专题03 整式的乘除（考题猜想，14大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题03 整式的乘除（14大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 幂的混合运算（易错） · 题型二 整式的乘法运算（重点） · 题型三 与整式乘法运算有关的应用（高频） · 题型四 与整式乘法运算有关的无关/不含型问题（难点） · 题型五 与整式乘法运算有关的规律探究型问题（难点） · 题型六 整式的除法运算（重点） · 题型七 整式的混合运算（高频） · 题型八 与整式混合运算有关的应用（高频） · 题型九 用科学记数法表示数（易错） · 题型十 利用乘法公式计算（高频） · 题型十一 乘法公式与几何图形（难点） · 题型十二 配方法的应用（难点）题型十三 利用完全平方公式变形求值（高频） · 题型十四 整式的化简求值问题（高频） 题型一 幂的混合运算（易错） 1．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·陕西西安·阶段练习）计算：． 4．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 5．（2023七年级下·全国·专题练习）阅读：已知正整数显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：520　　420（填写＞、＜或＝）． (2)比较与的大小（写出具体过程）． (3)已知，求的值． 题型二 整式的乘法运算（重点） 6．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·上海长宁·期中）若，，，则 ． 8．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）计算： (1)； (2)． 9．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 10．（2022八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 与整式乘法运算有关的应用（高频） 11．（21-22八年级上·全国·课后作业）已知是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了．结果得，求的值． 12．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，．    (1)用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式） (2)用“＜”、“＞”或“=”填空：______； (3)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 13．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．      (1)请用含m和n的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简） (2)若游泳池面积和休息区域面积相等，且，求此时游泳池的长与宽的比值． 14．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)从图中可知，每块小长方形较长边的长是______（用含y的代数式表示）． (2)分别计算阴影A，B的周长（用含x，y的代数式表示），并说明阴影A与阴影B的周长差不会随着x的变化而变化． (3)当y为何值时，阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化． 题型四 与整式乘法运算有关的无关/不含型问题（难点） 15．（21-22七年级下·贵州铜仁·期中）已知的展开式中不含和项． (1)求，的值； (2)求的值． 16．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知代数式的值与x的取值无关，求a，b的值． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 题型五 与整式乘法运算有关的规律探究型问题（难点） 18．（22-23八年级上·吉林白城·期末）（1）计算观察下列各式填空： 第1个：___________； 第2个：___________； 第3个：___________； 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． （2）猜想：若n为大于1的正整数，则___________． （3）利用（2）的猜想结论计算：___________． （4）扩展与应用：___________． 19．（22-23八年级上·山西长治·期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，完成下列问题： (1)直接写出_________． (2)的展开式中a项的系数是__________． (3)利用上述规律求的值，写出过程． 20．（22-23八年级上·广东江门·期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值． ①； ②； ③；… (1)由此我们可以得到： ①______． ②______． (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；． 题型六 整式的除法运算（重点） 21．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)当，分别求M，N的值． (2)若，求的值． 22．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 题型七 整式的混合运算（高频） 23．（22-23七年级上·上海·期中）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按规定请写出的结果； (3)当a取的相反数时，请计算的值． 24．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（21-22七年级上·浙江绍兴·期中）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法规为． (1)计算：_______； (2)化简二阶行列式的值． 26．（22-23七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 当，时，原式=14……第四步 任务：(1)第一步运算用到了乘法公式___________（用字母和表示，写出一种即可）； (2)以上步骤第___________步开始出现了错误，错误的原因是___________； (3)请写出正确的解答过程． 27．（22-23七年级下·广东佛山·期中）已知，． (1)求和； (2)若变量，满足，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，求的值． 题型八 与整式混合运算有关的应用（高频） 28．（22-23七年级下·浙江金华·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．    (1)的商是_________． (2)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图），用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 29．（22-23七年级下·浙江金华·期末）在“建设美丽乡村”活动中，村委会打算在边长相同的正方形地块甲和乙上进行美化，如图所示，在甲地块内建造四个边长为的小正方形花坛（阴影部分），在乙地块建造四个直角边为，的直角三角形花坛，空白区域均铺设草坪，和分别表示地块甲、乙中花坛面积与草坪面积之比．    (1)用含，的代数式表示，． (2)若，比较，的大小． (3)若，请直接写出的值． 30．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一块边长为(3a+b)米和(a+2b)米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为(2a+b)米，宽为(a+b)米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简） (2)若，，求休息区域的面积； (3)若游泳池面积和休息区域的面积相等，且，求此时游泳池的长与宽的比值． 31．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．    (1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长． (2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和． ①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． ②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）． 题型九 用科学记数法表示数（易错） 32．（23-24八年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列数或算式的结果： (1)； (2)； (3)． 33．（22-23七年级上·北京西城·期中）请观察下列各式： ，，，一般地，的（为正整数）次幂等于（小数点后面有位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如： ； ． 像上面这样，把一个绝对值小于的数表示成的形式（其中，是正整数），使用的也是科学记数法． 请阅读上述材料，完成下列各题： (1)下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是______ A．   B．        C．        D． (2)已知米等于纳米，一微型电子元件的直径约纳米，用科学记数法可以表示成______米． 34．（23-24八年级上·全国·课后作业）科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式，可以方便地表示绝对值较大的数或较小的数.请看下面用科学记数法解决实际问题的实例．科学研究发现，与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是0.00000000000000000000000003kg． (1)用科学记数法表示此数； (2)6g水中大约有多少个水分子？ (3)通过进一步研究科学家发现：一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知氧原子的质量约为.求一个氢原子的质量． 题型十 利用乘法公式计算（高频） 35．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）运用整式乘法公式简便计算： (1)； (2)． 38．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）通过计算，探索规律： ， 可写成：， 可写成：， 可写成：：， 可写成：， …… (1)，可写成 ， ，可写成 ； (2)可以猜想任意一个个位数是的整数平方后一定可以被整除，请说明理由． 题型十一 乘法公式与几何图形（难点） 39．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算； (3)【拓展】计算：． 40．（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 题型十二 配方法的应用（难点） 41．（24-25九年级上·四川巴中·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 42．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．解决下列问题： (1)已知，，比较A与B的大小； (2)已知，，比较A与B的大小； (3)已知，，比较A与B大小． 题型十三 利用完全平方公式变形求值（高频） 43．（22-23七年级下·江西吉安·期中）已知：．求 (1)的值； (2)的值； (3)的值． 44．（22-23七年级下·浙江·期中）王明同学在学习完全平方公式时，发现这四个代数式之间有联系，于是他在研究后提出以下问题： (1)已知求的值 (2)已知，求的值． (3)如图，在长方形中，，，正方形，正方形和正方形都在它的内部，且．记，．若，求长方形的面积．请你解决以上问题    45．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ， 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)若，，，求出的值 (2)已知：，，，求代数式的值． (3)若，求． 题型十四 整式的化简求值问题（高频） 46．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 47．（23-24七年级下·浙江·期中）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方： ． (2)先化简，再求值：，其中、满足． 48．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：．其中，． 49．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）张老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论：    根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值． $$专题03 整式的乘除（14大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 幂的混合运算（易错） · 题型二 整式的乘法运算（重点） · 题型三 与整式乘法运算有关的应用（高频） · 题型四 与整式乘法运算有关的无关/不含型问题（难点） · 题型五 与整式乘法运算有关的规律探究型问题（难点） · 题型六 整式的除法运算（重点） · 题型七 整式的混合运算（高频） · 题型八 与整式混合运算有关的应用（高频） · 题型九 用科学记数法表示数（易错） · 题型十 利用乘法公式计算（高频） · 题型十一 乘法公式与几何图形（难点） · 题型十二 配方法的应用（难点） · 题型十三 利用完全平方公式变形求值（高频） · 题型十四 整式的化简求值问题（高频） 题型一 幂的混合运算（易错） 1．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法则，合并同类项法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不是同类项，不能合并，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘除，合并同类项．解题的关键是熟练掌握相关运算法则，正确的计算． 2．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除法则是解题的关键． 3．（21-22七年级下·陕西西安·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了同底数乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键． 4．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义进行计算，得出，将已知式子的值代入进行计算即可求解； （3）根据新定义，列出方程，根据同底数幂的以及幂的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：当，，时， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了幂的乘法与同底数幂的乘法，理解新定义，掌握幂的乘法与同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 5．（2023七年级下·全国·专题练习）阅读：已知正整数显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：520　　420（填写＞、＜或＝）． (2)比较与的大小（写出具体过程）． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)603979776 【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，即可进行解答； （2）将根据幂的乘方的逆运算，将与转化为同指数的幂，再比较大小即可； （3）根据同底数幂乘法的逆运算，将转化为，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有和的形式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2） （3） ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则． 题型二 整式的乘法运算（重点） 6．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意，这个多项式是 故选D 【点睛】本题考查了整式加减乘除混合运算，根据题意列出式子是解题的关键． 7．（22-23七年级上·上海长宁·期中）若，，，则 ． 【答案】 【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 8．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的运算性质和单项式乘以多项式展开化简即可； （2）根据多项式乘以多项式化简即可； 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，掌握相关法则和公式是解题的关键． 9．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 【答案】-，－20 【分析】根据对进行化简后，将x、y的数值代入即可得出答案． 【详解】解： = = =- 当x=2，y=1时， 原式=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算的法则是解题的关键． 10．（2022八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可； （3）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可； （4）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则． 题型三 与整式乘法运算有关的应用（高频） 11．（21-22八年级上·全国·课后作业）已知是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了．结果得，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，单项式乘以多项式，根据乘除法互为逆运算可得，据此求出B，再根据整式的加减计算法则求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 12．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，．    (1)用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式） (2)用“＜”、“＞”或“=”填空：______； (3)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)是， 【分析】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可； （2）利用求差法可比较两个式子大小； （3）先求出正方形的边长，得到大正方形面积，再结合（1）列出相应的式子，进行运算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）∵， ∴ 故答案为：； （3）解：大正方形的边长为：， 大正方形面积为：， ， ． 答：与的差为定值，值为10． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，长方形和正方形的面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．      (1)请用含m和n的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简） (2)若游泳池面积和休息区域面积相等，且，求此时游泳池的长与宽的比值． 【答案】(1)休息区域的面积是：平方米 (2)此时游泳池的长与宽的比值是 【分析】（1）利用长方形土地的面积减去泳池的面积即可得解； （2）根据泳池的面积等于休息区域的面积，得到m,n的关系式，即可得解． 【详解】（1）由题意可得，休息区域的面积是： ， 即休息区域的面积是：平方米； （2）由题意可得，， ， 整理得，， ∵， ∴， ∴． 即此时游泳池的长与宽的比值是． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键． 14．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)从图中可知，每块小长方形较长边的长是______（用含y的代数式表示）． (2)分别计算阴影A，B的周长（用含x，y的代数式表示），并说明阴影A与阴影B的周长差不会随着x的变化而变化． (3)当y为何值时，阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化． 【答案】(1) (2)阴影的周长为，阴影的周长为，见解析 (3)当的值为时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化 【分析】（1）利用大长方形的长减去形状、大小完全相同的小长方形的宽的3倍即可得； （2）先分别求出阴影的长与宽，再根据长方形的周长公式计算即可得的周长，然后根据整式的加减法法则计算即可得； （3）先分别求出阴影的面积，再根据结果中的含的项的系数等于0求解即可得． 【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是， 故答案为：． （2）解：由图可知，阴影的长为，宽为， 阴影的长为，宽为， 则阴影的周长为， 阴影的周长为， 所以阴影与阴影的周长差为 ， 所以阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化． （3）解：阴影的面积为， 阴影的面积为， 则阴影与阴影的面积差为 ， 要使阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化， 则， 解得， 所以当的值为时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化． 【点睛】本题考查了列代数式、整式加减法与乘法的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 题型四 与整式乘法运算有关的无关/不含型问题（难点） 15．（21-22七年级下·贵州铜仁·期中）已知的展开式中不含和项． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先按照多项式乘以多项式的计算法则，将括号展开，结合题意，让和的系数为0即可， （2）将m和n的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：原式= = ∵展开式中不含和项， ∴；，解得：，； （2）当，时：（3mn）（m+2n）=（32）×（1+4）=15． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．多项式乘以多项式，把前面一个多项式的每一项分别乘以后面一个多项式的每一项，所得的结果相加． 16．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知代数式的值与x的取值无关，求a，b的值． 【答案】 【分析】原式，由此代数式的值与x的取值无关，可得，，计算求解即可． 【详解】解：原式． ∵此代数式的值与x的取值无关， ∴，， 解得． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③； ④___________．（填最终化简结果） 规律总结：（2）___________．（填最终化简结果） 应用规律：（3）①若，求的值； ②若的结果不含的项，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了多项式的乘法运算，注意计算的准确性即可； （1）根据多项式的乘法运算法则即可求解； （2）根据多项式的乘法运算法则即可求解； （3）①计算即可求解；②计算即可求解； 【详解】解： （1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3）① ， ． ② 由 （2）的规律知： ， 的结果不含 的项， ， ． 题型五 与整式乘法运算有关的规律探究型问题（难点） 18．（22-23八年级上·吉林白城·期末）（1）计算观察下列各式填空： 第1个：___________； 第2个：___________； 第3个：___________； 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． （2）猜想：若n为大于1的正整数，则___________． （3）利用（2）的猜想结论计算：___________． （4）扩展与应用：___________． 【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算即可得； （2）利用（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，即可得； （3）将原式变为，即可得； （4）将原式变形为，在根据所得规律进行计算即可得． 【详解】解：（1）第1个：； 第2个：； 第3个：； 故答案为：；；； （2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差， 若n为大于1的正整数，则， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式，根据等式发现规律． 19．（22-23八年级上·山西长治·期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，完成下列问题： (1)直接写出_________． (2)的展开式中a项的系数是__________． (3)利用上述规律求的值，写出过程． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，即可得出结论； （2）根据，即可得出结论； （3）根据，利用（1）中等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴a项的系数是； 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是根据已知等式的特点，抽象概括出相应的数字规律． 20．（22-23八年级上·广东江门·期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值． ①； ②； ③； … (1)由此我们可以得到： ①______． ②______． (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）由所给等式可归纳出，由此可解； （2）将所求代数式变形为，利用总结出来的规律即可求解． 【详解】（1）解：①由所给等式可知， 因此； 故答案为：； ②由题意可知， 因此； 故答案为：； （2）解： ， ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是根据已知等式总结出规律． 题型六 整式的除法运算（重点） 21．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)当，分别求M，N的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)M的值是，N的值是36； (2)． 【分析】（1）直接将a、b值代入，利用有理数的混合运算法则即可求得M，N值； （2）由，计算得到，化简得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， 即M的值是，N的值是36； （2）解：∵，， ∴， 整理得， ∴． 【点睛】本题考查代数式的求值、有理数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握求代数式的值的方法，第（2）中能用整体代入法是解答的关键． 22．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】利用多项式除以单项式运算法则分别进行解答即可，多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【点睛】本题考查多项式除以单项式运算，多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加，掌握以上运算法则是解题关键． 题型七 整式的混合运算（高频） 23．（22-23七年级上·上海·期中）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按规定请写出的结果； (3)当a取的相反数时，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3)264 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可； （3）将代入（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：的相反数是2， 当时， ． 【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键． 24．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据完全平方公式和乘法分配律计算即可求解； （）根据积的乘方、同底数幂的乘法及单项式除以单项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式和平方差公式计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 25．（21-22七年级上·浙江绍兴·期中）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法规为． (1)计算：_______； (2)化简二阶行列式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，整式的混合运算，平方差公式的应用，熟记各自的运算法则是解本题的关键； （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列式为，再利用平方差公式，单项式乘以多项式先计算乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题中的新定义．可得： ． 26．（22-23七年级下·山西晋中·期中）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 当，时，原式=14……第四步 任务： (1)第一步运算用到了乘法公式___________（用字母和表示，写出一种即可）； (2)以上步骤第___________步开始出现了错误，错误的原因是___________； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)或 (2)一 (3)， 【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式即可得出答案； （2）根据去括号法则可知第一步出现了错误； （3）根据整式的混合运算顺序解答即可． 【详解】（1）解：第一步运算用到了乘法公式或； （2）解：以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； （3）解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，平方差公式和完全平方公式． 27．（22-23七年级下·广东佛山·期中）已知，． (1)求和； (2)若变量，满足，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)8 【分析】（1）先根据完全平方公式计算，再合并可求出A，先计算除法，再合并，可求出B，即可； （2）把（1）中结果代入，即可求解； （3）根据幂的乘方和同底数幂相乘计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方和同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 题型八 与整式混合运算有关的应用（高频） 28．（22-23七年级下·浙江金华·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．    (1)的商是_________． (2)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图），用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中竖式求解； （2）根据题意列出方程求解； （3）根据题意列出代数式并化简． 【详解】（1）解：由题中竖式得：， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：； （3）由题意得： ． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握新运算的意义是解题的关键． 29．（22-23七年级下·浙江金华·期末）在“建设美丽乡村”活动中，村委会打算在边长相同的正方形地块甲和乙上进行美化，如图所示，在甲地块内建造四个边长为的小正方形花坛（阴影部分），在乙地块建造四个直角边为，的直角三角形花坛，空白区域均铺设草坪，和分别表示地块甲、乙中花坛面积与草坪面积之比．    (1)用含，的代数式表示，． (2)若，比较，的大小． (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过图形可得正方形地块的边长为，分别求出地块甲，乙的花坛面积和草坪的面积，分别计算即可； （2）将代入，，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：通过地块乙可得正方形地块的边长为， 对于地块甲：花坛面积为，草坪的面积为， 则； 对于地块乙：花坛面积为，草坪的面积为， 则； （2）解：当时， 则， ， ∴ （3）解：当，则， 即， 整理得： 即 解得：（舍去）或， ∴， 则． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一块边长为(3a+b)米和(a+2b)米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为(2a+b)米，宽为(a+b)米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简） (2)若，，求休息区域的面积； (3)若游泳池面积和休息区域的面积相等，且，求此时游泳池的长与宽的比值． 【答案】(1)平方米； (2)休息区域的面积是325平方米； (3)此时游泳池的长与宽的比值是． 【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积=长方形土地的面积-游泳池的面积，将数值代入计算即可； （2）将a=5，b=10代入（1）中化简后的式子计算即可； （3）根据游泳池面积和休息区域面积相等列出方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 休息区域的面积是：， 即休息区域的面积是：平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 即若，，则休息区域的面积是325平方米； （3）解：由题意可得，， ， 整理得，， ∵， ∴， ∴，即此时游泳池的长与宽的比值是． 【点睛】本题考查整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则． 31．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．    (1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长． (2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和． ①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． ②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）． 【答案】(1)小长方形的相邻两边长是， (2)①个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；② 【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出方程组并计算可求小长方形的相邻两边长； （2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；②根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：设小长方形的相邻两边长分别为和， 依题意，可有， 解得， 故小长方形的相邻两边长分别是10，25； （2）①∵1个小长方形的周长为， 个大长方形的周长为， ∴． 故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值； 依题意有：， 整理，得． 故和满足的关系式为． 【点睛】本题主要考查了列代数式与二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握相关基本知识，属于中考常考题型． 题型九 用科学记数法表示数（易错） 32．（23-24八年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列数或算式的结果： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于的数，负整数指数幂的运算等知识． （1）用科学记数法表示绝对值小于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答； （2）用科学记数法表示绝对值小于的数，一般形式为，其中，n为整数位数减，据此即可解答； （3）先根据积的乘方和幂的乘方化为，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 33．（22-23七年级上·北京西城·期中）请观察下列各式： ，，，一般地，的（为正整数）次幂等于（小数点后面有位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如： ； ． 像上面这样，把一个绝对值小于的数表示成的形式（其中，是正整数），使用的也是科学记数法． 请阅读上述材料，完成下列各题： (1)下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是______ A．   B．        C．        D． (2)已知米等于纳米，一微型电子元件的直径约纳米，用科学记数法可以表示成______米． 【答案】(1)B (2) 【分析】（1）科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数； （2）根据1米等于纳米，用即可． 【详解】（1）解：正确使用科学记数法表示的数是， 故答案为：B； （2）解：米米， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 34．（23-24八年级上·全国·课后作业）科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式，可以方便地表示绝对值较大的数或较小的数.请看下面用科学记数法解决实际问题的实例．科学研究发现，与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是0.00000000000000000000000003kg． (1)用科学记数法表示此数； (2)6g水中大约有多少个水分子？ (3)通过进一步研究科学家发现：一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知氧原子的质量约为.求一个氢原子的质量． 【答案】(1)； (2)个； (3)kg 【分析】（1）根据科学记数法的表示方法解答即可； （2），再除以（1）题的结果求解即可； （3）用一个水分子的质量减去一个氧原子的质量，再除以2即可求解． 【详解】（1） （2）因为， 所以水中大约有水分子：（个） （3）一个氢原子的质量为：． 【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，涉及科学记数法、负整数指数幂的运算等知识，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是关键． 题型十 利用乘法公式计算（高频） 35．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法计算问题，掌握多项式乘法公式，会巧妙利用乘法公式计算解决问题是关键． （1）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （2）用平方差公式与两数差完全平方公式展开，去括号合并同类项即可； （3）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （4）用完全平方公式展开，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式的应用，即，其中和可以是数、字母或代数式． （1）运用平方差公式计算即可； （2）运用平方差公式计算即可； （3）运用平方差公式计算即可； （4）运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）运用整式乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)810000； (2)400． 【分析】本题主要考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键． （1）将转化为，再利用平方差公式计算即可； （2）将转化为，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）通过计算，探索规律： ， 可写成：， 可写成：， 可写成：：， 可写成：， …… (1)，可写成 ， ，可写成 ； (2)可以猜想任意一个个位数是的整数平方后一定可以被整除，请说明理由． 【答案】(1)； (2)理由见解析 【分析】本题考查了数字变化的规律，完全平方公式，根据已知数据得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知数据得出变化规律即可； （2）任意一个个位数是5的整数都可以写成，再利用完全平方公式分析即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，可写成； 可写成； 故答案为：；； （2）解：任意一个个位数是5的整数都可以写成，即， ∵为奇数， ∴为的倍数， ∴能被整除， ∴任意一个个位数是的整数平方后一定可以被整除． 题型十一 乘法公式与几何图形（难点） 39．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①③ (2)1 (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的运用，有理数的混合运算，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式将原式化为计算即可． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有，因此图①可以验证平方差公式； 图②中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，不可验证平方差公式； 图③中，左侧阴影部分的面积为，右侧阴影部分是2个梯形面积，即， ∴，可验证平方差公式； 图④中，左侧阴影部分的面积，右侧阴影部分的面积为，无法验证平方差公式； 故答案为：①③ （2） ； （3） ． 40．（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【答案】(1)D (2) (3)①；②29 (4)见解析 (5)①；②35 (6) 【分析】（1）体现的数学思想是数形结合； （2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论； ②利用①中的等式直接代入求得答案即可； （4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将展开即可； （5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式． 【详解】（1）解：这体现的数学思想是数形结合； 故选：D； （2）解：由题意得阴影部分的面积． 故答案为：； （3）解：①∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为， ∴由面积相等可得：； 故答案为：； ②由①可知， ∵，， ∴， 故答案为：29； （4）解：面积为的长方形如图所示： ∴； （5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积， 得到的等式为； ②∵，， ∴ ． 故答案为：；35； （6）解：左边体积大正方体的体积小长方体的体积； 右边体积长方体的体积； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方式的几何背景，掌握完全平方公式的几个特征是正确判断的前提，用代数式表示图形的面积、体积是解决问题的关键．注意应用数形结合思想． 题型十二 配方法的应用（难点） 41．（24-25九年级上·四川巴中·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用； （1）依据题意，根据完全平方公式求解； （2）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可； （3）求出，即可比较大小． 【详解】（1）解：， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴当时，有最小值． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴，即． 42．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．解决下列问题： (1)已知，，比较A与B的大小； (2)已知，，比较A与B的大小； (3)已知，，比较A与B大小． 【答案】(1) (2)当时，此时；当时，此时；当时，此时 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握基本运算是解题关键； （1）根据作差法列出式子直接进行计算即可； （2）根据作差法列出式子直接进行计算即可； （3）根据作差法列出式子直接进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴ （2）解：， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时； （3）解：， ∵， ∴， ∴ 题型十三 利用完全平方公式变形求值（高频） 43．（22-23七年级下·江西吉安·期中）已知：．求 (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据完全平方公式变形，得出，结合已知条件，即可求解； （2）根据完全平方公式变形，得出，即可求解； （3）根据完全平方公式变形，得出 ，代入数据即可求解． 【详解】（1）解： 即 又 （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 44．（22-23七年级下·浙江·期中）王明同学在学习完全平方公式时，发现这四个代数式之间有联系，于是他在研究后提出以下问题： (1)已知求的值 (2)已知，求的值． (3)如图，在长方形中，，，正方形，正方形和正方形都在它的内部，且．记，．若，求长方形的面积．请你解决以上问题    【答案】(1)21 (2) (3) 【分析】（1）把代入，再计算即可； （2）由，求解，再利用平方根的含义可得答案； （3）由图形性质可得， ，结合，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）∵，，，． ∴， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 答：长方形的面积为． 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方根的含义解方程，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键． 45．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ， 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)若，，，求出的值 (2)已知：，，，求代数式的值． (3)若，求． 【答案】(1)3 (2)3 (3)6 【分析】（1）根据完全平方公式将变形，代入求解即可得到答案； （2）根据完全平方公式将变形，代入求解即可得到答案； （3）将左边配方，结合完全平方的非负性求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 当，，时， 原式 ； （2）解：由题意可得， ， 当，，时， 原式 ； （3）解：由题意可得， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查根据完全平方公式化简求值及完全平方非负性的运用，解题的关键是熟练掌握及非负式子和为0它们分别等于0． 题型十四 整式的化简求值问题（高频） 46．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 47．（23-24七年级下·浙江·期中）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方： ． (2)先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法计算即可； （2）根据平方差公式、多项式除以单项式的运算法则、合并同类项把原式化简，利用配方法、偶次方的非负性分别求出、，代入计算即可． 本题考查的是整式的混合运算化简求值、配方法的应用，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， ， 则， ， ，， ，， 则原式． 48．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，整式的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 49．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）张老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论：    根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值． 【答案】小红的说法正确；； 【分析】根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解：小红的说法正确； ， 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． $$