高一下期中真题百题大通关（提升版）（范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

高一下期中真题百题大通关（提升版） （范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步） 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 2．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，若，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由余弦定理求出，继而利用向量的线性运算求出，平方结合数量积运算，即可求得答案. 【详解】由，得， 故； 又，故 , 故 ， 故，即， 故选：C 3．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、射影公式 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 4．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论 【分析】由题可得，然后利用三点共线的推论即可得出答案. 【详解】， ， 因为P、B、N三点共线，所以， 故选：D. 5．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义，结合向量的数量积和模长的坐标计算，求解即可. 【详解】根据题意，可得，，则， 所以在向量上投影数量等于， 可得向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 6．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 7．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在中，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据数量积的定义运算即可得解. 【详解】因为，，， 所以 故选：D． 8．（24-25高一下·山东济南·期中）已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算 【分析】由题意设出复数的标准式，由复数除法可得复数的标准式，结合题意可得点的轨迹方程，根据复数的模长公式，结合两点之间的距离公式，利用圆外一点到圆上点距离的最值，可得答案. 【详解】设，则， 由题意可得，整理可得， 因此，点在以为圆心，半径为的圆上及圆内， 则， 上式可表示点到的距离， 易知最小值为点到圆心的距离减去半径， 即为. 故选：C. 9．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、根据相等条件求参数 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解． 【详解】设，则， ，，解得或或 所以复数z的虚部为． 故选：C. 10．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 11．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出的对应点即可. 【详解】因为， 若z为纯虚数，则，即， 则在复平面内对应的点为, 则复数在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 12．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【知识点】平面分空间的区域数量、线面关系有关命题的判断、判断面面平行 【分析】对于A，结合条件可得直线，可能平行，相交，异面，判断A，对于B，由条件可得或，由此判断B，结合面面平行判定定理判断C，举例判断D. 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D，，，三个平面两两垂直时，可将空间分割成个部分，故选项D正确． 故选：D. 13．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 14．（22-23高一下·广东·期中）半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先画出正四棱锥，然后计算其体积，球的体积与正四棱锥体积比较即可. 【详解】画出正四棱锥，外接球球心为    由题可知，，所以， 根据勾股定理可知， 所以， 所以该四棱锥体积， 因为球的半径为， 所以球的体积为， 所以 故选：B 15．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据直三棱柱的外接球，即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，由此求出外接球的表面积. 【详解】由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示： 则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是， 故选：C 16．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 17．（23-24高一下·四川乐山·期中）已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若球的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（    ） A． B．30 C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】、、三点共线且平面和点位于点异侧时，三棱锥的体积最大，由勾股定理计算即可求出. 【详解】在中，根据正弦定理，可得， 又，所以．如图： 设为的外心，则为的中点，且， 由于球的表面积为，设球的半径为，则，解得或（舍去）， 所以球的半径，， 当、、三点共线且平面和点位于点的异侧时，， 三棱锥的体积最大，此时. 故选：C 18．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求组合旋转体的表面积、球的表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 二、多选题 19．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理结合三角函数单调性即可逐一判断求解. 【详解】对于A，由正弦定理，即，解得， 而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故A不符合题意； 对于B，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故B符合题意； 对于C，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意； 对于D，由正弦定理，即，解得， 而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意； 故选：BCD. 20．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．与垂直 C． D． 【答案】BD 【知识点】平面向量的概念与表示、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】A向量无法比大小；B判断数量积是否为0即可；C利用反证法，再计算等式两侧的模，最终转化为判断是否成立；D利用数量积的运算律即可. 【详解】A：向量无法比大小，只有向量的模可以比大小，故A错误； B：， 故与垂直，故B正确； C：假设成立，则， 即， 因，，是任意的非零向量，则， 而均为中的任意数，故不一定成立， 故C错误； D：， 故D正确. 故选：BD 21．（23-24高一下·广西玉林·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 【答案】BC 【知识点】垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】取，可判断A；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；将垂直关系转化为数量积为零，结合单位向量的定义可求向量坐标，进而判断C；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，则不一定共线，故A错； 对于B选项，两个非零向量和，若，则， 整理可得，故与垂直，故B对； 对于C选项，设与垂直的单位向量为， 由题意可得，解得或， 所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对； 对于D选项，已知向量， 则在上的投影向量为， 所以，，解得，故D错． 故选：BC. 22．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 23．（23-24高一下·广东广州·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误. 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 24．（23-24高一下·黑龙江·期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（    ） A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数的模长为1 【答案】ABD 【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得. 【详解】A选项：是纯虚数，A选项正确； B选项：而，即，则复数对应的点在第二象限，B 选项正确； C 选项：，则复数的共轭复数为，C 选项错误； D 选项：D选项正确； 故选：ABD. 25．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 【答案】ACD 【知识点】求复数的实部与虚部、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断A正确，B错误，C正确，利用复数的几何意义可求得D正确. 【详解】对于A，由可得； 而，所以可得，即A正确； 对于B，，其虚部为，即B错误； 对于C，，即可得C正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因此的最大值为，即可得D正确； 故选：ACD. 26．（23-24高一下·福建厦门·期中）下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 【答案】ACD 【知识点】复数范围内方程的根、与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，，，虚部为，B选项错误. C选项，由于是关于x的实系数方程的根， 则是关于x的实系数方程的根， 所以，解得，所以，C选项正确. D选项，表示对应点与点的距离为， 表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为， 所以D选项正确. 故选：ACD.    27．（23-24高一下·贵州·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．． B．． C．在复平面内对应的点位于实轴上，则． D．在复平面内的点在直线上． 【答案】BCD 【知识点】复数的除法运算、求复数的模、复数的坐标表示、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的除法得出复数，再结合复数乘法可判断A,根据模长判断B,根据复数的类型求参判断C,化简复数得出对应点即可判断D. 【详解】对于由得． ，故A错； 对于，故正确； 对于C．，因为点在实轴上，所以，故C正确； 对于，对应复平面内的点的坐标为， 且，故D正确． 故选：BCD. 28．（23-24高一下·山东·期中）设，，是复数，，则下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】根据条件，结合共轭复数的定义，复数模的公式，复数的四则运算，即可求解. 【详解】对于A，若，则，，因此，A正确； 对于B，令，，则，但，B错误； 对于C，设，则， 而， 则， 又， 则， 因此，C正确； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：ACD 29．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数的乘方、复数范围内方程的根 【分析】根据复数范围内的根可得，即可结合选项，由复数的四则运算以及模长公式求解. 【详解】由题意可得，所以，所以，A错误； ，B正确 ，所以，C错误； 由于，所以，D正确， 故选：BD 30．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是（    ） A．关于x的方程的解为 B．复数的虚部是5 C．若复数z满足，则 D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则， 【答案】BC 【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】选项A，求出方程的解即可；选项B，化简复数，求解即可；选项C，直接求出模长即可；选项D，根据实系数一元二次方程根的情况，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】对于A，方程可化为，所以或，所以和，选项A错误； 对于B，复数，虚部是5，选项B正确； 对于C，复数满足，所以,故，即，所以，选项C正确； 对于D，若是方程的一个根，则也是方程的根， 所以，解得或，选项D错误． 故选：BC． 31．（21-22高一下·浙江宁波·期中）下列命题正确的有（    ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】AD 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】由基本事实2判断A，由基本事实3判断D，由空间中点、线、面的位置关系判断B和C. 【详解】由基本事实2可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内，故A正确； 因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行， 所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行， 即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误. 由基本事实3知，如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确； 故选：AD. 32．（22-23高一下·广东·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的（    ） A．高为 B．体积为 C．表面积为 D．内切球的表面积为 【答案】AC 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据圆台的侧面展开图，求得圆台上下底面半径、母线长，然后可求得圆台的高、体积、表面积和内切球的半径，从而确定正确答案. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 则，即；，即； 又圆台的母线长， 所以圆台的高，A正确； 圆台的体积，B错误； 圆台的表面积，C正确； 因为，即圆台的母线长等于上下底面半径和， 所以圆台的高即为内切球的直径， 所以内切球的半径为， 所以内切球的表面积为，D错误. 故选：AC. 33．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 【答案】BCD 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】作出平面判断AC；作出平面截正方体所得截面，推理、计算判断BD. 【详解】在正方体中，过作分别交于，连接，则， 对于A，平面，点平面，点， 又点平面， 因此是异面直线，A错误； 对于C，四边形是矩形，且是平面截该正方体所得的截面，而为正方形的中心， 则是的中点，，矩形的面积，C正确； 连接，矩形是正方体的对角面，则， 由为正方形的中心，得点为中点，因此， 点共面，则与共面，B正确； 对于D，，延长交于点，连接交于点， 延长交于，连接，令直线交于，连接， 则四边形是平面截正方体所得截面， 由分别为正方形，的中心，得， 连接， 多面体的体积， 而正方体的体积，因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 34．（24-25高一下·四川成都·期中）在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 35．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为 . 【答案】/ 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】先应用，结合 计算最小值得出，最后应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以当时取最小值，此时， 所以. 故答案为：. 36．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】设，利用向量旋转公式求出向量，再结合平面向量的坐标运算即可求得点坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得， 所以点的坐标为, 故答案为： 37．（21-22高一下·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果；令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 38．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ． 【答案】3 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义，结合一元二次不等式恒成立列式求得答案. 【详解】由，得， ， 则， 即，整理得， 即，所以. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用数量积的定义及运算律，将给定恒成立的不等式化为一元二次不等式恒成立求解. 39．（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、距离测量问题、高度测量问题 【分析】在中求出AC，在中用正弦定理求出AM，再在中求解作答. 【详解】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 故答案为：. 40．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则 ． 【答案】2 【知识点】根据相等条件求参数、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数运算及复数相等得出参数值，最后计算即可求解. 【详解】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 41．（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 . 【答案】3 【知识点】复数的除法运算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】借助复数的乘方运算与四则运算法则计算后，结合复数模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：3. 42．（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ． 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】复数域内解方程，结合方程思想降次化简计算即可. 【详解】由题意可知是在复数域内的两个根，根据韦达定理有； 因为满足，所以，， 则 ， 当时，， 当时，， 综上. 故答案为：；. 43．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、复数的相等、求二次函数的值域或最值 【分析】结合复数相等的条件，二次函数的性质，以及三角函数的性质，即可求解． 【详解】解：复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 44．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【答案】 【知识点】证明线面平行、补全线面平行的条件 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 45．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】在这个三棱锥中，已知平面，我们可以根据已知条件求出长方体的体对角线，进而求出外接球的半径. 【详解】因为平面，我们将三棱锥补成长方体. 在中，，， 设，根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里就是长方体底面长方形外接圆半径. ，即，解得. 又因为，这个就是长方体的一条棱. 设外接球半径为，根据长方体的体对角线长等于外接球的直径. 长方体底面长方形的对角线长为，长方体的一条棱. 根据长方体体对角线公式（这里，和是底面长方形的两条边，其对角线长为），则体对角线. 因为，所以. 故答案为：. 46．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【知识点】求旋转体的体积 【分析】由题意，从而得到椭球的体积为，再代入数据求解即可. 【详解】因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 47．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先计算三棱柱的体积，再得出三棱台的体积，从而根据，即可求解. 【详解】在三棱柱中，设的面积为S，三棱柱的高为h， 则三棱柱的体积为，由，， 得，则，且，于是的面积为， 则三棱台的体积为，从而， 所以. 故答案为： 48．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 49．（23-24高一下·江苏·期中）已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有 ． ①直线与所成角的正切值为    ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形  ④点到平面的距离为 【答案】①②④ 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】借助等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出可判断①；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④. 【详解】对于①：由，故直线与所成角与直线与所成角相等， 连接，可得，又， 平面，平面，所以， 故，故①正确； 对于②：三棱柱外接球与正方体外接球相同， 故其外接球半径为，故②正确； 对于③：如图：取中点，连接，过点作， 交于点，则，所以平面截正方体所得截面为梯形， 由，所以， 所以，，所以， 所以梯形不是等腰梯形，故③错误； 对于④：如图：设点到平面的距离为，则， 而， ， 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 50．（23-24高一下·河北·期中）已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、圆锥的结构特征辨析 【分析】根据圆锥的特征，再找到球心的位置，再结合勾股定理得出高. 【详解】 设圆锥高，而母线，在中，则， 设圆锥外接球的半径为R，显然外接球的球心为O在高上， 球心O到底面圆心的距离，由，得， 因此，解得，所以长为． 故答案为：. 51．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 / 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、基本不等式求和的最小值 【分析】设，先求得的关系式，然后利用基本不等式求得的面积取最小值，以及此时的值.根据三棱锥外接球表面积的求法求得三棱锥的外接球的表面积. 【详解】设，则，， 由于，所以，整理得， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 此时，所以，所以， 由于，所以是三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径为，表面积为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：求解三角形面积的最值问题，可以先将面积的表达式求出，然后根据表达式的结构，利用基本不等式、函数的最值等知识来求得面积的最值.求解几何体外接球有关问题，关键是判断出外接球的球心和半径. 52．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于借助等体积求出大球，小球的半径，由此结合表面积公式即可求解. 四、解答题 53．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）将角化为边，利用余弦定理可求出角A，再利用已知条件即可求出，的值，再利用三角形面积公式即可求解； （2）利用正弦定理可分别将边，用角B，C来表示，进而利用两角差的正弦公式、辅助角公式等即可求解范围. 【详解】（1），，即， ， ，，解得， ； （2）由（1）可知，正弦定理可得 ， 为锐角三角形，∴，解得 所以，所以， 所以 所以 即的周长的取值范围 54．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在直角中，，M是的中点. (1)若，，求的值； (2)若点P是内一点，且，，，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)5 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用向量数量积的运算律代入计算即可求得结果； （2）根据已知模长以及数量积结果，将平方并代入计算利用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）如下图所示： 因为M是的中点，所以， 由可得， 因此； 所以； （2） 由点P是内一点，且，可设，所以； 由可得，即； 由可得，即； 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立； 即的最小值为5. 55．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 56．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、速度、位移的合成 【分析】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【详解】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 57．（24-25高一下·湖南长沙·期中）设，，向量，，，且，． (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角余弦值． 【详解】（1）向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； （2）因为，， 所以，， 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角余弦值为． 58．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.    (1)若，用，表示，； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可用,表示,. （2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围. 【详解】（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.    所以， 因为，，所以， 所以， . （2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ， 所以， 设，则，. 所以， ， 所以 ， 因为， 所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为. 所以的取值范围. 59．（23-24高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、速度、位移的合成 【分析】（1）利用向量的加法法则和三角函数的定义求解即可； （2）利用向量的减法法则和三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 60．（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 61．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）化边为角，利用三角恒等变换化简后，根据正切函数求值域即可得解. 【详解】（1）由正弦边角关系， 即， 所以， 即， 可得，由可得， 由知． （2）由（1）知，，． 由正弦定理知，， 可得，， 故周长为 ． 由是锐角三角形知，，，即，． 又，故，， ， 故，， 所以， 故周长的取值范围是． 62．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【知识点】余弦定理边角互化的应用、已知数量积求模、条件等式求最值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 63．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量的线性运算的几何应用、已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【详解】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 64．（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 65．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】(1)； (2)周长、外接圆面积分别为、. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小； （2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 66．（23-24高一下·广东广州·期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________. (1)求角C； (2)若，的面积，求的周长. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 【答案】(1)； (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）选择条件①②，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式计算角C. （2）由（1）及三角形面积求出，利用余弦定理求出c，即可求出周长. 【详解】（1）选择条件①，，由正弦定理得， 则， 整理得，又，则，而， 所以. 选择条件②，， 由正弦定理得， 则， 整理得，而，则，而， 所以. （2）由（1）知，由的面积，得， 即， 解得，由余弦定理得， 所以的周长为 67．（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，． (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理求，再由正弦定理求出即可； （2）由二倍角的正、余弦公式及两角和的正弦公式得解. 【详解】（1）在中，由，得． 由已知及余弦定理，得，所以． 由正弦定理，得． 所以的值为，的值为． （2）由（1）及，得， 所以，． 所以． 68．（23-24高一下·河南漯河·期中）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”，如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，其中，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.    (1)求角； (2)求周长的最大值； (3)若的面积为，求的面积. 【答案】(1) (2)9 (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据三角恒等变化可得，进而可得，即可求解， （2）由余弦定理结合基本不等式即可求解； （3）通过正弦定理得到正弦定理得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】（1），则， 故，所以， 可得（负值舍），由，所以. （2）由（1）知：， 则， 即：， 即， 所以，当且仅当时取等号， 所以最大值为6， 所以周长的最大值为9. （3）如图，连接，由正弦定理得 ，,则，    正面积， 而，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则， 在中，，由余弦定理得， 则， 所以的面积为 69．（22-23高一下·江苏扬州·期中）设为实数，若，是平面上两个不共线的向量，已知三点共线. (1)求的值； (2)若，与的夹角为，设与的夹角为，求的值 【答案】(1)； (2). 【知识点】平面向量的混合运算、已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理列式求出的值. （2）利用数量积的运算律求出数量积及模，再利用向量的夹角公式计算得解. 【详解】（1）依题意， ，， 由三点共线，得，则， 即，于是 ，所以. （2）由（1）知，，， 则， ， ， 所以. 70．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】(1) (2) (3)，，另一根为 【知识点】虚数单位i及其性质、复数范围内方程的根、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【详解】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 71．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据相等条件求参数、共轭复数的概念及计算、求复数的模 【分析】（1）设，则，结合题意列式求解即可； （2）由（1）可得，进而可得模长. 【详解】（1）设，则， 由题意可得，解得， 又因为在复平面上对应的点在第一象限，即，所以. （2）由（1）可知，则， 所以. 72．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的坐标表示、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求出；再利用复数的几何意义，得，，即可求解； （2）设是方程的一个实根，利用复数相等，得到，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 得到，，所以． （2）设是方程的一个实根，则． 根据复数相等的意义知 解得：，，． 所以，当时，原方程有一实根． 73．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的除法运算、复数的乘方、已知复数的类型求参数 【分析】（1）化简运用纯虚数概念求解即可； （2）化简，结合，周期性质即可解题. 【详解】（1）复数，则， 因为是纯虚数，于是，解得 （2）由（1）得到，又， 则，即有， 所以. 74．（23-24高一下·山东烟台·期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数的除法运算、复数加减法几何意义的运用、求复数的模 【分析】（1）利用复数的四则运算法则及的周期性，再利用复数的模公式即可求解； （2）根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解. 【详解】（1）由题可知， ， ， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 75．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 76．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，在复平面上对应的点分别为，． (1)若，求的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）可得出：，，然后根据复数的除法运算得出复数，然后即可得出的共轭复数； （2）进行复数的运算得出，然后根据条件得出关于的不等式，然后解出的范围即可． 【详解】（1）根据题意知：，， ， ； （2），且在复平面上对应的点在第四象限， ，解答， 实数的取值范围为． 77．（23-24高一下·北京大兴·期中）已知复数（为虚数单位）． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求的值； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、由复数模求参数、已知复数的类型求参数 【分析】（1）由复数的乘法运算得到，再由纯虚数解出的值，从而得到； （2）由得到和，从而，解出的值； （3）由得到，对应的点为，由点在第二象限解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以. （2）因为，所以，，解得. （3）因为，所以，则在复平面上对应的点为， 因为位于第二象限，所以，解得， 所以的取值范围为. 78．（23-24高一下·天津河北·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若，求的值； (4)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) (4) 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）根据共轭复数的定义得出复数再应用复数相等求参； （4）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由，得， 解得或. （2）由是纯虚数，得 解得， 所以. （3）由，可知， 得到 解得， 所以. （4）由对应的点在第一象限，得. 解得且 所以的取值范围为 79．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】复数的相等、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先根据复数相等得出方程组，再换元消参，最后应用三角恒等变换结合三角函数值域求参范围即可. 【详解】因为, 可得, 所以, 可得, 即, 当, 所以. 80．（23-24高一下·山西大同·期中）已知复数满足为纯虚数，． (1)求以及； (2)设，若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)1或5 【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数的除法运算、根据相等条件求参数 【分析】（1）设复数的代数形式，利用复数的乘法运算化简，根据纯虚数概念求解； （2）利用复数的乘除、乘方化简，再由模的公式建立方程求解. 【详解】（1）设，则， 由为纯虚数， 得①，且， 由，得②， 由①②解得，验证知，满足题意. 所以. （2）由（1）可知，， 由，得， 整理，得， 解得或. 故实数的值为1或5. 81．（23-24高一下·湖北·期中）设虚数是实数，且. (1)求的值以及的实部的取值范围; (2)若，求的最小值. 【答案】(1)， (2)1 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模、已知复数的类型求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题意复数是实数，则虚部为零，求解出，进而得到，由，求解的取值范围即可； （2）先求出，然后配凑利用基本不等式求解其最值即可. 【详解】（1）依题且为实数， 所以，得，即.             此时，         又，得，即的实部的取值范围是. （2）由已知得 ，                         由于，故，         当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1. 82．（21-22高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1)16； (2)证明见解析. 【知识点】棱锥表面积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2），连接，利用线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 83．（21-22高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 84．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）将四棱台补成四棱锥，取的中点，证四边形为平行四边形，再利用其性质及线面平行的判定推理得证. （2）①利用体积法求出点到平面的距离即可证得平面；②求出，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥， 由，得，则，取的中点，连接，， 则，且，四边形为平行四边形. 因此，又平面，平面， 所以平面.    （2）①由（1）得，， 又等腰梯形的高，其面积， 设到平面距离为，则，得， 而，平面，平面，则平面， 因此点D到平面的距离等于点C到平面的距离， 所以平面. ②在等腰梯形中，过作于，连接，，， 由①知，平面，则是与平面的夹角， ，则， 所以与平面夹角的正弦值. 85．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论； （2）易知，结合余弦定理即可求得异面直线和的夹角的余弦值． 【详解】（1）作于点，如下图所示： 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以此时满足平面； 又因为，因此， 因为，所以，所以； 可得 （2）由（1）可知两两垂直， 因为点分别是的中点，所以， 因此异面直线和的夹角即为和的夹角，即（或其补角）； 不妨取，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 因此异面直线和的夹角的余弦值为. 86．（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据已知可得，再由线面平行的判定证结论； （2）根据已知是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证，并求出相关线段长，应用等体积法有，求点面距离. 【详解】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以，而，在面内， 则面，面，故，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 87．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求组合体的体积 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    88．（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 89．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线线平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，可证得平面，进而证得结论. （2）在线段PE取一点G，使得，由题意可得，可证得平面，进而可得平面平面，再证得，可得的值. 【详解】（1）设交于点O，连接，正方形中，则，， 又，则，又平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）侧棱上存在一点F，满足条件， 证明如下：如图，正方形中，， 在线段取一点G，使得，由，得， 连接，则，而平面，平面， 则平面，由平面，，平面， 得平面平面，而平面平面，平面平面， 于是，， 所以＝. 90．（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【详解】（1）如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. （2）如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 91．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行、证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）连接，利用面面平行的判定定理即可证明得出结论； （2）利用线面垂直的判定定理可证明平面，求得点到平面的距离，再由等体积法可得三棱锥的体积． 【详解】（1）连接，如下图所示： 根据正方体性质可得，所以可得， 且，因此可得四边形为平行四边形，因此； 又平面,平面， 所以平面; 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 因此，又平面,平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）连接，如下图所示： 因为，平面，平面， 可得平面； 易知为正方形，所以； 由正方体性质可得平面，因为平面， 所以； 又，平面， 因此平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，为； 所以三棱锥的体积为 即三棱锥的体积为. 92．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、线面平行的性质 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 93．（23-24高一下·河北·期中）如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）先由线面平行再由判定定理证明面面平行； （2）由线面平行判定定理证明. 【详解】（1）连接，，则F，E分别为，的中点， 则，又面，面， 所以面， ，又面，面， 所以面， 又，，面， 所以面面. . （2）连接，，G，F分别是AD，AC的中点， ，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以面. . 94．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）根据线面平行得出三棱锥的高，再结合三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）如图，连接． 点为的中点，且点为的中点 为的中位线，即． 又平面平面 平面 （2）为矩形 又平面平面 点到平面的距离为1，即棱锥的高为1． 又为的中点，且 ． 95．（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再运用线面平行的判定定理证明即可. （2）运用正方体性质，结合勾股定理求出涉及边长，再用余弦定理和面积公式求出各个面的面积，即可得到表面积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图所示，连接，正方体的棱长为1. 根据正方体性质，得，. ． 在中，用余弦定理，得到， 则， 则. 同理可以求得，且． 则三棱锥的表面积为. 96．（23-24高一下·海南·期中）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为．    (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据棱台体积公式即可求出正四棱台的体积； （2）由题意，求出四棱台的斜高，由上下底面面积加上侧面积求得四棱台的表面积. 【详解】（1）正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为， 所以正四棱台的体积为 ． （2）在正四棱台中，如图，   ，，． 在等腰梯形中，过作，垂足为，则， 所以， 正四棱台的表面积为. 97．（23-24高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．        (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案； （2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数. 【详解】（1）正方体的体积为， 石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为， 故一个小正三棱锥的体积为， 故石凳的体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳的表面积为， 则粉刷一个石凳需要元. 98．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点，证明平面，再利用线面垂直的性质和中位线的性质即可得到答案. （3）可得是直线与平面所成角，在中，计算可得结果. 【详解】（1）∵，为等边三角形，又是的中点. ∴， ∵平面，且在平面内，， ∵在平面内，CB在平面内，且， 所以平面. （2）是等边三角形，取中点，则， 又平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 在中，，所以， 在底面内过点作，则平面， 因为点是的中点，则点为中点，则， 则点到平面的距离为. （3）由（2）知平面， 是直线与平面所成角， 因为底面，底面,所以， ，所以， . 99．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明； （2）分析可得在侧棱上是否存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； （2）在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 100．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)当实数，证明：直线与平面垂直； (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定证明平面即可； （2）由，及进行证明； （3）由，则，故，进行求解． 【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）当时，， 因为，所以， 所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以， 因为且都在面内，所以平面， 又平面，所以，同理， 又且都在面内，所以直线平面； （3）设与平面的斜足为， 因为， 所以， 所以，则，故， 所以在线段上取一点，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则为的中点，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下期中真题百题大通关（提升版） （范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步） 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，若，，则长为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 4．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在中，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 8．（24-25高一下·山东济南·期中）已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 10．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 11．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 12．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 13．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·广东·期中）半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24高一下·四川乐山·期中）已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若球的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（    ） A． B．30 C． D． 18．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．与垂直 C． D． 21．（23-24高一下·广西玉林·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 22．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 23．（23-24高一下·广东广州·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·黑龙江·期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（    ） A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数的模长为1 25．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 26．（23-24高一下·福建厦门·期中）下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 27．（23-24高一下·贵州·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．． B．． C．在复平面内对应的点位于实轴上，则． D．在复平面内的点在直线上． 28．（23-24高一下·山东·期中）设，，是复数，，则下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是（    ） A．关于x的方程的解为 B．复数的虚部是5 C．若复数z满足，则 D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则， 31．（21-22高一下·浙江宁波·期中）下列命题正确的有（    ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 32．（22-23高一下·广东·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的（    ） A．高为 B．体积为 C．表面积为 D．内切球的表面积为 33．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 三、填空题 34．（24-25高一下·四川成都·期中）在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则 . 35．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为 . 36．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 37．（21-22高一下·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 38．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ． 39．（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 40．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则 ． 41．（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 . 42．（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ． 43．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 44．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 45．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 46．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    47．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 48．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 49．（23-24高一下·江苏·期中）已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有 ． ①直线与所成角的正切值为    ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形  ④点到平面的距离为 50．（23-24高一下·河北·期中）已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 51．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 52．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 四、解答题 53．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围. 54．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在直角中，，M是的中点. (1)若，，求的值； (2)若点P是内一点，且，，，求的最小值. 55．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 56．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 57．（24-25高一下·湖南长沙·期中）设，，向量，，，且，． (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值． 58．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.    (1)若，用，表示，； (2)求的取值范围. 59．（23-24高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 60．（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 61．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 62．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 63．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 64．（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 65．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 66．（23-24高一下·广东广州·期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________. (1)求角C； (2)若，的面积，求的周长. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 67．（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，． (1)求和的值； (2)求的值． 68．（23-24高一下·河南漯河·期中）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”，如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，其中，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.    (1)求角； (2)求周长的最大值； (3)若的面积为，求的面积. 69．（22-23高一下·江苏扬州·期中）设为实数，若，是平面上两个不共线的向量，已知三点共线. (1)求的值； (2)若，与的夹角为，设与的夹角为，求的值 70．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 71．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 72．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 73．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 74．（23-24高一下·山东烟台·期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 75．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 76．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，在复平面上对应的点分别为，． (1)若，求的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 77．（23-24高一下·北京大兴·期中）已知复数（为虚数单位）． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求的值； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 78．（23-24高一下·天津河北·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若，求的值； (4)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 79．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围． 80．（23-24高一下·山西大同·期中）已知复数满足为纯虚数，． (1)求以及； (2)设，若，求实数的值． 81．（23-24高一下·湖北·期中）设虚数是实数，且. (1)求的值以及的实部的取值范围; (2)若，求的最小值. 82．（21-22高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 83．（21-22高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 84．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 85．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 86．（23-24高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 87．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 88．（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 89．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. (1)证明：； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 90．（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 91．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 92．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 93．（23-24高一下·河北·期中）如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 94．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 95．（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的表面积． 96．（23-24高一下·海南·期中）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为．    (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 97．（23-24高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．        (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 98．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 99．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 100．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)当实数，证明：直线与平面垂直； (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$