八年级数学下学期期中模拟试卷03（范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

2024-2025学年人教版八年级数学下学期期中模拟试卷03 满分：120分 测试范围： 二次根式、勾股定理、平行四边形 一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为（　　） A．17 B．16 C．13 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长为12和5， ∴该三角形的斜边长为， 故选：C． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．在直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了两点间距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选：B． 4．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先化简二次根式，然后同类二次根式的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故不符合题意； B、，与是同类二次根式，故符合题意； C、与不是同类二次根式，故不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故不符合题意； 故选：B． 5．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 6．观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 根据条件所给的例子，将二次根式分母有理化即可． 【详解】解：． 故选：D． 7．如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点．分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，    ∵在矩形中，，，， ∴， 由折叠性质可得：，，，则点在上， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴，则， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴，则， 综上，或1， 故选．C． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，作轴于H，连接．证明，得出，即，推出点在的角平分线所在直线上运动，作，则是等腰直角三角形，由正方形的性质可得，求出，即可得解． 【详解】解：如图，作轴于H，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线所在直线上运动， 作于M，则是等腰直角三角形， ∵正方形，， ∴， ∴，即的最小值为， 故选：B． 9．如图，在中，，，．以和为边向的外侧作等边和等边，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点C作于F，先求出的长，再由等边三角形的性质得到的长，进而求出的长，再证明D、C、F三点共线，可求出，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于F， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴D、C、F三点共线， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接，，有下列结论：①．②．③．④的最小值为3，其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②延长，交于M，交于点H，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点E为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为． 【详解】解：①连接，交于点O，如图， ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②延长，交于M，交于点， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴．故②正确； ③由②知：． 即：．故③正确； ④∵点E为上一动点， ∴根据垂线段最短，当时，最小． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴的最小值为，故④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，关键是根据二次根式有意义的条件求出x的值．根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求出x的值，再根据根据x的值求出y的值，即可代入求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 13．如图，平行四边形中，P是四边形内任意一点，，，，的面积分别为，，，，则 (填“>”、“<”、“=”) 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题意得出为平行四边形面积的一半，也为平行四边形面积的一半，即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴为平行四边形面积的一半，也为平行四边形面积的一半， ∴， 故答案为：． 14．如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是 ． 【答案】厘米 【分析】本题考查了平面展开，最短路径问题，将图形展开和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为， 则弧， 又因为， 所以， 故答案为：厘米． 15．观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） （填“”、“”或“”）； （2）填空： ． 【答案】 2025 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化及平方差公式： （1）根据题意得，即可比较； （2）根据题意将原式变形为，再利用平方差公式计算即可 【详解】解：（1）根据题意：， ∵， ∴， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：① ②③是的中点④；其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由“”可证，由“”可证，由全等三角形的性质和矩形的性质依次判断可求解． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故①正确， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ，， ， ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 点是的中点，故③正确； ，， ， ，所以④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算，然后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 18．如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理的应用，连接，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理的逆定理判断，计算即可 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴是等边三角形，    ∴，，   在中，，， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴． ∴的度数为． 19．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，，得出，证明，得出，求出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 20．如图，在正方形中，E为的中点，F是上一点，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）设，则，，，由勾股定理得出，，，再由勾股定理逆定理判断即可得证； （2）过点E作于G，由等面积法得出，求出点在的角平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：过点E作于G， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点在的角平分线上， ∴． 21．已知满足． (1)求的值； (2)以为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、非负数的性质． （1）根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性列出方程，解方程求出x、y、z； （2）根据三角形的三边关系判断，再根据周长公式计算即可． 【详解】（1）解：解：∵， ∴，，， 解得：，，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴以为边能构成三角形， 三角形的周长为：． 22．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形． (1)如图1，在四边形中，，，问四边形垂直四边形吗？请说明理由； (2)如图2，四边形是垂直四边形，求证：； (3)如图3，中，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 【答案】(1)四边形是垂直四边形，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意得出直线是线段的垂直平分线，再结合垂直四边形的定义判断即可得解； （2）设、交于点E，由勾股定理得出，，即可得证； （3）连接、，由正方形的性质可得，，，，，证明，得出，证明四边形是垂直四边形，由（2）得，，求出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：四边形是垂直四边形；理由如下： ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂直四边形； （2）证明：设、交于点E，如图2所示： ∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴； （3）解：连接、，如图3所示： ∵正方形和正方形， ∴，，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是垂直四边形，由（2）得，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23．【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 (1)已知，为整数，求的值； (2)已知，和均为整数，求的值； 【拓展延伸】 (3)化简：． 【答案】(1)1 (2) (3)1 【分析】本题考查了完全平方公式的运用及二次根式的混合运算，能根据完全平方公式展开是解此题的关键． （1）将右边根据完全平方公式展开合并后与左边进行比较，可得的值； （2）将右边根据完全平方公式展开合并后与左边进行比较，进行比较可得、的值，最后进行计算即可； （3）将化为完全平方式，然后再开方，最后进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：， ，， ； （3）解：． 24．已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证： (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，利用即可证明，从而证得，据此即可证得结论； （2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到； （3）过点作，过点作，勾股定理求出的长，三线合一求出的长，进而求出的长，根据全等三角形的性质，求出的长，证明为等腰三角形，求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 则在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）； 理由：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）过点作，过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下学期期中模拟试卷03 满分：120分 测试范围： 二次根式、勾股定理、平行四边形 一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为（　　） A．17 B．16 C．13 D．20 2．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．在直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D．2 4．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 5．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 6．观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 7．如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 8．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 9．如图，在中，，，．以和为边向的外侧作等边和等边，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接，，有下列结论：①．②．③．④的最小值为3，其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算的结果是 ． 12．已知，则的值为 ． 13．如图，平行四边形中，P是四边形内任意一点，，，，的面积分别为，，，，则 (填“>”、“<”、“=”) 14．如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是 ． 15．观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） （填“”、“”或“”）； （2）填空： ． 16．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：① ②③是的中点④；其中正确的是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．如图，在四边形中，，，，．求的度数． 19．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点．求证：． 20．如图，在正方形中，E为的中点，F是上一点，且，求证： (1)； (2)． 21．已知满足． (1)求的值； (2)以为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 22．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形． (1)如图1，在四边形中，，，问四边形垂直四边形吗？请说明理由； (2)如图2，四边形是垂直四边形，求证：； (3)如图3，中，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 23．【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 (1)已知，为整数，求的值； (2)已知，和均为整数，求的值； 【拓展延伸】 (3)化简：． 24．已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证： (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$