6.1探究ω对y= sinωx的图象的影响&6.2探究φ对y = sin(x+φ)的图象的影响-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　§６．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 　　　　６．１　探究ω对y＝sinωx的图象的影响 　　　　６．２　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 １．要得到函数y＝sin４x－π３ æ è ç ö ø ÷的图象,只 需将函数y＝sin４x的图象 (　　) A．向左平移π１２ 个单位 B．向右平移π１２ 个单位 C．向左平移π３ 个单位 D．向右平移π３ 个单位 ２．将函数y＝sinx的图象上所有的点向 右平移π １０ 个单位长度,再把所得各点的 横坐标伸长到原来的２倍(纵坐标不 变),所得图象的函数解析式是 (　　) A．y＝sin２x－π１０ æ è ç ö ø ÷ B．y＝sin２x－π５ æ è ç ö ø ÷ C．y＝sin １２x－ π １０ æ è ç ö ø ÷ D．y＝sin １２x－ π ２０ æ è ç ö ø ÷ ３．函数f(x)＝sin －２x＋π６ æ è ç ö ø ÷的单调增区 间是 (　　) A．kπ－π６ ,kπ＋π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) B．２kπ－π６ ,２kπ＋π３ é ë êê ù û úú(k∈Z) C．kπ－２π３ ,kπ－π６ é ë êê ù û úú(k∈Z) D．２kπ－２π３ ,２kπ－π６ é ë êê ù û úú(k∈Z) ４．函 数 f(x)＝sin ２x－π４ æ è ç ö ø ÷ 在 区 间 ０,π２ é ë êê ù û úú上的最小值是 (　　) A．－１　　　　　　　B．－ ２２ C．２２ D．０ ５．(多选)若函数y＝２sin(x＋θ)的图象向 右平移π ６ 个单位长度,再向上平移２个 单位长度后,它的一条对称轴是直线x ＝π４ ,则θ的值可能是 (　　) A．π３ B． ５π １２ C．－π６ D．－ ７π １２ ６．若函数f(x)＝sinωx－π６ æ è ç ö ø ÷的图象关于 直线x＝π３ 对称,则f(x)的最小正周期 (　　) A．存在最大值,且最大值为２π B．存在最小值,且最小值为２π C．存在最大值,且最大值为π D．存在最小值,且最小值为π ７．将y＝sinx图象上所有点的横坐标变 为原来的１ ３ ,得到函数　　　　的图象． ８．把函数y＝sin６x＋３π４ æ è ç ö ø ÷的图象向右平移 π ３ 个单位,然后把横坐标扩大为原来的３ 倍,则得到的函数解析式为　　　　． ９．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞０,－π＜φ ≤π)的图象如图所示,则φ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 第一章　三角函数 １０．试确定函数y＝sin １４x－ π ６ æ è ç ö ø ÷的初相和 周期． １１．已知函数f(x)的图象上的每一点的 纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来 的２倍,然后把所得的图象沿x 轴向 左平移π ２ 个单位,这样得到的图象与y ＝１２sinx 的图象相同,求f(x)的解 析式． １２．f(x)＝cos２x－１,将f(x)的图象向右 平移φ(０＜φ＜ π ２ )个单位长度,再将得 到的图象上各点的横坐标伸长为原来 的４倍,纵坐标不变,得到函数h(x)的 图象,使h(x)的一个对称轴为x＝ －２π３ ,求φ的值． １３．设函数f(x)＝sin(２x＋φ)(－π＜φ＜ ０),y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝π８． (１)求φ; (２)求函数y＝f(x)的单调区间及 最值． １４．已知函数f(x)＝sinωx＋φ－ π ６ æ è ç ö ø ÷＋１ (０＜φ＜π,ω＞０)为偶函数,且函数 f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离 为π ２． (１)求f π８ æ è ç ö ø ÷的值; (２)将函数f(x)的图象向右平移π６ 个 单位长度后,再将得到的图象上各点 的横坐标伸长为原来的４倍,纵坐标 不变,得到函数g(x)的图象,求函数 g(x)的单调递减区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 必修第二册 因此,函数y＝lgcos２x在 －π４＋kπ ,kπ( ](k∈Z)上是增 函数;在 kπ,π４＋kπ[ )(k∈Z)上是减函数． １４．解:(１)f(x)＝－cos２x＋acosx－a４＋ １ ２ ＝－ cosx－a２( ) ２ ＋a ２ ４－ a ４＋ １ ２ , ∵０≤x≤π２ ,∴０≤cosx≤１． ①当０≤a２≤１ ,即０≤a≤２时,M(a)＝a ２ ４－ a ４＋ １ ２ ; ②当a２＞１ ,即a＞２时,M(a)＝f(０)＝３４a－ １ ２ ; ③当a２＜０ ,即a＜０时,M(a)＝f π２( )＝－ a ４＋ １ ２． ∴M(a)＝ a２ ４－ a ４＋ １ ２ ,０≤a≤２, ３ ４a－ １ ２ ,a＞２, －a４＋ １ ２ ,a＜０． ì î í ï ïï ï ï (２)当a ２ ４ － a ４ ＋ １ ２ ＝２ 时,a＝３或a＝－２,均不符合 题意; 当３ ４a－ １ ２＝２ 时,a＝１０３ ; 当－a４＋ １ ２＝２ 时,a＝－６． 综上,a的值为１０３ 或－６． §６．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 ６．１　探究ω对y＝sinωx的图象的影响 ６．２　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 １．B　２．C　３．C　４．B　５．BD　 ６．A　[因为f(x)＝sin ωx－π６( ) 的图象关于直线x＝ π ３ 对称,所以ωπ ３ － π ６ ＝ π ２ ＋kπ (k∈Z),即ω＝２＋３k(k∈ Z)．故T＝２π|ω|≤ ２π |２－３|＝２π ,即f(x)的最小正周期存在 最大值,且最大值为２π．故选 A．] ７．解析:将横坐标变为原来的 １３ ,则会得到函数y＝sin３x 的图象． 答案:y＝sin３x ８．解析:把函数y＝sin ６x＋３π４( ) 的图象向右平移 π ３ 个单 位,则得到y＝sin ６ x－π３( )＋ ３π ４[ ] 的图象,即解析式 为y＝sin ６x＋３π４( ) ,然后把横坐标扩大为原来的３倍, 得到 函 数 y＝sin ２x＋３π４( ) 的 图 象,则 解 析 式 为 y＝ sin ２x＋３π４( )． 答案:y＝sin ２x＋３π４( ) ９．解析:由题意得T２＝２π－ ３ ４π ,所以T＝５２π ,ω＝４５． 又由x＝３４π 时y＝－１,得－１＝sin ３５π＋φ( ) ,－ ２π ５ ＜ ３ ５π＋φ≤ ８ ５π ,所以３ ５π＋φ＝ ３ ２π ,所以φ＝ ９ １０π． 答案:９ １０π １０．解析:函数的初相φ＝－ π ６ ,周期T＝２π１ ４ ＝８π． １１．解:反过来想 y＝１２sinx 向右平移 π ２ 个单位 　 → y＝１２sin x－ π ２( ) 横坐标变为原来的 １ ２ → y＝１２sin ２x－ π ２( )． 故函数f(x)的解析式为f(x) ＝１２sin ２x－ π ２( )． １２．解:依题意有h(x)＝f x４－φ( ) ＝cos x２－２φ( )－１, 因为其图象的对称轴为x＝－２π３ , 所以１ ２ 􀅰 －２π３( )－２φ＝kπ, 解得φ＝－ kπ ２－ π ６ (k∈Z), 又因为０＜φ＜ π ２ ,所以取k＝－１得φ＝ π ３． １３．解:(１)由２x＋φ＝kπ＋ π ２ ,k∈Z,得x＝kπ２＋ π ４－ φ ２ , 令kπ ２＋ π ４－ φ ２＝ π ８ ,解得φ＝kπ＋ π ４ ,k∈Z． ∵－π＜φ＜０,∴φ＝－ ３π ４． (２)由(１)知,f(x)＝sin ２x－３π４( )． 由２kπ－π２≤２x－ ３π ４≤２kπ＋ π ２ (k∈Z),解得 kπ＋π８≤x≤kπ＋ ５π ８ (k∈Z)． 故函数的单调递增区间是 kπ＋π８ ,kπ＋５π８[ ](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 kπ＋５π８ ,kπ＋９π８[ ](k∈Z)． 当２x－３π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋５π８ (k∈Z)时,函数有最大值１; 当２x－３π４＝２kπ－ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋π８ (k∈Z)时,函数有最小值－１． １４．解:(１)因为f(x)为偶函数,所以 φ－ π ６＝kπ＋ π ２ (k∈Z),即φ＝kπ＋ ２π ３ (k∈Z), 又０＜φ＜π,所以φ＝ ２π ３ , 故f(x)＝sin ωx＋２π３－ π ６( )＋１＝cosωx＋１, 因为函数f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 π２ , 所以T＝２πω＝２× π ２ ,解得ω＝２． 因此f(x)＝cos２x＋１, 故f π８( )＝cos π ４＋１＝ ２ ２＋１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３１􀅰 必修第二册 (２)将f(x)的图象向右平移 π６ 个单位长度后,得到函 数f x－π６( ) 的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸 长为原来的 ４倍,纵 坐 标 不 变,得 到f x４－ π ６( ) 的 图 象,所以g(x)＝f x４－ π ６( )＝cos x ２－ π ３( )＋１, 由２kπ≤x２－ π ３≤２kπ＋π (k∈Z), 解得４kπ＋２π３≤x≤４kπ＋ ８π ３ (k∈Z)． 故 函 数 g (x ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ４kπ＋２π３ ,４kπ＋８π３[ ](k∈Z)． ６．３　探究A 对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 １．D　２．A　３．C　４．C　５．ACD ６．ACD　[将函数f(x)＝２sinx的图象先向左平移 π６ 个单 位长度,可 得y＝２sin x＋π６( ) 的 图 象;然 后 纵 坐 标 不 变,横 坐 标 变 为 原 来 的 ２ 倍,可 得 g(x)＝ ２sin １２x＋ π ６( ) 的 图 象．对 于 A 选 项,当 x ∈ ０,２π３[ ] 时, １ ２x＋ π ６ ∈ π ６ ,π ２[ ] ,此 时 g (x)＝ ２sin １２x＋ π ６( ) 是单调递增的,故 A正确;对于 B选项, 将函数g(x)的图象向右平移 π６ 个单位长度后得到函数 y＝２sin １２x＋ π １２( ) ,不是奇函数,其图象不满足关于原 点对称,故B错误;对于C选项,将x＝－π３ 代入函数g(x) 的解析式中,得到２sin －１２× π ３＋ π ６( ) ＝２sin０＝０,故点 －π３ ,０( ) 是函数g(x)图象的一个对称中心,故C正确;对 于D选项,当x∈[π,２π]时,１２x＋ π ６ ∈ ２π ３ ,７π ６[ ] ,函数 g(x)的最大值为 ３,故D正确．] ７．解析:因为φ∈[０,２π),所以把y＝sinx的图象向左平移φ 个单位长度得到y＝sin(x＋φ)的图象．因为sinx＋ １１π ６( ) ＝ sinx＋１１π６ －２π( )＝sinx－ π ６( ) ,所以φ＝ １１π ６ ． 答案:１１π ６ ８．解析:对于①,由f(x)＝０,可得２x＋π３＝kπ (k∈Z), ∴x＝k２π－ π ６ ,∴x１－x２ 是 π ２ 的整数倍,∴①错; 对于②,f(x)＝４sin ２x＋π３( ) 的对称中心满足２x＋ π ３ ＝kπ,k∈Z,∴x＝k２π－ π ６ ,k∈Z． ∴ －π６ ,０( ) 是函数y＝f(x)的一个对称中心, ∴②对; 对于③,函数y＝f(x)的对称轴满足２x＋ π３＝ π ２＋kπ , k∈Z,∴x＝π１２＋ kπ ２ ,k∈Z．∴③错． 答案:② ９．解析:由题图可知,A＝ ２, ∵T４＝ ７π １２－ π ３＝ π ４ ,∴T＝π． 又∵T＝２πω＝π ,∴ω＝２． 又图象过点 π ３ ,０( ) ,∴sin ２×π３＋φ( )＝０． 由题图可知２ ３π＋φ＝２kπ＋π ,k∈Z． ∴φ＝２kπ＋ π ３ ,k∈Z． ∵０＜φ＜π,∴φ＝ π ３． ∴f(x)＝ ２sin ２x＋π３( )． 故f(０)＝ ２sin π３＝ ６ ２． 答案:２sin ２x＋π３( ) 　 ６ ２ １０．解:(１)由题图可知:A＝ ３, 又T＝２ ５π６－ π ３( )＝π,∴ω＝２． 由２×π３＋φ＝２kπ ,k∈Z,得φ＝－ ２π ３＋２kπ ,k∈Z, 又∵|φ|＜π,∴φ＝－ ２π ３． ∴所求解析式为y＝ ３sin ２x－２π３( )． (２)f(x)＝ ３sin ２x＋π６( )－ ２π ３[ ]＝ ３sin ２x－ π ３( ) , 令２x－π３＝ π ２＋kπ ,k∈Z,则x＝５π１２＋ kπ ２ ,k∈Z, ∴f(x)图象的对称轴方程为x＝５π１２＋ kπ ２ ,k∈Z． １１．解:(１)由题图可知A＝２,T＝７－(－１)＝８, ∴ω＝２πT＝ ２π ８＝ π ４ , ∴f(x)＝２sin π４x＋φ( )． 将点(－１,０)代入,得０＝２sin －π４＋φ( )． ∵|φ|＜ π ２ ,∴φ＝ π ４ , ∴f(x)＝２sin π４x＋ π ４( )． (２)作出与f(x)的图象关于直线x＝２对称的图象(图 略),可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右 平移２个单位长度得到的, ∴g(x)＝２sin π４ (x－２)＋π４[ ] ＝２sin π４x－ π ４( )． (３)由(２),知g(x)的最小正周期为２ππ ４ ＝８, ∴频率为１８ ,振幅为２,初相为－π４． １２．解:(１)函数f(x)的最小正周期T＝２π２＝π． 因为函数f(x)的图象过点(０,１), 所以f(０)＝２sinφ＝１,即sinφ＝ １ ２． 又－π２＜φ＜ π ２ ,所以φ＝ π ６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３１􀅰 参考答案