精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

成都石室阳安学校2024—2025学年度上期高2024级12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 4. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程有一个大于的实数根，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数的定义域为D，若满足；（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数；若是闭函数，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算:log26-log23-=____. 13. 若，则____________． 14. 设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求：①，②； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知是定义在上的偶函数，且当时，， （1）求函数的解析式； （2）若，求在上的值域. 17. 近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）.其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s. 参考数据：. （1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？ 18. 已知定义在上的函数，且有，. （1）求函数的解析式并判断其奇偶性； （2）解不等式； （3）设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 19. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室阳安学校2024—2025学年度上期高2024级12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 命题的否定为. 故选：D． 2. 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数的定义得到答案. 【详解】终边经过点，则 故选： 【点睛】本题考查了三角函数值的计算，属于简单题. 3. 设，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的图像可知c<0,由指数函数图像可判断出a,b与1的关系，从而得到a,b,c的大小关系. 【详解】由指数函数图像可知<1, 由对数函数图像可知c<0, 即可得到c<b<a, 故选D 【点睛】本题考查指数函数图像和对数函数图像的应用，属于简单题. 4. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先得定点，再求出幂函数表达式即可得解. 【详解】，,则设，则，解得，则， 故选：A. 6. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于正余弦的齐次式，进行弦化切，代入求解. 【详解】 ，将代入上式，得原式． 故选：A． 7. 玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可得解． 【详解】如图，设，， 由弧长公式可得， 解得，， 设扇形，扇形的面积分别为，， 则该壁画的扇面面积约为． 故选：A 8. 已知关于的方程有一个大于的实数根，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令，则方程可变形为则方程有一个大于的实数根，然后再对对称轴及根的判别式计算可得. 【详解】解：因为关于的方程有一个大于的实数根， 令，则方程可变形为 ， 所以方程有一个大于的实数根， 当时，则解得 当时，则且解得 综上可得 故选： 【点睛】本题考查方程的解，考查转化思想，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：AB 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用给定条件结合基本不等式可判断AB正确，再利用指数函数以及对数函数单调性计算可判断CD. 【详解】对于A，由，可得，所以， 又，可得等号不成立，即，所以A正确； 对于B，，又，所以， 又，所以等号不成立，即，可得B正确； 对于C，因为，，所以， 可知，可得，因此； 易知函数在上单调递增，可得，即C正确； 对于D，由A可知，因为对数函数在上单调递增， 所以，即D错误. 故选：ABC 11. 函数的定义域为D，若满足；（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数；若是闭函数，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】CD 【解析】 【分析】先判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为使方程有两个相异的非负实根，最后建立关于的不等式，求解即可. 【详解】因为函数是单调递增函数， 所以，即方程有两个相异的非负实根， 即方程有两个相异的非负实根， 令，则方程有两个相异的非负实根， 令， 则，即，解得. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算:log26-log23-=____. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数与对数的运算性质计算即可. 【详解】原式=log26-log23- 故答案为： 13. 若，则____________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据与的关系即可求解. 【详解】， 两边平方得，即， 所以. 故答案为：. 14. 设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示. 由，得或. 当时，有3个零点； 要使函数有7个零点， 则当，即时，曲线与直线有4个交点， 结合图象可得，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为有解，即或，作出函数的大致图象，数形结合求解. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求：①，②； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集，交集，全集，补集的定义计算即可； （2）利用集合间的包含关系列不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，解得，则， 当时，， 所以，或， 则. 【小问2详解】 由（1）知， 由，得，解得， 因此，实数m的取值范围是. 16. 已知是定义在上的偶函数，且当时，， （1）求函数的解析式； （2）若，求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合偶函数定义求出时的解析式，得解； （2）令，，问题转化为求的值域，运算得解. 【小问1详解】 当时，则， ，又， ， . 【小问2详解】 当时，则， 由，令，则， 则，对称轴， ，， 所以在上的值域为. 17. 近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）.其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s. 参考数据：. （1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？ 【答案】（1） （2）45 【解析】 【分析】（1）根据最大速度公式求得正确答案. （2）根据火箭最大速度的要求列不等式，由此求得正确答案. 【小问1详解】 当总质比为230时，， 即型火箭的最大速度为. 【小问2详解】 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以型火箭的喷流相对速度为，总质比为， 由题意得： 因为，所以， 所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值为45. 18. 已知定义在上的函数，且有，. （1）求函数的解析式并判断其奇偶性； （2）解不等式； （3）设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称，因为， 所以为上的奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入求得的值，则解析式可知，根据的关系结合定义域证明出奇偶性； （2）根据奇偶性对不等式变形，再根据的单调性解不等式，由此可求结果； （3）先将问题转化为“”，然后根据单调性分析的最值，采用换元法分析的最值，由此可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以，所以， 所以，所以或，解得或， 所以不等式解集为. 【小问3详解】 因为，，使得，所以； 因为，，所以， 由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近； 又因为，令， 所以，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 若，则， 综上所述，的取值范围是. 19. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）是“不动点”函数，不动点是和2； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义列出方程，求解方程即可； （2）根据新定义列出方程，求解方程即可得； （3）设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答． 【小问1详解】 设是的不动点，则，所以，解得或， 所以是“不动点”函数，不动点是和2； 【小问2详解】 因为a是的次不动点，所以，显然，解得； 【小问3详解】 设分别是在上的不动点和次不动点，且唯一， 由得，即，， 令，显然在上单调递增，所以，， 所以， 由得：，即，， 时， 综上，， 所以的范围是． 【点睛】思路点睛：本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $