2.1向量的加法-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　§２．从位移的合成到向量的加减法 　　　　　　　　２．１　向量的加法 １．在△ABC 中,AB → ＝a,BC → ＝b,则a＋b 等于 (　　) A．CA → 　　B．BC → 　　C．AB → 　　D．AC → ２．化简OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP → 的结果等于 (　　) A．QP → B．OQ → C．SP → D．SQ → ３．如图所示,在四边形ABCD 中,AC → ＝AB → ＋AD → ,则四边 形ABCD 为 (　　 ) A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形 ４．向量(AB → ＋MB → )＋(BO → ＋BC → )＋OM → 等于 (　　 ) A．BC → B．AB → C．AC → D．AM → ５．(多选)已知四边形ABCD 是一菱形,则 下列等式中成立的是 (　　) A．AB → ＋BC → ＝AC → B．AB → ＋AC → ＝BC → C．AC → ＋BA → ＝AD → D．AC → ＋AD → ＝DC → ６．(多选)下列等式正确的是 (　　) ①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b; ②AB → ＋BA → ≠０; ③AC → ＝DC → ＋AB → ＋BD → ． A．②③ B．② C．① D．③ ７．在△ABC 中,AB → ＝a,BC → ＝b,CA → ＝c, 则a＋b＋c＝　　　　． ８．已知正方形 ABCD 的边长为１,AB → ＝ a,AC → ＝c,BC → ＝b,则|a＋b＋c| 为　　　　． ９．在 边 长 为 １ 的 等 边 三 角 形 ABC 中, |AB → ＋BC → |＝　　　　　　,|AB → ＋AC → | ＝　　　　． １０．如图,E,F,G,H 分别是 梯形 ABCD 的 边 AB, BC,CD,DA 的中点,化 简下列各式: (１)DG → ＋EA → ＋CB → ; (２)EG → ＋CG → ＋DA → ＋EB → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 必修第二册 １１．如图 所示,在抗震 救灾中,一架飞机 从 A 地 按 北 偏 东 ３５°的 方 向 飞 行 ８００km到 达 B 地 接到受伤人员,然后又从B 地按南偏 东５５°的方向飞行８００km送往C地医 院,求这架飞机飞行的路程及两次位 移的和． １２．如 图,已 知 向 量 a,b, c,d． (１)求作a＋b＋c＋d; (２)设|a|＝２,e为单位向量,求|a＋e| 的最大值． １３．已知小船在静水中的速度与河水的流 速都是１０km/h,问: (１)小船在河水中行驶的实际速度的 最大值与最小值分别是多少? (２)如果小船在河南岸M 处,对岸北偏 东３０°有一码头N,小船的航向如何确 定才能直线到达对岸码头? (河水自 西向东流) １４．如图,已知 D,E,F 分别为△ABC 的三 边BC,AC,AB 的中 点．求 证:AD → ＋BE → ＋CF → ＝０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第二章　平面向量及其应用 描点、连线,作出函数f(t),０≤t≤６的简图,如图所示． (３)f １３( ) ＞f ３１ ４( ) ＞f ３１ ５( )． 第二章　平面向量及其应用 §１．从位移、速度、力到向量 １．D　２．D　３．ABC　４．D　５．ACD ６．ABC　[对于 A,向量平行时,表示向量的有向线段所在 直线可以重合或平行,故 A正确．对于 B,∵|a|＝|b|≠ ０,∴a,b都是非零向量,∵a∥b,∴a与b 方向相同或相 反,∴a＝b或a＝－b．故B正确．对于 C,向量AB → 与向量 BA → 方向相反,但长度相等．故 C正确．对于 D,单位向量 除了长度为１,还有方向,而向量相等需要长度相等且方 向相同．故 D错误．故选 ABC．] ７．②③ ８．解析:连 接 AC(图 略),由|OC→|＝|OB→|,得 ∠ABC＝ ∠OCB＝３０°,又∠ACB＝９０°,则|AC→|＝１２|AB →|＝１２× ２＝１． 答案:１ ９．解析:由题易知AC⊥BD,且∠ABD＝３０°, 所以向量AB→与BD→的夹角为１５０°． 答案:１５０° １０．解:(１)与AO → 相等的向量为:OC →,BF→,ED→． (２)与AO → 共线的向量为:OA →,OC→,CO→,AC→,CA→,ED→,DE→, BF →,FB→． (３)向量AO → 与CO → 不相等,因为AO → 与CO → 的方向相反,所 以它们不相等． １１．解:(１)如图所示: (２)连接 DA,由于CD → 方向是正 东,模长为２５０m,AB → 方向是正 西,模 长 为 ２５０ m,所 以 CD􀱀 AB,因此四边形ABCD 为平行 四边形,所 以|DA → |＝|BC → |＝ ４５０m,即DA → 的模为４５０m． １２．解析:根据题意画出示意图(图略)．由题意可知,|AB → | ＝１００,|BC → |＝１００,∠ABC＝４５°＋１５°＝６０°,∴△ABC 为正三角形,∴|CA → |＝１００,即此人从C 点回到A 点所 走的路程为１００m．又易知此人行走的方向为西偏北 １５°,所以此人从C点走回A 点的位移为沿西偏北１５°, 长度为１００m． 答案:沿西偏北１５°,长度为１００m １３．解:(１)|AD → |＝|BC → |,且AD → 与BC → 不平行． 因为AB → ∥CD →,所以四边形 ABCD 为梯形或平行四边 形．若四边形 ABCD 为等腰梯形,则|AD → |＝|BC → |,同 时两向量不平行． (２)AD → ＝BC →(或AD→∥BC→)． 若AD → ＝BC →,即四边形的一组对边平行且相等,此时四 边形ABCD 为平行四边形． １４．解:(１)证明:因为AB＝６,AD＝１,所以BD＝５,又 DE ＝３,BE＝４, 所以DE２＋BE２＝BD２,所 以 △DBE 是 直 角 三 角 形, ∠DEB＝９０°． 因为AB 为直径,所以∠ACB＝９０°． 所以AC∥DE,故AC→∥DE→． (２)因为AC∥DE,所以△ABC∽△DBE, 所以AC DE＝ AB BD ,即AC ３ ＝ ６ ５ , 解得AC＝１８５ ,即|AC→|＝１８５． (３)向量DE→与向量AB→的夹角即向量DE→与向量DB→的夹 角∠EDB,而cos∠EDB＝DEDB＝ ３ ５ ,所以向量DE→与向 量AB→夹角的余弦值为３５． §２．从位移的合成到向量的加减法 ２．１　向量的加法 １．D　２．B　３．C　４．C　５．AC ６．CD　[①满足向量加法的交换律与结合律,①正确．AB → ＋BA → ＝０,②不正确．DC → ＋AB → ＋BD → ＝DC → ＋(AB → ＋BD →) ＝DC → ＋AD → ＝AD → ＋DC → ＝AC →,③正确．] ７．０　８．２ ２ ９．解析:易知|AB→＋BC→|＝|AC→|＝１,以AB,AC 为邻边作 平行四边形ABDC,则|AB→＋AC→|＝|AD→|＝２|AB→|× sin６０°＝２×１× ３２＝ ３． 答案:１　 ３ １０．解:(１)DG → ＋EA → ＋CB → ＝GC → ＋BE → ＋CB → ＝GC → ＋CB → ＋BE → ＝GB → ＋BE → ＝GE →; (２)EG → ＋CG → ＋DA → ＋EB → ＝EG → ＋GD → ＋DA → ＋AE → ＝ED → ＋ DA → ＋AE → ＝EA → ＋AE → ＝０． １１．解:AB →,BC→分别表示飞机从A 地按北偏东３５°的方向飞 行８００km,从B地按南偏东５５°的方向飞行８００km,则飞 机飞行的路程指的是|AB → |＋|BC → |; 两次飞行的位移的和指的是AB → ＋BC → ＝AC → ． 依题意,有|AB → |＋|BC → |＝８００＋８００＝１６００(km), 又α＝３５°,β＝５５°,∠ABC＝３５°＋５５°＝９０°, 所以|AC → |＝ |AB → |２＋|BC → |２ ８００２＋８００２＝８００ ２(km)． 其中∠BAC＝４５°,所以方向为北偏东３５°＋４５°＝８０°． 从而飞机飞行的路程是１６００km,两次飞行的位移和 的大小为８００km,方向为北偏东８０°． １２．解:(１)在平面内任取一点O,作OA → ＝ a,AB → ＝b,BC → ＝c,CD → ＝d,则OD → ＝a ＋b＋c＋d． (２)在平面内任取一点O,作OA → ＝a, AB → ＝e,则a＋e＝OA → ＋AB → ＝OB →,因为e为单位向量, 所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示), 由图可知当点B 在点B１ 时,O,A,B１ 三点共线,|OB → | 即|a＋e|最大,最大值是３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３１􀅰 必修第二册 １３．解:(１)小 船 顺 流 行 驶 时 实 际 速 度 最 大,最 大 值 为 ２０km/h;小船 逆 流 行 驶 时 实 际 速 度 最 小,最 小 值 为 ０km/h,此时小船是静止的． (２)如图所示,设MA → 表示水流的速度, MN → 表示小船实际过河的速度,MB → 表 示小船在静水中的速度．设 MC⊥MA, 由 题 意 可 得|MA → |＝|MB → |＝１０, ∠CMN＝３０°,则∠AMN＝６０°,因为MA → ＋MB → ＝MN →, 所以四边形 MANB 为菱形． 所以△AMN,△BMN 为 等 边 三 角 形．在 △BMN 中, ∠BMN＝６０°,而∠CMN＝３０°,所以∠CMB＝３０°,所以 小船要由 M 直达码头N,其航向应为北偏西３０°． １４．证明:由题意知:AD→＝AC→＋CD→,BE→＝BC→＋CE→,CF→＝ CB→＋BF→． 由平面几何知识可知:EF→＝CD→,BF→＝FA→． 所以AD→＋BE→＋CF→＝(AC→＋CD→)＋(BC→＋CE→)＋(CB→＋ BF→)＝(AC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋(BC→＋CB→) ＝(AE→＋EC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋０ ＝AE→＋CD→＋BF→＝AE→＋EF→＋FA→＝０． ２．２　向量的减法 １．A　２．D　３．B　４．D　５．ABCD ６．ABD　[如图,根据平面向量的平行四边 形或三角形法则,当a,b不共线时,根据三 角形两边之和大于第三边,两边之差小于 第三边 有||a|－|b||＜|a±b|＜|a| ＋|b|． 当a,b同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|,||a|－|b||＝|a－b|．当 a,b反向时有|a＋b|＝||a|－|b||,|a|＋|b|＝|a－b|．] ７．０　８．３ ９．解析:(１)由 已 知 得a＋b＝AB→＋ BC→＝AC→,∵AC→＝c,∴ 延 长 AC 到E, 使|CE→|＝|AC→|．则 a＋b＋c ＝AE→, 且|AE→|＝２ ２．∴|a＋b＋c|＝ ２ ２． (２)作BF→＝AC→,连接CF, 则DB→＋BF→＝DF→,而DB→＝AB→－AD→＝AB→－BC→＝a－b, ∴|a－b＋c|＝DB→＋BF→＝DF→且|DF→|＝２． ∴|a－b＋c|＝２． 答案:(１)２ ２　(２)２ １０．解:(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→) ＝AC→＋BA→－DC→＋(DO→＋OB→) ＝AC→＋BA→－DC→＋DB→ ＝BC→－DC→＋DB→＝BC→＋CD→＋DB→ ＝BC→＋CB→＝０． １１．解:AC → ＝OC → －OA → ＝c－a,AD → ＝OD → －OA → ＝d－a,AD → － AB → ＝BD → ＝OD → －OB → ＝d－b,AB → ＋CF → ＝OB → －OA → ＋OF → －OC → ＝b－a＋f－c,BF → －BD → ＝DF → ＝OF → －OD → ＝f－d, DF → ＋FE → ＋ED → ＝０． １２．解:由题意知,AB → ＝a,BC → ＝b,CD → ＝c,DE → ＝d,EA → ＝ e,则 (１)DB → ＝DE → ＋EA → ＋AB → ＝d＋e＋a． (２)DB → ＝CB → －CD → ＝－BC → －CD → ＝－b－c． (３)EC → ＝EA → ＋AB → ＋BC → ＝a＋b＋e． (４)EC → ＝－CE → ＝－(CD → ＋DE →)＝－c－d． １３．解:(１)AC → ＝a＋b,DB → ＝a－b． (２)若a＋b与a－b垂直,即平行四边形的两条对角线 互相垂直,则四边形ABCD 为菱形,所以a,b应该满足 |a|＝|b|． (３)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线的长 相等,这样的平行四边形为矩形,故a,b应互相垂直． １４．证明:因为△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝９０°, 所以CA＝CB．又 M 是斜边AB 的中点, 所以CM＝AM＝BM． (１)因为CM→－CA→＝AM→, 又|AM→|＝|CM→|, 所以|a－b|＝|a|． (２)因为 M 是斜边AB 的中点, 所以AM→＝MB→, 所以a＋(a－b)＝CM→＋(CM→－CA→) ＝CM→＋AM→＝CM→＋MB→＝CB→． 因为|CA→|＝|CB→|,所以|a＋(a－b)|＝|b|． §３．从速度的倍数到向量的数乘 ３．１　向量的数乘运算 １．A　２．C　３．A　４．B　５．BC ６．AB　[由向量数乘的运算律,易知 A,B正确;对于 C,由 ma＝mb,可得m(a－b)＝０,所以 m＝０或a＝b,故 C错 误;对于D,由ma＝na,可得(m－n)a＝０,所以a＝０或m ＝n,故 D错误．故选 AB．] ７．－３２ ８．解析:由题知２x－２３a－ １ ２b－ １ ２c＋ ３ ２x＋b＝０ , ∴７２x＝ ２ ３a－ １ ２b＋ １ ２c , ∴x＝４２１a－ １ ７b＋ １ ７c． 答案:４ ２１a－ １ ７b＋ １ ７c ９．解析:MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝－ １２BC →＋BA→＋ ３４AC →＝ －１２AD →－AB→＋３４(AB →＋AD→)＝－１２b－a＋ ３ ４ (a＋b) ＝１４b－ １ ４a． 答案:１ ４b－ １ ４a １０．解:(１)原式＝６a－４b＋３a＋１５b－２０b＋５a＝１４a－９b． (２)原式＝１６ (４a＋１６b－１６a＋８b)＝１６ (－１２a＋２４b) ＝－２a＋４b． １１．解:(１)原方程可变为５x＋５a＋３x－３b＝０．即８x＝５a＋ ３b,则x＝－５８a＋ ３ ８b． (２)把第一个方程的左、右两边乘以－２,然后与第二个 方程相加,得３ ２y＝－２a＋b ,从而y＝－４３a＋ ２ ３b． 代入 原 来 第 二 个 方 程 得 x ＝ － ２３ a ＋ ４ ３ b． 即 x＝－２３a＋ ４ ３b , y＝－４３a＋ ２ ３b． ì î í ïï ï １２．解:(１)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴BC→＝AD→＝a． ∵M 为AB 的中点,∴MB→＝１２AB →＝１２b, ∴MC→＝MB→＋BC→＝１２b＋a． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３１􀅰 参考答案