5.4数列的应用（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.4数列的应用 题型一 分期付款问题 1．（2025高二·全国·专题练习）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（ ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】D 【分析】A选项，设第个月贷款利息为，偿还本金为，得到数列是以为公比的递增等比数列，利用等比数列求和公式得到，求出每月还款的本息和；B选项，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，B正确；C选项，利息和为；D选项，等额本息低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响，不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案. 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大， 还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额， 高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益， 故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：D. 2．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合放缩即可得解. 【详解】， 由，故， ， 由， 故，即有. 故选：D. 4．（24-25高二·全国·课堂例题）“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，设贷款时的资金元为现值，且每一期所还钱数为x元，则： 第1期所还钱的现值为元； 第2期所还钱的现值为元； …… 第m期所还钱的现值为 元. 因为最后还款的现值总和应为元，所以. 又因为，所以由等比数列前n项求和公式可解得 . 【答案】 【分析】根据“等额本息还款法”可知第m期所还钱的现值；根据等比数列前n项求和公式即可化简求解. 【详解】根据“等额本息还款法”可知第m期所还钱的现值为. 故答题空1的答案为：. 由等比数列前n项求和公式可得， . 故答题空2的答案为：. 5．（22-23高二·全国·随堂练习）小杨年向银行贷款万元用于购房，银行住房贷款的年利率为，并按复利计息若双方协议自年元月起生效，每年年底还银行相同金额的贷款，到年年底全部还清（即用年时间等额还款）．则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元？（精确到元） 【答案】元 【分析】以每年年底还款后的本利欠款数构造数列，令求解即可. 【详解】设小杨每年年底还银行贷款的金额为元，第年年底还款后的本利欠款数为， 则，      ，      ，      ， ……             ∵年后，到年年底全部还清，∴， ∴， ∴（元） ∴小杨每年年底还银行贷款的金额为元. 题型二 单利复利问题 1．（21-22高二上·河南新乡·期中）年月日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的号存钱至该银行卡（假设当天存钱当天到账），用于小王今后的教育开支.年月日小王父母往卡上存入元，以后每月存的钱数比上个月多元，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到元的时间为（    ） A．年月日 B．年月日 C．年月日 D．年月日 【答案】C 【分析】由题意分析每月所存钱数依次成首项为，公差为的等差数列，求出其前项和列不等式即可解得. 【详解】由题可知，小王父母从年月开始，每月所存钱数依次成首项为，公差为的等差数列，其前项和为.令，即.因为，，所以第个月的号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到元，即年月日他这张银行卡账上存钱总额首次达到元. 故选：C 2．（21-22高三上·吉林·阶段练习）2015年7月31日，国际奥委会正式确定2022年冬奥会的举办权为北京——张家口.小明为了去现场观看2022年的冬奥会，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某银行存入元的一年期定期存款，若该银行的年利率为，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.那么到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回 元. （参考数据：，，） 【答案】 【分析】根据等比数列的求和公式计算可求得答案. 【详解】解：由题意可知，可取出钱的总数为： ， 故答案为：6560. 3．（2023高三·全国·专题练习）某人向银行贷款10万元用于买房． (1)如果他向A银行贷款，年利率为，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问：每年应还多少元？（精确到1元） (2)如果他向B银行贷款，年利率为，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（精确到1元） 【答案】(1)12245元 (2)12330元 【分析】（1）根据不复利的条件，设每年还款元，列出等式，即可求得结果； （2）根据复利的条件，设每年还款元，列出等式，即可求得结果. 【详解】（1）设每年还款元，依题意得 ， 解得（元）， 当年利率为，按单利计算，每年应归还12445元． （2）设每年还款元，依题意得 ， 解得（元）， 当年利率为，按复利计算时，每年还款12330元． 4．（21-22高二下·辽宁大连·阶段练习）汪先生家要购买一套商品房，计划使用公积金贷款10万元. (1)贷款按月等额本息还款，分十二年还清，已知12年期公积金贷款月利率4.455(‰)，问：汪先生家每月应还款多少元?（小数点后保留两位有效数字） (2)贷款若按月等额本金还款，月利率为r，问：汪先生家最后一期应还款多少元?（不需计算结果，只列出计算公式即可） (参考数据：1.0044551441.9，1.0050251442.1，1.0050251802.5) 【答案】(1)汪先生家每月还款940.5元 (2)元 【分析】（1）求出第n月末欠款数为， 从而得到，代入求出结果；（2）求出每月还本金数，再表达出第n期还款总额为，代入，计算出结果. 【详解】（1）设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月 第1月末欠款数为A(1＋r)－a 第2月末欠款数为[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a 第3月末欠款数为[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a …… 第n月末欠款数为 令， 解得： 对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰ （元） 由此可知，汪先生家每月还款940.5元 （2）月利率为r，，设每月还本金数为m元，则m=，第n期还款总额为 则， 所以最后一期还款额为： 由此可知，汪先生家最后一次还款元 5．（2024高二下·全国·专题练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算应大于使用单利计算所得的本利和．( ) （2）某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为，，则这两年的平均增长率是－1.( ) 【答案】 正确 正确 【分析】（1）根据复利与单利计算公式判断即可； （2）设两年生产总值的年平均增长率为，可得，解出即可． 【详解】（1）设本金为，存期，月利率为，复利计算本利和为，单利计算本利和为， 则，， 因为，故此说法正确； （2）设企业这两年生产总值的年平均增长率为，可得， 解得，故此说法正确. 故答案为：正确；正确. 题型三 产值增长问题 1．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【分析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于递推公式为，常常通过构造等比数列的方法求得通项公式. 2．（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（    ） A．月份 B．月份 C．月份 D．月份 【答案】C 【分析】该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，求出的表达式，分析数列，即可得出结论. 【详解】设从今年月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长， 该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示， 则，，其中，， 则从今年月份起，各月不合格产品数量为，单位：万台， 因为 ， 当时，，即，此时，数列单调递增， 即； 当且时，，即，此时，数列单调递减， 即， 因此，当时，最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的月份. 故选：C. 3．（24-25高二上·福建福州·期末）某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约 辆. （参考数据：，，） 【答案】43000 【分析】将其转化为等比数列，运用等比数列通项知识求基本量即可求出结果 【详解】根据题意，从2024年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，则 ，公比， 所以， 则2032年全年约生产新能源汽车为（辆）， 故2032年全年生产新能源汽车约43000辆. 故答案为：43000. 4．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 【答案】(1)； (2)第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解 【分析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求； （2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可. 【详解】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列的前n项和为， 则， 当时，则， 且不满足上式，则； 又因为当时，， 则 ， 且满足上式，所以. （2）因为，即时不合题意； 当时，可知， 即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购， 令，即， 显然，整理可得， 因为，则， 可知：当时，不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，不等式成立； 综上所述：当时，等式成立， 所以第2029年时，乙企业被甲企业收购. 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、． (1)写出一个递推公式来表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数． (3)求其前项和的值．（精确到，其中） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设条件可得出的值，以及数列的递推公式； （2）由及（1）中的递推公式可求出、的值，即可得出结果； （3）分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的值. 【详解】（1）解：由题意，得， 第年年初的计划存栏数是在第年年初的计划存栏数的基础上增长，再减去， 则. （2）解：将化成， 对比，可得，解得， 所以，（1）中的递推公式可表示为. （3）解：由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，则， 所以， . 题型四 浓度匹配问题 1．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药 （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用. 【答案】不会 【分析】由题意，此药服药后每经过12小时在体内的含量构成等比数列，求经过n个12小时后体内药物含量的和，取极限即可判断. 【详解】由题意第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量，经过24小时后，体内药物含量，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以为公比的等比数列，即， 所以第次服药后，体内药物的含量为： ， 当时，药在体内的含量无限接近1000，该药在人体内含量不超过1000毫克，不会产生副作用. 故答案为：不会 【点睛】本题以实际问题为载体，主要考查了等比数列数列的通项公式，等比数列的求和公式，无限逼近的思想，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档. 2．（20-21高二·全国·课后作业）已知，在一容器内装有浓度为的溶液1 kg，注入浓度为的溶液kg，搅匀后倒出混合液kg.如此反复进行下去. (1)写出第1次混合后溶液的浓度； (2)设第n次混合后溶液的浓度为，试用an表示an＋1； (3)写出{an}的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接求解即可； （2）由题意直接求解即可； （3）由（2）可证明是等比数列，结合等比数列的通项公式即可求解 【详解】（1）； （2）， 即； （3）由（2）知， 即， 所以是一个公比为的等比数列，首项为， 所以， 所以 3．（18-19高二·全国·课后作业）有纯酒精20升，倒出3升后以水补足20升，其后再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，至少反复才做多少次，方能使酒精浓度降到30%以下？ 【答案】至少反复操作8次，才能完成要求 【分析】分析连续两次后的浓度关系，可得出第次操作后，酒精浓度为等比数列，列不等式求解即可． 【详解】设操作此后，酒精浓度为， 则，， 是公比为，首项的等比数列， ， ， ， ， 至少反复操作8次，才能完成要求． 【点睛】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查将实际问题转化为数学模型的能力、考查溶液的纯质量＝溶液的质量×溶液容量，是中档题． 4．（19-20高三上·全国·阶段练习）黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000，黄河水的含沙量为，洮河水的含沙量为，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换的水量，即从洮河流入黄河的水混合后，又从黄河流入的水到洮河再混合. （1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量； （2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于?（不考虑泥沙沉淀） 【答案】（1）洮河水的含沙量为，黄河水的含沙量为.（2）第8个观测点 【分析】（1）用，分别表示河流在经过第n个观测点时，洮河水和黄河水的含沙量，则，，利用递推关系求出即可得结果；（2）由题意可知， ， 两式结合化简可得数列是以18为首项，为公比的等比数列， 求出通项公式，解不等式即可得结果. 【详解】（1）用，分别表示河流在经过第n个观测点时，洮河水和黄河水的含沙量， 则，. 由题意可知，， ， 即经过第二个观测点时，洮河水的含沙量为，黄河水的含沙量为. （2）由题意可知， ， 由于题目中问题考虑河水中含沙量之差，故可考虑数列， 由上式可知，，， 所以数列是以18为首项，为公比的等比数列， 则，令则，， 即从第8个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于. 【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 5．（2023高三·全国·专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，． (1)试用，表示，． (2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项． 【答案】(1)，． (2)证明见解析，，． 【分析】（1）根据题意，得到，，即可求解； （2）由（1）得到可得，得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，经次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为， 所以，． （2）解：由（1）知，，， 可得， 所以数列是等比数列， 因为％，所以 ①， 又因为  ②． 联立①②得，． 1．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】ABC 【分析】对于BC，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可，对于A，等额本息的还款方案分析结合等比数列的判定及求和公式计算判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断. 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：ABC. 2．（2011·安徽合肥·二模）小王每月除去所有日常开支，大约结余元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存人银行元.存期年（存次），到期取出本和息.假设一年期零存整取的月利率为，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为__________元. 【答案】/78ra 【分析】列举出每月月初存入银行的元至到期所得的本息和，再将十二次存款的利息全部相加可得出答案． 【详解】小王第一个月存入银行元，存期个月，到期后的本息和为元； 第二个月存入银行元，存期个月，到期后的本息和为元； 第十一个月存入银行元，存期个月，到期后的本息和为元； 第十二个月存入银行元，存期个月，到期后的本息和为元. 因此，小王一年所得利息为元， 故答案为：. 【点睛】本题以储蓄存款中的单利为数学模型，考查了等差数列求和公式的应用问题，考查运算求解能力，属于中等题． 3．（2023高三·全国·专题练习）某企业2021年年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣除下一年必需的消费资金后，剩余资金全部投入再生产，为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为 万元．（结果取整数，参考数据：1.24≈2.07，1.25≈2.49） 【答案】59 【分析】利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】设每年应扣除的消费资金为x万元，设年后投入的再生产资金为， 则1年后投入再生产的资金为：， 2年后投入再生产的资金，… 5年后投入再生产的资金 ， ∵ ∴，取整数为59. 故答案为：59 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：） (2)高考毕业，为了增加自己的教育储蓄，你利用暑假到一家商场勤工俭学，该商场向你提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付38元； 第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元； 第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）. 你会选择哪种方式领取报酬？ 【答案】(1)17000元 (2)答案见解析 【分析】（1）由等比数列前项和公式求解， （2）由等差数列与等比数列的前项和公式分别求解，再由作差法比较大小． 【详解】（1） ， ∴在十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为17000元. （2）设到商场勤工俭学的天数为，则第一种方案领取的报酬为； 第二种方案每天报酬与天数成首项为4，公差为4的等差数列，利用等差数列的前项和公式可得： 领取的报酬为； 第三种方案每天报酬与天数成首项为0.4，公比为2的等比数列，利用等比数列的前项和公式可得： 领取的报酬为.， 当时，；当时，；当时，. 令， 则， 当时，，此时数列单调递减，则； 当时，，此时数列单调递增，即. ∵，则，又∵，，故当时，，即， 当时，，即. 令，其中， 则， 令，则， 当时，，此时数列单调递增，则，则， ∴当时，数列单调递增，则，即， 综上所述，当时，，应选第一种方案； 当时，，应选第三种方案. 5．（2023高三·全国·专题练习）公民在就业的第一年就缴纳养老储备金，以后每年缴纳的数目均比上一年增加，历年所缴纳的储备金数目，，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第n年末，第一年所缴纳的储备金就变为，第二年所缴纳的储备金就变为，…．以表示到第n年末所累计的储备金总额，证明：，其中是一个等比数列，是一个等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】首先根据题意写出与得递推关系式，利用错位相减求和得方法，求出的表达式，即可证明出结论. 【详解】 证明：根据题意可得， ，对反复使用上述关系式，得         ①． 在①式等导两端同乘，得     ②． ②－①，得 ， 即． 如果记，， 则． 其中是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，为公差的等差数列． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4数列的应用 题型一 分期付款问题 1．（2025高二·全国·专题练习）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（ ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 2．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，设贷款时的资金元为现值，且每一期所还钱数为x元，则： 第1期所还钱的现值为元； 第2期所还钱的现值为元； …… 第m期所还钱的现值为 元. 因为最后还款的现值总和应为元，所以. 又因为，所以由等比数列前n项求和公式可解得 . 5．（22-23高二·全国·随堂练习）小杨年向银行贷款万元用于购房，银行住房贷款的年利率为，并按复利计息若双方协议自年元月起生效，每年年底还银行相同金额的贷款，到年年底全部还清（即用年时间等额还款）．则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元？（精确到元） 题型二 单利复利问题 1．（21-22高二上·河南新乡·期中）年月日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的号存钱至该银行卡（假设当天存钱当天到账），用于小王今后的教育开支.年月日小王父母往卡上存入元，以后每月存的钱数比上个月多元，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到元的时间为（    ） A．年月日 B．年月日 C．年月日 D．年月日 2．（21-22高三上·吉林·阶段练习）2015年7月31日，国际奥委会正式确定2022年冬奥会的举办权为北京——张家口.小明为了去现场观看2022年的冬奥会，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某银行存入元的一年期定期存款，若该银行的年利率为，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.那么到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回 元. （参考数据：，，） 3．（2023高三·全国·专题练习）某人向银行贷款10万元用于买房． (1)如果他向A银行贷款，年利率为，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问：每年应还多少元？（精确到1元） (2)如果他向B银行贷款，年利率为，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（精确到1元） 4．（21-22高二下·辽宁大连·阶段练习）汪先生家要购买一套商品房，计划使用公积金贷款10万元. (1)贷款按月等额本息还款，分十二年还清，已知12年期公积金贷款月利率4.455(‰)，问：汪先生家每月应还款多少元?（小数点后保留两位有效数字） (2)贷款若按月等额本金还款，月利率为r，问：汪先生家最后一期应还款多少元?（不需计算结果，只列出计算公式即可） (参考数据：1.0044551441.9，1.0050251442.1，1.0050251802.5) 5．（2024高二下·全国·专题练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算应大于使用单利计算所得的本利和．( ) （2）某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为，，则这两年的平均增长率是－1.( ) 题型三 产值增长问题 1．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ）（参考数据：） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 2．（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（    ） A．月份 B．月份 C．月份 D．月份 3．（24-25高二上·福建福州·期末）某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约 辆. （参考数据：，，） 4．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、． (1)写出一个递推公式来表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数． (3)求其前项和的值．（精确到，其中） 题型四 浓度匹配问题 1．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药 （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用. 2．（20-21高二·全国·课后作业）已知，在一容器内装有浓度为的溶液1 kg，注入浓度为的溶液kg，搅匀后倒出混合液kg.如此反复进行下去. (1)写出第1次混合后溶液的浓度； (2)设第n次混合后溶液的浓度为，试用an表示an＋1； (3)写出{an}的通项公式. 3．（18-19高二·全国·课后作业）有纯酒精20升，倒出3升后以水补足20升，其后再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，至少反复才做多少次，方能使酒精浓度降到30%以下？ 4．（19-20高三上·全国·阶段练习）黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000，黄河水的含沙量为，洮河水的含沙量为，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换的水量，即从洮河流入黄河的水混合后，又从黄河流入的水到洮河再混合. （1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量； （2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于?（不考虑泥沙沉淀） 5．（2023高三·全国·专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，． (1)试用，表示，． (2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项． 1．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 2．（2011·安徽合肥·二模）小王每月除去所有日常开支，大约结余元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存人银行元.存期年（存次），到期取出本和息.假设一年期零存整取的月利率为，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为__________元. 3．（2023高三·全国·专题练习）某企业2021年年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣除下一年必需的消费资金后，剩余资金全部投入再生产，为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为 万元．（结果取整数，参考数据：1.24≈2.07，1.25≈2.49） 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：） (2)高考毕业，为了增加自己的教育储蓄，你利用暑假到一家商场勤工俭学，该商场向你提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付38元； 第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元； 第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）. 你会选择哪种方式领取报酬？ 5．（2023高三·全国·专题练习）公民在就业的第一年就缴纳养老储备金，以后每年缴纳的数目均比上一年增加，历年所缴纳的储备金数目，，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第n年末，第一年所缴纳的储备金就变为，第二年所缴纳的储备金就变为，…．以表示到第n年末所累计的储备金总额，证明：，其中是一个等比数列，是一个等差数列． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$