质问题.在证明不等式时，构造一个函数，通过研究该函数的单调性和最值来证明不等式成立.构造函数的关键在于根据不等式的结构，选择合适的函数形式，使其能够有效地解决原不等式问题. 3.分类讨论：当问题中存在参数时，往往需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论.在求含参函数的单调性、极值和最值时，参数的取值会影响函数的性质，因此需要分情况讨论.通过分类讨论，分别分析不同情况下函数的性质，从而确定满足不等式条件的参数取值范围或证明不等式成立.在分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况. 4.等价转化：将不等式问题进行等价转化，使其变为更容易处理的形式.将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，将双变量问题转化为单变量函数问题等.通过等价转化，能够将复杂的不等式问题转化为熟悉的函数问题，利用函数的性质和导数工具进行求解.在转化过程中，要确保转化的等价性，避免出现错误. 5.数形结合：借助函数图象可以直观地理解函数的性质和不等式的关系.通过画出函数的图象，观察函数的单调性、极值和最值等特征，结合图象来分析不等式的解或证明不等式.在研究函数的单调性和最值时，结合图象可以更直观地理解函数的变化趋势，为解决不等式问题提供思路.数形结合的方法能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，提高解题的效率和准确性. 【解法策略】 1.导数与恒成立问题：此类问题通常表现为在给定区间内，一个函数始终大于或小于另一个函数，或者函数满足某种特定的不等式关系.处理时，将不等式进行等价变形，使其转化为函数的最值问题.通过求导确定函数的单调性，进而找到函数的最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围.在已知不等式恒成立的情况下，构造新函数，通过分析新函数的导数来判断其单调性，从而求出其最值，进而得到参数的取值范围. 2.导数与能成立问题：与恒成立问题不同，能成立问题是指在给定区间内，存在某个值使得不等式成立.解决这类问题时，同样将其转化为函数的最值问题，但侧重点在于找到函数的取值范围，使得在这个范围内存在满足不等式的值.通过求导分析函数的单调性和值域，确定满足不等式成立的条件，从而得出参数的取值范围. 3.导数与双变量问题：这类问题涉及两个变量，通常需要根据已知条件建立两个变量之间的关系，然后通过构造函数，利用导数研究函数的性质来解决问题.在已知两个函数在不同变量处的函数值关系时，通过变形和构造新函数，将双变量问题转化为单变量函数的单调性和最值问题，进而求解. 4.构造法证明不等式：根据不等式的结构特点，巧妙构造一个函数.通过对构造函数求导，研究其单调性、极值和最值，利用函数的这些性质来证明不等式成立.在构造函数时，需要观察不等式的形式，结合常见函数的导数性质，选择合适的函数进行构造.构造函数后，通过分析导数的正负来确定函数的单调性，进而求出函数的最值，以证明不等式. 5.分离法证明不等式：将不等式中的参数与变量分离，转化为一个函数与一个常数的大小关系问题.通过求导研究分离后函数的单调性和最值，根据函数的最值情况来证明不等式.这种方法适用于参数与变量易于分离的不等式，通过分离变量，将问题转化为研究函数的性质，从而简化证明过程. 6.放缩法证明不等式：在证明不等式时，根据已知条件和不等式的特点，对不等式进行适当的放缩.通过放缩将复杂的不等式转化为更容易处理的形式，再结合导数研究函数的性质来证明不等式.放缩法需要掌握一定的技巧，要根据不等式的具体情况选择合适的放缩方式，同时结合导数分析函数的单调性和最值，以确保放缩后的不等式能够得证. 7.隐零点与不等式证明：当函数的零点无法直接求出时，利用零点存在定理确定零点的存在区间，将零点代入函数或相关式子进行化简和推理，结合导数分析函数的单调性和最值，从而证明不等式.在处理隐零点问题时，关键是要巧妙利用零点所在区间以及函数在该区间的性质，通过合理的变形和推导来证明不等式. 8.极值点偏离与不等式证明：对于函数存在极值点，且两个变量与极值点存在某种关系的不等式证明问题，通过构造差函数，利用导数研究差函数的单调性，根据差函数的性质来证明不等式.在解决极值点偏离问题时，需要深入理解极值点的性质以及函数的单调性，通过构造合适的函数并分析其导数，来证明与极值点和变量相关的不等式. 考点1 导数与恒成立问题 1．（24-25高二下·重庆北碚·阶段练习）已知对于都有，则a的最小值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到,再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最大值即可. 【详解】对于，由， 可得：， 设，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数的最小值为. 故选：B 2．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】B 【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解. 【详解】不妨设，因为，所以， 构造函数，则，所以单调递增， 恒成立，即恒成立， 令函数，， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故． 故选：B. 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先判断，由和的符号可确定，故，构造，利用导数求最小值即可. 【详解】由题意函数的定义域为， 当时，，则由则恒成立， 因的值域为，故不可能恒成立，故不成立； 当时，由得，由得， 由得，由得， 因，故，即， 故，设，则， 当时，，在上递减； 当时，，在上递增， 故， 故选：A 4．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将带入不等式，分离变量得，构造函数，求出的最小值得的取值. 【详解】因为，，所以， 分离变量得，令， ， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以实数的取值范围为 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后，验证对任意能否恒成立，由此可求参数的取值范围. 【详解】因为，则， 则函数在上为增函数， 考虑到，，因此讨论分界点为． 当时，则对任意实数，， 此时，函数在上为增函数，则对任意的，，合乎题意； 当时，因为函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 且当时，，即函数在上单调递减， 所以，，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 考点2 导数与能成立问题 6．（23-24高二下·新疆·期中）已知，存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，依题意函数在直线下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数，利用导数说明函数的单调性，画出的图象，由过定点，再数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】设，， 由题意可知函数在直线下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数， 因为，所以， 由，解得，由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减； 又，，，即过点，， 且当时，当时； 如图，作出的大致图象如下所示： 因为直线过定点，且当时， 所以，即，故， 即的取值范围是． 故选：D 7．（22-23高二下·北京·期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意转化为，，令，即，对求导，求出在的最大值即可得出答案. 【详解】若存在，使，即， 所以，令，， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以. 故选：C. 8．（2023·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得. 【详解】依题意， ， 令，即，由，得， 令，则原问题等价于存在，使得成立， 求导得，由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 而，又， 则当时，，若存在，使得成立， 只需且，解得且，即， 所以的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 9．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将恒成立和存在问题转化最值问题，然后对的范围分类讨论，结合函数的单调性和最值求解即可. 【详解】恒成立，即恒成立， ，设， 故时，，单调递减； 时，，单调递增， 故， 当时，且， 由的单调性知，在上单调递减，上单调递增， ， 此时若存在正实数，，使恒成立， 即存在正实数，使，故. 当时，故恒成立，即恒成立， 因为，故此时不存在正实数满足条件. 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于将不等式恒成立转化为正实数一直在两个函数值之间，即，然后结合两个函数的单调性求解即可. 10．（24-25高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）显然在时，不等式恒有解， 当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 11．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 考点3 导数与双变量问题 12．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知函数，，若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意构造函数，得到，化为，借助导数求函数的单调性，从而确定函数的最小值即可. 【详解】因为，，使得，所以， 即，令，， 则，所以函数在上单调递增，所以，即， 所以，令，，则，令，可得， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值即最小值，，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式： 积型：，①，构建； ②，构建； 商型：，①，构建； ②，构建； 和型：，①，构建； ②，构建. 13．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数，，若对于任意的，使得恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用导数求出的最大值，利用二次函数的性质求出的最小值，解不等式即可求解的范围． 【详解】若对于任意的，，使得恒成立， 则当时，， 对于函数，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 对于函数，，图象开口向上，对称轴为， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为当时，，利用导数及二次函数分别求出、. 14．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围． (2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）将问题转化为与有交点，求导后可得单调性，进而确定图象，结合图象可求得结果； （2）①令，采用同构法可得，令，结合导数知识可求得图象，结合单调性可将问题转化为与有两个不同交点，结合单调性可求得的范围； ②根据与的两个不同交点为，采用比值代换的方式，令，将表示为关于的函数的形式，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得结论. 【详解】（1）由题意知：与的公共定义域为， 令，即，， 令，若与为“契合函数”，则与有交点. ， 当时，，，即；当时，； 当时，，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示，    由图象可知：当时，与有交点， 即当与为“契合函数”时，的取值范围为. （2）①由题意知：与的公共定义域为， 令，则，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示：    令，则， 由得：， 在上单调递增，又与为“契合函数”，与至少有一个交点， 与有两个不同交点，，， ，解得：，即实数的取值范围为. ②由①得：与的两个不同交点为，且， ，即，，， 令，则由知：，， ，整理可得：，， ， 令，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增，，即. 【点睛】关键点点睛：本题重点考查利用导数证明不等式的问题，所证不等式包含双变量，解决此类问题的关键是能够通过换元的方式将所证不等式转化为单变量的形式，进而将问题转化为单变量函数最值的求解问题. 15．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）先对求导，得到.令为分子部分，求出零点.再根据正负，分析正负，进而确定正负，得出单调性. （2）把值代入，将不等式变形.令为变形后式子，由且，可知是最大值点，所以，求出.再验证值满足条件. （3）对已知等式取对数变形，令为变形后式子.根据单调性设.要证不等式，转化为证，令为对应式子，求导判断单调性证明. 【详解】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 16．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的零点个数； (3)若有两个极值点，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程；（2）通过求导分析函数单调性，结合特殊点的值确定零点个数；（3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，定义域为， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减， 又， 所以存在唯一的，使得. 又在上单调递减，所以当时，的零点个数为1. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，有两个极值点，意味着有两个不同正根. 设，其导数. 若，，在递增，不会有两个正根. 当，令，得.在，递增；在，递减. 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 17．（2025·天津·模拟预测）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见详解. 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）（i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 考点4 构造法证明不等式 18．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，求证：； 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1； (2)证明见解析 【分析】（1）求导判断函数的单调性，进而可求出极值； （2）构造函数，求出函数的最大值即可得出结论； 【详解】（1）当时，，则， 令，即， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此在处取得极大值，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1； （2）要证，即证， 因此设，则， 令，则， 因为，所以， 因此单调递减，且， 所以时，；当时，； 即时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值也是最大值，且， 故． 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小或者证明的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 19．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数图像的一条切线方程是. (1)求a的值； (2)当，时，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设切点坐标为，对函数求导，结合切线方程得到方程组，解方程组即可求解； （2）根据已知条件将问题转化为：，构造函数，对函数求导，利用导数求出函数的单调性，由此确定的最小值，由此即可求证不等式. 【详解】（1）因为切线方程为，设切点为， 由，有， 所以，解得，， 所以a的值为. （2）由（1）知，， 所以不等式，等价于， 令，则， 令，则，由此可知： 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，因此，， 即，所以. 20．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：对. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，然后代入点斜式化简即可求解. （2）作差，把所证不等式变为恒成立，利用导数研究的单调性，求出最值即可证明. 【详解】（1）由题意得：切点，， 则，设切线方程：，化简得：. （2）要证：，即证：， 令，则， 又，则在单调递减， 所以，即，则得证． 考点5 分离法证明不等式 21．（2025高二·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把代入，求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）令，利用导数证明，令，利用导数证明，进而可证不等式成立. 【详解】（1）由得，故，， 所以切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 令，， 当时，，在上单调递增，， 所以当时，． 令，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减． 所以，所以． 因此． 22．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程； （2）令，，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再设，，利用导数证明，即可得证. 【详解】（1）因为，则，， 则， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 先证， 令，， 则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以（当且仅当时取等号）， 再证， 设，， 则，令，，则， 当时，，（）单调递减； 当时，，（）单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 即， 所以，即， 所以． 23．（2024·四川·一模）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得在区间上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果； （2）根据题意要证等价于证明，构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求解. 【详解】（1）由，则， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即， 构造函数，所以， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值，即，所以， 所以的取值范围为. （2）解法一：由题意得的定义域为， 当时，要证，即证：，等价于证明 构造函数，即证； 所以，令， 因为函数的对称轴为，所以在上单调递增， 且，，所以存在，使， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值， 又因为，得，所以， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，即， 所以即证，所以可证. 解法二：若，， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以， 所以. 考点6 放缩法证明不等式 24．（2025高二·全国·专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，证明见解析 【分析】（1）求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得，即可得到，再由裂项相消法代入计算，即可证明. 【详解】（1）的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递减； ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以当时，函数的最小值为， 因为，即， 当时，，即， 即， 令，则，， 所以， 故当时，. 即. 25．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若函数有极大值，且极大值不大于0. ①求实数的取值范围； ②求证： 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导，根据垂直可得斜率关系求解. （2）①对进行讨论，即可求解函数的极大值，构造，利用导数求解函数单调性，即可根据单调性求解不等式，②根据，取，则有，即，即可利用累加法求解. 【详解】（1）的定义域为，. 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以，解得：. （2）. ①当时，，所以函数在上单调递减，所以无极值； 当时，令得：； 令得：. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为. 因为极大值不大于0，所以. 因为，所以. 记，，则， 所以在上单调递增. 而，所以由可解得. 即实数的取值范围为. ②记数列的通项公式为，则为数列的前项和； 数列的前项和，即. 所以当时，； 当时，； 经检验，对也成立， 所以. 由①知：当时，所以当时，有， 即（当且仅当时等号成立）. 所以取，则有，即. 当依次取，则有：，，…，， 累加得：，即. 【点睛】关键点点睛：根据，取，则有，利用数列求和求解. 26．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数的表达式为. (1)当时，求的单调增区间； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数二次求导，判断出函数的单调性即可； （2）分、、三种情况，对函数二次求导，借助函数单调性判断不等式是否成立即可求解； （3）借助（2）中结论，化为，取，得到，两边求和化简即可求解. 【详解】（1）时，， 则， 令，则， 则在上严格减，上严格增， 则，即在上严格增， 因此函数的增区间为； （2）， 记，则， 令，解得； 若，则，即时， 在上严格增，，满足要求； 若，则，时， 则在上严格减，故当时，，不满足要求； 若，则，在上严格减， 则，不满足要求； 综上，a的取值范围是. （3）由（2）可知时， 则，取， 则，即； ， 即. 【点睛】关键点点睛： 本体关键在于能够将（2）中结论整理变形并应用到不等式的证明中. 考点7 隐零点与不等式证明 27．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数且． (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）（方法一）由等价于，得出是极小值点，再由可得答案；（方法二）由等价于，求出．时由不合题意．当时只需可得答案； （2）利用导数研究的单调性、极值情况，依据单调性证极大值的范围. 【详解】（1）（方法一） 因为， 则等价于， 是极小值点． 又， 检验，当时，，当时单调递减； 当时单调递增， ，符合题意； （方法二）因为， 则等价于， 求导可知． ①当时，即在上单调递减， 所以当时，，不合题意． ②当时， 因为当时，当时， 所以，只需， ， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以的解只有； （2）由（1）可知时，， 记，则， 令，解得：， 当时，时， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以在区间上有唯一零点且， 在上为正、在上为负、在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以， 由可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 综上所述，存在唯一的极大值点，且． 【点睛】关键点点睛：第一问，讨论参数并应用导数研究且最小值，根据不等式恒成立确定参数值；第二问，导数研究极值点分布，进而证极大值的范围. 28．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)当时，若，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，再利用导数分类探讨函数的单调性. （2）由（1）的信息，利用导数探讨最大值，求出函数有两个变号零点的的范围. （3）求出函数，利用导数求出最小值并结合基本不等式推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点， 由（1）知，当时，最多一个零点，不符合题意； 当时，， 而从大于0的方向趋近于0时，的值趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，的值趋近于负无穷大， 要函数有两个变号零点，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围是. （3）当时，，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 所以. 29．（24-25高三上·福建南平·期中）已知函数. (1)写出函数在的零点个数，并证明； (2)若存在，方程有解，记的最大值为，证明. 【答案】(1)在的零点个数为1，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性来判断零点个数.通过求导判断函数单调性，如果函数单调递增或者单调递减，再结合函数值的情况确定零点个数. （2）先将方程变形为，然后根据函数存在解，就是求函数的值域范围，可通过求导来研究函数的单调性进而求其值域. 【详解】（1）求导，可得， 当时，，，所以， 这表明函数在上单调递增， 由于，， 由于函数在上单调递增且，， 所以函数在上有且仅有一个零点. （2）由，可得，设，， 求的导数，， 令，，求的导数， 当时，，，所以， 这表明在上单调递减， 又，，， 所以存在，使得，即， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得最大值， 由，可得， 设，则， 所以在上单调递减，所以， 因为，所以，，则，即， 又，且在上单调递增，所以. 故原命题得证. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 考点8 极值点偏离与不等式证明 30．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间； （3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题. 【详解】（1）当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下： 故， 令，， ， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 所以，即. 31．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合参变分离得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数在不同取值下，函数的零点个数； （2）由题意可得得，要证明，只需证明，设，则，即证即可，令，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 32．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 33．（2025·江苏南京·一模）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【详解】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，即，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意，则，等价于， 令，因为，所以在上单调递增， 所以， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此， 故选：B 2．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得，通过导数求得，即可得出． 【详解】因为存在实数，使得成立， 所以， ， 令得或或， 列表 极小值 当时，有极小值也是的最小值， 所以． 故． 故选：B． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原题条件转换为函数在上单调递减，进一步转换为导函数小于等于0恒成立，分离参数即可求解. 【详解】不妨设，则由， 也就是说，函数在上单调递减， 因为，由题意恒成立， 即恒成立，令， 求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 4．（陕西省名校教育联盟2024-2025学年高三下学期检测数学试卷）若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原不等式化为不等式，又可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围. 【详解】原不等式化为不等式，又继续化为， 设，则， 即在上单调递增，而， 因为，所以， 由已知恒成立，令，则， 当时，即递减；当时，即递增； ∴，故只需，即．又， 所以的取值范围为. 故选：B 5．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）设函数的导函数为，若，且对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】先对求导，再求出，得到，将对于恒成立，转化为对于恒成立，再利用导数求的最值即可. 【详解】由，则， 则，解得， 则， 由对于恒成立，即对于恒成立， 即对于恒成立， 令，，则， 令，，则， 令，，则， 当时，，时，， 则在单调递减，在单调递增， 故，即当时，， 则在单调递增，则，即当时，， 故在单调递增，则， 则可得，所以的最小值为， 故选：C. 6．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 二、多选题 7．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】由，得，结合函数的单调性可得，由此判断AB，进而可得，构造函数，应用导数求其最大值即可判断CD. 【详解】由，得， 则，，， 两边同时取对数可得：， 又函数在单调递增， ∴，即，故A正确， 由，若，则， 此时，，，B错误； 所以，故， 设，则， 由，，可得，故在单调递增， 由，，可得，故在单调递减， 故，因此的最大值为，故C正确，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：解题的关键是将其通过同构方法变形为，结合的单调性化简，求的最值的关键在于结合消元，将问题转化为求的最值. 8．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知函数，的图象与直线交于、两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则无最值 C． D．在处的切线的斜率大于 【答案】BCD 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项；分析可知，将所证不等式变形为，令，构造函数，结合函数的单调性可判断C选项；利用D选项中的结论结合导数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 令，则，令，则， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为， 所以函数的极小值为，作出函数的图象如下图所示： 当时，则函数有两个零点，所以，，解得，A错； 对于B选项，若， 对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 且， ， 当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上为减函数，函数无极值，B对； 对于C选项，因为函数的单调减区间为，单调增区间为，则， 要证，即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，，C对； 对于D选项，因为， 所以，所以， 因为，则， 因为所以函数在处的切线斜率大于，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 9．（2025·山西·一模）已知，其中，且，，若恒成立，则（   ） A． B．是的极小值点 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由可得出，变形得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项；利用函数极值点与导数的关系可判断B选项. 【详解】对于A选项，由题，，， 记，其中，， 当时，；当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，故，故A正确； 对于BCD选项，，则， 记，， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 又，， 当或时，，； 当时，，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 所以，为函数的极小值点，且函数在上不单调，故BD正确C错误. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值. 三、填空题 10．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果. 【详解】因为，若，则， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 11．（2023·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则 ． 【答案】 【分析】构造函数，将问题转化为恒成立，再由必要性入手得到，再证明当时满足题意，从而得解. 【详解】依题意，， 因为恒成立， 所以恒成立， 令，则，上式化为恒成立， 令，则， 注意到，而恒成立，即， 所以，即，故； 当时，，显然在上单调递增， 而， 所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将双变量转化为单变量，从而将问题转化为函数恒成立问题，由此得解. 12．（2024·全国·模拟预测）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得，构造函数与，利用导数分别求两函数的值域，再分类讨论将问题转化为值域间的包含关系，进而建立关于的不等式求解可得. 【详解】由得. 设，. 则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以，且当时，； 当时，. 故的值域为； 设，. 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以，且当时，； 当时，. 故的值域为； 若，则，故值域， 且恒有. 由题意对任意，都存在，使得. 但当时，恒有， 即不存在，使得，故， 所以，则函数的值域为， 要使对任意，都存在， 使得，即， 则需的值域，则， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：任意，都存在，使得，即在定义域上的值域是函数在定义域上的值域的子集. 四、解答题 13．（24-25高三下·天津和平·阶段练习）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，根据的范围讨论即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【详解】（1）由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）由，定义域为， 令得或， 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. （3）因为，令，得或， 因为，所以，， 又，所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 14．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的范围； (3)若有两个极值点，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点，即可写出切线的点斜式方程； （2）等价于恒成立，令，则不等式恒成立等价于成立，利用导数求出函数的最小值代入不等式即可求得a的范围； （3）由题意知有两个变号零点，，利用导数判断函数的单调性从而画出的图象，求出使与的图象有两个不同的交点的a的取值范围. 【详解】（1）由题意知，当时，有 ，，， 在处的切线方程为， 即 （2）由， 从而.令， 得，当时，，在上单调递减， 时，不符合条件，从而. 当时，令，则在上单调递减，在上单调递增， 则由. 当恒成立时，的范围. （3）由已知得，又， 令，则， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 又，即的图象与x轴只有唯一交点. 的图象如图所示：    从而有两个极值点等价于与的图象有两个不同的交点，由图知 即. 15．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，再根据极值的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）不等式，令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数，定义域为，， 时，，时，， 有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，， 不等式， 令函数，依题意，，恒成立， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而， 则存在，使，即， 此时， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得， 则，， 所以的取值范围是. 16．（海南省2024-2025学年高三下学期学业水平诊断（四）数学试卷）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若曲线与x轴交于A，B两点，AB的中点横坐标为，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况求解即可； （3）结合（2）分析易得，设，，则,将问题转化为证明，设函数，进而结合导数求证即可. 【详解】（1）若，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由，得，， ①若，则恒成立，所以在上单调递减； ②若，令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）知，若，则曲线与x轴最多有1个交点，故． 不妨设，，则, 要证，即证，只需证，即证． 设函数，则， 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以，即， 又，，在上单调递增， 所以，即．从而原命题得证． 17．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数的图象在点处的切线方程为. （i）求的最小值； （ii）若关于x的方程有两个根，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）1；（ii）证明见解析 【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围即可得解； （2）（i）利用导数的几何意义求得，进而利用隐零点，结合导数求得的最值，从而得解；（ii）根据题意，利用极值点偏移的解决技巧，将问题转化为证恒成立，构造函数，利用导数即可得解. 【详解】（1）因为，则， 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）函数的定义域为， 则，则， 因为函数的图象在的切线方程为， 所以，则， 所以， 因为，所以，令，则， 令，则，， 所以，使，即，则， 又，所以在上单调递增， 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. （ii）由题意可知，， 即方程有两个根，， 令，，则，所以， 设，由（1）知，在上单调递增，又， 所以，则， 由，得，， 所以， 要证，需证，即证， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 则在上单调递减，所以， 因此成立，故，得证. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 18．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，即可判断零点； （2）（ⅰ）由方程两边取对数，转化为，再构造函数在上单调递增，结合等比数列的性质，即可判断证明； （ⅱ）根据不等式时，，得到不等式，得到不等式，再根据数列求和即可证明. 【详解】（1）当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有唯一零点1． 当时，因为，， 所以函数有唯一零点，得证， （2）（i）由（1）知，，且， 两边取自然对数，得，（*） 所以， 两式相减，得， 所以． 因为函数在上单调递增， 所以，所以数列单调递增． 假设数列中存在，，成等比数列，则， 所以． 由（*）式得，，代入上式，得 ， ．（**） 因为，所以， 又，所以方程（**）无解． 所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列． （ii）先证明：时，，（***） 设，则， 所以当时，，单调递减： 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立． 由（***）式知，， 所以，所以， 所以． 在（***）式中，令，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，，当且仅当时等号成立． 当时，在（***）式中，令，得， 所以时， ． 当时，成立． 所以，得证． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题04 导数在不等式中的应用8考点复习指南 【问题背景】 不等式问题在数学领域广泛存在，涉及函数的取值范围、大小比较等多个方面.传统的不等式求解方法在面对一些复杂函数时往往遇到困境，而导数作为研究函数性质的有力工具，为不等式问题的解决提供了新的视角和途径.导数可以精确分析函数的单调性、极值和最值等性质，这些性质对于证明不等式、求解不等式恒成立或能成立问题至关重要.通过导数，能够将不等式问题转化为函数的性质研究问题，从而使复杂的不等式问题得以简化.在证明含有复杂函数的不等式时，利用导数研究函数的单调性，进而比较函数值大小，可有效证明不等式成立.但由于函数形式的多样性和不等式条件的复杂性，导数在不等式中的应用也面临诸多挑战，需要深入理解和灵活运用相关知识. 【处理角度】 1.求导分析函数性质：对函数求导是解决导数与不等式问题的核心步骤.通过求导，得到函数的导数表达式，根据导数的正负判断函数的单调性，导数大于0时函数单调递增，导数小于0时函数单调递减.根据导数为0的点确定函数的极值点，进而求出函数的极值和最值.在分析函数单调性和最值的过程中，为解决不等式问题提供了关键依据. 2.构造函数：根据不等式的特点和解题需要，构造合适的函数是常用的策略.构造函数后，通过对其求导，研究函数的性质，将不等式问题转化为函数的性质问题.在证明不等式时，构造一个函数，通过研究该函数的单调性和最值来证明不等式成立.构造函数的关键在于根据不等式的结构，选择合适的函数形式，使其能够有效地解决原不等式问题. 3.分类讨论：当问题中存在参数时，往往需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论.在求含参函数的单调性、极值和最值时，参数的取值会影响函数的性质，因此需要分情况讨论.通过分类讨论，分别分析不同情况下函数的性质，从而确定满足不等式条件的参数取值范围或证明不等式成立.在分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况. 4.等价转化：将不等式问题进行等价转化，使其变为更容易处理的形式.将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，将双变量问题转化为单变量函数问题等.通过等价转化，能够将复杂的不等式问题转化为熟悉的函数问题，利用函数的性质和导数工具进行求解.在转化过程中，要确保转化的等价性，避免出现错误. 5.数形结合：借助函数图象可以直观地理解函数的性质和不等式的关系.通过画出函数的图象，观察函数的单调性、极值和最值等特征，结合图象来分析不等式的解或证明不等式.在研究函数的单调性和最值时，结合图象可以更直观地理解函数的变化趋势，为解决不等式问题提供思路.数形结合的方法能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，提高解题的效率和准确性. 【解法策略】 1.导数与恒成立问题：此类问题通常表现为在给定区间内，一个函数始终大于或小于另一个函数，或者函数满足某种特定的不等式关系.处理时，将不等式进行等价变形，使其转化为函数的最值问题.通过求导确定函数的单调性，进而找到函数的最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围.在已知不等式恒成立的情况下，构造新函数，通过分析新函数的导数来判断其单调性，从而求出其最值，进而得到参数的取值范围. 2.导数与能成立问题：与恒成立问题不同，能成立问题是指在给定区间内，存在某个值使得不等式成立.解决这类问题时，同样将其转化为函数的最值问题，但侧重点在于找到函数的取值范围，使得在这个范围内存在满足不等式的值.通过求导分析函数的单调性和值域，确定满足不等式成立的条件，从而得出参数的取值范围. 3.导数与双变量问题：这类问题涉及两个变量，通常需要根据已知条件建立两个变量之间的关系，然后通过构造函数，利用导数研究函数的性质来解决问题.在已知两个函数在不同变量处的函数值关系时，通过变形和构造新函数，将双变量问题转化为单变量函数的单调性和最值问题，进而求解. 4.构造法证明不等式：根据不等式的结构特点，巧妙构造一个函数.通过对构造函数求导，研究其单调性、极值和最值，利用函数的这些性质来证明不等式成立.在构造函数时，需要观察不等式的形式，结合常见函数的导数性质，选择合适的函数进行构造.构造函数后，通过分析导数的正负来确定函数的单调性，进而求出函数的最值，以证明不等式. 5.分离法证明不等式：将不等式中的参数与变量分离，转化为一个函数与一个常数的大小关系问题.通过求导研究分离后函数的单调性和最值，根据函数的最值情况来证明不等式.这种方法适用于参数与变量易于分离的不等式，通过分离变量，将问题转化为研究函数的性质，从而简化证明过程. 6.放缩法证明不等式：在证明不等式时，根据已知条件和不等式的特点，对不等式进行适当的放缩.通过放缩将复杂的不等式转化为更容易处理的形式，再结合导数研究函数的性质来证明不等式.放缩法需要掌握一定的技巧，要根据不等式的具体情况选择合适的放缩方式，同时结合导数分析函数的单调性和最值，以确保放缩后的不等式能够得证. 7.隐零点与不等式证明：当函数的零点无法直接求出时，利用零点存在定理确定零点的存在区间，将零点代入函数或相关式子进行化简和推理，结合导数分析函数的单调性和最值，从而证明不等式.在处理隐零点问题时，关键是要巧妙利用零点所在区间以及函数在该区间的性质，通过合理的变形和推导来证明不等式. 8.极值点偏离与不等式证明：对于函数存在极值点，且两个变量与极值点存在某种关系的不等式证明问题，通过构造差函数，利用导数研究差函数的单调性，根据差函数的性质来证明不等式.在解决极值点偏离问题时，需要深入理解极值点的性质以及函数的单调性，通过构造合适的函数并分析其导数，来证明与极值点和变量相关的不等式. 考点1 导数与恒成立问题 1．（24-25高二下·重庆北碚·阶段练习）已知对于都有，则a的最小值为（   ） A．1 B． C．0 D． 2．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 4．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点2 导数与能成立问题 6．（23-24高二下·新疆·期中）已知，存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·北京·期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 11．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 考点3 导数与双变量问题 12．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知函数，，若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数，，若对于任意的，使得恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围． (2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 15．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 16．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的零点个数； (3)若有两个极值点，证明：当时，. 17．（2025·天津·模拟预测）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 考点4 构造法证明不等式 18．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，求证：； 19．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数图像的一条切线方程是. (1)求a的值； (2)当，时，求证：. 20．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：对. 考点5 分离法证明不等式 21．（2025高二·全国·专题练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，证明：. 22．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求证：． 23．（2024·四川·一模）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，证明：. 考点6 放缩法证明不等式 24．（2025高二·全国·专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明. 25．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若函数有极大值，且极大值不大于0. ①求实数的取值范围； ②求证： 26．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数的表达式为. (1)当时，求的单调增区间； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围； (3)证明：. 考点7 隐零点与不等式证明 27．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数且． (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且． 28．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； (3)当时，若，求证：. 29．（24-25高三上·福建南平·期中）已知函数. (1)写出函数在的零点个数，并证明； (2)若存在，方程有解，记的最大值为，证明. 考点8 极值点偏离与不等式证明 30．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 31．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 32．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 33．（2025·江苏南京·一模）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（陕西省名校教育联盟2024-2025学年高三下学期检测数学试卷）若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）设函数的导函数为，若，且对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 6．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 8．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知函数，的图象与直线交于、两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则无最值 C． D．在处的切线的斜率大于 9．（2025·山西·一模）已知，其中，且，，若恒成立，则（   ） A． B．是的极小值点 C．在上单调递减 D．在上单调递增 三、填空题 10．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 11．（2023·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则 ． 12．（2024·全国·模拟预测）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 13．（24-25高三下·天津和平·阶段练习）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，且，证明：． 14．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的范围； (3)若有两个极值点，求的范围. 15．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 16．（海南省2024-2025学年高三下学期学业水平诊断（四）数学试卷）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若曲线与x轴交于A，B两点，AB的中点横坐标为，证明：. 17．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数的图象在点处的切线方程为. （i）求的最小值； （ii）若关于x的方程有两个根，，证明：. 18．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$