6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 第一课时 向量在几何证明中的应用-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

１３．解:如图所示,设快艇以vkm/h的速度从B 处出发,沿 BC方向,t小时后与汽车在C 处相遇． (１)在△ABC 中,AB＝５００,AC＝１００t,BC＝vt,BD 为 AC 边上的高,BD＝３００． 设∠BAC＝α,则sinα＝３５ ,cosα＝４５ , 由余弦定理得,BC２＝AC２＋AB２－２AB􀅰ACcosα,即v２t２ ＝(１００t)２＋５００２－２×５００×１００t􀅰４５ , 整理得,v２ ＝２５００００ t２ －８００００t ＋１００００＝２５００００× １ t２ － ８ ２５ 􀅰１ t＋ ４ ２５( ) ２ [ ]＋１００００－１００００×１６２５ ＝２５００００ １t－ ４ ２５( ) ２ ＋３６００． 当１ t＝ ４ ２５ ,即t＝２５４ 时,v２min＝３６００,vmin＝６０． 即快艇至少以６０km/h的速度行驶才能把稿件送到司 机手中． (２)当v＝６０km/h时,在△ABC中, AB＝５００,AC＝１００×２５４＝６２５ ,BC＝６０×２５４＝３７５ , 由余弦定理cos∠ABC＝AB ２＋BC２－AC２ ２AB􀅰BC ＝０ , ∴∠ABC＝９０°,故快艇应以垂直 AB 的方向向北偏东 行驶． (３)如图所示,设快艇以７５km/h的速度沿BE 行驶,t 小时后与汽车在E 处相遇． 在△ABE 中,AB＝５００,AE＝１００t,BE＝７５t,cos∠BAE ＝４５． 由余弦定理(７５t)２＝５００２＋(１００t)２－２×５００×１００t× ４ ５ ,整理得t＝４或t＝１００７ (舍), 当t＝４时,AE＝４００,BE＝３００,AB２＝AE２＋BE２, 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到 司机手中,最快需要４h． １４．解:(１)在 △APB 中,由 正 弦 定 理 得, APsin∠ABP＝ AB sin∠APB＝ AB １ ２ , 在△BPC 中,由 正 弦 定 理 得, CPsin∠CBP＝ BC sin∠CPB ＝BC１ , 又BC AB＝ ３ １ ,sin∠ABP＝sin∠CBP, 所以AP CP＝ ２ ３ , 即无人机到甲、丙两船的距离之比为２∶３． (２)由BC∶AB＝３∶１,AB＝１００米,得AC＝４００米,设AP ＝２x米,则CP＝３x米, 在△APC中,∠APC＝∠APB＋∠BPC＝１２０°, 由余弦定理得１６００００＝(２x)２＋(３x)２－２􀅰(２x)􀅰 (３x)cos１２０°, 所以x＝４００ １９１９ , 即无人 机 到 丙 船 的 距 离 为CP＝３x＝１２００ １９１９ ≈２７５ (米)． ６．２　平面向量在几何、物理中的应用举例 第一课时　向量在几何证明中的应用 １．B　２．C　３．A　４．C　５．A ６．ABC　[A 中,令OA→＝a,OB→ ＝b．以OA→、OB→为邻边作平行 四边形OACB． ∵|a|＝|b|＝|a－b|,∴四边 形 OACB 为 菱 形,∠AOB＝ ６０°,∠AOC＝３０°,即a与a＋ b的夹角是３０°,故 A正确．B中,∵(AB→＋AC→)􀅰(AB→－ AC→)＝０,∴|AB→|２＝|AC→|２,故△ABC 为等腰三角形．故 B正确．C中,∵(２a＋xb)２＝４a２＋４xa􀅰b＋x２b２＝４＋ ４xcos１２０°＋x２＝x２－２x＋４＝(x－１)２＋３,故|２a＋xb| 取最小值时x＝１．故③正确．D 中,∵BA→＝OA→－OB→＝ (３,－４)－(６,－３)＝(－３,－１),BC→＝OC→－OB→＝(５－ m,－３－m)－(６,－３)＝(－１－m,－m),又∠ABC 为锐 角,∴BA→􀅰BC→＞０,即３＋３m＋m＞０,∴m＞－３４,又当 BA→与BC→同向共线时,m＝ １２．故当∠ABC 为锐角时,m 的取值 范 围 是 m ＞ － ３４ 且 m≠ １２． 故 D 不 正 确．故 选 ABC．] ７．解析:∵OA→􀅰OB→＝OB→􀅰OC→, ∴OB→􀅰(OA→－OC→)＝OB→􀅰CA→＝０,即OB⊥AC,同理可 得OA⊥BC,OC⊥AB,由垂心定义可知O 为垂心． 答案:垂 ８．解析:设P(x,y)是所求直线上任一点, 直线３x－y＋１＝０的方向向量为(１,３),由(x－１,y－２) 􀅰(１,３)＝０,得x＋３y－７＝０． 答案:x＋３y－７＝０ ９．解 析:如 图,在 △ABC 中,作 ∠BAC 的平分线AD,交 BC 于 点D, 因为 AB → |AB→| 为AB→方 向 上 的 单 位 向量,AC → |AC→| 为AC→方向上的单位 向量, 所以 AB → |AB→| ＋ AC → |AC→| ＝λAD→(λ＞０), 因为 AB→ |AB→| ＋ AC → |AC→| æ è ç ö ø ÷􀅰BC→＝０, 所以AD⊥BC, 因为AD 既是高,又是角平分线, 所以AB＝AC, 因为 AB → |AB→| 􀅰 AC → |AC→| ＝１２ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４１􀅰 参考答案 所以 AB→ |AB→| AC→ |AC→| cos∠BAC＝ １ ２ , 所以cos∠BAC＝１２ ,所以∠BAC＝ π３ ,所以△ABC 为 等边三角形． 答案:等边三角形 １０．解:已 知:如 图,MN 是 △ABC 的中位 线,求 证:MN＝ １２BC , 且 MN∥BC． 证明:因 为 M,N 分 别 是 AB, AC的中点, 所以AM→＝１２AB →,AN→＝１２AC →, 所以MN→＝AN→－AM→＝１２AC →－１２AB →＝１２(AC →－AB→) ＝１２BC →． 又 MN 与BC 不在同一条直线上, 因此,MN＝１２BC ,且 MN∥BC． １１．证明:设AD→＝x,AB→＝y, 则MN→＝１２y＋ １ ３BD →＝１２y＋ １ ３ (x－y)＝１６ (２x＋y), MC→＝MB→＋BC→＝１２y＋x＝ １ ２ (２x＋y), ∴MC→＝３MN→,又MC→与MN→有公共点M, ∴M,N,C三点共线． １２．证明:如图,设CA→＝a,CB→＝b,则a 与b的夹角为９０°,故a􀅰b＝０． ∵AB→＝b－a,CD→＝１２(a＋b), ∴|CD→|＝１２|a＋b| ＝１２ (a＋b)２ ＝１２ |a| ２＋２a􀅰b＋|b|２ ＝１２ |a| ２＋|b|２, |AB→|＝|b－a|＝ (b－a)２ ＝ |b|２－２a􀅰b＋|a|２＝ |a|２＋|b|２． ∴|CD→|＝１２|AB →|,即CD＝１２AB． １３．证明:CE→＝CA→＋AE→＝－AC→＋１２AB →, AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋ １３BC →＝AB→＋ １３ (AC →－AB→)＝ ２ ３AB →＋１３AC →． 由题意得AB→􀅰AC→＝０且|AB→|＝|AC→|, 所以CE→􀅰AF→＝ －AC→＋１２AB →( ) 􀅰 ２３AB →＋１３AC →( ) ＝ １ ３|AB →|２－１３|AC →|２－１２AB →􀅰AC→＝０,所以CE→⊥AF→, 即CE⊥AF． １４．解:因为ABCD 是平行四边形,所以设AR→＝λAC→ ＝λ(AB→＋AD→)＝２λAE→＋λAB→,因为B,R,E 三点共线, 所以２λ＋λ＝１,所以λ＝１３ ,所以AR→＝１３AC →． 同理可证:CT→＝１３CA →, 所以AR＝RT＝CT＝１３AC． 第二课时　向量在物理中的应用举例 １．A　２．B　３．B　４．A　５．C ６．AD　[对于 A,由题意知|G|＝|F１＋F２|为定值． 所以|G|２＝|F１|２＋|F２|２＋２|F１|×|F２|×cosθ ＝２|F１|２(１＋cosθ),所以|F１|２＝ |G|２ ２(１＋cosθ)． 由题意知θ∈[０,π),则y＝cosθ单调递减,所以|F１|２单 调递增,即θ越大越费力,θ越小越省力,A正确．对于 B, 由题意知θ的取值范围是[０,π),B错误．对于 C,当θ＝ π ２ 时,|F１|２＝ |G|２ ２ ,所以|F１|＝ ２ ２|G| ,C错误．对于 D, 当θ＝２π３ 时,|F１|２＝|G|２,所以|F１|＝|G|,D正确．故选 AD．] ７．解析:W＝F􀅰s＝６×１００×cos６０°＝３００(J)． 答案:３００ ８．解析:根据题意,力F 对物体做的功为W＝F􀅰AB→＝(２, ３)􀅰(４－２,０－０)＝２×２＋３×０＝４． 答案:４ ９．解析:因为F１＝(３,－４),F２＝(２,－５),F３＝(３,１),所以 合力F＝F１＋F２＋F３＝(８,－８), AB→＝(－１,４), 则F􀅰AB→＝－１×８－８×４＝－４０, 即三个力的合力所做的功为－４０． 答案:－４０ １０．解:如图所示,设此人的实际速度为 OB→,水流速度为OA→． ∵实际速度＝游速＋水速, ∴游速为OB→－OA→＝AB→, 在Rt△AOB 中,|AB→|＝４ ３,|OA→| ＝４,|OB→|＝４ ２,cos∠BAO＝ |OA→| |AB→| ＝ ３３． 故此人应沿与河岸夹角的余弦值为 ３ ３ ,逆着水流的方 向前进,实际前进速度的大小为４ ２km/h． １１．解:如 图,用v１ 表 示 河 水 的 流 速,v２ 表 示 船 的 速 度,则v＝v１ ＋v２ 为 船 的 实 际 航 行 速 度．由 图知,OA＝４,OB＝８, 则∠AOB＝６０°．又|v２|＝２, 所以|v１|＝|v２|􀅰tan６０°＝２ ３． 即河水的流速是２ ３km/h． １２．解:以O 为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直 角坐标系,如图所示, 则F１＝(１,３),F２＝(２ ３,２),F３ ＝(－３,３ ３), 所以F＝F１＋F２＋F３＝(２ ３－２,２ ＋４ ３)． 又因为位移s＝(４ ２,４ ２), 所以合力F 所做的功为 W＝F􀅰s＝(２ ３－２)×４ ２＋(２＋４ ３)×４ ２＝４ ２ ×６ ３＝２４ ６(J)． 即合力F 所做的功为２４ ６J． １３．解:如图,设垂直向下的作用力对 应向量AB→,绳子所受张力对应向 量分别为AC→,AD→, 则根据平面向量加法法则,得AF→ ＝AC→＋AD→,其中AF→是向量AB→的 相反向量． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５１􀅰 必修第二册 　　６．２　平面向量在几何、物理中的应用举例 　　　　第一课时　向量在几何证明中的应用 １．在四边形 ABCD 中,若AD → ＋CB → ＝０, |AC → |＝BD →,则四边形ABCD 为(　　) A平行四边形　　　　　B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 ２．已知正方形 ABCD 的边长为１,设AB → ＝a,BC → ＝b,AC → ＝c,则|a－b＋c|等于 (　　) A．０　　B．２　　C．２　　D．２ ２ ３．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且 OA → ＋OB → ＋CO → ＝０,则△ABC 的内角A 等于 (　　) A．３０° B．６０° C．９０° D．１２０° ４．在四边形ABCD 中,AC → ＝(１,２),BD → ＝ (－４,２),则四边形的面积为 (　　) A．５ B．２ ５ C．５ D．１０ ５．若 M 为△ABC 所在平面内一点,且满 足|MB → －MC → |＝|MB → ＋MC → －２MA → |, 则△ABC为 (　　) A．直角三角形 B等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ６．(多选)给出下列四个命题,其中正确 的有 (　　) A．非零向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|, 则a与a＋b的夹角是３０° B．若(AB → ＋AC →)􀅰(AB → －AC →)＝０,则 △ABC为等腰三角形 C．若单位向量a,b的夹角为１２０°,则当 |２a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝１ D．若OA → ＝(３,－４),OB → ＝(６,－３),OC → ＝(５－m,－３－m),∠ABC 为锐角, 则实数m 的取值范围是m＞－３４ ７．点O 是△ABC 所在平面内的一点,满 足OA →􀅰OB → ＝OB →􀅰OC → ＝OC →􀅰OA →,则点O 是△ABC的　　　　心． ８．过点(１,２)且与直线３x－y＋１＝０垂直 的直线的方程是　　　　． ９． 非 零 向 量 AB → 与 AC → 满 足 AB → |AB → | ＋AC → |AC → | æ è çç ö ø ÷÷ 􀅰BC → ＝０,且|AB → | |AB → | 􀅰 AC → |AC → | ＝ １２ , 则 △ABC 的 形 状 为　　　　． １０．用向量法证明三角形的中位线定理． １１．如图,平行四边形ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在BD 上,且BN＝ １ ３BD ,求证:M,N,C三点共线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 必修第二册 １２．在△ABC中,∠C＝９０°,D 是AB 的中 点,用向量法证明CD＝１２AB． １３．如 图,在 Rt△ABC 中,∠BAC ＝ ９０°, AB＝AC,E,F 分别 为边 AB,BC 上 的 点,且AE＝EB,２BF＝FC． 求证:CE⊥AF． １４．如 图,在 ▱ABCD 中,点 E,F 分别是 AD,DC 边的中点, BE,BF 分别与AC 交于R,T 两点,你能发现 AR,RT, TC之间的大小关系吗? 用向量方法 证明你的结论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 第二章　平面向量及其应用