第一章 三角函数 8三角函数的简单应用-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　§８．三角函数的简单应用 １．一根长lcm 的线,一端固定,另一端悬 挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置 的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式 是s＝３cos g lt＋ π ３ æ è ç ö ø ÷,其中g是重力加 速度,当小球摆动的周期是１s时,线长 l等于 (　　) A．gπ　　B． g ２π　　C． g π２ 　　D．g ４π２ ２．如图,单摆从某点开始 来回摆动,离开平衡位 置O的距离s(cm)和时 间t(s)的函数关系式为 s＝６sin２πt＋π６ æ è ç ö ø ÷,则单 摆摆动一个周期所需的时间为 (　　) A．２πs B．πs C．０．５s D．１s ３．商场人流量被定义为每分钟通过入口 的人数,五一期间某商场的人流量满足 函数F(t)＝５０＋４sint２ (t≥０),则在下 列时间段内人流量增加的是 (　　) A．[０,５] B．[５,１０] C．[１０,１５] D．[１５,２０] ４．下表是某市近３０年来月平均气温(℃) 的数据统计表: 月份 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 月平均 气温(℃) －５．９－３．３２．２ ９．３ １５．１２０．３２２．８２２．２１８．２１１．９ ４．３ －２．４ 则适合这组数据的函数模型是 (　　) A．y＝acosπx６ B．y＝acos (x－１)π ６ ＋k (a＞０,k＞０) C．y＝－acos (x－１)π ６ ＋k (a＞０,k＞０) D．y＝acosπx６－３ ５．(多选)如图所示是一质点做简谐运动 的图象,则下列结论正确的是 (　　) A．该质点的运动周期为０．７s B．该质点的振幅为５cm C．该质点在０．１s和０．５s时运动速度 为零 D．该质点在０．３s和０．７s时运动速度 为零 ６．(多选)如图,摩天 轮的半径为４０m, 其中心 O 点距离 地 面 的 高 度 为 ５０m,摩天轮按逆 时针方向匀速转 动,且２０min转一圈,若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处,则摩天轮转动 过程中,下列说法正确的是 (　　) A．经过１０min点P 距离地面１０m B．若摩天轮转速减半,则其周期变为原 来的１ ２ C．第１７min和第４３min时P 点距离 地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈,P 点距离地面的高 度不低于７０m的时间为２０３ min ７．如图所示,弹簧下挂着 的小球做上下振动．开 始时小球在平 衡 位 置 上方２cm处,然后小球 先向上运动,小球的最 高点和最低点与平衡位置的距离都是 ４cm,每经过πs小球往复运动一次,则 小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设 向上为正)与振动时间x(s)的关系式可 以是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 第一章　三角函数 ８．国际油价在某一时间内呈现正弦波动 规律:P＝Asinωπt＋π４ æ è ç ö ø ÷＋６０(单位;美 元/桶,t为天数,A＞０,ω＞０)．现采集 到下列信息:最高油价８０美元/桶,当t ＝１５０时,油价最低,则A 的值为　　 　　,ω的最小值为　　　　． ９．有一小球从某点开始 来回摆动,离开平衡位 置的距离s(单位:cm) 关于时间t(单位:s)的 函 数 解 析 式 是s＝ Asin(ωt＋φ),０＜φ＜ π ２ ,函 数 图 象 如 图 所 示,则函数的解析式为s＝　　　　． １０．将自行车支起来,使 后轮能平衡地匀速 转动,观察后轮气针 的运动规律,若将后 轮放入如图所示的 坐标系中,轮胎以角 速度ωrad/s做圆周 运动,P０ 是气针的初始位置,气针(看 作一个点P)到原点O的距离为r． (１)求气针 P 的纵坐标y 关于时间 t(s)的函数解析式,并求出P 的运动 周期; (２)当 φ＝ π ６ ,r＝ω＝１ 时,作 出 其 图象． １１．如图,一只蚂蚁 绕一 个 竖 直 放 置的 圆 逆 时 针 匀速爬行,已知 圆 的 半 径 为 １米,圆心 O 距 离地 面 的 高 度 为１．５米,蚂蚁爬行一圈需要４分钟, 且蚂蚁的起始位置在最低点P０ 处． (１)试写出蚂蚁距离地面的高度h(米) 关于时刻t(分钟)的函数关系式; (２)在蚂蚁绕圆爬行一圈的时间内,有 多长时间蚂蚁距离地面超过１米? １２．为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺 设置了一个专门安排游客住宿的客 栈,寺庙的工作人员发现为游客准备 的食物有些月份剩余不少,浪费很严 重,为了控制经营成本,减少浪费,就 想适时调整投入．为此他们统计每个 月入住的游客人数,发现每年各个月 份来客栈入住的游客人数会发生周期 性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客 人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在２月份最 少,在８月份最多,相差约４００人; ③２月份入住客栈的游客约为１００人, 随后逐月递增直到８月份达到最多． (１)试用一个正弦型三角函数描述一 年中入住客栈的游客人数与月份之间 的关系; (２)请问哪几个月份要准备４００份以 上的食物? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 必修第二册 １３．受日月的引力,海水会发生涨落,这种 现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨 潮时驶进航道,靠近船坞,卸货后落潮 时返回海岸,某港口水的深度y(米)是 时间t(０≤t≤２４,单位:小时)的函数, 记作:y＝f(t),下表是该港口在某季 节每天水深的数据: t(小时) ０ ３ ６ ９ １２ １５ １８ ２１ ２４ y(米) １０．０１３．０ ９．９ ７．０ １０．０１３．０１０．１ ７．０ １０．０ 经过长期观察,y＝f(t)的曲线可以近 似地看作函数y＝Asinωt＋k的图象． (１)根据以上数据,作出这些数据的散 点图,求 出 函 数 y＝f(t)的 近 似 表 达式; (２)一般情况下,船舶航行时,船底离 海底的距离为５米或５米以上时认为 是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰 到海底即可),某船吃水深度(船底离 水面的距离)为６．５米,如果该船想在 同一天内安全进出港,问它至多能在 港内停留多长时间(忽略进出港所需 时间)? １４．如图是半径为１m 的水车截面图,在它 的边缘圆周上有一 动点P,按逆时针方 向以角速度π ３rad /s (每秒绕圆心转动π ３rad )做圆周运动, 已 知 点 P 的 初 始 位 置 为 P０,且 ∠xOP０＝ π ６ ,设点P 的纵坐标y 是转 动时 间t(单 位:s)的 函 数,记 为 y ＝f(t)． (１)写出函数y＝f(t)的解析式,并求 f(０),f ３２ æ è ç ö ø ÷的值; (２)选用恰当的方法作出函数f(t),０ ≤t≤６的简图; (３)试比较f １３ æ è ç ö ø ÷,f ３１４ æ è ç ö ø ÷,f ３１５ æ è ç ö ø ÷ 的大 小(直接给出大小关系,不用说明理 由)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第一章　三角函数 １０．解:由 ３－tanx≥０,并结合图 象可求定义域,进而可求值域． 作 出 函 数 y ＝ tan x 在 －π２ ,π ２( ) 上 的 图 象,如 图 所示． 因为 ３－tanx≥０,所以tanx ≤ ３,结合图易得kπ－ π２ ＜x ≤kπ＋π３ (k∈Z),显然有y≥０． 故所求函数的定义域为 kπ－π２ ,kπ＋π３( ](k∈Z), 值域为[０,＋∞)． １１．解:(１)∵９０°＜１６７°＜１７３°＜１８０°, 又y＝tanx在９０°＜x＜２７０°范围内是增函数, ∴tan１６７°＜tan１７３°． (２)∵tan －１１π４( )＝－tan １１π ４ ＝tan π ４ , tan －１３π５( )＝－tan １３π ５ ＝tan ２π ５ , 又０＜π４＜ ２π ５＜ π ２ ,函数y＝tanx在 －π２ ,π ２( ) 上是 增函数, ∴tanπ４＜tan ２π ５ ,即tan －１１π４( ) ＜tan － １３π ５( )． １２．解:作 出 函 数 y＝tanx,x ∈ －π２ ,π ２( ) 的图象,如图所示． (１)在 －π２ ,π ２( ) 内,满足tanx≤ －１的x的取值范围为－π２＜x≤ －π４ ,结合函数图象, 可知tanx≤－１的解集为 xkπ－π２＜x≤kπ－ π ４ ,k∈Z{ }． (２)由tanx≥－１,得kx－π４≤x＜ π ２＋kπ ,k∈Z． 由kπ－π４≤２x－ π ６＜kπ＋ π ２ ,k∈Z,∴kπ２－ π ２４≤x＜ kπ ２＋ π ３ ,k∈Z． ∴tan ２x－π６( ) ≥－１的解集为 x kπ２－ π ２４≤x＜ kπ ２＋ π ３ ,k∈Z{ }． １３．解:(１)由题意知正切函数图象与x轴相邻两交点的距 离为一个周期,得函数f(x)的最小正周期 T＝ π２ ,即 π |ω|＝ π ２． 因为ω＞０,所以ω＝２,所以f(x)＝tan(２x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图象关于点M －π８ ,０( ) 对称, 所以２× －π８( )＋φ＝ kπ ２ ,k∈Z,即φ＝ kπ ２＋ π ４ ,k∈Z． 因为０＜φ＜ π ２ ,所以φ＝ π ４． 故f(x)＝tan ２x＋π４( )． (２)由(１)知,f(x)＝tan ２x＋π４( )． 将２x＋π４ 看成一个整体,代入正切函数的单调区间． 令－π２＋kπ＜２x＋ π ４＜ π ２＋kπ ,k∈Z,得－３π８＋ kπ ２＜ x＜π８＋ kπ ２ ,k∈Z, 所以函数 的 单 调 递 增 区 间 为 －３π８＋ kπ ２ ,π ８＋ kπ ２( ) ,k ∈Z,无单调递减区间． (３)由(１),知f(x)＝tan ２x＋π４( )． 由－１≤tan ２x＋π４( ) ≤ ３,得－ π ４ ＋kπ≤２x＋ π ４ ≤ π ３＋kπ ,k∈Z,解得－π４＋ kπ ２≤x≤ π ２４＋ kπ ２ , k∈Z． 所以－１≤f(x)≤ ３的解集为 x －π４＋ kπ ２≤x≤ π ２４＋ kπ ２ ,k∈Z{ }． １４．解:(１)由cosx≠０,得x≠kπ＋π２ (k∈Z), 所以函数f(x)的定义域是 x x≠kπ＋π２ ,k∈Z{ }． (２)由(１)知函数f(x)的定义域关于原点对称, 因为f(－x)＝ sin (－x) |cos(－x)|＝ －sinx |cosx|＝－f (x), 所以f(x)是奇函数． (３)f(x)＝ tanx,－π２＜x＜ π ２ , －tanx,－π≤x＜－π２ 或π ２＜x≤π , ì î í ïï ï 所以f(x)在[－π,π]上的图象如图所示, §８．三角函数的简单应用 １．D　２．D　３．C　４．C　５．BC ６．ACD　[建 立 如 图 所 示 的 平面直角坐标系,设φ(０≤ φ＜２π)是以x轴的非负半 轴为始边,OP０(P０ 表示点 P 的 起 始 位 置 )为 终 边 的角, 由点P 的起始位置在最高 点知,φ＝ π ２ , 又由题 知 OP 在t min内 转过的角为２π ２０t ,即πt １０ ,所以以x 轴的非负半轴为始边, OP 为 终 边 的 角 为 πt１０ ＋ π ２ ,即 点 P 的 纵 坐 标 为４０sin πt１０＋ π ２( ) , 所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t的函数关系 式是h(t)＝５０＋４０sin πt１０＋ π ２( )＝５０＋４０cos πt １０． 当t＝１０时,h＝５０＋４０cosπ＝１０,A 正确;当转速减半 时,周期是原来的２倍,B错误;h(１７)＝５０＋４０cos１７π１０＝ ５０＋４０cos３π１０ ,h(４３)＝５０＋４０cos４３π１０＝５０＋４０cos ３π １０ , C正确;由h(t)＝５０＋４０cosπt１０≥７０ ,得cosπt１０≥ １ ２ ,所 以２kπ－π３≤ πt １０≤２kπ＋ π ３ ,k∈Z,即２０k－１０３ ≤t≤２０k 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３１􀅰 必修第二册 ＋１０３ ,k∈Z,因此一个周期内高度不低于７０m 的时间为 ２０ ３min ,D正确．故选 ACD．] ７．解析:不妨设y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞０,ω＞０)．由题 知A＝４,周期T＝π,所以ω＝２πT ＝２． 当x＝０时,y＝２, 且小球先开始向上运动,所以φ＝２kπ＋ π ６ ,k∈Z,不妨 取φ＝ π ６ ,故所求关系式可以为y＝４sin ２x＋π６( )． 答案:y＝４sin ２x＋π６( )(答案不唯一) ８．解析:由A＋６０＝８０,得A＝２０． 因为当t＝１５０时油价最低,所以１５０ωπ＋ π４ ＝－ π ２ ＋ ２kπ,k∈Z,即ω＝k７５－ １ ２００ ,又ω＞０,所以当k＝１时,ω 取得最小值,此时ω＝１７５－ １ ２００＝ １ １２０． 答案:２０　 １１２０ ９．解析:根据图象,知 １６ ,０( ) ,１１１２,０( ) 两点的距离刚好是 ３ ４ 个周期,所以３ ４T＝ １１ １２－ １ ６＝ ３ ４． 所以T＝１,则ω＝２πT ＝２π． 因为当t＝１６ 时,函数取得最 大值,所以２π×１６＋φ＝ π ２ ＋２kπ ,k∈Z,又０＜φ＜ π ２ , 所以φ＝ π ６ ,因 为t＝０时,s＝３,所 以 A＝６,所 以s＝ ６sin ２πt＋π６( )． 答案:６sin ２πt＋π６( ) １０．解:(１)过P 作x 轴的垂线(图略),垂足为 M,则 MP 就 是正弦线, ∴y＝rsin(ωt＋φ),因此周期T＝ ２π ω． (２)当φ＝ π ６ ,r＝ω＝１时,y＝sint＋π６( ) ,其图象可由 y＝sint的 图 象 向 左 平 移 π６ 个 单 位 长 度 得 到,如 图 所示． １１．解:(１)如 图 所 示,设t时 刻蚂 蚁 爬 到 A 点,连 接 OA,过点A 作AB⊥OP０, 因为蚂蚁爬行一圈需要４ 分钟,所 以 在t时 刻 所 转 过 的 圆 心 角 为 ∠BOA＝ ２π ４t＝ π ２t , 在 Rt△OBA 中, OB＝cosπ２t , 所以h＝１．５－cosπ２t． (２)h＝１．５－cosπ２t＞１⇒cos π ２t＜ １ ２⇒ π ３ ＜ π ２t＜ ５π ３ ⇒２３＜t＜ １０ ３ ,则持续时间为１０ ３－ ２ ３＝ ８ ３ (分钟)． １２．解:(１)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞０,ω＞ ０,０＜|φ|＜π),根 据 条 件①,可 知 这 个 函 数 的 周 期 是 １２;由②可知,f(２)最小,f(８)最大,且f(８)－f(２)＝ ４００,故该函数的振幅为２００;由③可知,f(x)在[２,８]上 单调递增,且f(２)＝１００,所以f(８)＝５００． 根 据 上 述 分 析 可 得,２π ω ＝ １２ ,故 ω ＝ π６ ,且 －A＋B＝１００, A＋B＝５００,{ 解得 A＝２００, B＝３００．{ 根据分析可知,当x＝２时,f(x)最小,当x＝８时,f(x) 最大,故sin(２×π６＋φ )＝－１,且sin(８×π６＋φ )＝１． 又因为０＜|φ|＜π,所以φ＝－ ５π ６． 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x) ＝２００sin π６x－ ５π ６( )＋３００． (２)由条件可知,２００sin π６x－ ５π ６( )＋３００≥４００,化简得 sin π６x－ ５π ６( ) ≥ １ ２ ,即２kπ＋ π６ ≤ π ６x－ ５π ６ ≤２kπ＋ ５π ６ ,k∈Z,解得１２k＋６≤x≤１２k＋１０,k∈Z． 因为x∈N∗ ,且１≤x≤１２,所以x＝６,７,８,９,１０,即在６ 月、７月、８月、９月、１０月均要准备４００份以上的食物． １３．解:(１)散点图: 由数据知函数y＝f(t)的周期T＝１２, 振幅A＝３,k＝１０,∴ω＝２π１２＝ π ６ , ∴y＝３sinπ６t＋１０ (０≤t≤２４)． (２)由题意可知,该船进出港时,水深应不小于５＋６．５ ＝１１．５(米)． ３sinπ６t＋１０≥１１．５ ,即sin π６t≥ １ ２． ∴２kπ＋π６≤ π ６t≤２kπ＋ ５ ６π ,k∈Z． ∴１２k＋１≤t≤１２k＋５,k∈Z． ∴在同一天内,取k＝０或１, 此时,１≤t≤５或１３≤t≤１７． ∴该船最早在凌晨１时进港,５时出港,或中午１３时进 港,下午１７时出港,最多在港口停留８小时． １４．解:(１)由题意知函数,y＝f(t)＝sin π３t＋ π ６( ) ,t≥０, 所以f(０)＝sinπ６＝ １ ２ , f ３２( )＝sin ３ ２× π ３＋ π ６( )＝cos π ６＝ ３ ２． (２)根据题意列表: t ０ １ ５２ ４ １１ ２ ６ π ３t＋ π ６ π ６ π ２ π ３π ２ ２π １３π ６ y １２ １ ０ －１ ０ １ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３１􀅰 参考答案 描点、连线,作出函数f(t),０≤t≤６的简图,如图所示． (３)f １３( ) ＞f ３１ ４( ) ＞f ３１ ５( )． 第二章　平面向量及其应用 §１．从位移、速度、力到向量 １．D　２．D　３．ABC　４．D　５．ACD ６．ABC　[对于 A,向量平行时,表示向量的有向线段所在 直线可以重合或平行,故 A正确．对于 B,∵|a|＝|b|≠ ０,∴a,b都是非零向量,∵a∥b,∴a与b 方向相同或相 反,∴a＝b或a＝－b．故B正确．对于 C,向量AB → 与向量 BA → 方向相反,但长度相等．故 C正确．对于 D,单位向量 除了长度为１,还有方向,而向量相等需要长度相等且方 向相同．故 D错误．故选 ABC．] ７．②③ ８．解析:连 接 AC(图 略),由|OC→|＝|OB→|,得 ∠ABC＝ ∠OCB＝３０°,又∠ACB＝９０°,则|AC→|＝１２|AB →|＝１２× ２＝１． 答案:１ ９．解析:由题易知AC⊥BD,且∠ABD＝３０°, 所以向量AB→与BD→的夹角为１５０°． 答案:１５０° １０．解:(１)与AO → 相等的向量为:OC →,BF→,ED→． (２)与AO → 共线的向量为:OA →,OC→,CO→,AC→,CA→,ED→,DE→, BF →,FB→． (３)向量AO → 与CO → 不相等,因为AO → 与CO → 的方向相反,所 以它们不相等． １１．解:(１)如图所示: (２)连接 DA,由于CD → 方向是正 东,模长为２５０m,AB → 方向是正 西,模 长 为 ２５０ m,所 以 CD􀱀 AB,因此四边形ABCD 为平行 四边形,所 以|DA → |＝|BC → |＝ ４５０m,即DA → 的模为４５０m． １２．解析:根据题意画出示意图(图略)．由题意可知,|AB → | ＝１００,|BC → |＝１００,∠ABC＝４５°＋１５°＝６０°,∴△ABC 为正三角形,∴|CA → |＝１００,即此人从C 点回到A 点所 走的路程为１００m．又易知此人行走的方向为西偏北 １５°,所以此人从C点走回A 点的位移为沿西偏北１５°, 长度为１００m． 答案:沿西偏北１５°,长度为１００m １３．解:(１)|AD → |＝|BC → |,且AD → 与BC → 不平行． 因为AB → ∥CD →,所以四边形 ABCD 为梯形或平行四边 形．若四边形 ABCD 为等腰梯形,则|AD → |＝|BC → |,同 时两向量不平行． (２)AD → ＝BC →(或AD→∥BC→)． 若AD → ＝BC →,即四边形的一组对边平行且相等,此时四 边形ABCD 为平行四边形． １４．解:(１)证明:因为AB＝６,AD＝１,所以BD＝５,又 DE ＝３,BE＝４, 所以DE２＋BE２＝BD２,所 以 △DBE 是 直 角 三 角 形, ∠DEB＝９０°． 因为AB 为直径,所以∠ACB＝９０°． 所以AC∥DE,故AC→∥DE→． (２)因为AC∥DE,所以△ABC∽△DBE, 所以AC DE＝ AB BD ,即AC ３ ＝ ６ ５ , 解得AC＝１８５ ,即|AC→|＝１８５． (３)向量DE→与向量AB→的夹角即向量DE→与向量DB→的夹 角∠EDB,而cos∠EDB＝DEDB＝ ３ ５ ,所以向量DE→与向 量AB→夹角的余弦值为３５． §２．从位移的合成到向量的加减法 ２．１　向量的加法 １．D　２．B　３．C　４．C　５．AC ６．CD　[①满足向量加法的交换律与结合律,①正确．AB → ＋BA → ＝０,②不正确．DC → ＋AB → ＋BD → ＝DC → ＋(AB → ＋BD →) ＝DC → ＋AD → ＝AD → ＋DC → ＝AC →,③正确．] ７．０　８．２ ２ ９．解析:易知|AB→＋BC→|＝|AC→|＝１,以AB,AC 为邻边作 平行四边形ABDC,则|AB→＋AC→|＝|AD→|＝２|AB→|× sin６０°＝２×１× ３２＝ ３． 答案:１　 ３ １０．解:(１)DG → ＋EA → ＋CB → ＝GC → ＋BE → ＋CB → ＝GC → ＋CB → ＋BE → ＝GB → ＋BE → ＝GE →; (２)EG → ＋CG → ＋DA → ＋EB → ＝EG → ＋GD → ＋DA → ＋AE → ＝ED → ＋ DA → ＋AE → ＝EA → ＋AE → ＝０． １１．解:AB →,BC→分别表示飞机从A 地按北偏东３５°的方向飞 行８００km,从B地按南偏东５５°的方向飞行８００km,则飞 机飞行的路程指的是|AB → |＋|BC → |; 两次飞行的位移的和指的是AB → ＋BC → ＝AC → ． 依题意,有|AB → |＋|BC → |＝８００＋８００＝１６００(km), 又α＝３５°,β＝５５°,∠ABC＝３５°＋５５°＝９０°, 所以|AC → |＝ |AB → |２＋|BC → |２ ８００２＋８００２＝８００ ２(km)． 其中∠BAC＝４５°,所以方向为北偏东３５°＋４５°＝８０°． 从而飞机飞行的路程是１６００km,两次飞行的位移和 的大小为８００km,方向为北偏东８０°． １２．解:(１)在平面内任取一点O,作OA → ＝ a,AB → ＝b,BC → ＝c,CD → ＝d,则OD → ＝a ＋b＋c＋d． (２)在平面内任取一点O,作OA → ＝a, AB → ＝e,则a＋e＝OA → ＋AB → ＝OB →,因为e为单位向量, 所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示), 由图可知当点B 在点B１ 时,O,A,B１ 三点共线,|OB → | 即|a＋e|最大,最大值是３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３１􀅰 必修第二册