3.3 正态分布（3知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

3.3 正态分布 课程标准 学习目标 (1)通过误差模型, 了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例, 借助频率直方图的几何直观, 了解正态分布的特征。 (2)了解正态分布的均值、方差及其含义。 （1）掌握正态分布概念，及其密度曲线的性质； （2）了解正态分布的数学期望与方差，并能在实际问题中应用； （3）理解原则（难点) 知识点01 正态分布的概念及其性质 1 概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 【即学即练1】 （23-24高二上·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的特点，利用函数曲线的对称性，即可求出答案。 【详解】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称， 又，且，所以. 故选：B 知识点02 正态分布的数学期望与方差 若，则 【即学即练2】 （2024·江苏扬州·模拟预测）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量，且， . 故选：A 知识点03 原则 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 【即学即练3】 （20-21高二下·全国·课后作业）一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 【答案】C 【分析】根据定义结合正态分布的概率得出结论. 【详解】依题意，所以， 所以， ，， 因为， 所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 故选：C. 【题型一：正态密度函数】 例1．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】 ， . 故选：B. 变式1-1．（22-23高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．  C．    D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 变式1-2．（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1概率密度函数为的图象称为正态曲线. 2 函数是个轴对称函数，对称轴为，值域为。 【题型二：正态曲线的性质】 例2．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 变式2-1．（24-25高二下·全国·课后作业）如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义结合已知图象得答案. 【详解】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，越小，故有． 故选：A. 变式2-2．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 变式2-3．（23-24高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 【方法技巧与总结】 1 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 是函数对称轴，是期望，影响图象的位置；是方差，影响曲线的形状： 3 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 【题型三：求指定区间的概率】 例3．（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解. 【详解】随机变量，且，， 由正态密度曲线的对称性可知，， 所以． 故选：B. 变式3-1．（24-25高二上·江西·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由，得， 故． 故选：B 变式3-2．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.46 B．0.73 C．0.23 D．0.27 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性，可得答案. 【详解】易得，由正态分布的对称性可得， 故. 故选：B. 变式3-3．（2024·广东·模拟预测）已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】根据正态分布以及二项分布的期望和方差公式即可求解AB，根据二项分布的概率公式即可求解C，根据正态分布的对称性质即可求解D. 【详解】，故AB错误； ，故C错误； 根据正态分布的对称性可得，故D正确. 故选:D. 【方法技巧与总结】 利用正态曲线的对称性求值，要注意的判断. 【题型四：正态分布的实际应用】 例4．（21-22高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 变式4-1．（24-25高三上·山东青岛·期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 变式4-2．（21-22高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 变式4-3．（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【答案】C 【分析】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 若，则 2 若实际问题中随机变量，则反应了问题中数据平均值，反应问题数据的稳定性. 【题型五：原则】 例5．1（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【详解】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 例5．2 （23-24高二下·山西临汾·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 【答案】(1)；0.1359 (2)①；②；③1 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②借助条件概率公式计算即可得；③借助二项分布期望公式计算即可得. 【详解】（1）， 因为，所以， 则 ； （2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为1. 变式5-1．（23-24高二下·四川乐山·期末）某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（   ）名． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得到，利用正态分布的对称性得出，即可求解. 【详解】由题知，，所以， 得到，所以，得到学生甲的名次大致是， 故选：D. 变式5-2．（21-22高二下·重庆长寿·期末）李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（    ） A．甲班的平均分比乙班的平均分高 B．相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散 C．甲班108分以上的人数约占该班总人数的 D．乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等 【答案】D 【分析】根据两个班数学成绩的正态曲线图，易于判断A,B两项；对于C和D，需要根据图中两个班数学成绩的期望和最大值分别求出和，再结合曲线图的对称性和三段区间的概率值计算对应的概率值，比较后研判即得. 【详解】对于A，由图知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A错误； 对于B，因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即，表示甲班的数学成绩更集中，故B错误； 对于C，甲班的最大值为，则，则,故C错误； 对于D，乙班的最大值为，则，则， 又这两个班的人数相等，则乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等，故D正确. 故选：D. 变式5-3．（2024·上海·三模）某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 【答案】(1)0.8186 (2)①分布列见解析，；②选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好，理由见解析 【分析】（1）先求出7个地方的人均得分，进而，利用原则和正态曲线的性质计算即可求解； （2）①可能的取值为元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；②由①知，即可下结论. 【详解】（1）样本中各地的人均得分分别为 ， 所以7个地方的平均分为， 即，所以. ， ， 所以； （2）①：由题意，得出的话费可能的取值为元， 得50元的情况为低于平均值，概率为； 得100元的情况为有1次机会获得100或2次机会获得50元， 概率为； 得150元的情况为有1次机会获得100和1次机会获得50元， 概率为； 得200元的情况为有2次机会都获得100元，概率为， 所以的分布列为： 50 100 150 200 故； ②：由①知， 所以小李应选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好. 变式5-4．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）根据正态分布的区间的概率，以及对称性，即可求解； （2）首先分析得是等比数列，再利用累加法求，由此估计获得一等奖的人数. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为； （2）每一次摸到红球和白球的概率都是， 设积分为， ， ， ， 依次类推， ， 且，，， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， ， ， 则人， 所以估计获得一等奖的顾客人数为200人. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断数列是等比数列，从而利用累加法求和. 【方法技巧与总结】 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 一、单选题 1．（2022高三·江苏·专题练习）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．> B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布曲线的性质，判断各分布曲线上的μ、σ的大小关系即可. 【详解】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边， ∴μ1＜μ2＝μ3，故B、C错误； 又σ越小数据越集中，图象越瘦长， ∴σ1＝σ2＜σ3，故A错误，D正确． 故选：D． 2.（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知随机变量，，则（   ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像的对称轴为，由，可得，进而求得. 【详解】随机变量， 正态曲线关于对称， ， ， 故选：B. 3.（2025高三·全国·专题练习）“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在之间的个数记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性判断A；二项分布的期望求法判断B；利用变量之间关系求期望判断C；利用二项分布的概率算法判断D； 【详解】A选项，由正态分布曲线的对称性可知，故，A错误． B选项，，故，B错误． C选项，，故，C错误． D选项，因为 ，D正确． 故选：D 4. （2025·云南大理·模拟预测）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 【答案】C 【分析】根据正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态密度曲线的对称性，数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同， 所以， 故选：C 5.（24-25高三下·广西·开学考试）关于随机变量X服从正态分布，其中，下列说法错误的是（     ） A．若随机变量X服从标准正态分布，则， B．随机变量X落在之外是一个小概率事件. C．随机变量X的分布越集中，则越小;随机变量X的分布越分散，则越大. D．若，则 【答案】D 【分析】应用正态分布性质及对称性判断各个选项即可. 【详解】根据正态分布的性质知随机变量X服从标准正态分布，则，A选项正确； 随机变量X落在之外是一个小概率事件，B选项正确； 随机变量X的分布越集中，则越小;随机变量X的分布越分散，则越大，C正确； 若，则，故 D选项错误. 故选： 6. （23-24高二下·广东深圳·阶段练习）某地区5000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（    ） A．400 B．900 C．1800 D．2500 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，再利用正态分布的对称性求出即可求解即得. 【详解】由，成绩在的学生人数约为1600，得， 因此， 所以成绩在100分以上的学生人数约为. 故选：B 7.（24-25高三上·广东·开学考试）若随机变量Z服从正态分布，则．为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差．已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用正态分布的概率性质计算即可. 【详解】依题可知，，所以， 故． 因为，所以， 所以． 故选：D. 8.（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）Logistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则（    ） A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足，则服从Logistic分布 C．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 【答案】C 【分析】根据二项分布为离散型随机变量的分布可判断A选项；利用Logistic分布的定义可判断B选项；根据Logistic分布的概率公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，满足二项分布的随机变量是离散型随机变量，A错； 对于B选项，根据Logistic分布的定义可知， 若连续随机变量满足，则不服从Logistic分布，B错； 对于C选项，若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布， 则， 所以，，， 故，C对； 对于D选项，若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布， 则，， 所以，， 因为，所以，，D错. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）甲上学有时坐公交车，有时骑自行车.他分别记录了30次坐公交车和30次骑自行车上学所花的时间，经统计数据分析得到：坐公交车上学平均用时，方差为16；骑自行车上学平均用时，方差为4.假设坐公交车上学用时和骑自行车上学用时都服从正态分布，则（    ） A． B． C．如果某天上学出发前有可用，那么甲应选择坐公交车上学 D．如果某天上学出发前有可用，那么甲应选择骑自行车上学 【答案】BC 【分析】根据和的正态分布密度曲线，可以直观的看出概率大小，即可得解. 【详解】由题意，，，如图为和的正态分布密度曲线. 由图易知，则，A错误； 由图易知，，，所以，B正确； 由图易知，，所以应该选择公交车上学，C正确； 由图易知，，所以应该选择公交车上学，D错误. 故选：BC 10．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可判定A；由得，，可判断B、D；然后由根据公式求解即可判断C. 【详解】由知正态分布曲线的对称轴为，，， 因为，所以，， 故A、D不正确，B、C正确. 故选：BC. 11．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知某校高三年级在期末考试中，1000名学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（   ）（参考数据：；；．） A．成绩在内的人数约为997 B．该校学生成绩的标准差为10 C．及格率超过 D．成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等 【答案】ABD 【分析】根据数学成绩服从正态分布，可得，利用正态分布的对称性，结合选项中结论的实际意义，即可判断各选项正误. 【详解】A： 因为1000名学生的数学成绩服从正态分布，， 所以 ， 即成绩在内的人数约人，故A正确； B：该校学生成绩的标准差为标准差 ，故B正确； C： ， ， ，因为90分为及格线，所以及格率小于，故C不正确； D：  因为成绩服从正态分布，，所以， 即 ，因为120分为优秀线，所以成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等，故D正确 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·山东临沂·一模）设随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】由正态分布的性质即可得解. 【详解】由题意，，所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高三下·江苏淮安·开学考试）某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有400人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 【答案】800 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合的概率，求出的概率，再估算成绩在之间的人数. 【详解】因为，且. 所以 . 所以成绩在108~140之间的人数约为：. 故答案为： 14．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 【答案】②③ 【分析】根据正态分布概率几何意义以及对称性，可得答案. 【详解】由题意可知，， 所以 ， 所以 ， 所以①错误，②正确． 因为，所以， 所以 ，所以，所以③正确，④错误． 综上，答案为②③． 故答案为：②③． 四、解答题 15．（24-25高三·上海·课堂例题）假设某地区高二学生的身高服从、的正态分布，即均值为170（单位：cm，下同）．在该地区任意抽取一名高二学生，求： (1)这名学生的身高不高于170的概率； (2)这名学生的身高在区间内的概率；（结果精确到0.1%） (3)这名学生的身高不高于180的概率．（结果精确到0.1%） 参考数据：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正态分布的性质求解； （2）由正态分布的性质求解； （3）由正态曲线的对称性和概率加法公式求解. 【详解】（1）设该学生的身高为，由题意可知． ； （2）； （3）由（2）以及正态曲线的对称性可知， 由概率加法公式可知： ． 16.（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为250克，且每罐岩茶的净含量（单位：克）服从正态分布. (1)求； (2)若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买7罐，求恰有3罐的净含量不大于250克的概率； (3)若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买100罐，设这100罐岩茶中净含量在内的罐数为，求的数学期望. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用正态分布求解相对应的概率即可， （2）利用二项分布求解相对应的概率即可， （3）利用二项分布的数学期望求解相对应的数学期望即可. 【详解】（1）因为服从正态分布，且， 所以， . （2）因为，所以恰有3罐的净含量不大于250克的概率为（或0.2734375）. （3）依题意可得， 所以 17.（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 18. （2023·山东潍坊·模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 【答案】(1)0.02275；证明见解析. (2)（ⅰ）分布列见解析 （ⅱ）能，. 【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果； （2）先利用导数求出，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果. 【详解】（1），又， 所以. 因为，根据正态曲线对称性，， 又因为，所以. （2）， . 令，得. 当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. 所以的最大值点，从而. （ⅰ）的可能取值为3，2，1，0. ，， ，， 所以的分布列为 3 2 1 0 （ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分， 则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分， 则可提前一轮夺得冠军，其概率为. 19. （2024·广东广州·模拟预测）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 【答案】(1)95，合适，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）96，18 (3)定为等级，定为等级，定为等级，定为等级 【分析】（1）结合比例分配的分层抽样，利用平均数公式即可求解；由样本的均值与总体均值的差异来估计总体均值的合适情况； （2）（ⅰ）结合比例分配的分层抽样，根据方差的定义，写出总样本方差，进而进行化简即可得证； （ⅱ）利用平均值公式计算，由（ⅰ）直接代入即可计算； （3）由（2）知，，进而由对称性和即可求解. 【详解】（1）总样本的均值为. 用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大， 这个样本的分布与的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差. （2）（ⅰ）证明：根据方差的定义，总样本方差为 . ∵， 同理. 因此， . （ⅱ）因为是按比例分配分层随机抽样，所以，得 男生样本的均值为，方差为， 女生样本的均值为，方差为， 记总样本的均值为，方差为， 则， 所以 又，所以. 总样本的均值为96，标准差约为18. （3）由（2）知，，所以服从正态分布， 所以，. ， 故可将定为等级，定为等级， 定为等级，定为等级. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 正态分布 课程标准 学习目标 (1)通过误差模型, 了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例, 借助频率直方图的几何直观, 了解正态分布的特征。 (2)了解正态分布的均值、方差及其含义。 （1）掌握正态分布概念，及其密度曲线的性质； （2）了解正态分布的数学期望与方差，并能在实际问题中应用； （3）理解原则（难点) 知识点01 正态分布的概念及其性质 1 概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 【即学即练1】 （23-24高二上·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 知识点02 正态分布的数学期望与方差 若，则 【即学即练2】 （2024·江苏扬州·模拟预测）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点03 原则 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 【即学即练3】 （20-21高二下·全国·课后作业）一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 【题型一：正态密度函数】 例1．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 变式1-1．（22-23高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．  C．    D．   变式1-2．（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1概率密度函数为的图象称为正态曲线. 2 函数是个轴对称函数，对称轴为，值域为。 【题型二：正态曲线的性质】 例2．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 变式2-1．（24-25高二下·全国·课后作业）如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 变式2-2．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2-3．（23-24高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【方法技巧与总结】 1 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 是函数对称轴，是期望，影响图象的位置；是方差，影响曲线的形状： 3 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 【题型三：求指定区间的概率】 例3．（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高二上·江西·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.46 B．0.73 C．0.23 D．0.27 变式3-3．（2024·广东·模拟预测）已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（    ） A． B． C．， D． 【方法技巧与总结】 利用正态曲线的对称性求值，要注意的判断. 【题型四：正态分布的实际应用】 例4．（21-22高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 变式4-1．（24-25高三上·山东青岛·期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（21-22高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 变式4-3．（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【方法技巧与总结】 1 若，则 2 若实际问题中随机变量，则反应了问题中数据平均值，反应问题数据的稳定性. 【题型五：原则】 例5．1（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 例5．2 （23-24高二下·山西临汾·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 变式5-1．（23-24高二下·四川乐山·期末）某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（   ）名． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． A． B． C． D． 变式5-2．（21-22高二下·重庆长寿·期末）李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（    ） A．甲班的平均分比乙班的平均分高 B．相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散 C．甲班108分以上的人数约占该班总人数的 D．乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等 变式5-3．（2024·上海·三模）某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 变式5-4．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【方法技巧与总结】 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 一、单选题 1．（2022高三·江苏·专题练习）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．> B． C． D． 2.（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知随机变量，，则（   ） A．a B． C． D． 3.（2025高三·全国·专题练习）“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在之间的个数记为，则（    ） A． B． C． D． 4. （2025·云南大理·模拟预测）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 5.（24-25高三下·广西·开学考试）关于随机变量X服从正态分布，其中，下列说法错误的是（     ） A．若随机变量X服从标准正态分布，则， B．随机变量X落在之外是一个小概率事件. C．随机变量X的分布越集中，则越小;随机变量X的分布越分散，则越大. D．若，则 6. （23-24高二下·广东深圳·阶段练习）某地区5000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（    ） A．400 B．900 C．1800 D．2500 7.（24-25高三上·广东·开学考试）若随机变量Z服从正态分布，则．为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差．已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 8.（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）Logistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则（    ） A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足，则服从Logistic分布 C．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 二、多选题 9．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）甲上学有时坐公交车，有时骑自行车.他分别记录了30次坐公交车和30次骑自行车上学所花的时间，经统计数据分析得到：坐公交车上学平均用时，方差为16；骑自行车上学平均用时，方差为4.假设坐公交车上学用时和骑自行车上学用时都服从正态分布，则（    ） A． B． C．如果某天上学出发前有可用，那么甲应选择坐公交车上学 D．如果某天上学出发前有可用，那么甲应选择骑自行车上学 10．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知某校高三年级在期末考试中，1000名学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（   ）（参考数据：；；．） A．成绩在内的人数约为997 B．该校学生成绩的标准差为10 C．及格率超过 D．成绩低于80的人数和优秀的人数大致相等 三、填空题 12．（2025·山东临沂·一模）设随机变量，若，则 . 13．（24-25高三下·江苏淮安·开学考试）某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有400人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 14．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 四、解答题 15．（24-25高三·上海·课堂例题）假设某地区高二学生的身高服从、的正态分布，即均值为170（单位：cm，下同）．在该地区任意抽取一名高二学生，求： (1)这名学生的身高不高于170的概率； (2)这名学生的身高在区间内的概率；（结果精确到0.1%） (3)这名学生的身高不高于180的概率．（结果精确到0.1%） 参考数据：． 16.（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为250克，且每罐岩茶的净含量（单位：克）服从正态分布. (1)求； (2)若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买7罐，求恰有3罐的净含量不大于250克的概率； (3)若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买100罐，设这100罐岩茶中净含量在内的罐数为，求的数学期望. 17.（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 18. （2023·山东潍坊·模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 19. （2024·广东广州·模拟预测）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$