2.2向量的减法-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

１３．解:(１)小 船 顺 流 行 驶 时 实 际 速 度 最 大,最 大 值 为 ２０km/h;小船 逆 流 行 驶 时 实 际 速 度 最 小,最 小 值 为 ０km/h,此时小船是静止的． (２)如图所示,设MA → 表示水流的速度, MN → 表示小船实际过河的速度,MB → 表 示小船在静水中的速度．设 MC⊥MA, 由 题 意 可 得|MA → |＝|MB → |＝１０, ∠CMN＝３０°,则∠AMN＝６０°,因为MA → ＋MB → ＝MN →, 所以四边形 MANB 为菱形． 所以△AMN,△BMN 为 等 边 三 角 形．在 △BMN 中, ∠BMN＝６０°,而∠CMN＝３０°,所以∠CMB＝３０°,所以 小船要由 M 直达码头N,其航向应为北偏西３０°． １４．证明:由题意知:AD→＝AC→＋CD→,BE→＝BC→＋CE→,CF→＝ CB→＋BF→． 由平面几何知识可知:EF→＝CD→,BF→＝FA→． 所以AD→＋BE→＋CF→＝(AC→＋CD→)＋(BC→＋CE→)＋(CB→＋ BF→)＝(AC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋(BC→＋CB→) ＝(AE→＋EC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋０ ＝AE→＋CD→＋BF→＝AE→＋EF→＋FA→＝０． ２．２　向量的减法 １．A　２．D　３．B　４．D　５．ABCD ６．ABD　[如图,根据平面向量的平行四边 形或三角形法则,当a,b不共线时,根据三 角形两边之和大于第三边,两边之差小于 第三边 有||a|－|b||＜|a±b|＜|a| ＋|b|． 当a,b同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|,||a|－|b||＝|a－b|．当 a,b反向时有|a＋b|＝||a|－|b||,|a|＋|b|＝|a－b|．] ７．０　８．３ ９．解析:(１)由 已 知 得a＋b＝AB→＋ BC→＝AC→,∵AC→＝c,∴ 延 长 AC 到E, 使|CE→|＝|AC→|．则 a＋b＋c ＝AE→, 且|AE→|＝２ ２．∴|a＋b＋c|＝ ２ ２． (２)作BF→＝AC→,连接CF, 则DB→＋BF→＝DF→,而DB→＝AB→－AD→＝AB→－BC→＝a－b, ∴|a－b＋c|＝DB→＋BF→＝DF→且|DF→|＝２． ∴|a－b＋c|＝２． 答案:(１)２ ２　(２)２ １０．解:(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→) ＝AC→＋BA→－DC→＋(DO→＋OB→) ＝AC→＋BA→－DC→＋DB→ ＝BC→－DC→＋DB→＝BC→＋CD→＋DB→ ＝BC→＋CB→＝０． １１．解:AC → ＝OC → －OA → ＝c－a,AD → ＝OD → －OA → ＝d－a,AD → － AB → ＝BD → ＝OD → －OB → ＝d－b,AB → ＋CF → ＝OB → －OA → ＋OF → －OC → ＝b－a＋f－c,BF → －BD → ＝DF → ＝OF → －OD → ＝f－d, DF → ＋FE → ＋ED → ＝０． １２．解:由题意知,AB → ＝a,BC → ＝b,CD → ＝c,DE → ＝d,EA → ＝ e,则 (１)DB → ＝DE → ＋EA → ＋AB → ＝d＋e＋a． (２)DB → ＝CB → －CD → ＝－BC → －CD → ＝－b－c． (３)EC → ＝EA → ＋AB → ＋BC → ＝a＋b＋e． (４)EC → ＝－CE → ＝－(CD → ＋DE →)＝－c－d． １３．解:(１)AC → ＝a＋b,DB → ＝a－b． (２)若a＋b与a－b垂直,即平行四边形的两条对角线 互相垂直,则四边形ABCD 为菱形,所以a,b应该满足 |a|＝|b|． (３)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线的长 相等,这样的平行四边形为矩形,故a,b应互相垂直． １４．证明:因为△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝９０°, 所以CA＝CB．又 M 是斜边AB 的中点, 所以CM＝AM＝BM． (１)因为CM→－CA→＝AM→, 又|AM→|＝|CM→|, 所以|a－b|＝|a|． (２)因为 M 是斜边AB 的中点, 所以AM→＝MB→, 所以a＋(a－b)＝CM→＋(CM→－CA→) ＝CM→＋AM→＝CM→＋MB→＝CB→． 因为|CA→|＝|CB→|,所以|a＋(a－b)|＝|b|． §３．从速度的倍数到向量的数乘 ３．１　向量的数乘运算 １．A　２．C　３．A　４．B　５．BC ６．AB　[由向量数乘的运算律,易知 A,B正确;对于 C,由 ma＝mb,可得m(a－b)＝０,所以 m＝０或a＝b,故 C错 误;对于D,由ma＝na,可得(m－n)a＝０,所以a＝０或m ＝n,故 D错误．故选 AB．] ７．－３２ ８．解析:由题知２x－２３a－ １ ２b－ １ ２c＋ ３ ２x＋b＝０ , ∴７２x＝ ２ ３a－ １ ２b＋ １ ２c , ∴x＝４２１a－ １ ７b＋ １ ７c． 答案:４ ２１a－ １ ７b＋ １ ７c ９．解析:MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝－ １２BC →＋BA→＋ ３４AC →＝ －１２AD →－AB→＋３４(AB →＋AD→)＝－１２b－a＋ ３ ４ (a＋b) ＝１４b－ １ ４a． 答案:１ ４b－ １ ４a １０．解:(１)原式＝６a－４b＋３a＋１５b－２０b＋５a＝１４a－９b． (２)原式＝１６ (４a＋１６b－１６a＋８b)＝１６ (－１２a＋２４b) ＝－２a＋４b． １１．解:(１)原方程可变为５x＋５a＋３x－３b＝０．即８x＝５a＋ ３b,则x＝－５８a＋ ３ ８b． (２)把第一个方程的左、右两边乘以－２,然后与第二个 方程相加,得３ ２y＝－２a＋b ,从而y＝－４３a＋ ２ ３b． 代入 原 来 第 二 个 方 程 得 x ＝ － ２３ a ＋ ４ ３ b． 即 x＝－２３a＋ ４ ３b , y＝－４３a＋ ２ ３b． ì î í ïï ï １２．解:(１)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴BC→＝AD→＝a． ∵M 为AB 的中点,∴MB→＝１２AB →＝１２b, ∴MC→＝MB→＋BC→＝１２b＋a． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３１􀅰 参考答案 　　２．２　向量的减法 １．非零向量m 与n 是相反向量,下列不正 确的是 (　　) A．m＝n　　　　　　　B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 ２．在三角形 ABC 中,BC → ＝a,CA → ＝b,则 AB → ＝ (　　) A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b ３．化简OP → －QP → ＋PS → ＋SP → 的结果等于 (　　) A．QP → 　　B．OQ → 　　C．SP → 　　D．SQ → ４．已知O为平行四边形ABCD 所在平面上 一点,且OA → ＝a,OB → ＝b,OC → ＝c,OD → ＝d,则 (　　 ) A．a＋b＋c＋d＝０ B．a－b－c＋d＝０ C．a＋b－c－d＝０ D．a－b＋c－d＝０ ５．(多选)化简下列各式,其结果为０的是 (　　) A．AB → －(CB → －CA →) B．AB → －AC → ＋BD → －CD → C．OA → －OD → ＋AD → D．NQ → ＋QP → ＋MN → －MP → ６．(多选)已知a,b为非零向量,则下列命 题中正确的是 (　　) A．若|a|＋|b|＝|a＋b|,则a与b 方向 相同 B．若|a|＋|b|＝|a－b|,则a与b 方向 相反 C．若|a|＋|b|＝|a－b|,则a与b 模 相等 D．若||a|－|b||＝|a－b|,则a与b 方 向相同 ７．如图,在△ABC 中,若 D 是边BC 的中点,E 是边 AB 上一点,则BE → －DC → ＋ ED → ＝　　　　． ８．在△ABC 中,|AB → |＝|BC → |＝|CA → |＝１, 则|AB → －BC → |＝　　　　． ９．如图所示,已知正方形ABＧ CD 的边长为１,AB → ＝a,BC → ＝b,AC → ＝c,则 (１)|a＋b＋c|＝　　　　; (２)|a－b＋c|＝　　　　． １０．化简:(AC → ＋BO → ＋OA →)－(DC → －DO → － OB →)． １１．如图所示,已知OA → ＝a, OB → ＝b,OC → ＝c,OE → ＝e, OD → ＝d,OF → ＝f,试 用 a,b,c,d,e,f表示AC → ,AD → ,AD → －AB → , AB → ＋CF → ,BF → －BD → ,DF → ＋FE → ＋ED → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 必修第二册 １２．如图,解答下列各题: (１)用a,d,e表示DB → ; (２)用b,c表示DB → ; (３)用a,b,e表示EC → ; (４)用d,c表示EC → ． １３．如图所示,已知平行四边 形ABCD 中,AB → ＝a,AD → ＝b． (１)用a,b表示向量AC → ,DB → ; (２)当a,b满足什么条件时,a＋b与 a－b垂直; (３)当a,b满足什么条件时,|a＋b|＝ |a－b|． １４．已 知 △ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∠ACB＝９０°,M 是斜边AB 的中点, CM → ＝a,CA → ＝b． 求证:(１)|a－b|＝|a|; (２)|a＋(a－b)|＝|b|． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第二章　平面向量及其应用