7.3正切函数的图象与性质-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　７．３　正切函数的图象与性质 １．函数y＝tan π４－x æ è ç ö ø ÷的定义域是 (　　) A．xx≠π４ ,x∈R{ } B．xx≠－π４ ,x∈R{ } C．xx≠kπ＋π４ ,k∈Z,x∈R{ } D．xx≠kπ＋３４π ,k∈Z,x∈R{ } ２．函数f(x)＝tanx２－ π ６ æ è ç ö ø ÷ 的单调递增区 间是 (　　) A．２kπ－２π３ ,２kπ＋４π３ é ë êê ù û úú,k∈Z B．２kπ－２π３ ,２kπ＋４π３ æ è ç ö ø ÷,k∈Z C．４kπ－２π３ ,４kπ＋４π３ é ë êê ù û úú,k∈Z D．４kπ－２π３ ,４kπ＋４π３ æ è ç ù û úú,k∈Z ３．在函数①y＝cos|２x|,②y＝|cosx|, ③y＝cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷,最小正周期为π的 所有函数为 (　　) A．①②　　　　　　　　B．①③ C．①②③ D．②③ ４．关于函数f(x)＝tan２x－π４ æ è ç ö ø ÷,有以下 命题,正确的是 (　　) A．函数f(x)的周期是π２ B． 函 数 f (x ) 的 定 义 域 是 x|x∈R,且x≠kπ２＋ π ８ ,k∈Z{ } C．y＝f(x)是奇函数 D．y＝f(x)的 一 个 单 调 递 增 区 间 为 －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷ ５．(多选)下列关于函数y＝tanx＋π３ æ è ç ö ø ÷的 说法正确的是 (　　) A．图象关于点 π６ ,０ æ è ç ö ø ÷成中心对称 B．图象关于直线x＝π６ 成轴对称 C．在区间 －π６ ,５π ６ æ è ç ö ø ÷上单调递增 D．在区间 －５π６ ,π ６ æ è ç ö ø ÷上单调递增 ６．(多选)如图所示,函数f(x)＝ ３tan(２x ＋φ)|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷的部分图象与坐标轴分 别交于点 D,E,F,且△DEF 的面积为 π ４ ,以下结论正确的是 (　　) A．点D 的纵坐标为 ３ B．－π３ ,π ６ æ è ç ö ø ÷ 是f(x)的一个单调递增 区间 C．对任意k∈Z,点 －π１２＋ kπ ４ ,０ æ è ç ö ø ÷ 都是 f(x)图象的对称中心 D．f(x)的图象可由y＝ ３tanx图象上 各点的横坐标缩短为原来的１ ２ ,纵坐 标不变,再把得到的图象向左平移π ６ 个单位长度得到 ７．正 切 函 数 y ＝tan －x２ æ è ç ö ø ÷ 的 周 期 是　　　　． ８．函 数 y ＝tan ３x－π３ æ è ç ö ø ÷ 的 定 义 域 为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 第一章　三角函数 ９．函数f(x)＝tan２x在 －π６ ,π ６ é ë êê ù û úú上的最 大值为　　　　,最小值为　　　　． １０．求 函 数 y＝ ３－tanx的 定 义 域 和 值域． １１．不求值,比较下列各组中两个正切函 数值的大小． (１)tan１６７°与tan１７３°; (２)tan －１１π４ æ è ç ö ø ÷与tan －１３π５ æ è ç ö ø ÷． １２．求下列不等式的解集: (１)tanx≤－１; (２)tan２x－π６ æ è ç ö ø ÷≥－１． １３．设 函 数 f (x)＝tan (ωx ＋φ) ω＞０,０＜φ＜ π ２ æ è ç ö ø ÷,已知函数y＝f(x) 的图象与x 轴相邻两个交点的距离 为π ２ ,且图象关于点 M －π８ ,０ æ è ç ö ø ÷对称． (１)求f(x)的解析式; (２)求f(x)的单调区间; (３)求－１≤f(x)≤ ３的解集． １４．已知函数f(x)＝ sinx|cosx|． (１)求函数f(x)的定义域; (２)用定义判断函数f(x)的奇偶性; (３)在[－π,π]上作出函数f(x)的 图象． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 必修第二册 ７．解析:∵sin(π＋α)＝－sinα＝１２ ,∴sinα＝－１２ , 又α∈ －π２ ,０( ) ,∴α＝－π６, ∴tanα＝tan －π６( )＝－ ３ ３． 答案:－ ３３ ８．解析:(１)设x＝３,y＝４则r＝ ３２＋４２＝５, 所以sinα＝yr ＝ ４ ５ ,cosα＝xr ＝ ３ ５ ,tanα＝yx ＝ ４ ３ ,所 以tan(－６π＋α)＝tanα＝４３． (２)原式＝sinαcosα 􀅰sinα􀅰cosα＝sin２α＝ ４５( ) ２ ＝１６２５． 答案:(１)４３　 (２)１６２５ ９．解析: cos π２－α( )－３cosα sinα－cos(π＋α) ＝ sinα－３cosα sinα＋cosα ＝tanα－３tanα＋１＝２． 解得tanα＝－５． 答案:－５ １０．解:(１)因 为 P ４５ ,－３５( ) ,|OP|＝１,所 以 sinα＝ －３５． (２) sin π２－α( )tan(α－π) sin(α＋π)cos(３π－α)＝ cosαtanα －sinα(－cosα)＝ １ cosα , 由三角函数定义知cosα＝４５ ,故所求式子的值为５ ４． １１．解:左边＝－tanαsin (－α)cos(－α) cos(π－α)sin(π－α) ＝ －tanα(－sinα)cosα －cosαsinα ＝－tanα＝ 右边, ∴原式得证． １２．解:(１)sin２５π３ ＋tan － １５π ４( ) ＝sin ８π＋π３( )＋tan －４π＋ π ４( ) ＝sinπ３＋tan π ４＝ ３ ２＋１＝ ３＋２ ２ ． (２)sin８１０°＋cos３６０°－tan１１２５° ＝sin(２×３６０°＋９０°)＋cos(０°＋３６０°)－tan(３×３６０°＋４５°) ＝sin９０°＋cos０°－tan４５° ＝１＋１－１＝１． １３．解:(１)cos π２＋φ( )＝－sinφ＝ ３ ２ , sinφ＝－ ３ ２ ,又因为|φ|＜ π ２ ,所以cosφ＝ １ ２ ,故tanφ ＝－ ３． (２)因为sin(α＋π)＝－sinα＝４５ , 且sinαcosα＜０,所以sinα＝－４５ , cosα＝３５ ,tanα＝－４３ , 所以２sin(α－π)＋３tan(３π－α) ４cos(α－３π) ＝－２sinα－３tanα－４cosα ＝ ８ ５＋４ －４×３５ ＝－７３． １４．解:由sinα是方程５x２－７x－６＝０的根, 可得sinα＝－３５ 或sinα＝２(舍), 原式＝ －sin ３π２＋α( )×sin ３π ２－α( )×(－tanα) ２×(－tanα) sinα×(－sinα) ＝cosα× (－cosα)×tan２α×(－tanα) sinα×(－sinα) ＝－tanα． 由sinα＝－３５ ,可知α是第三象限或者第四象限角,所 以tanα＝３４ 或－３４ ,即所求式子的值为±３４． ７．３　正切函数的图象与性质 １．D　２．B　３．C　４．A　５．AD ６．BC　[因为f(x)＝ ３tan(２x＋φ),所以其最小正周期T ＝π２ ,则EF＝π２ ,又△DEF 的面积为 π４ ,所以S△DEF ＝ １ ２×EF×OD＝ １ ２× π ２×OD＝ π ４ ,所以OD＝１,即点D 的纵坐标 为 １,故 A 错 误;因 为 OD＝１,所 以 f(０)＝ ３tanφ＝１,所以tanφ＝ ３ ３ ,所以φ＝ π ６＋kπ ,k∈Z,又 因 为 |φ| ＜ π ２ ,所 以 φ ＝ π ６ ,所 以 f (x)＝ ３tan ２x＋π６( ) ,令－ π ２＋kπ＜２x＋ π ６＜ π ２＋kπ ,k∈Z, 解得－π３＋ kπ ２＜x＜ π ６＋ kπ ２ ,k∈Z,所以函数f(x)的单 调递增区间为 －π３＋ kπ ２ ,π ６＋ kπ ２( ) ,k∈Z,故 B正确; 令２x＋π６＝ kπ ２ ,k∈Z,解得x＝－π１２＋ kπ ４ ,k∈Z,所以函 数f(x)图象的对称中心为 －π１２＋ kπ ４ ,０( ) ,k∈Z,故C正 确;将y＝ ３tanx的图象上各点的横坐标缩短为原来的 １ ２ ,纵坐标不变,得到y＝ ３tan２x的图象,再将得到的图 象向左平移 π ６ 个单位长度,得到y＝ ３tan２ x＋π６( ) ＝ ３􀅰tan ２x＋π３( ) 的图象,故 D错误．故选BC．] ７．解析:由正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期公式T＝ π |ω| , 可求得函数y＝tan －x２( ) 的周期T＝ π |ω|＝ π １ ２ ＝２π． 答案:２π ８．解析:要使函数有意义,自变量x的取值应满足３x－ π３ ≠kπ＋π２ (k∈Z),得x≠kπ３＋ ５π １８ (k∈Z),∴函数的定义 域为 x x≠kπ３＋ ５π １８ ,k∈Z{ }． 答案:x x≠kπ３＋ ５π １８ ,k∈Z{ } ９．解析:∵－π６≤x≤ π ６ ,∴－π３≤２x≤ π ３． ∴f(x)＝tan２x在 －π６ ,π ６[ ] 上为增函数, ∴f(x)max＝f π ６( )＝tan π ３＝ ３ , f(x)min＝f － π ６( )＝tan － π ３( )＝－ ３． 答案:３　－ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３１􀅰 参考答案 １０．解:由 ３－tanx≥０,并结合图 象可求定义域,进而可求值域． 作 出 函 数 y ＝ tan x 在 －π２ ,π ２( ) 上 的 图 象,如 图 所示． 因为 ３－tanx≥０,所以tanx ≤ ３,结合图易得kπ－ π２ ＜x ≤kπ＋π３ (k∈Z),显然有y≥０． 故所求函数的定义域为 kπ－π２ ,kπ＋π３( ](k∈Z), 值域为[０,＋∞)． １１．解:(１)∵９０°＜１６７°＜１７３°＜１８０°, 又y＝tanx在９０°＜x＜２７０°范围内是增函数, ∴tan１６７°＜tan１７３°． (２)∵tan －１１π４( )＝－tan １１π ４ ＝tan π ４ , tan －１３π５( )＝－tan １３π ５ ＝tan ２π ５ , 又０＜π４＜ ２π ５＜ π ２ ,函数y＝tanx在 －π２ ,π ２( ) 上是 增函数, ∴tanπ４＜tan ２π ５ ,即tan －１１π４( ) ＜tan － １３π ５( )． １２．解:作 出 函 数 y＝tanx,x ∈ －π２ ,π ２( ) 的图象,如图所示． (１)在 －π２ ,π ２( ) 内,满足tanx≤ －１的x的取值范围为－π２＜x≤ －π４ ,结合函数图象, 可知tanx≤－１的解集为 xkπ－π２＜x≤kπ－ π ４ ,k∈Z{ }． (２)由tanx≥－１,得kx－π４≤x＜ π ２＋kπ ,k∈Z． 由kπ－π４≤２x－ π ６＜kπ＋ π ２ ,k∈Z,∴kπ２－ π ２４≤x＜ kπ ２＋ π ３ ,k∈Z． ∴tan ２x－π６( ) ≥－１的解集为 x kπ２－ π ２４≤x＜ kπ ２＋ π ３ ,k∈Z{ }． １３．解:(１)由题意知正切函数图象与x轴相邻两交点的距 离为一个周期,得函数f(x)的最小正周期 T＝ π２ ,即 π |ω|＝ π ２． 因为ω＞０,所以ω＝２,所以f(x)＝tan(２x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图象关于点M －π８ ,０( ) 对称, 所以２× －π８( )＋φ＝ kπ ２ ,k∈Z,即φ＝ kπ ２＋ π ４ ,k∈Z． 因为０＜φ＜ π ２ ,所以φ＝ π ４． 故f(x)＝tan ２x＋π４( )． (２)由(１)知,f(x)＝tan ２x＋π４( )． 将２x＋π４ 看成一个整体,代入正切函数的单调区间． 令－π２＋kπ＜２x＋ π ４＜ π ２＋kπ ,k∈Z,得－３π８＋ kπ ２＜ x＜π８＋ kπ ２ ,k∈Z, 所以函数 的 单 调 递 增 区 间 为 －３π８＋ kπ ２ ,π ８＋ kπ ２( ) ,k ∈Z,无单调递减区间． (３)由(１),知f(x)＝tan ２x＋π４( )． 由－１≤tan ２x＋π４( ) ≤ ３,得－ π ４ ＋kπ≤２x＋ π ４ ≤ π ３＋kπ ,k∈Z,解得－π４＋ kπ ２≤x≤ π ２４＋ kπ ２ , k∈Z． 所以－１≤f(x)≤ ３的解集为 x －π４＋ kπ ２≤x≤ π ２４＋ kπ ２ ,k∈Z{ }． １４．解:(１)由cosx≠０,得x≠kπ＋π２ (k∈Z), 所以函数f(x)的定义域是 x x≠kπ＋π２ ,k∈Z{ }． (２)由(１)知函数f(x)的定义域关于原点对称, 因为f(－x)＝ sin (－x) |cos(－x)|＝ －sinx |cosx|＝－f (x), 所以f(x)是奇函数． (３)f(x)＝ tanx,－π２＜x＜ π ２ , －tanx,－π≤x＜－π２ 或π ２＜x≤π , ì î í ïï ï 所以f(x)在[－π,π]上的图象如图所示, §８．三角函数的简单应用 １．D　２．D　３．C　４．C　５．BC ６．ACD　[建 立 如 图 所 示 的 平面直角坐标系,设φ(０≤ φ＜２π)是以x轴的非负半 轴为始边,OP０(P０ 表示点 P 的 起 始 位 置 )为 终 边 的角, 由点P 的起始位置在最高 点知,φ＝ π ２ , 又由题 知 OP 在t min内 转过的角为２π ２０t ,即πt １０ ,所以以x 轴的非负半轴为始边, OP 为 终 边 的 角 为 πt１０ ＋ π ２ ,即 点 P 的 纵 坐 标 为４０sin πt１０＋ π ２( ) , 所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t的函数关系 式是h(t)＝５０＋４０sin πt１０＋ π ２( )＝５０＋４０cos πt １０． 当t＝１０时,h＝５０＋４０cosπ＝１０,A 正确;当转速减半 时,周期是原来的２倍,B错误;h(１７)＝５０＋４０cos１７π１０＝ ５０＋４０cos３π１０ ,h(４３)＝５０＋４０cos４３π１０＝５０＋４０cos ３π １０ , C正确;由h(t)＝５０＋４０cosπt１０≥７０ ,得cosπt１０≥ １ ２ ,所 以２kπ－π３≤ πt １０≤２kπ＋ π ３ ,k∈Z,即２０k－１０３ ≤t≤２０k 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３１􀅰 必修第二册