6.1余弦定理与正弦定理 第一课时 余弦定理-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　§６．平面向量的应用 　　６．１　余弦定理与正弦定理 　　　　第一课时　余弦定理 １．在△ABC中,符合余弦定理的是 (　　 ) A．c２＝a２＋b２－２abcosC B．c２＝a２－b２－２bccosA C．b２＝a２－c２－２bccosA D．cosC＝a ２＋b２＋c２ ２ab ２．在△ABC中,a＝３,b＝ ７,c＝２,那么B 等于 (　　 ) A．３０°　　B．４５°　　C．６０°　　D．１２０° ３．边长为５,７,８的三角形中,最大角与最 小角之和为 (　　 ) A．９０° B．１２０° C．１３５° D．１５０° ４．若１＋cosA＝b＋cc ,则三角形的形状为 (　　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 ５．(多选)在△ABC 中,AB＝ ３,AC＝１, B＝π６ ,则角A 的可能取值为 (　　) A．π６ B． π ３ C． ２π ３ D． π ２ ６．(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,若a＝２,c＝２ ３,cosA＝ ３ ２ ,则b＝ (　　 ) A．２　　B．３　　C．４　　D．２ ２ ７．在△ABC 中,若(a－c)(a＋c)＝b(b＋ c),则A＝　　　　． ８．在△ABC中,若a＝２,b＋c＝７,cosB＝ －１４ ,则b＝　　　　． ９．在△ABC 中,AB＝３,BC＝ １３,AC＝ ４,则 A＝　　　　　,AC 边上的高为 　　　　． １０．在△ABC 中,acos(B＋C)＋bcos(A ＋C)＝ccos(A＋B),试判断 △ABC 的形状． １１．在△ABC 中,a＋b＝１０,cosC 是方程 ２x２－３x－２＝０的一个根,求△ABC 周长的最小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 必修第二册 １２．如图所示,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC＝２ ２３ , AB＝３ ２,AD ＝３,则 BD 的 长 为　　　　． １３．在梯形ABCD 中,AB∥CD,AB＝３BD, cos∠BAD＝２ ２３ ,求cos∠ABD． １４．在锐角三角形ABC 中,a,b,c分别为 内角A,B,C 所对的边,若a＋c＝５,B ＝π３ 且a＞c,b＝ ７,求AB →􀅰AC → 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 第二章　平面向量及其应用 所以(a－１,b)＝(－１,－１),所以 a＝０ , b＝－１．{ BQ→􀅰AQ→＝(０,－２)􀅰(１,－１)＝２． １４．解:(１)因为b＝(２,－２),c＝(sinx－３,１),所以b＋c＝ (sinx－１,－１), 因为a∥(b＋c),所以－２－sinx－sinx＋１＝０,所以 sinx＝－１２ , 又因为x∈ －π２ ,π ２[ ] ,所以x＝－ π ６． (２)假设存在实数k,使(a＋d)⊥(b＋c), 则(a＋d)􀅰(b＋c)＝０, 即(３＋sinx)(sinx－１)－(１＋k)＝０, 所以k＝sin２x＋２sinx－４＝(sinx＋１)２－５, 因为－１≤sinx≤１,所以－５≤k≤－１． 所以存在实数k,使(a＋d)⊥(b＋c),且k的取值范围 为[－５,－１]． §６．平面向量的应用 ６．１　余弦定理与正弦定理 第一课时　余弦定理 １．A　２．C　３．B　４．A　５．AD ６．AC　[由余弦定理,得a２＝b２＋c２－２bccosA, ∴４＝b２＋１２－６b,即b２－６b＋８＝０, ∴b＝２或b＝４．] ７．解析:由已知:a２－c２＝b２＋bc,∴b２＋c２－a２＝－bc, ∴b ２＋c２－a２ ２bc ＝－ １ ２ , 由余弦定理:cosA＝－１２ ,∴A＝１２０°． 答案:１２０° ８．解析:∵b＋c＝７,∴c＝７－b． 由余弦定理得b２＝a２＋c２－２accosB, 即b２＝４＋(７－b)２－２×２×(７－b)× －１４( ) ,解得b ＝４． 答案:４ ９．解析:由余弦定理,可得 cosA＝AC ２＋AB２－BC２ ２AC􀅰AB ＝ ４２＋３２－( １３)２ ２×３×４ ＝ １ ２ , 又０＜A＜π,∴A＝π３ ,所以sinA＝ ３２． 则AC边上的高h＝ABsinA＝３× ３２＝ ３ ３ ２ ． 答案:π ３　 ３ ３ ２ １０．解:∵A＋B＋C＝π,∴原 式 可 化 为acosA＋bcosB＝ ccosC． 由余弦定理可知: cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ,cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac , cosC＝b ２＋a２－c２ ２ab , ∴a􀅰b ２＋c２－a２ ２bc ＋b 􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＝c􀅰a ２＋b２－c２ ２ab , 整理,得(a２－b２)２＝c４,即a２－b２＝±c２, ∴a２＝b２＋c２ 或b２＝a２＋c２, 故△ABC一定为直角三角形． １１．解:∵２x２－３x－２＝０,∴x１＝２,x２＝－ １ ２ , 又∵cosC是方程２x２－３x－２＝０的一个根, ∴cosC＝－１２． 由余弦定理可得:c２＝a２＋b２－２ab􀅰 －１２( )＝(a＋b) ２ －ab, 则c２＝１００－a(１０－a)＝(a－５)２＋７５, 当a＝５时,c最小且c＝ ７５＝５ ３,此时a＋b＋c＝１０ ＋５ ３,∴△ABC周长的最小值为１０＋５ ３． １２．解析:因为sin∠BAC＝sin(９０°＋∠BAD) ＝cos∠BAD＝２ ２３ , 所 以 在 △ABD 中,有 BD２ ＝AB２ ＋AD２ －２AB􀅰 ADcos∠BAD, 所以BD２＝１８＋９－２×３ ２×３×２ ２３ ＝３ ,所 以 BD ＝ ３． 答案:３ １３．解:设BD＝x,则AB＝３x． ∵cos∠BAD＝２ ２３ , 由余弦定理可得,２ ２ ３ ＝ ９x２＋AD２－x２ ２×３x×AD , 解得,AD＝２ ２x, 由余弦定理可得, cos∠ABD＝AB ２＋BD２－AD２ ２AB􀅰BD ＝ ９x２＋x２－８x２ ２×３x×x ＝ １ ３． １４．解:根据余弦定理得７＝a２＋c２－２accos π３ , 整理得(a＋c)２－３ac＝７, 又a＋c＝５,所以ac＝６, 又a＞c,可得a＝３,c＝２, 于是cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ７＋４－９ ４ ７ ＝ ７１４ , 所以AB→􀅰AC→＝|AB→||AC→|cosA＝２× ７× ７１４＝１． 第二课时　正弦定理 １．B　２．B　３．B　４．C　５．CD ６．ABC　[A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB,故 A成立． 函数y＝cosx在区间[０,π]上是减函数, ∵A＞B,∴cosA＜cosB,故B成立． 在锐角三角形中,∵A＋B＞π２ ,∴A＞π２－B , 函数y＝sinx在区间 ０,π２[ ] 上是增函数, 则有sinA＞sin(π２－B ),即sinA＞cosB,故C成立,同 理sinB＞cosA,故 D不成立．] ７．解析:由cosA＝－ １２ ,得sinA＝ １－cos２A＝ ３２ ,设 △ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理,有２R＝ asinA ＝２ ３,即△ABC的外接圆的半径为 ３． 答案:３ ８．解析:在△ABC中,由正弦定理 asinA＝ b sinB ,得 a sinA＝ ２a sin π４ ＝ ２a ２ ２ ＝２a,所以sinA＝ １２ ,所以 A＝ π６ 或 ５ ６π． 因为b＝ ２a＞a,所以B＞A,即A＜ π４ ,所以A＝ π６ ,所 以C＝π－A－B＝π－π６－ π ４＝ ７ １２π． 答案:７ １２π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４１􀅰 必修第二册