精品解析：天津市武清区崔黄口中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

崔黄口中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷 一、单选题 1. 若复数满足，则为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 2. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线 4. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 5. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形的边长为，，则的值为（ ） A B. C. D. 9. 设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（ ）米． A. B. C. D. 二、填空题 10. 是虚数单位，复数________． 11. 向量在向量上的投影向量为______．（写出坐标） 12. 若向量分别表示复数，则=__________． 13. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 14 若复数，则________． 15. 如图，在中，，过点直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______． 三、解答题 16. 复平面内表示复数 的点为Z. （1）当实数m取何值时，复数z表示纯虚数； （2）当点Z位于第四象限时，求实数m的取值范围； （3）当点Z位于直线上时，求实数m的值. 17. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 18. （1）已知向量，，与的夹角为. ①求； ②求 （2）已知向量，. ①若，求实数k的值； ②若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 19. 如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点 （1）若，求AE的长； （2）若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 20. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． （1）求． （2）若，的面积为，求的周长． （3）在（2）的条件下，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 崔黄口中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷 一、单选题 1. 若复数满足，则为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设且，用表示出，对应相等解出，得到，. 【详解】设且，则，， 所以，解得，所以，， 故选：D. 2. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，再由，即可得到答案. 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 3. 已知，，，则（ ） A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法法则，得到，从而可得结论. 【详解】，，， ，，与共线， 因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确． 由，，可得， 所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确； 由，，可得， 所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确； 因为，， 所以， 又，可得， 所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确； 故选：A. 4. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得； 详解】解：． 把代入余弦定理求得，即，因此，从而， 为等边三角形． 故选：． 5. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， 故， ， ， 故 ， 由于 ，故. 故选：B. 6. 已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算和几何意义分析求解. 【详解】由题意可得：， 因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，解得. 故选：C. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 8. 已知菱形的边长为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用作为基底表示，然后利用数量积运算求解. 【详解】因为， 所以， 因为， ， 所以， ， ， ， 故选：B 9. 设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理可知 ， 故选：B 二、填空题 10. 是虚数单位，复数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 11. 向量在向量上的投影向量为______．（写出坐标） 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的投影向量的概念求解. 【详解】由得， 设与的夹角为在上的投影向量为： 故答案为：． 12. 若向量分别表示复数，则=__________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数减法的几何意义以及复数模的运算公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故答案为：. 13. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理，得，结合可得，则. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 14. 若复数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算先化简，再求复数． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查计算能力，属于基础题． 15. 如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题知， ， 即. 由，， 所以， 因为、、三点共线， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：； 三、解答题 16. 复平面内表示复数 的点为Z. （1）当实数m取何值时，复数z表示纯虚数； （2）当点Z位于第四象限时，求实数m的取值范围； （3）当点Z位于直线上时，求实数m的值. 【答案】（1）时，复数是纯虚数 （2）时，点位于第四象限 （3）或时，点位于直线上 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数定义求解，然后可求虚部； （2）根据复数的几何意义列式计算； （3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求. 【小问1详解】 依题意得，当且，即时，复数是纯虚数． 【小问2详解】 依题意得且，解得． 所以当时，点位于第四象限． 【小问3详解】 依题意得当，即或时，点位于直线上． 17. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值. 试题解析：（1）因为向量与平行， 所以， 由正弦定理得， 又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝. （2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝， 得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0， 因为c>0，所以c＝3. 故△ABC的面积为bcsinA＝. 考点：平面向量共线应用；正弦定理与余弦定理. 18. （1）已知向量，，与的夹角为. ①求； ②求 （2）已知向量，. ①若，求实数k的值； ②若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 【答案】（1）①；②.（2）①0；②且. 【解析】 【分析】（1）①利用数量积的定义求解即可； ②利用求解即可； （2）①根据题意求得，结合向量垂直的数量积的表示，列出方程，即可求解； ②与的夹角是钝角转化为且与不平行，结合向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】（1）①由题意知； ②由题意及①得. （2）①由题意知，因为，所以，即，解得.故实数k的值为0； ②由题意知，因为与的夹角是钝角，所以，解得； 又由得； 所以实数k的取值范围为且. 19. 如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点 （1）若，求AE的长； （2）若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）设，由可得，即可得答案； （2）由图可知，由向量夹角公式可得答案. 【小问1详解】 由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； 【小问2详解】 若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 20. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． （1）求． （2）若，的面积为，求的周长． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦展开式可求； （2）由三角形面积公式和同角三角函数关系求出和，再由余弦定理解方程组可得三角形边长，进而求出周长； （3）由余弦展开式和二倍角公式求出结果即可. 【小问1详解】 由得到，由正弦定理和两角和的正弦展开式可得， 所以. 【小问2详解】 ，且， 由，解得，所以， 又由余弦定理和上问可得， 将代入上式可得， 所以，，所以的周长为. 【小问3详解】 ①， 由上问可知，等腰，，， 所以，， 代入①可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$