期中复习之四边形中的探究类问题-2024-2025学年人教版数学八年级下册

期中复习之四边形中的探究类问题 1．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 2．如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 【答案】(1)①30；② (2)15， (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质，得，取的中点，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； ②由，得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得； （2）根据折叠的性质，可证即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①对折矩形，使与重合，得到折痕，沿折叠，使点落在矩形内部点处， 如图1，取的中点，连接， 为等边三角形， 故答案为：30； ②， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， 由折叠性质得：， 同法（1）可得：， 在中，， 根据勾股定理：， ， 即， 解得(负值舍去)， 在中，， 根据勾股定理：，即， 故答案为：； （3）解：当点在点的下方时，如图3.1， ， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 当点在点的上方时，如图3.2， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 3．王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________． (2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长． 【答案】(1)菱形 (2)正方形，见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，可得到四边形为平行四边形，再由旋转的性质得：，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，可得，从而得到四边形是矩形，然后根据，即可解答； （3）先求得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由旋转的性质得：， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3）解：在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形的性质，旋转的性质和平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答． 4．小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 【答案】(1)菱形、正方形 (2) (3)证明见解析，面积为 (4) 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）根据正方形的性质可证得和全等，得出，由得出，再根据对顶角相等得到，于是有，从而得出，根据垂美四边形的定义得出四边形为垂美四边形，根据垂美四边形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出结果． （4）勾股定理求出，设，双勾股定理求出的值，进而求出的长，再用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形， 一定是垂美四边形的是菱形，正方形， 故答案为：菱形，正方形； （2）如图1所示： ∵四边形的面积 的面积 的面积 ∴； 故答案为：； （3）证明：连接，，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形为垂美四边形； 四边形是正方形， ，， ， ， 点、、在一条直线上， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ∵， ， 四边形为垂美四边形， 四边形的面积是． （4）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴，即：， 解得：，则 ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 5．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D  性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形”  拓展应用：（3）   （4） 【分析】概念理解：根据三角形中位线定理，以及正方形判定和性质可得答案； 性质探究：由中位线的性质可得：，结合正方形的性质可得结论； 问题解决：（1）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形， 连接交于， 连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （4）如图， 记的中点分别为，连接交于， 连接， 当点在上 (即共线) 时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（3）的结论即可求得答案. 【详解】概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：； 性质探究：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ， 故答案为：； 问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”. 拓展应用：（3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； （4）如图， 令与的交点为， 连接， 当点在上 (即共线) 时， 最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究知： 又∵分别是的中点， ， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：， ； ． 故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 6．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【答案】（1）  （2）证明见解析  （3） 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， 根据四边形内角和定理得，； （2） 在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 如图 3 ，过点作于，于， ，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 7．已知等腰中，，，现做如下操作： 步骤1：取的中点O，过点O作直线； 步骤2：在直线l上任取一点D（不与O重合），作点D关于的对称点E，连接，，，． 【操作发现】 （1）如图，根据题意补全图形，判断四边形的形状为_________（不需证明）； 【问题探究】 （2）若点D在延长线上时，求四边形的面积； 【拓展延伸】 （3）若四边形为正方形时，连接，并求的长． 【答案】（1）补全图形见解析；菱形；（2）20；（3） 【分析】（1）根据题意画图，根据菱形的判定方法得出四边形为菱形即可； （2）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后得出四边形的面积即可； （3）过点A作于点F，过点D作于点N，延长，过点A作于点M，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：（1）补全图形，如图所示： ∵点O为的中点，， ∴直线l垂直平分， ∵点与点D关于直线l对称， ∴， ∴与垂直平分， ∴四边形为菱形， 故答案为：菱形； （2）过点A作于点F，如图所示： ∵，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， 根据解析（1）可知，四边形为菱形， ∴设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； （3）过点A作于点F，过点D作于点N，延长，过点A作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或， 不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质，作出辅助线． 8．综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． (2)若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①四边形为菱形；理由见解析；②；理由见解析 (3)或5 【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，， ，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）证明：①四边形为菱形；理由如下： 根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②；理由如下： ∵E，F为边的三等分点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为矩形，， ∴，，， 根据折叠可知：，，， 当时，过点M作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴此时点M在上， 根据解析（1）可知，此时四边形为正方形， ∴； 连接，如图所示： 根据勾股定理得：， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相等不存在； 综上分析可知：或5． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，菱形，矩形，正方形和平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 9．综合与实践 【提出问题】 由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． （1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得在和中 ∴ ∴ 请补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上． ①求证：； ②当，时，请求出线段的长． 【答案】（1）或；（2）①见解析；② 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定条件行填补即可； （2）在上截取，连接，证明，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，横线处应或． 故答案为：或； （2）证明：在上截取，连接， ∵ 则， ∵是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ， ∴， ∴； （3）∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 10．【提出问题】 如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题： 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ．（此空不填） 小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题： 【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为a，则对角线和a的数量关系有： ； ②在菱形中，设其边长为a，则对角线和a的数量关系有： ； ③在矩形中，设，则对角线和a，b 的数量关系有： ； 【解决问题】（2）如图1，在中，设，猜想对角线和a，b的数量关系有： 并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，点M为的中点，求的长．    【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，即可得到结果；②由四边形是菱形，得，在中，由，得到，即可得到结果；③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，即可得到结果； （2）分别过点A，D作，，垂足分别为E，F．证明，运用勾股定理求出，即可解答； （3）连接，延长至点N，使，连接．证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：（1）①如图，   四边形是正方形， ，，， ，， ； ②如图，    四边形是菱形， ，， ， ， ， ； ③如图，   四边形是正方形， ，，， ，， ； （2） 证明：如图，分别过点A，D作，，垂足分别为E，F．    ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴ ∴． ∴， 设，，则，． 在中， 在中， ∴． ∵在中，， ∴． ∴； （3）如图，连接，延长至点N，使，连接．    又 ， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题． 11．四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）线段的长为4或12 【分析】（1）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上截取，连接，同理，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质证明，再分当在线段上和当在延长线上时两种情况讨论，同上的方法即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：在上截取，连接． 则， 是等腰直角三角形， ，则，，， ， ； （3），则是等腰直角三角形， ， ， ， ； 当在线段上时， ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ； 综上，线段的长为4或12． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 12．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②8；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． （1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，进而可得，由折叠性质求出，由此即可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出， （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同理（2）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，利用30°直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】（1）①正方形中， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴，即， ∴最小值为 13．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【详解】（1）①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； 故答案为：②④； （2）证明：如图2，连接， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， ， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”； （3）． 若，连接，则四边形是矩形， ， 由（2）知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由（2）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了新定义，矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．深入理解题意，理解新定义是解决问题的关键． 14．【方法回顾】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形，直线l经过点A，于点E，于点F，若点A的坐标为，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为菱形，直线于点A交于点P，交l于点E，点F在上，且，若，，求点E，F的坐标； 【思维拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，直线l分为两部分，于点E，于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标． 【答案】（1）；（2）点E，F的坐标分别是，；（3）点E的坐标是或 【分析】（1）由正方形的性质得到，利用勾股定理求出，证明，得到，即可求解； （2）由菱形的性质得到，证明，得到，设，则，，利用勾股定理求出，即可求出，根据，求出，再利用勾股定理即可求出，进而求出，即可得出结果； （3）连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，根据题意，分为和，两种情况，结合（1）（2）方法求解即可． 【详解】解：（1）四边形为正方形，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：四边形为菱形，， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ，即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：四边形为矩形， ， 直线l分为两部分， ， ①如图，连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，当时， 则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，当时， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 综上，点E的坐标是或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，正方形，菱形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等，正确作出辅助线，证明三角形全等，运用分类讨论的思想是解题的关键． 15．综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，连接翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线． 观察发现： （1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则______， ； 问题探究： （2）如图2，若，，则点G_____边上（填“在或不在”），并求出的长； 拓展延伸： （3），若F为靠近A的三等分点，请求出的长． 【答案】观察发现：（1）45；；问题探究：（2）在；；拓展延伸：（3）的长为15 【分析】（1）四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案； （2）延长交于点M，证明和均为等腰直角三角形，得出，，即可求解； （3）当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，设，，根据，即可求解． 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵F为边的中点， ∴， 将和沿翻折，D，B的对应点分别为G，H， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将和沿翻折，D，B的对应点分别为G，H， ∴， ∵， ∴； 故答案为：45；； （2）延长交于点M，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴； ∵， ∴， 由折叠性质得：， ∴点G在边上； 故答案为：在； （3）当时， 过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设, ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为15． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习之四边形中的探究类问题 1．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 2．如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 3．王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________． (2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长． 4．小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 5．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 6．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 7．已知等腰中，，，现做如下操作： 步骤1：取的中点O，过点O作直线； 步骤2：在直线l上任取一点D（不与O重合），作点D关于的对称点E，连接，，，． 【操作发现】 （1）如图，根据题意补全图形，判断四边形的形状为_________（不需证明）； 【问题探究】 （2）若点D在延长线上时，求四边形的面积； 【拓展延伸】 （3）若四边形为正方形时，连接，并求的长． 8．综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． (2)若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 9．综合与实践 【提出问题】 由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． （1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得在和中 ∴ ∴ 请补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上． ①求证：； ②当，时，请求出线段的长． 10．【提出问题】 如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题： 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ．（此空不填） 小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题： 【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为a，则对角线和a的数量关系有： ； ②在菱形中，设其边长为a，则对角线和a的数量关系有： ； ③在矩形中，设，则对角线和a，b 的数量关系有： ； 【解决问题】（2）如图1，在中，设，猜想对角线和a，b的数量关系有： 并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，点M为的中点，求的长．    11．四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 12．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 13．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 14．【方法回顾】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形，直线l经过点A，于点E，于点F，若点A的坐标为，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为菱形，直线于点A交于点P，交l于点E，点F在上，且，若，，求点E，F的坐标； 【思维拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，直线l分为两部分，于点E，于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标． 15．综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，连接翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线． 观察发现： （1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则______， ； 问题探究： （2）如图2，若，，则点G_____边上（填“在或不在”），并求出的长； 拓展延伸： （3），若F为靠近A的三等分点，请求出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$