3.2 离散型随机变量及其分布列（4知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

3.2 离散型随机变量及其分布列 课程标准 学习目标 (1)通过具体实例, 了解离散型随机变量的概念, 理解离散型随机变量分布列及其数字特征 (均值、方差)。 (2)通过具体实例, 了解伯努利试验, 掌握二项分布及其数字特征, 并能解决简单的实际问题。 (3)通过具体实例, 了解超几何分布及其均值, 并能解决简单的实际问题。 （1）理解离散型随机变量的概念，掌握其分布列的性质； （2）掌握常见的几种分布，并会应用； （3）掌握分布列的期望与方差，理解二项分布于超几何分布的千万与方程。（难点) 知识点01 离散型随机变量及其分布 1 随机变量 ① 概念 一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. ②分类 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. 2 分布列 ① 概念 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. ② 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 【即学即练1】 （18-19高二下·重庆·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可求的值. 【详解】由，解得， 故选：C. 知识点02 几个常用的分布 1 两点分布 如果随机变量的分布列为 则称服从两点分布，并称为成功概率. 2 二项分布 ① 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, ② 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 3 超几何分布 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 【即学即练2】 （23-24高二下·河南信阳·期末）随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布的概率公式和对立事件的概率公式即可求得. 【详解】因，则，，1，2，3. . 故选：A. 知识点03 离散型随机变量的数学期望 1 离散随机变量的均值（数学期望） 概念 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2 常见几种分布的数学期望 （1）若，则； （2）若则; （3）若则. 3 期望的性质 若，a，b 常数，则。 【即学即练3】 （22-23高二下·山东枣庄·期末）某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答. 【详解】依题意，X的可能值为，则， 因此， 所以. 故选：B 知识点04 离散型随机变量的方差 1 方差 一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 2 常见几种分布的方差 （1）若，则； （2）若则. 3 方差的性质 若，a，b 常数，则。 【即学即练4】 （24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则 ，解得， 则 . 故选：C. 【题型一：离散型随机变量及其分布】 例1．（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【详解】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 变式1-1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 变式1-2．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 变式1-3．（24-25高三上·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解. 【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列， 则，即，则. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. Eg:投掷一个骰子，得到的点数为，它是离散型随机变量，能够一一列举出来； 一人一天摄取的卡路里，它是连续型随机变量. 2 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 【题型二：求二项分布】 例2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响. (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； (2)若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用全概率公式计算求解即可； （2）先根据对立事件求概率，再结合二项分布分别求出概率及分布列进而得出数学期望即可. 【详解】（1）设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为一等品”，， 表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为二等品”，， 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”，则. 由已知， 所求的概率为. （2）依题意有：随机变量的可能取值为， 由（1）知一次抽检后，设备需要调整的概率为， 依题意知，则， 故的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 变式2-1．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布计算公式可求得结果为. 【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D 变式2-2．（23-24高二下·河南安阳·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 【答案】C 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解． 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， ． 故选：C． 变式2-3．（23-24高二下·广西·期中）已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式得到，即可求出取最大值时的值即，再计算排列数即可. 【详解】因为，则（且）， 所以， 当时，，当时，， 所以时，最大，所以， 首先将排到中间个位置中的一个位置， 再从、、、、、六个数字中选两个数字排在的左右， 其余数字全排列即可，所以符合条件的排列种数为． 故选：C． 变式2-4．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）先利用独立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果； （2）由题意知可能的取值为，然后应用二项分布求出相应的概率，从而可求出的分布列. 【详解】（1）记质点2 秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后质点在处的概率为事件B， 则，， 故所求的概率为； （2）的可能取值为：，，1， 则， ， ， 分布列如下： X 1 3 P 【方法技巧与总结】 求二项分布，先要确定分布是二项分布，每次试验中事件发生的概率为. 【题型三：求超几何分布】 例3．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列. 【答案】(1)70 (2)分布列见详解； 【分析】（1）根据题意结合分层抽样求数学组人数，进而可得结果； （2）分析可知物理组5人中男生有2人，女生有3人，的可能取值有：0，1，2，结合超几何分别求分布列. 【详解】（1）由题意可知：物理组共有50人，每人被抽到的可能性为， 则数学组共有人，其中女生的人数为. （2）因为前排就座的物理组5人中男生有人，女生有人， 可知抽到女生的人数为的可能取值有：0，1，2，则有： ， 可得女生人数的分布列为 0 1 2 变式3-1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：随机抽出3道题有2题答对，1题打错，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以. 故选：D. 变式3-2．（23-24高二下·江苏泰州·期末）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，由，可得，然后根据超几何分布的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得， 所以， 因为, , , 所以 , 故选：B 变式3-3．（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 【方法技巧与总结】 求超几何分布，先要确定分布是超几何分布，与二项分布作好区别，从古典概型的角度去理解超几何分布会较为容易些. 【题型四：离散型随机变量的数学期望及其性质】 例4．（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，得到变量的取值分别为，求得相应的概率，得到,再结合，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的取值分别为， 可得； ， 所以,可得. 故选：D. 变式4-1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由分布列的性质得到，再由求解即可； 【详解】由分布列的性质，得， ． ． ， ． 故选：B 变式4-2．（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据分布列的性质可得，，进而，进而可得. 【详解】由题意，，得到，， 根据随机变量均值公式，得 ， 当时，取得最大值，经检验符合题意． 故选：B． 变式4-3．（22-23高二下·吉林白城·期末）元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】的可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以， 故． 故选：A． 【方法技巧与总结】 1 求数学期望，掌握求值公式是关键； 2 若，a，b 常数，则。 【题型五：离散型随机变量的方差及其性质】 例5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又，， 所以选项B错误，选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确， 故选：B. 变式5-1．（21-22高二下·吉林·期中）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可. 【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中， 所以， 所以，， ，. 故D错误，ABC正确. 故选：D 变式5-2．（2024高三·全国·专题练习）设，随机变量X的分布列是 X 0 1 P b 则当a在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】C 【分析】根据分布列求解b的值，然后根据分布列计算随机变量的均值和方差，结合二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以． 因为， 所以， 所以当时，a增大增大， 当时，a增大减小． 故选：C. 变式5-3．（2025高三下·全国·专题练习）在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设知，，从而得到，，，，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题知，则，，， 又相互独立，则，易知， 则， 对于选项A，因为， 当时，，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 当时，，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D错误， 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 求方差，掌握求值公式是关键； 2 有时候利用求方差会更简便； 3 若，a，b 常数，则。 【题型六：二项分布与超几何分布的期望与方差】 例6．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】根据题意，利用二项分布的方差公式，求得，由，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，所以， 所以． 故选：D. 变式6-1．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布均值与方差的性质公式，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 变式6-2．（2024高三·全国·专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方差的计算即可求解，结合排列组合求解概率，即可根据期望和方差，结合选项即可逐一求解. 【详解】由题知的所有可能取值为，则，. 且，，， 所以，故A错误； 由于，故C错误； ，故B错误； ，则，故D正确． 故选：D 变式6-3．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解. 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 故选：D. 【方法技巧与总结】 常见几种分布的数学期望 （1）若，则，； （2）若则，； （3）若则. 【题型七：离散型随机变量与分布的综合】 例7．（24-25高三上·广东·期末）已知开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为中的一个随机整数）计算得到的动态校验码，是的个位数字． (1)若，且依次为公差为1的无穷等差数列的前4项，求的前项和； (2)若，从中随机取1个数作为，求动态校验码的分布列； (3)若的取值分别为，其中等可能地取，求的概率． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）由题意，再根据推导出是一位数，且能被10整除，进而可得； （2）根据题意可得为的个位数字，再得出分布列即可； （3）根据题意解得，进而可得且的概率，从而可得的概率. 【详解】（1）因为是公差为1的等差数列中的第4项， 所以， 因为，所以， 的个位数字为， 因为， 所以是一位数，且能被10整除， 所以， ． （2）因为， 所以， 所以为的个位数字， 当或5时，，当或8时，， 当或6时，，当或9时，， 当或7时，， 所以的分布列为 0 2 4 6 8 （3）因为， 所以， 因为的取值分别为， 所以， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为0， 若，则取时，的个位数分别为， 所以且的概率为， 所以的概率为． 【点睛】方法点睛： （1）根据题意列出动态校验码的定义写出数列各项满足的递推公式，进而转化为数列题型； （2）求的概率时分类讨论各个情况，再求概率和. 变式7-1．（24-25高三上·河南周口·期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 【答案】(1)， (2)1，，，， (3)分布列见解析 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解概率即可. （2）结合题意求出所有符合条件的取值即可. （3）先求出所有情况下的概率，再求解分布列即可. 【详解】（1）由题意可得，， . （2）由题意可得的所有可能取值为1，，，，. （3）， ， ， 故的分布列为 1 2 3 4 5 变式7-2．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． (1)记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； (2)若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：，） 【答案】(1)分布列见解析 (2)10 【分析】（1）由题意，X的可能值有0，1，2，3，分别计算它们对应的概率值，列出分布列即得； （2）分析可得，，由之构造数列，判断其为从第二项起构成公比为的等比数列，求出其通项，依题解不等式，利用取对数即得n的最小值. 【详解】（1）依题意，X的可能值有0，1，2，3. 则； ； ； . 故X的分布列为： 0 1 2 3 （2）设乙队在第n次获得发球权的概率为， 则依题意有：，，即， 因，且， 故数列从第二项起构成公比为的等比数列， 则，即， 依题意，由，可得， 两边取常用对数，可得：，即， 因，故， 因，故n的最小值为10. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查随机变量的分布列和概率与数列知识的融合解题.解题的关键在于理解题意推得，，再借助于构造等比数列求出通项，即可解不等式求得. 变式7-3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为.已知复数具有运算性质:，其中. (1)当时，记的取值为，求的分布列; (2)当时，求满足的概率; (3)求的概率. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）依题意可得构成的复数共有6个，再根据模长不同求得取值，再求出对应概率即可； （2）由模长求出的所有可能组合，即可求出对应概率； （3）列举出所有满足的组合，分别求出对应的概率即可得. 【详解】（1）由题意可知，可构成的复数为共6个复数， 模长为 的可能取值为， ， ， 所以分布列为: X 1 2 3 4 （2）共有种， 满足的情况有: ①3个复数的模长均为1，共有种; ②3个复数中，2个模长均为1，1个模长为或者2，共有种; 所以. （3）当或2时，显然都满足，此时; 当时，满足共有三种情况: ①个复数的模长均为1，则共有; ②个复数的模长为1，剩余1个模长为或者2，则共有; ③个复数的模长为1，剩余2个模长为或者2，则共有. 故，此时当均成立. 所以. 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）设离散型随机变量的分布列为 -1 0 1 则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分布列的性质列出等式和不等式，求解即可. 【详解】由题意，有，且，，解得. 故选：B. 2.（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为. 故选：A 3.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 4.（24-25高三下·广东清远·开学考试）离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 5.（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【详解】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D 6.（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD选项． 【详解】设“向右下落”，则“向左下落”，， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B． 7.（21-22高二下·福建福州·期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则服从二项分布，分别求出的取值对于得概率，从而可得答案. 【详解】由题意得该产品能销售的概率为， 易知的取值范围为， 设表示一箱产品中可以销售的件数，则， 所以，， 所以， ， ， 故. 故选：C. 8.（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望与方差公式判断AB，根据二项分布求概率可判断CD. 【详解】由，可知， ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【分析】根据离散型随机变量的特征判断即可. 【详解】对于ABD，ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，故ABD符合； 对于C，一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不符合. 故选：ABD. 10. （24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 11．（23-24高二下·重庆·阶段练习）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 【答案】CD 【分析】对ABCD，分析出满足各自选项的所有情况，再利用独立事件的乘法公式一一判断即可. 【详解】对于A，且甲获得冠军有两种情况:且甲获得冠军，且甲获得冠军， 且甲获得冠军表示甲连胜三场，且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜， 所以且甲获得冠军的概率为，故A错误; 对于B，有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都是乙获胜， 第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜， 所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为，故B错误; 对于C，包含两种情况:比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙获得冠军， 所以，故C正确； 对于D，甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况： 第二至第四场都是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜， 所以甲赢了第一场，乙获得冠军的概率为， 因为为，所以若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（23-24高二下·北京·期中）一个袋子中装有2个红球和3个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，设拿出白球的个数为，则 ； ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用古典概率求出，再进出分布列并求出期望. 【详解】依题意，的可能值为，， ，， 所以. 故答案为：； 13．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概率为 ． 【答案】/0.104 【分析】利用独立重复试验的概率公式，列式计算即可得解. 【详解】依题意，旅客人数超过1100人的概率不低于0.2，即， 所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最少为 . 故答案为： 14．（24-25高三下·安徽·阶段练习）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为 . 【答案】400 【分析】根据二项分布计算数学期望及方差，最后结合已知新定义计算求解. 【详解】由题意知：成功次数，所以，， 要使，则，即：， 由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内， 则，所以抛掷的次数的最小值为400. 故答案为：400. 四、解答题 15．（24-25高三下·广东·开学考试）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为. 日均睡眠时长 5 6 7 8 9 小鼠数量 6 19 25 16 8 (1)求； (2)求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差； (3)从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析 【分析】（1）根据样本极差，数量直接计算即可； （2）根据方差公式计算； （3）运用超几何分布求概率，得到分布列. 【详解】（1）因为样本极差为，. （2）求得参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为， 所以方差. （3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为，故可能值为. 则的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长均为7， 的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长分别为6，8， 故， ， ， 故的分布列为 0 1 2 16.（24-25高二下·全国·课后作业）某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为2 【分析】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票，利用二项分布的概率公式求解即可； （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望. 【详解】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票． 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响， 所以． （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 因此的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望． （或由，得）. 17. （24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； (2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②. 【分析】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，求出、的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率； 解法二：确定数学成绩超过分的学生人数，以及数学成绩超过分中总成绩超过分的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）①分析可知的可能取值有：、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求出的值； ②由题意可知，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则， 记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则， 所以. 即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为； 解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人， 所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为 （2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的， 所以所有可能的取值为：、、、， ，， ，. 所以的分布列为： . ②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的， 按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以. 18. （24-25高三上·山东潍坊·期末）甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为，乙答题总得分为． (1)求甲答题总得分的概率； (2)求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？ （参考数据：） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知，甲答题总得分，即甲答对2道题，答错1道题，由概率公式计算即可. （2）由已知，求得，由乙答题得分的取值范围为，求出对应概率，进而由期望公式求出，即可得到答案. 【详解】（1）因为共20道试题，甲能答对其中的15道题， 甲答题总得分，即甲答对2道题，答错1道题， 所以甲答题总得分的概率为 . （2）设甲答对题目的个数为，则， 则， 所以； 由题意可知，乙答题得分的取值范围为， ，，，， ， ， 记， ， 得 ， 所以， ， 因为，所以， 则，所以乙胜出． 19. （2024·湖南衡阳·一模）学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有个台阶，从下至上记台阶所在位置为，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨或个台阶（位置或）. (1)记甲迈步后所在的位置为，写出的分布列和期望值. (2)求甲步内到过位置的概率； (3)求步之内同时到过位置和的有多少种走法，及发生的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)种， 【分析】（1）列出的所有可能取值,分别求出每种取值下的概率,即可得分布列和期望； （2）步内到过位置可以有三种情况，4步，5步，6步，再分别讨论每种情况发生的概率相加即可求解； （3）由题意，依次递推出，再减去不能到达的以及和重复计算的可得解，根据递推公式可得到数列是等比数列，在根据条件概率可得解. 【详解】（1）由题意可知甲每步跨或个台阶的概率都为， 可能的取值为，，，.取值分别对应步中分别有，，，次跨两个台阶， 故， 的分布列如下， X 3 4 5 6 P . （2）步内到过位置记为事件可分为：步到达位置（记为）、 步到达位置（记为）和步到达位置（记为）三种情况. 即步中每步都；即步中有两步，步； 即步中有两步，步. 则. （3）记步内到过位置为事件，走法为，则由题意，故由，， 递推，依次为，其中步和步到达位置的走法分别为和种， 步到达位置情况下再到达位置只有种走法， 步到达位置不可能再到达位置，其他到达位置的情况再到达位置都有种走法. 故步之内同时到过位置和的走法为：种， 记为，由题意， 数列是以为首项，为公比的等比数列，，， 记步和步到达位置为分别为事件，，，， 记步内到过位置为事件， 则，，， 其余情况下， ， 故步之内同时到过位置和的概率为. 【点睛】关键点点睛：计算出数列是以为首项，为公比的等比数列，同时计算出条件概率发生的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 离散型随机变量及其分布列 课程标准 学习目标 (1)通过具体实例, 了解离散型随机变量的概念, 理解离散型随机变量分布列及其数字特征 (均值、方差)。 (2)通过具体实例, 了解伯努利试验, 掌握二项分布及其数字特征, 并能解决简单的实际问题。 (3)通过具体实例, 了解超几何分布及其均值, 并能解决简单的实际问题。 （1）理解离散型随机变量的概念，掌握其分布列的性质； （2）掌握常见的几种分布，并会应用； （3）掌握分布列的期望与方差，理解二项分布于超几何分布的千万与方程。（难点) 知识点01 离散型随机变量及其分布 1 随机变量 ① 概念 一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. ②分类 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. 2 分布列 ① 概念 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. ② 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 【即学即练1】 （18-19高二下·重庆·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 知识点02 几个常用的分布 1 两点分布 如果随机变量的分布列为 则称服从两点分布，并称为成功概率. 2 二项分布 ① 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, ② 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 3 超几何分布 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 【即学即练2】 （23-24高二下·河南信阳·期末）随机变量，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 离散型随机变量的数学期望 1 离散随机变量的均值（数学期望） 概念 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2 常见几种分布的数学期望 （1）若，则； （2）若则; （3）若则. 3 期望的性质 若，a，b 常数，则。 【即学即练3】 （22-23高二下·山东枣庄·期末）某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点04 离散型随机变量的方差 1 方差 一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 2 常见几种分布的方差 （1）若，则； （2）若则. 3 方差的性质 若，a，b 常数，则。 【即学即练4】 （24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【题型一：离散型随机变量及其分布】 例1．（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 变式1-2．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 变式1-3．（24-25高三上·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. Eg:投掷一个骰子，得到的点数为，它是离散型随机变量，能够一一列举出来； 一人一天摄取的卡路里，它是连续型随机变量. 2 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 【题型二：求二项分布】 例2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响. (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； (2)若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列. 变式2-1．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24高二下·河南安阳·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 变式2-3．（23-24高二下·广西·期中）已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 变式2-4．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列. 【方法技巧与总结】 求二项分布，先要确定分布是二项分布，每次试验中事件发生的概率为. 【题型三：求超几何分布】 例3．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列. 变式3-1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24高二下·江苏泰州·期末）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【方法技巧与总结】 求超几何分布，先要确定分布是超几何分布，与二项分布作好区别，从古典概型的角度去理解超几何分布会较为容易些. 【题型四：离散型随机变量的数学期望及其性质】 例4．（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 变式4-1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-2．（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 变式4-3．（22-23高二下·吉林白城·期末）元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求数学期望，掌握求值公式是关键； 2 若，a，b 常数，则。 【题型五：离散型随机变量的方差及其性质】 例5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 变式5-1．（21-22高二下·吉林·期中）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（2024高三·全国·专题练习）设，随机变量X的分布列是 X 0 1 P b 则当a在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 变式5-3．（2025高三下·全国·专题练习）在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求方差，掌握求值公式是关键； 2 有时候利用求方差会更简便； 3 若，a，b 常数，则。 【题型六：二项分布与超几何分布的期望与方差】 例6．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 变式6-1．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（2024高三·全国·专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 常见几种分布的数学期望 （1）若，则，； （2）若则，； （3）若则. 【题型七：离散型随机变量与分布的综合】 例7．（24-25高三上·广东·期末）已知开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为中的一个随机整数）计算得到的动态校验码，是的个位数字． (1)若，且依次为公差为1的无穷等差数列的前4项，求的前项和； (2)若，从中随机取1个数作为，求动态校验码的分布列； (3)若的取值分别为，其中等可能地取，求的概率． 变式7-1．（24-25高三上·河南周口·期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 变式7-2．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． (1)记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； (2)若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：，） 变式7-3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为.已知复数具有运算性质:，其中. (1)当时，记的取值为，求的分布列; (2)当时，求满足的概率; (3)求的概率. 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）设离散型随机变量的分布列为 -1 0 1 则（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 4.（24-25高三下·广东清远·开学考试）离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 6.（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 7.（21-22高二下·福建福州·期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 8.（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 10. （24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·重庆·阶段练习）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 三、填空题 12．（23-24高二下·北京·期中）一个袋子中装有2个红球和3个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，设拿出白球的个数为，则 ； ． 13．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概率为 ． 14．（24-25高三下·安徽·阶段练习）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高三下·广东·开学考试）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为. 日均睡眠时长 5 6 7 8 9 小鼠数量 6 19 25 16 8 (1)求； (2)求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差； (3)从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列. 16.（24-25高二下·全国·课后作业）某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 17. （24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； (2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 18. （24-25高三上·山东潍坊·期末）甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为，乙答题总得分为． (1)求甲答题总得分的概率； (2)求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？ （参考数据：） 19. （2024·湖南衡阳·一模）学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有个台阶，从下至上记台阶所在位置为，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨或个台阶（位置或）. (1)记甲迈步后所在的位置为，写出的分布列和期望值. (2)求甲步内到过位置的概率； (3)求步之内同时到过位置和的有多少种走法，及发生的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$