6.1余弦定理与正弦定理 第二课时 正弦定理-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

所以(a－１,b)＝(－１,－１),所以 a＝０ , b＝－１．{ BQ→􀅰AQ→＝(０,－２)􀅰(１,－１)＝２． １４．解:(１)因为b＝(２,－２),c＝(sinx－３,１),所以b＋c＝ (sinx－１,－１), 因为a∥(b＋c),所以－２－sinx－sinx＋１＝０,所以 sinx＝－１２ , 又因为x∈ －π２ ,π ２[ ] ,所以x＝－ π ６． (２)假设存在实数k,使(a＋d)⊥(b＋c), 则(a＋d)􀅰(b＋c)＝０, 即(３＋sinx)(sinx－１)－(１＋k)＝０, 所以k＝sin２x＋２sinx－４＝(sinx＋１)２－５, 因为－１≤sinx≤１,所以－５≤k≤－１． 所以存在实数k,使(a＋d)⊥(b＋c),且k的取值范围 为[－５,－１]． §６．平面向量的应用 ６．１　余弦定理与正弦定理 第一课时　余弦定理 １．A　２．C　３．B　４．A　５．AD ６．AC　[由余弦定理,得a２＝b２＋c２－２bccosA, ∴４＝b２＋１２－６b,即b２－６b＋８＝０, ∴b＝２或b＝４．] ７．解析:由已知:a２－c２＝b２＋bc,∴b２＋c２－a２＝－bc, ∴b ２＋c２－a２ ２bc ＝－ １ ２ , 由余弦定理:cosA＝－１２ ,∴A＝１２０°． 答案:１２０° ８．解析:∵b＋c＝７,∴c＝７－b． 由余弦定理得b２＝a２＋c２－２accosB, 即b２＝４＋(７－b)２－２×２×(７－b)× －１４( ) ,解得b ＝４． 答案:４ ９．解析:由余弦定理,可得 cosA＝AC ２＋AB２－BC２ ２AC􀅰AB ＝ ４２＋３２－( １３)２ ２×３×４ ＝ １ ２ , 又０＜A＜π,∴A＝π３ ,所以sinA＝ ３２． 则AC边上的高h＝ABsinA＝３× ３２＝ ３ ３ ２ ． 答案:π ３　 ３ ３ ２ １０．解:∵A＋B＋C＝π,∴原 式 可 化 为acosA＋bcosB＝ ccosC． 由余弦定理可知: cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ,cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac , cosC＝b ２＋a２－c２ ２ab , ∴a􀅰b ２＋c２－a２ ２bc ＋b 􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＝c􀅰a ２＋b２－c２ ２ab , 整理,得(a２－b２)２＝c４,即a２－b２＝±c２, ∴a２＝b２＋c２ 或b２＝a２＋c２, 故△ABC一定为直角三角形． １１．解:∵２x２－３x－２＝０,∴x１＝２,x２＝－ １ ２ , 又∵cosC是方程２x２－３x－２＝０的一个根, ∴cosC＝－１２． 由余弦定理可得:c２＝a２＋b２－２ab􀅰 －１２( )＝(a＋b) ２ －ab, 则c２＝１００－a(１０－a)＝(a－５)２＋７５, 当a＝５时,c最小且c＝ ７５＝５ ３,此时a＋b＋c＝１０ ＋５ ３,∴△ABC周长的最小值为１０＋５ ３． １２．解析:因为sin∠BAC＝sin(９０°＋∠BAD) ＝cos∠BAD＝２ ２３ , 所 以 在 △ABD 中,有 BD２ ＝AB２ ＋AD２ －２AB􀅰 ADcos∠BAD, 所以BD２＝１８＋９－２×３ ２×３×２ ２３ ＝３ ,所 以 BD ＝ ３． 答案:３ １３．解:设BD＝x,则AB＝３x． ∵cos∠BAD＝２ ２３ , 由余弦定理可得,２ ２ ３ ＝ ９x２＋AD２－x２ ２×３x×AD , 解得,AD＝２ ２x, 由余弦定理可得, cos∠ABD＝AB ２＋BD２－AD２ ２AB􀅰BD ＝ ９x２＋x２－８x２ ２×３x×x ＝ １ ３． １４．解:根据余弦定理得７＝a２＋c２－２accos π３ , 整理得(a＋c)２－３ac＝７, 又a＋c＝５,所以ac＝６, 又a＞c,可得a＝３,c＝２, 于是cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ７＋４－９ ４ ７ ＝ ７１４ , 所以AB→􀅰AC→＝|AB→||AC→|cosA＝２× ７× ７１４＝１． 第二课时　正弦定理 １．B　２．B　３．B　４．C　５．CD ６．ABC　[A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB,故 A成立． 函数y＝cosx在区间[０,π]上是减函数, ∵A＞B,∴cosA＜cosB,故B成立． 在锐角三角形中,∵A＋B＞π２ ,∴A＞π２－B , 函数y＝sinx在区间 ０,π２[ ] 上是增函数, 则有sinA＞sin(π２－B ),即sinA＞cosB,故C成立,同 理sinB＞cosA,故 D不成立．] ７．解析:由cosA＝－ １２ ,得sinA＝ １－cos２A＝ ３２ ,设 △ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理,有２R＝ asinA ＝２ ３,即△ABC的外接圆的半径为 ３． 答案:３ ８．解析:在△ABC中,由正弦定理 asinA＝ b sinB ,得 a sinA＝ ２a sin π４ ＝ ２a ２ ２ ＝２a,所以sinA＝ １２ ,所以 A＝ π６ 或 ５ ６π． 因为b＝ ２a＞a,所以B＞A,即A＜ π４ ,所以A＝ π６ ,所 以C＝π－A－B＝π－π６－ π ４＝ ７ １２π． 答案:７ １２π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４１􀅰 必修第二册 ９．解析:如 图,由 AD＝１,B＝ π４ ,知 BD＝１,又AD＝１３BC＝BD , ∴DC＝２,AC＝ １２＋２２＝ ５． 由正 弦 定 理 可 知,sin∠BAC＝sinB 􀅰BC AC ＝ ２ ２ ５ ×３ ＝３ １０１０ ． 答案:５　３ １０１０ １０．解:因为c＝１０,A＝４５°,C＝３０°,所以B＝１８０°－(A＋ C)＝１０５°． 由 a sinA＝ c sinC ,得a＝csinAsinC ＝ １０×sin４５° sin３０° ＝１０ ２． 由 b sinB＝ c sinC ,得b＝csinBsinC ＝ １０×sin１０５° sin３０° ＝２０sin７５° ＝２０× ６＋ ２４ ＝５ ６＋５ ２． １１．解:(１)由acosC＋ ３２c＝b ,得sinAcosC＋ ３２sinC＝ sinB． 因为sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC, 所以 ３ ２sinC＝cosAsinC． 因为sinC≠０,所以cosA＝ ３２． 因为０＜A＜π,所以A ＝π６． (２)由正弦定理,得sinB＝bsinAa ＝ ３ ２． 所以B＝π３ 或２π ３． ①当B＝π３ 时,由A＝π６ ,得C＝π２ ,所以c＝２; ②当B＝２π３ 时,由A＝π６ ,得C＝π６ , 所以c＝a＝１． 综上可得c＝１或２． １２．B　[由题意得EB＝EA＋AB＝２,则在Rt△EBC中,EC ＝ EB２＋BC２＝ ４＋１＝ ５．在△EDC 中,∠EDC＝ ∠EDA＋ ∠ADC＝ π４ ＋ π ２ ＝ ３π ４ ,由 正 弦 定 理 得 sin∠CED sin∠EDC＝ DC EC ＝ １ ５ ＝ ５５ ,所 以 sin ∠CED ＝ ５ ５ 􀅰sin∠EDC＝ ５５ 􀅰sin３π４＝ １０ １０ ． ] １３．解:由正弦定理知sinBsinA＝ b a ,∴cosAcosB＝ sinB sinA． 即sinAcosA＝sinBcosB,∴sin２A＝sin２B． 又∵a≠b,∴２A＝π－２B,即A＋B＝π２． ∴△ABC是直角三角形,且C＝９０°, 由 a２＋b２＝１０２, b a ＝ ４ ３{ 得a＝６,b＝８． 故内切圆的半径为r＝a＋b－c２ ＝ ６＋８－１０ ２ ＝２． １４．解:设四个角A,B,C,D 的度数分别为３x,７x,４x,１０x, 则由四 边 形 的 内 角 和 定 理,有 ３x＋７x＋４x＋１０x＝ ３６０°,解得x＝１５°,所以A＝４５°,∠ABC＝１０５°,C＝６０°, ∠ADC＝１５０°．连接BD,在△BCD 中,由余弦定理,得 BD２＝BC２＋CD２－２BC􀅰 CDcosC＝a２＋４a２－２a􀅰 ２a􀅰１２＝３a ２,所以BD＝ ３a, 此时BC２＋BD２＝CD２, 所以△CBD 为直角三角形, ∠CBD＝９０°,∠BDC＝３０°． 在△ABD 中,A＝４５°,∠ADB＝１２０°, 由正弦定理,知 AB sin∠ADB＝ BD sinA , AB＝BDsin∠ADBsinA ＝ ３ ２ ２a , 所以AB 的长度为３２ ２a． 第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 １．B　２．B　３．C　４．C　５．AB ６．AC　[由AB＝２ ３,AC＝２,B＝３０°及正弦定理 ACsinB＝ AB sinC ,得sinC＝ABsinBAC ＝ ２ ３×１２ ２ ＝ ３ ２． 由角C为三角形的内角可知C＝６０°或１２０°．因此 A＝ ９０°或３０°． 在△ABC中,由AB＝２ ３,AC＝２,A＝９０°或３０°, 得面积S＝１２AC 􀅰AB􀅰sinA＝２ ３或 ３．] ７．解析:由余弦定理,得c２－b２＝a２－２abcosC＝a２－ab＝ ab,所以a＝２b,所以由正弦定理,得sinAsinB＝ a b ＝２． 答案:２ ８．解析:因为AB＝ ３,AD＝１,∠BAD＝３０°, 所以S△ABD ＝ １ ２ 􀅰 ３􀅰１􀅰sin３０°＝ ３４ ,又D 是BC 的中 点,所以S△ABC＝２S△ABD ＝ ３ ２． 答案:３ ２ ９．解析:由 asinA＝ b sinB ,得sinB＝basinA＝ ２１ ７ , 由a２＝b２＋c２－２bccosA,得c２－２c－３＝０, 解得c＝３(舍负)． 答案: ２１ ７ 　３ １０．解:(１)根 据 正 弦 定 理,得２bcosA＝ccosA＋acosC⇒ ２cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝ sinB,∵sinB≠０,∴cosA＝１２ , ∵０°＜A＜１８０°,∴A＝６０°． (２)由余弦定理,得７＝a２＝b２＋c２－２bccos６０°＝b２＋c２ －bc＝(b＋c)２－３bc, 把b＋c＝４代入,得bc＝３,故bc＝３． １１．解:由余弦定理c２＝a２＋b２－２abcosC,得a２＋b２＝c２＋ ２abcosC,由a２＋b２－mc２＝０,得c２＋２abcosC＝mc２,即 ２abcosC＝(m－１)c２．结 合 正 弦 定 理,得 ２sinAsinB cosC＝(m－１)sin２C,又由cosAsinA＋ cosB sinB＝ cosC sinC ,得 cosAsinB＋cosBsinA sinAsinB ＝ sin(A＋B) sinAsinB＝ cosC sinC ,即sinA sinBcosC＝sin２C,得m－１＝２⇒m＝３． １２．D　[因为lgb＋lg１c＝lgsinA＝－lg ２ ,所以lgbc ＝ lgsinA＝lg ２２ ,所以c＝ ２b, 且sinA＝ ２２． 因为A 为锐角,所以A＝π４ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４１􀅰 参考答案 　　　第二课时　正弦定理 １．在△ABC中,a＝３,b＝５,sinA＝１３ ,则 sinB＝ (　　 ) A．１５　　B． ５ ９　　C． ５ ３　　D．１ ２．已知a,b,c分别是△ABC 的三个内角 A,B,C所对的边,若A＝６０°,c＝６,a＝ ９,则此三角形有 (　　 ) A．两解　　　　　B．一解 C．无解 D．无穷多解 ３．在△ABC 中,a＝bsinA,则△ABC 一 定是 (　　 ) A．锐角三角形　　B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ４．在 △ABC 中,若 c＝ ３,C ＝６０°,则 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC＝ (　　 ) A．６ B．２ ３ C．２ D．３ ５．(多选)在△ABC 中,内角A,B,C 所对 的边分别为a,b,c．若a＝１,b＝ ３,A＝ ３０°,则角B 等于 (　　) A．３０° B．１５０° C．６０° D．１２０° ６．(多选)锐角△ABC中,三个内角分别是 A,B,C,且A＞B,则下列说法正确的是 (　　) A．sinA＞sinB B．cosA＜cosB C．sinA＞cosB D．sinB＜cosA ７．在△ABC 中,若a＝３,cosA＝－１２ , sin２A＋cos２A＝１,则△ABC 的外接圆 的半径为　　　　． ８．在△ABC中,若B＝π４ ,b＝ ２a,则C＝ 　　　　． ９．在△ABC 中,B＝π４ ,BC 边上的高AD 等于１ ３BC ,且AD＝１,则AC＝　　　, sinA＝　　　　． １０．已知在△ABC中,内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,c＝１０,A＝４５°,C＝ ３０°,sin７５°＝ ６＋ ２４ ,求a,b和B． １１．已知△ABC 中角A,B,C 所对的边分 别为a,b,c,且acosC＋ ３２c＝b ,其中 sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC． (１)求角A 的大小; (２)若a＝１,b＝ ３,求c的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 必修第二册 １２．如图,正方形ABCD 的边长为１,延长 BA 至E,使AE＝１,连接EC,ED,则 sin∠CED＝ (　　 ) A．３ １０１０ B． １０ １０ C．５１０ D． ５ １５ １３．在△ABC中,已知c＝１０,cosAcosB＝ b a＝ ４ ３ ,且sin２A＝２sinAcosA,求a,b及 △ABC的内切圆半径． １４．在四边形 ABCD 中,BC＝a,DC＝ ２a,四个角 A,B, C,D 的度数的比 为３∶７∶４∶１０,求AB 的长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 第二章　平面向量及其应用