6.3探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　６．３　探究A 对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 １．函数y＝－２sin π４－ x ２ æ è ç ö ø ÷的周期、振幅、 初相分别是 (　　) A．２π,－２,π４　　　B．４π ,－２,π４ C．２π,２,－π４ D．４π ,２,－π４ ２．已 知 函 数 f (x)＝ Asin(ωx＋φ)(x∈R,A ＞０,|φ|＜ π ２ )的 图 象 (部 分)如 图 所 示,则 f(x)的解析式是 (　　) A．f(x)＝２sinπx＋π６ æ è ç ö ø ÷(x∈R) B．f(x)＝２sin２πx＋π６ æ è ç ö ø ÷(x∈R) C．f(x)＝２sinπx＋π３ æ è ç ö ø ÷(x∈R) D．f(x)＝２sin２πx＋π３ æ è ç ö ø ÷(x∈R) ３．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω ＞０,|φ|＜π)是奇函数,将y＝f(x)的 图象上所有点的横坐标伸长到原来的２ 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数 为g(x)．若g(x)的最小正周期为２π,且 g π４ æ è ç ö ø ÷＝ ２,则f ３π８ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－２　　　　　　　　B．－ ２ C．２ D．２ ４．当x＝π４ 时,函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞ ０)取得最小值,则函数y＝f３π４－x æ è ç ö ø ÷是 (　　) A．奇函数且图象关于点 π２ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 B．偶函数且图象关于点(π,０)对称 C．奇函数且图象关于直线x＝π２ 对称 D．偶函数且图象关于点 π２ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 ５．(多选)关于函数f(x)＝４sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷(k ∈R),下列命题正确的是 (　　) A．f(x)的 解 析 式 可 改 写 为 y＝ ４cos２x－π６ æ è ç ö ø ÷ B．f(x)是以２π为最小正周期的周期函数 C．函数fx－π６ æ è ç ö ø ÷是奇函数 D．fx＋π１２ æ è ç ö ø ÷的图象关于y轴对称 ６．(多选)将函数f(x)＝２sinx的图象先 向左平移π ６ 个单位长度,然后纵坐标不 变,横坐标变为原来的２倍,得到g(x) 的图象,下面四个结论正确的是 (　　) A．函数g(x)在区间 ０,２π３ é ë êê ù û úú上为增函数 B．将函数g(x)的图象向右平移π６ 个单 位长度后得到的图象关于原点对称 C．点 －π３ ,０ æ è ç ö ø ÷是函数g(x)图象的一个 对称中心 D．函数g(x)在[π,２π]上的最大值为 ３ ７．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(０≤ φ＜２π)个单位长度后,得到函数y＝ sinx－π６ æ è ç ö ø ÷的图象,则φ＝　　　　． ８．关于f(x)＝４sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷(x∈R),有 下列命题: ①由f(x１)＝f(x２)＝０可得x１－x２ 是 π的整数倍; ②y＝f(x)图象关于 －π６ ,０ æ è ç ö ø ÷对称; ③y＝f(x)图象关于x＝－π６ 对称． 其中正确命题的序号为　　　　． ９．函数f(x)＝Asin(ωx＋ φ)(A,ω,φ是常数,A＞ ０,ω＞０,０＜φ＜π)的部 分 图 象 如 图 所 示,则 f(x)＝　　　　,f(０) ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第一章　三角函数 １０．如图为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０, |φ|＜π)的图象的一段． (１)求其解析式; (２)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左 平移π ６ 个单位长度后得到y＝f(x)的 图象,求f(x)图象的对称轴方程． １１．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞０, ω＞０,|φ|＜ π ２ )的一个周期内的图象． (１)求函数f(x)的解析式; (２)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线 x＝２对称,求函数g(x)的解析式; (３)求函数g(x)的最小正周期、频率、 振幅、初相． １２．已 知 函 数 f(x)＝２sin(２x＋φ) －π２＜φ＜ π ２ æ è ç ö ø ÷的图象过点(０,１)． (１)求函数f(x)的最小正周期及φ 的值; (２)求函数f(x)的最大值及取得最大 值时自变量x的取值集合; (３)求函数f(x)的单调递增区间． １３．函数f(x)＝２sin(ωx＋φ)ω＞０,０＜φ＜ π ２ æ è ç ö ø ÷的 图象过点 １ ２ ,２ æ è ç ö ø ÷,且相邻的最高点与 最低点的距离为 １７． (１)求函数f(x)的解析式; (２)求f(x)在[０,２]上的单调递增 区间． １４．已 知 函 数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A＞０,０＜ω＜６,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷,π ３ 是 函 数 f(x)的零点,直线x＝π１２ 是函数f(x) 图象的对称轴,且f π１２ æ è ç ö ø ÷＝２． (１)求函数y＝f(x)的解析式; (２)若函数g(x)＝f(x)－m在 －π２ ,０é ë êê ù û úú上 有两个零点,求m 的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 必修第二册 (２)将f(x)的图象向右平移 π６ 个单位长度后,得到函 数f x－π６( ) 的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸 长为原来的 ４倍,纵 坐 标 不 变,得 到f x４－ π ６( ) 的 图 象,所以g(x)＝f x４－ π ６( )＝cos x ２－ π ３( )＋１, 由２kπ≤x２－ π ３≤２kπ＋π (k∈Z), 解得４kπ＋２π３≤x≤４kπ＋ ８π ３ (k∈Z)． 故 函 数 g (x ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ４kπ＋２π３ ,４kπ＋８π３[ ](k∈Z)． ６．３　探究A 对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 １．D　２．A　３．C　４．C　５．ACD ６．ACD　[将函数f(x)＝２sinx的图象先向左平移 π６ 个单 位长度,可 得y＝２sin x＋π６( ) 的 图 象;然 后 纵 坐 标 不 变,横 坐 标 变 为 原 来 的 ２ 倍,可 得 g(x)＝ ２sin １２x＋ π ６( ) 的 图 象．对 于 A 选 项,当 x ∈ ０,２π３[ ] 时, １ ２x＋ π ６ ∈ π ６ ,π ２[ ] ,此 时 g (x)＝ ２sin １２x＋ π ６( ) 是单调递增的,故 A正确;对于 B选项, 将函数g(x)的图象向右平移 π６ 个单位长度后得到函数 y＝２sin １２x＋ π １２( ) ,不是奇函数,其图象不满足关于原 点对称,故B错误;对于C选项,将x＝－π３ 代入函数g(x) 的解析式中,得到２sin －１２× π ３＋ π ６( ) ＝２sin０＝０,故点 －π３ ,０( ) 是函数g(x)图象的一个对称中心,故C正确;对 于D选项,当x∈[π,２π]时,１２x＋ π ６ ∈ ２π ３ ,７π ６[ ] ,函数 g(x)的最大值为 ３,故D正确．] ７．解析:因为φ∈[０,２π),所以把y＝sinx的图象向左平移φ 个单位长度得到y＝sin(x＋φ)的图象．因为sinx＋ １１π ６( ) ＝ sinx＋１１π６ －２π( )＝sinx－ π ６( ) ,所以φ＝ １１π ６ ． 答案:１１π ６ ８．解析:对于①,由f(x)＝０,可得２x＋π３＝kπ (k∈Z), ∴x＝k２π－ π ６ ,∴x１－x２ 是 π ２ 的整数倍,∴①错; 对于②,f(x)＝４sin ２x＋π３( ) 的对称中心满足２x＋ π ３ ＝kπ,k∈Z,∴x＝k２π－ π ６ ,k∈Z． ∴ －π６ ,０( ) 是函数y＝f(x)的一个对称中心, ∴②对; 对于③,函数y＝f(x)的对称轴满足２x＋ π３＝ π ２＋kπ , k∈Z,∴x＝π１２＋ kπ ２ ,k∈Z．∴③错． 答案:② ９．解析:由题图可知,A＝ ２, ∵T４＝ ７π １２－ π ３＝ π ４ ,∴T＝π． 又∵T＝２πω＝π ,∴ω＝２． 又图象过点 π ３ ,０( ) ,∴sin ２×π３＋φ( )＝０． 由题图可知２ ３π＋φ＝２kπ＋π ,k∈Z． ∴φ＝２kπ＋ π ３ ,k∈Z． ∵０＜φ＜π,∴φ＝ π ３． ∴f(x)＝ ２sin ２x＋π３( )． 故f(０)＝ ２sin π３＝ ６ ２． 答案:２sin ２x＋π３( ) 　 ６ ２ １０．解:(１)由题图可知:A＝ ３, 又T＝２ ５π６－ π ３( )＝π,∴ω＝２． 由２×π３＋φ＝２kπ ,k∈Z,得φ＝－ ２π ３＋２kπ ,k∈Z, 又∵|φ|＜π,∴φ＝－ ２π ３． ∴所求解析式为y＝ ３sin ２x－２π３( )． (２)f(x)＝ ３sin ２x＋π６( )－ ２π ３[ ]＝ ３sin ２x－ π ３( ) , 令２x－π３＝ π ２＋kπ ,k∈Z,则x＝５π１２＋ kπ ２ ,k∈Z, ∴f(x)图象的对称轴方程为x＝５π１２＋ kπ ２ ,k∈Z． １１．解:(１)由题图可知A＝２,T＝７－(－１)＝８, ∴ω＝２πT＝ ２π ８＝ π ４ , ∴f(x)＝２sin π４x＋φ( )． 将点(－１,０)代入,得０＝２sin －π４＋φ( )． ∵|φ|＜ π ２ ,∴φ＝ π ４ , ∴f(x)＝２sin π４x＋ π ４( )． (２)作出与f(x)的图象关于直线x＝２对称的图象(图 略),可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右 平移２个单位长度得到的, ∴g(x)＝２sin π４ (x－２)＋π４[ ] ＝２sin π４x－ π ４( )． (３)由(２),知g(x)的最小正周期为２ππ ４ ＝８, ∴频率为１８ ,振幅为２,初相为－π４． １２．解:(１)函数f(x)的最小正周期T＝２π２＝π． 因为函数f(x)的图象过点(０,１), 所以f(０)＝２sinφ＝１,即sinφ＝ １ ２． 又－π２＜φ＜ π ２ ,所以φ＝ π ６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３１􀅰 参考答案 (２)由(１)知,f(x)＝２sin ２x＋π６( ) , 所以函数f(x)的最大值是２． 令２x＋π６＝ π ２＋２kπ (k∈Z),得x＝π６＋kπ (k∈Z), 所 以 f (x)取 得 最 大 值 时 x 的 取 值 集 合 是 x x＝π６＋kπ ,k∈Z{ }． (３)由(１)知,f(x)＝２sin ２x＋π６( )．令－ π ２＋２kπ≤２x ＋π６≤ π ２＋２kπ ,k∈Z, 得－π３＋kπ≤x≤ π ６＋kπ ,k∈Z, 所 以 函 数 f (x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 －π３＋kπ ,π ６＋kπ[ ](k∈Z)． １３．解:(１)由 题 意 得 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 T＝ ２ １７－１６＝２,∴ω＝π． 把坐标 １ ２ ,２( ) 代入得２sin π２＋φ( )＝ ２, ∴cosφ＝ ２ ２． 又０＜φ＜ π ２ ,∴φ＝ π ４ ,∴f(x)＝２sin πx＋π４( )． (２)令２kπ－π２≤πx＋ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 解得２k－３４≤x≤２k＋ １ ４ ,k∈Z, ∵x∈[０,２], ∴ f (x)在 [０,２]上 的 单 调 递 增 区 间 是 ０,１４[ ] 和 ５ ４ ,２[ ]． １４．解:法一:(１)因为直线x＝ π１２ 是函数f(x)图象的对称 轴,f π１２( )＝２,A＞０,所以A＝２． 又因为x＝π３ 是函数f(x)的零点, 所以最小正周期T＝ ４２n－１ π ３－ π １２( )(n∈N ∗ ), 即T＝ π２n－１ (n∈N∗ ), 所以ω＝２πT＝ ２π π ２n－１ ＝４n－２(n∈N∗ )． 因为０＜ω＜６,所以０＜４n－２＜６, 所以１ ２＜n＜２． 又因为n∈N∗ ,所以n＝１,所以ω＝２, 因此f(x)＝２sin(２x＋φ)． 因为f π１２( )＝２, 所以２sin π６＋φ( )＝２,即sin π ６＋φ( )＝１, 又因为|φ|＜ π ２ ,所以φ＝ π ３ , 故f(x)＝２sin ２x＋π３( )． (２)依题 意 知 函 数y＝f(x)的 图 象 与 直 线y＝m 在 －π２ ,０[ ] 上有两个交点, 设t＝２x＋π３ ,由x∈ －π２ ,０[ ] ,得t∈ －２π３, π ３[ ] , 结 合 图 象 (如 图 )可 知,函 数 y ＝ ２sin t 在 －２π３ ,－π２[ ] 上单调递减,在 － π ２ ,π ３[ ] 上单调递增． 当t＝－２π３ 时,y＝－ ３; 当t＝－π２ 时,y＝－２; 当t＝π３ 时,y＝ ３． 所以m 的取值范围为(－２,－ ３]． 法二:(１)由已知得 sin πω３＋φ( )＝０, sin πω１２＋φ( )＝１, ì î í ïï ï 所以 πω ３＋φ＝k１π ,k１∈Z, πω １２＋φ＝２k２π＋ π ２ ,k２∈Z, ì î í ïï ï ∴ω＝４(k１－２k２)－２,k１,k２∈Z． 又因为０＜ω＜６,|φ|＜ π ２ ,所以ω＝２,φ＝ π ３ ,故f(x) ＝２sin ２x＋π３( )． (２)依题 意 知 函 数y＝f(x)的 图 象 与 直 线y＝m 在 －π２ ,０[ ] 上有２个交点, 结合图象(如图)可知: 函数y＝２sin ２x＋π３( ) 在 － π ２ ,－５π１２[ ] 上单调递减, 在 －５π１２ ,０[ ] 上单调递增． 当x＝－π２ 时,y＝－ ３; 当x＝－５π１２ 时,y＝－２; 当x＝０时,y＝ ３． 所以m 的取值范围是(－２,－ ３]． §７．正切函数 ７．１　正切函数的定义 ７．２　正切函数的诱导公式 １．B　２．A　３．B　４．B　５．AC ６．CD　[∵tan(π－α)＝－３,∴tanα＝３． 则sinα cosα＝３ ,又sin２α＋cos２α＝１,解得sinα＝±３ １０１０ ． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３１􀅰 必修第二册