2.6.2.1 向量在几何证明中的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学(B5) 必修第二册 数 课时 间 6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 学 第一课时向量在几何证明中的应用 纠错空间 作业 基础过关 8.过点(1,2)且与直线3x一y+1=0垂直 JI CHU GUO GUAN 的直线的方程是 1.在四边形ABCD中，若AD+CB=0, 9. 非零向量 AB与AC满足 |AC1=BD,则四边形ABCD为( A平行四边形 B.矩形 BC=0,且1AB C.等腰梯形 D.菱形 AB 2.已知正方形ABCD的边长为1，设AB 则△ABC 的形状 =a,BC=b,AC=c,则|a-b+c|等于 LACI ( 为 A.0 B.2 C.2 D.2√2 10.用向量法证明三角形的中位线定理. 3.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且 OA+OB+CO=0,则△ABC的内角A 等于 ( A.30°B.60° C.90° D.120° 方法总结 4.在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD= (一4,2)，则四边形的面积为 A.5B.25C.5 D.10 5.若M为△ABC所在平面内一点，且满 MB-MCI =MB+MC-2 MAI, 则△ABC为 ( 11.如图，平行四边形ABCD中，点M是 A.直角三角形 B等腰三角形 AB的中点，点N在BD上，且BN= C.等边三角形 D.等腰直角三角形 BD,求证：M,N,C三点共线。 6.(多选)给出下列四个命题，其中正确 的有 () A.非零向量a,b满足|a=|b=a-b, 则a与a十b的夹角是30 B.若(AB+AC)·(AB-AC)=0,则 △ABC为等腰三角形 C.若单位向量a,b的夹角为120°，则当 |2a+xb|(x∈R)取最小值时x=1 D.若OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC =（5-m,-3-m),∠ABC为锐角， 则实数m的取值范国是m>一是 7.点O是△ABC所在平面内的一点，满 足OA.OB=OB.OC=OC.OA,则点O 是△ABC的 心 ·66· 第二章平面向量及其应用 课时作业乡 记 能力提升 NENG LI TI SHENG 素养培优 SU YANG PEI YOU 12.在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中 14.如图，在□ABCD 空 间 点，用向量法证明CD=号AB. 中，点E,F分别是 AD,DC边的中点， 纠错空间 BE,BF分别与AC 交于R,T两点，你能发现AR,RT, TC之间的大小关系吗？用向量方法 证明你的结论. #44号年#44月144月年卡十4号年 13.如图，在Rt△ABC 方法总结 中，∠BAC=90°， AB=AC,E,F分别 为边AB,BC上的B ++++++1++++十+ 点，且AE=EB,2BF=FC 求证：CE⊥AF. ·67·参考答案 13.解：如图所示，设快艇以vkm/h的速度从B处出发，沿 BC方向，t小时后与汽车在C处相遇。 北 A 一东 (1)在△ABC中，AB=500,AC=100t,BC=t,BD为 AC边上的高，BD=300. 3 4 设∠BAC=a,则sina=5,cosa=5, 由余弦定理得，BC=AC十AB-2AB·ACcos a,即Vt =(100t)2+50022×500X100t·号， 整理得，d=250000-80000+10000=250000× t t 25 =2350m(日-元)】 十3600. 当-即1-时，心2=360，=60, 即快艇至少以60km/h的速度行驶才能把稿件送到司 机手中， (2)当=60km/h时，在△ABC中， AB=500,AC=100×25=625,BC=60×25=375, 4 4 由余孩定理Os∠ABC=AF,BCAC=0. 2AB·BC ,∠ABC=90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东 行驶. (3)如图所示，设快艇以75km/h的速度沿BE行驶，t 小时后与汽车在E处相遇. 在△ABE中，AB=500,AE=100t,BE=75t,cos∠BAE 由余弦定理(75t)2=5002+(100t)2-2×500×100tX 号，整显得1=4或19（含合）， 当t=4时，AE=400,BE=300,AB=AE2+BE2, 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到 司机手中，最快需要4h. 14.解：(1)在△APB中，由正弦定理得，sn∠ABP= AP AB AB sin∠APB1' 2 BC 在△BPC中，由正孩定理得，sinCBP-sin∠CPB CP =BC 又BC=3 AB=i,sin∠ABP=sin∠CBP, 所以部-号 即无人机到甲、丙两船的距离之比为2：3. 1 课时作业乡 (2)由BC:AB=3:1,AB=100米，得AC=400米，设AP =2x米，则CP=3x米， 在△APC中，∠APC=∠APB+∠BPC=120°， 由余弦定理得160000=(2x)2+(3x)2-2·(2x)· (3.x)cos120°， 所以x=4009 19 即无人机到丙船的距离为CP=3江=1200匝≈25 19 (米). 6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 第一课时向量在几何证明中的应用 1.B2.C3.A4.C5.A 6.ABC[A中，令OA=a,OB =b.以OA、OB为邻边作平行 四边形OACB. a+b 0 0 a=b=a-b,.四边 5 形OACB为菱形，∠AOB= 60°，∠A0C=30°，即a与a+ B b的夹角是30°，故A正确.B中，(AB+AC)·(AB AC)=0,.AB2=AC?,故△ABC为等腰三角形.故 B正确.C中，(2a十xb)2=4a2十40·b十xb=4十 4xcos120°+x2=x2-2x十4=(x-1)2+3,故2a十zb 取最小值时x=1.故③正确.D中，BA=OA-OB= (3,-4)-(6,-3)=(-3,-1),BC=0C-0B=(5 m,-3-m)-(6,-3)=(-1-m,-m),又∠ABC为锐 角Bi·成>0，中3+3m十m>0m>-子又当 BA与BC同向共线时，m=子故当∠ABC为锐角时，m 的取值范国是m>-子且m≠子故D不正确，故 选ABC.] 7.解析：OA·OB=OB.O心 .OB·(OA-OC)=OB·CA=0,即OB⊥AC,同理可 得OA⊥BC,OCLAB,由垂心定义可知O为垂心. 答案：垂 8.解析：设P(x,y)是所求直线上任一点， 直线3x一y十1=0的方向向量为(1,3)，由(x一1，y一2) ·(1,3)=0,得x十3y-7=0. 答案：x十3y-7=0 9.解析：如图，在△ABC中，作 ∠BAC的平分线AD,交BC于 点D, 因为A店 为AB方向上的单位 AB 向童A AC B4 -为AC方向上的单位 D 向量， 所以A店 AC =AAD(A>0), ABI ACI AB C 因为ABAC .BC=0, 所以AD⊥BC, 因为AD既是高，又是角平分线， 所以AB=AC, 因为 AB AC 1 ABI AC2' 9 世数学(B5) 所以 cos∠BAC= 2 所以cos∠BAC= 7,所以∠BAC=受，所以△ABC为 3 等边三角形. 答案：等边三角形 10.解：已知：如图，MN是△ABC 的中往线，求证：MN=之BC 且MN∥BC. M 证明：因为M,N分别是AB, AC的中，点， 所以A=子A=A记. B 所以不=A成-=2A心-A店-是（花-A) -成 又MN与BC不在同一条直线上， 因此MN=BC,且MN/BC 11.证明：设AD=x,AB=y, M-M成+BC-y+=合2x+ 1 .M花=3MN,又MC与MN有公共，点M, M,N,C三点共线. 12.证明：如图，设CA=a,CB=b,则a 与b的夹角为90°，故a·b=0. AB-b-a.CD-2(a+), h :ci=是a+b =合a+b =号√a+2ab0 =名a+ AB=b-a=√(b-a) =√b'-2a·b+a'=√a+b7. :Cò=A店，即CD=2AB 13.证明：C定-CA+A正--AC+AB。 A-A店+萨-A店+}成-A店+合(A配-A) 号AB+号a花 由题意得A店，AC=0且AB=AC, 所以亩·萨=（花+响）·（号+}⊙） 号：-合AC-A店，C=0,所以正LA, 即CE⊥AF. 14.解：因为ABCD是平行四边形，所以设A京=入AC =A(AB+AD)=2入AE十入AB,因为B,R,E三，点共线， 所以2以中入=1，所以入=号，所以A成=子A花 同理可运：C7=}。 所以AR=RT=CT=号AC ·16 必修第二册 第二课时向量在物理中的应用举例 1.A2.B3.B4.A5.C 6.AD[对于A,由题意知G=F1十F2为定值. 所以G2=F12+F22+2F1×F2|×cos0 =2F1(1+cos0),所以E=21千c0s 由题意知0∈[0，π)，则y=cos0单调递减，所以F12单 调递增，即日越大越费力，日越小越省力，A正确.对于B, 由题意知9的取值范围是[0，π)，B错误.对于C,当日= 受时，E=名，*以E-9G,C错设.对于D. 当9=时，下=G,所以F=G,D正确.故选 3 AD. 7.解析：W=F·s=6×100×cos60°=300(J). 答案：300 8.解析：根据题意，力F对物体做的功为W=F·AB=(2, 3)·(4-2,0-0)=2×2十3×0=4. 答案：4 9.解析：因为F1=(3,一4)，F2=(2,-5),F=(3,1),所以 合力F=F1十F2十F3=(8,-8), AB=(-1,4), 则F·AB=-1×8-8×4=-40, 即三个力的合力所做的功为一40. 答案：一40 10.解：如图所示，设此人的实际速度为 OB,水流速度为OA. :实际速度=游速十水速， .游速为OB-OA=AB, 在Rt△AOB中，AB=45,OA =4,|OB|=4√2，cos∠BAO= 04-E AB 3 故此人应沿与河岸夹角的余弦值为，递着水流的方 向前进，实际前进速度的大小为4√2km/h. 11.解：如图，用y1表示河水的流 A -B 速，y2表示船的速度，则v=y 十2为船的实际航行速度.由 图知，OA=4,OB=8, 则∠AOB=60°.又v2=2, 0 所以y1=v2·tan60°=2V3. 即河水的流速是2√5km/h. 12.解：以O为原，点，正东方向为x轴的正方向建立平面直 角坐标系，如图所示， 则F1=(1,√3)，Fg=(2√3,2)，F 北 =(-3,3√3)， 所以F=F十F2十Fa=(2√5-2,2 十4√3). 又因为位移s=(42,4√2)， 所以合力F所做的功为 W=F·s=(2√3-2)X4√2+(2+4√3)X4√2=4√2 X6√3=24√6(J). 即合力F所做的功为24√6J. 13.解：如图，设垂直向下的作用力对 应向量AB,绳子所受张力对应向C 量分别为AC,AD, 则根据平面向量加法法则，得AF =AC十AD,其中AF是向量AB的 相反向量. 50