专题01 一次函数（考题猜想，易错必刷60题24种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北京版）

专题01 一次函数（易错必刷60题24种题型） 50 / 56 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 变量和常量 · 题型二 函数的相关概念 · 题型三 函数的表示法 · 题型四 直角坐标系中点的坐标 · 题型五 已知点所在的象限求参数（易错） · 题型六 坐标与图形（高频） · 题型七 点坐标规律探索（高频） · 题型八 描点法 · 题型九 动点问题的函数图象 · 题型十 正比例函数（重点） · 题型十一 根据一次函数的定义求参数（易错） · 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围（易错） · 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题（易错） · 题型十四 一次函数图象的平移问题（高频） · 题型十五 根据一次函数增减性求参数（易错） · 题型十六 比较一次函数值的大小 · 题型十七 求一次函数解析式 · 题型十八 一次函数与方程的关系 · 题型十九 一次函数与不等式的关系（易错） · 题型二十 求直线围成的图形面积 · 题型二十一 分配方案问题（难点） · 题型二十二 最大利润问题（难点） · 题型二十三 行程问题（难点） · 题型二十四 一次函数与几何综合（难点） 题型一 变量和常量 1．（2025八年级下·北京·专题练习）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（    ） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量的概念，解题的关键是明确在一个变化过程中，数值不发生变化的量是常量，数值发生变化的量是变量． 根据长方形面积公式得出x与y的关系，再依据常量与变量的定义判断各量的属性． 【详解】解：∵长方形的面积始终不变为常量，长和宽的数值发生变化为变量， ∴常量为6，变量为x，y． 故选：D． 题型二 函数的相关概念 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）函数中，自变量x的取值范围为（     ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得出且，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故选：A． 3．（24-25八年级下·北京·阶段练习）若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值的求解，把自变量代入函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·北京西城·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当，， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 题型三 函数的表示法 5．（24-25八年级下北京朝阳·阶段练习）已知的面积为2，一边长为x，该边上的高为y，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出函数解析式，解题的关键是根据已知得出．利用三角形面积公式得出，进而得出答案． 【详解】∵的面积为2，一边长为x，该边上的高为y， ∴ ∴y与x之间的函数关系式为． 故选：D． 6．（2025·北京·一模）训练模型时，记录温度（）与运行时间（分钟）的关系如下表： 时间（x） 0 5 10 15 20 温度（y） 25 40 55 70 85 则y关于x的函数关系式为 （）． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式的知识，属于基础题，解题的关键是分析表格得出温度y关于运行时间x的关系式．根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：． 故答案为：． 7．（2025八年级下·北京·专题练习）电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为． (1)小亮家上月用电多少千瓦时？ (2)如果每千瓦时的电费为元，全月的电费为（元），那么上月小亮家应缴费电费是多少？ (3)在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？是哪个变量的函数？ 【答案】(1)千瓦时 (2)元 (3)常量：，300；变量：；是的函数 【分析】本题考查了函数的实际应用，根据电表读数方法得出度数与电费之间的关系是解题关键． （1）根据“上月用电量本月初电表读数上月初电表读数”解答即可； （2）根据“电费电费单价用电量”解答即可； （3）根据常量，变量，函数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：由“上月用电量本月初电表读数上月初电表读数”可知小亮家上月用电千瓦时． （2）解：根据“电费电费单价用电量”可知上月小亮家应缴费电费是元． （3）解：由（2）可知，其中的常量：，300；变量：；是变量的函数． 题型四 直角坐标系中点的坐标 8．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）在平面直角坐标系中，点，第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点到轴的距离是2 C．直线轴 D．点到原点的距离是 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与平面，两点之间距离公式，点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 先确定点，即可判断A、B、C，再由两点之间距离公式可判断D． 【详解】解：A、由于第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，故，本选项错误，符合题意； B、点到轴的距离是2，正确，不符合题意； C、由于，，故轴，正确，不符合题意； D、点到原点的距离是，正确，不符合题意， 故选：A． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， ∴ ∵平行于x轴， ∴设， ∵， ∴或， ∴点Q的坐标是或． 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·北京·阶段练习）已知点， (1)当点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)当点P在第二象限时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，解不等式组， 对于（1），根据点在x轴上求出m的值，可得答案； 对于（2），根据第二象限的点的特征可得不等式组，求出解集． 【详解】（1）解：点在轴上，且， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：点在第二象限，且点， ∴， 解得． 题型五 已知点所在的象限求参数 11．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）若点在第二象限，那么a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围．根据第二象限内的点的符号特征：，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选：B． 12．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了第四象限内的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，再由第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴且， ∴， ∴， 故答案为：0． 13．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求出点A的坐标； (2)若点A在第二象限，且到轴的距离为5，求出点A的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为； (2)点A的坐标为． 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）由轴上的点的纵坐标为，可得，从而可解得的值，再将的值代入计算，则可得答案； （2）根据点到轴的距离为，求解即可． 【详解】（1）解：因为点A的坐标为，点A在轴上， 所以， 所以， 所以， 所以点A的坐标为； （2）解：因为点A在第二象限，且到x轴的距离为5， 所以， 解得， 所以， 即点A的坐标为． 题型六 坐标与图形 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查坐标与图形，掌握数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）先得出，再根据，进行求解即可； （2）设，根据列出方程，整理得，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P为x轴上的一点， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴或． 15．（22-23八年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)在图中画出平移后的三角形； (2)三角形的面积为 (3)点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据三角形的面积公式，坐标特征，计算面积即可． （3）设，根据的面积为4，坐标特征，解答即可． 本题考查了坐标的平移，坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，，． 三角形中任意一点，平移后对应点为即向上平移2个单位，向左平移1个单后，得到新坐标为，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得， 故的面积为：． （3）解：设， ∵的面积为4，，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故点的坐标为或． 题型七 点坐标规律探索 16．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标规律探索，观察图形探索出循环规律是解题的关键．由图形知，动点的横坐标即运动次数，纵坐标每4次一个循环，依次为1，0，2，0，由知经过第2025次运动后，动点的坐标是． 【详解】解：令（为整数，且）， 由图形知，动点的横坐标m即运动次数，纵坐标每4次一个循环，依次为1，0，2，0； 当（n为整数，且）时，； 当或时，； 当时，； ∵ ∴经过第2025次运动后，动点的坐标是； 故选：D． 17．（24-25八年级下·广西梧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2025个点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了找规律，由图得第1个点的坐标是，第9个点的坐标是，第25个点的坐标是，，得第个点为奇数）的坐标是，由，得第2025个点的坐标是． 【详解】解：由图得第1个点的坐标是， 第9个点的坐标是， 第25个点的坐标是， ……, 以此类推，可知第个点为奇数）的坐标是， ∵， ∴第2025个点的坐标是， 故选：C． 题型八 描点法 18．（23-24八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 【答案】见解析 【分析】先取出一些数据，填表；然后根据一次函数的解析式画出图象即可． 本题考查了描点法画函数图象，熟练掌握图象的画法是解题的关键． 【详解】解： 19．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【答案】(1)下降；海拔高度h； (2)详见解析 (3) (4)该处的海拔高度是4千米 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，描点法画函数图象，列函数关系式，求自变量的值： （1）从表格获取信息作答即可； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）根据题意，列出函数关系式即可； （4）令，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知：随着海拔高度的升高，气温下降，因此自变量是海拔高度h； 故答案为：下降，海拔高度h； （2）描点，连线，画图如下： （3）由表格可知，海拔每上升，气温下降， ∴； （4）令， 解得：， ∴该处的海拔高度是4千米． 题型九 动点问题的函数图象 20．（23-24八年级下·陕西西安·期中）动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒． (1)______，______，______； (2)当三角形的面积为时，求点的运动时间的值． 【答案】(1)，14，10 (2)点的运动时间为或． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 21．（23-24八年级下·四川成都·开学考试）如图1，四边形是一个长方形，一动点在长方形边上运动，设点运动的路程为，的面积为，与的关系图象如图所示．动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．    (1)根据图2可知，__________； (2)求出点由点运动到点的总时间； (3)当的值为时，求点的运动时间． 【答案】(1)10 (2) (3)或 【分析】（1）根据图1图2可直接得出结果； （2）由题意可知，，再结合题干中所给的运动速度即可得出结果； （3）分点在上运动，与点在上运动时两种情况下的值为求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 故答案为：； （2）点由点运动到点的总时间 （3）①设点在上的运动时间为， 则， 解得；②设点在上运动时间为， ， 解得， 点的运动时间为， 综上所述，当的值为时，点的运动时间为或． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． 题型十 正比例函数 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知与x成正比例，且时， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例的关系是解决此题的关键， （1）根据题意设函数解析式，再把一组值代入求出k值即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式中，求出m即可． 【详解】（1）解：∵与x成正比例， ∴设， 把，代入， 得：， 解得：， ∴， 即． （2）解：依题意，把代入， 得：， 解得：． 23．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的图象，“对于正比例函数（是常数，），当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限”，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．根据正比例函数的图象经过第一、三象限可得，由此即可得． 【详解】解：正比例函数（是常数，）的图象经过第一、三象限， ， ∴的值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 题型十一 根据一次函数的定义求参数 24．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 25．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 【答案】(1)；；10 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值： （1）根据一次函数的定义可求出m的值，可得到对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （2）把点求出此时n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：， ∴此函数解析式为， 当时，； （2）解：由（1）得：此函数解析式为， ∵点在此一次函数图象上， ∴， 解得：． 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 26．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知一次函数 (1)求，为何值时，函数是正比例函数？ (2)若图象经过第一，三，四象限，求，的取值范围？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、正比例函数图象与性质，熟记一次函数的图象与性质、正比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）根据正比例函数定义，得到，，求解即可得到答案； （2）根据题意，作出图象，结合图象得到，，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是正比例函数， ，， 解得，； （2）解：一次函数图象经过第一，三，四象限，如图所示： ，， 解得，． 27．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知一次函数，求： (1)为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？ (2)为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？ 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考查学生思维的严谨性和数形结合思想的应用． （1）若函数的图象经过第一、三、四象限，则此函数的x的系数，，求出k的取值范围即可； （2）函数图象与y轴的交点在x轴下方，且，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， 解得：． （2）解：∵函数图象与y轴的交点在x轴下方， ∴且， ∴且． 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 28．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求出直线与轴的交点坐标，再代入到直线中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵直线与直线相交于轴上， ∴把代入，得：， 解得：； 故选D． 29．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若一次函数的图象过点，不经过第一象限，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．设此一次函数的解析式为，先根据一次函数图象过点，求得，再用k表示出函数图象与y轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设此一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴此一次函数的图象与y轴交于点， ∵与两坐标轴围成的三角形的面积为5， ∴， 解得：， ∵不经过第一象限， ∴， ∴，， ∴此一次函数的解析式为． 故答案为：． 30．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），与轴交于点． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义即可得出的值； （2）当时，函数为，令，解得，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵函数（为常数），且是关于的正比例函数， ， 解得． （2）解：当时，函数为：， ∵函数与轴交于点． 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． 题型十四 一次函数图象的平移问题 31．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期中）根据要求解决问题： (1)在同一平面直角坐标系中画出和的函数图像； (2)直线和直线有什么共同点； (3)请写出将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式． 【答案】(1)图见解析 (2)倾斜程度相同；都经过一、三象限 (3) 【分析】本题考查一次函数的图像平移： （1）根据题意，画出函数图像即可； （2）根据图像获取信息即可； （3）根据平移规则，写出函数关系式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线过点； ∵， ∴当时，，当时，， ∴直线过点； 画图如下： （2）由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限． （3）将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：． 32．（22-23八年级下·福建宁德·期中）已知一次函数，完成下列问题：      (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)将该函数的图象向下平移2个单位长度，直接写出平移后的直线的关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先列表，再画图即可； （2）根据平移的规律即可求得． 【详解】（1）解：列表： 0 2 1 0 描点，连线，得图象如图所示：    （2）将该函数的图象向下平移2个单位长度， 可得：，即． 【点睛】本题考查了画一次函数图像，一次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握描点法画图，记住平移的规律． 33．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，直线与轴交于点，点为该直线上一点，且点的纵坐标是6； (1)求点和点的坐标； (2)把直线向下平移7个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，连接，，求的面积； (3)点为直线上一点，连接和，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）把代入求得相应的值，即可得点的坐标；把代入求得相应的值，可得点的坐标； （2）首先求得平移后直线方程为，据此求得；设直线与轴交于点，则． （3）分两种情况：过作交轴于，过作于，当在左侧时，设交轴于，求出，由的面积为6，，可得，由，可得是等腰直角三角形，可知是等腰直角三角形，求出，直线的解析式为，联立可得；当在右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：把代入，得， ． 把代入，得， 解得， ； 的坐标为，的坐标为； （2）解：设直线与轴交于点，如图： 在中，令得， ， 把直线向下平移7个单位长度得到直线：，即， 在中，令得， 解得， ， ， ． 的面积为； （3）解：过作交轴于，过作于， 当在左侧时，设交轴于，如图： 在中，令得， ， ，， ， 的面积为6，， 的面积为6， ， ， 由，可得是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得， ； 当在右侧时，如图： 同理可得， 直线解析式为， 联立， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数的平移，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 题型十五 根据一次函数增减性求参数 34．（2025八年级下·北京·专题练习）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，理解一次函数的性质是解决本题的关键． 分两种情况：当时，把代入即可解得；当时，把代入即可解得． 【详解】解：当，即时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：； 当，即时，中，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：， 综上所述，m的值为或4． 故选：C． 35．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解： 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 故答案为： ． 36．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 【答案】 7 0或 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点代入一次函数的表达式中，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入一次函数，得， 解得． 故答案为：7； （2）当时，y随x的增大而增大， 当时，， 解得． 当时，y随x的增大而减小， 当时，， 解得． 综上，当或时，该一次函数有最大值8． 故答案为：0或． 题型十六 比较一次函数值的大小 37．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）已知点，是一次函数图象上的两点，那么，的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对于一次函数，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 38．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象不经过第三象限得，，所以随的增大而减小，故当时，取最大值，当时，取最小值，再根据的最大值与最小值的差为，列出等式，解出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， ，， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点，都在该函数的图象上． ①当时，求的取值范围． ②请判断，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数的性质． （1）利用待定系数法解答即可； （2）①由（1）知一次函数的表达式，根据一次函数的性质确定出当和时的函数值，即可解答； ②根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，将点代入一次函数中， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：①由（1）知一次函数的表达式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，则， 当时，则， ∴当时，的取值范围为； ②，理由如下： 由①知一次函数，随的增大而减小， ∵， ∴． 题型十七 求一次函数解析式 40．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知两直线与相交于点，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，先将点代入求出m的值，再将点代入即可求出k的值． 【详解】解：将点代入得，， 将点代入得，， 解得， 故选：B． 41．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，求一次函数的解析式，由两直线平行可得，再由直线与直线相交于点得出，即可得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 42．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出的解集__________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）根据函数图象，写出一次函数图象在函数图象上方的自变量取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵两直线交点， 根据图象，的解集为， 故答案为：． 题型十八 一次函数与方程的关系 43．（21-22八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 【答案】（−2，0） 【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0， ∴ax−b＝1， ∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0）， 故答案为：（−2，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 44．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是解决本题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，得到，令得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，令，得到，令得到， ∴； 题型十九 一次函数与不等式的关系 45．（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，根据两直线的交点求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得到答案； （2）先求出点坐标，然后利用三角形面积公式解题即可； （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：把点  代入，则 ， 解得 ， 所以，直线m对应的函数表达式为； （2）把代入，则 ， 解得 ， 则， ∴， ∴， 答：的面积为18； （3）由图象可知：不等式的解集为． 46．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）已知直线经过点； (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）若直线与直线相交于点C， ． 解得， 点； （3）由（2）得， 根据图象可得不等式的解集为：． 题型二十 求直线围成的图形面积 47．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，O是原点，一次函数的图像经过和两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积． （1）根据给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出该一次函数的表达式； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过和两点， ∴， 解得， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：设直线与x轴、y轴分别交于A，B， 在中，令，得， ∴， ∴； 令，得，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 48．（24-25八年级下·陕西·期中）一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数与交于点． (1)求m的值及的解析式； (2)若点D在x轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，熟知待定系数法是解题的关键． （1）将点坐标代入的函数解析式可求出，再将点坐标代入的函数解析式中求解即可； （2）根据和的面积关系，可求出的长，进而解决问题． 【详解】（1）解：将代入一次函数解析式中，得， 解得． 则点坐标为． 设的解析式为， 将点坐标代入，得， 解得， 所以的解析式为； （2）解：将代入中，得， ∴点坐标为，又， 故． ∵， ∴，又， 则， 解得， 又点坐标为， ∴点坐标为或． 题型二十一 分配方案问题 49．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在促销活动期间，两家文具店都进行了优惠活动． 甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超过20支，则超出的部分按6折销售； 乙文具店：不论买多少，全部按八折销售． (1)分别写出在甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用、（元）与购买支数之间的函数表达式； (2)请你通过计算分析说明促销活动期间在哪家文具店购买划算？ 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】此题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意得出等量关系即可求解； （2）根据（1）中的函数表达式，分情况讨论，比较大小即可得到最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：甲文具店： ； 乙文具店：． （2）当时，即 解得 ∴当时，在乙文具店购买划算； 当时，即 解得 ∴当时，在两个文具店花费一样多； 当时，即 解得 ∴当时，在甲文具店购买划算． 50．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用10辆 (2)（且为整数） (3)8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择． （1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据运输228吨物资，列方程求解． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可； （3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据题意得 ， 解得， ∴． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆， ， ∴（且为整数）． （3）∵运往甲地的大货车不多于6辆 ∴ ∵，， ∴w随a的增大而增大， ∵ ∴当时，w最小，最小值为． 答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 51．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【答案】(1)300 , 200 (2)，A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少． (3)a的最小值为10 【分析】（1）设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； （2）如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． （3）由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 题型二十二 行程问题 52．（2025八年级下·北京·专题练习）某水果店准备购进A，B两种水果进行销售，若购进A种水果和B种水果各5千克共需花费140元，购进A种水果3千克和B种水果7千克共需花费156元． (1)求购进A种水果和B种水果的单价； (2)若该水果店购进了A，B两种水果共100千克，其中A种水果售价为15元/千克，B种水果售价为25元/千克，A种水果运输和仓储过程中质量损失4%．设购进A种水果m千克，A，B两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式． 【答案】(1)A种水果的单价是10元/千克，B种水果的单价是18元/千克 (2)w关于m的函数表达式为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用， 对于（1），分别设A种水果和B种水果的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 对于（2），根据“总利润等于购进的A，B两种水果的利润和”计算即可． 【详解】（1）解：设A种水果的单价是a元/千克，B种水果的单价是b元/千克．根据题意，得， 解得． 答：A种水果的单价是10元/千克，B种水果的单价是18元/千克． （2）解：根据题意，得． 答：w关于m的函数表达式为． 53．（2025·河南·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【答案】(1)购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， (2)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 即（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， （2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个， 则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且， 54．（24-25九年级下·河南南阳·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球．已知购买3个品牌足球和2个品牌足球共需360元；购买2个品牌足球和1个品牌足球共需220元． (1)求两种品牌足球的单价． (2)该学校计划购买两种品牌的足球共75个，且A品牌足球的数量不少于品牌足球数量的2倍，实际购买时，商家对A品牌足球售价下调m（）元，且限定学校最多购进A品牌足球60个．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)两种品牌足球的单价分别为元，元， (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据购买3个品牌足球和2个品牌足球共需360元；购买2个品牌足球和1个品牌足球共需220元进行列二元一次方程组，再解出，的值，即可作答． （2）先表示，然后解出，再进行分类讨论，且结合一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设两种品牌足球的单价分别为元，元， 依题意， 解得， ∴两种品牌足球的单价分别为元，元， （2）解：依题意，设购买A品牌的足球为个，则购买A品牌的足球为个，总价为元， 则 依题意，，且， 解得； ①当时，随的增大而增大， 即当时，最小，且为； 故购买A品牌的足球为个，则购买A品牌的足球为个，总价最小． ②当时，，可取范围内任意整数， ③当时，随的增大而减小， 即当时，最小，且为； 故购买A品牌的足球为个，则购买A品牌的足球为个，总价最小． 题型二十三 最大利润问题 55．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是，请根据图像回答： (1)乙骑摩托车的速度是多少？ (2)甲骑自行车的速度是多少？ (3)两人相遇的时候，距B地还有多远？ (4)乙比甲晚多少时间出发，又早到多少时间？ 【答案】(1) (2) (3) (4)乙比甲晚出发，又早到 【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，找出关键点的意义． （1）根据速度路程时间，结合函数图象求出结果即可； （2）根据速度路程时间，结合函数图象求出结果即可； （3）根据函数图象的交点坐标，得出答案即可； （4）直接根据函数图象得出乙比甲晚出发，分别求出甲、乙到达B地时，对应的函数图象的横坐标，再求出乙比甲早到即可． 【详解】（1）解：， 乙骑摩托车的速度是． （2）解：， 甲骑自行车的速度是． （3）解：根据图象可知，两函数图象的交点坐标为， ∴两人相遇时距A地． ， ∴两人相遇的时候，距B地还有远． （4）解：当甲骑自行车到达B地时，甲函数图象的横坐标为： ， 当乙骑摩托车到达B地时，乙函数图象的横坐标： ， ． 乙比甲晚出发，又早到． 56．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式． (2)求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 【答案】(1)段y与x之间的函数关系式为； (2)小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将代入段y与x之间的函数关系式，列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：设段y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，得， 解得． 答：小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 57．（23-24八年级下·天津南开·期中）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆：在体育馆停留一段时间后，匀速骑行0.4h到达图书馆：在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间/h 0.1 0.2 1.8 2.2 2.8 小明离开家的距离/km 1.2 6 (2)填空： ①体育馆与图书馆之间的距离为 ； ②小明从体育馆到图书馆的骑行速度为 ； ③当小明离开家的距离为时，他离开家的时间为 h． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)2.4；7；8； (2)①2；②5；③或； (3)． 【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整； （2）①根据函数图象中的数据，可以得到体育馆与图书馆之间的距离； ②根据速度=路程÷时间计算即可； ③根据图象可知，分两种情况，然后计算即可； （3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）由图象可得， 在前的速度为， 故当时，小明离开家的距离为， 当时，速度为， ∴当时，， 在时，距离不变，都是8，故当时，小明离开家的距离为8， 故答案为：2.4；7；8； （2）由图象可得， ①体育馆与图书馆之间的距离为2， 故答案为：2； ②小明从体育馆到图书馆的骑行速度为：， 故答案为：5； ③当时， 小明离家的距离为5时，小明离开家的时间为， 当时， 小明离家的距离为5时，小明离开家的时间为， 故答案为：或； （3）由图象可得， ①当时，设， ， 解得， ∴； ②当时，， ③当时，设， 则， 解得， ∴； 由上可得，当时，y关于x的函数解析式是． 题型二十四 一次函数与几何综合 58．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，直线与轴，轴交于点，点在直线上，点的横坐标为1． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为直线与轴，轴交于点，故当时，，当时，，然后把代入计算，即可作答． （2）先得，结合，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴交于点， 当时，， 当时，，解得：， ，， 当时，则， ； （2）解：， ， ， ． 59．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点为直线与轴交点． (1)直接写出点的坐标； (2)设点为直线，在第一象限的交点，其横坐标为．当的面积与的面积相等时： ①求点的坐标； ②直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①点坐标为；② 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平面直角坐标系内点的坐标特征，平面直角坐标系内两点之间的距离，坐标与图形，掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． （1）令，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得出，求出的值，即可得到点的坐标； ②将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：点为直线与轴交点 令， ， ， （2）解：①点横坐标为，点在直线上， ， 直线与轴，轴分别交于点，， 令，则， ， 令，则， 解得， ， ， ， ， ， ， 解得， ； ②把代入得， 解得：. 60．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于成A、B，与函数的图像交于点． (1)求出k，b的值； (2)求出的面积； (3)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．若，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，掌握一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算是解题的关键． （1）把代入，得，把代入，可得； （2）根据直线与坐标轴的交点可得，由即可求解； （3）根据题意可得，设，则，，由，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 解得：； （2）解：直线与x轴、y轴分别交于成A、B， ∴当时，， ∴， ，又 ， ； （3）解：当时，， ， ， 如图， 设，则，， ， ， 解得：或， 点P的坐标为或． $$ 专题01 一次函数（易错必刷60题24种题型） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 变量和常量 · 题型二 函数的相关概念 · 题型三 函数的表示法 · 题型四 直角坐标系中点的坐标 · 题型五 已知点所在的象限求参数 · 题型六 坐标与图形 · 题型七 点坐标规律探索 · 题型八 描点法 · 题型九 动点问题的函数图象 · 题型十 正比例函数 · 题型十一 根据一次函数的定义求参数 · 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 · 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 · 题型十四 一次函数图象的平移问题 · 题型十五 根据一次函数增减性求参数 · 题型十六 比较一次函数值的大小 · 题型十七 求一次函数解析式 · 题型十八 一次函数与方程的关系 · 题型十九 一次函数与不等式的关系 · 题型二十 求直线围成的图形面积 · 题型二十一 分配方案问题 · 题型二十二 最大利润问题 · 题型二十三 行程问题 · 题型二十四 一次函数与几何综合 题型一 变量和常量 1．（2025八年级下·北京·专题练习）已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（    ） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 题型二 函数的相关概念 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）函数中，自变量x的取值范围为（     ） A． B． C．且 D． 3．（24-25八年级下·北京·阶段练习）若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 4．（24-25八年级下·北京西城·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 题型三 函数的表示法 5．（24-25八年级下北京朝阳·阶段练习）已知的面积为2，一边长为x，该边上的高为y，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·一模）训练模型时，记录温度（）与运行时间（分钟）的关系如下表： 时间（x） 0 5 10 15 20 温度（y） 25 40 55 70 85 则y关于x的函数关系式为 （）． 7．（2025八年级下·北京·专题练习）电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为． (1)小亮家上月用电多少千瓦时？ (2)如果每千瓦时的电费为元，全月的电费为（元），那么上月小亮家应缴费电费是多少？ (3)在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？是哪个变量的函数？ 题型四 直角坐标系中点的坐标 8．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）在平面直角坐标系中，点，第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点到轴的距离是2 C．直线轴 D．点到原点的距离是 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是 ． 10．（24-25八年级下·北京·阶段练习）已知点， (1)当点P在x轴上时，求点P的坐标； (2)当点P在第二象限时，求m的取值范围． 题型五 已知点所在的象限求参数 11．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）若点在第二象限，那么a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 12．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 13．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求出点A的坐标； (2)若点A在第二象限，且到轴的距离为5，求出点A的坐标． 题型六 坐标与图形 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 15．（22-23八年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)在图中画出平移后的三角形； (2)三角形的面积为 (3)点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，直接写出点的坐标． 题型七 点坐标规律探索 16．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·广西梧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2025个点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 题型八 描点法 18．（23-24八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 19．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 题型九 动点问题的函数图象 20．（23-24八年级下·陕西西安·期中）动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒． (1)______，______，______； (2)当三角形的面积为时，求点的运动时间的值． 21．（23-24八年级下·四川成都·开学考试）如图1，四边形是一个长方形，一动点在长方形边上运动，设点运动的路程为，的面积为，与的关系图象如图所示．动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．    (1)根据图2可知，__________； (2)求出点由点运动到点的总时间； (3)当的值为时，求点的运动时间． 题型十 正比例函数 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知与x成正比例，且时， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求a的值． 23．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 题型十一 根据一次函数的定义求参数 24．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 25．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 题型十二 已知函数经过的象限求参数范围 26．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知一次函数 (1)求，为何值时，函数是正比例函数？ (2)若图象经过第一，三，四象限，求，的取值范围？ 27．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知一次函数，求： (1)为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？ (2)为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？ 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题 28．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若一次函数的图象过点，不经过第一象限，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则函数解析式为 ． 30．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），与轴交于点． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若，求点的坐标． 题型十四 一次函数图象的平移问题 31．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期中）根据要求解决问题： (1)在同一平面直角坐标系中画出和的函数图像； (2)直线和直线有什么共同点； (3)请写出将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式． 32．（22-23八年级下·福建宁德·期中）已知一次函数，完成下列问题：      (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)将该函数的图象向下平移2个单位长度，直接写出平移后的直线的关系式． 33．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，直线与轴交于点，点为该直线上一点，且点的纵坐标是6； (1)求点和点的坐标； (2)把直线向下平移7个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，连接，，求的面积； (3)点为直线上一点，连接和，若的面积为，求点的坐标． 题型十五 根据一次函数增减性求参数 34．（2025八年级下·北京·专题练习）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 35．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为 ． 36．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 题型十六 比较一次函数值的大小 37．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）已知点，是一次函数图象上的两点，那么，的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”）． 38．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 39．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点，都在该函数的图象上． ①当时，求的取值范围． ②请判断，的大小关系，并说明理由． 题型十七 求一次函数解析式 40．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知两直线与相交于点，则k的值是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为 ． 42．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出的解集__________． 题型十八 一次函数与方程的关系 43．（21-22八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 44．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 题型十九 一次函数与不等式的关系 45．（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中直线m：与直线n：交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点． (1)求直线m对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 46．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）已知直线经过点； (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，写出关于的不等式的解集． 题型二十 求直线围成的图形面积 47．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，O是原点，一次函数的图像经过和两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 48．（24-25八年级下·陕西·期中）一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，正比例函数与交于点． (1)求m的值及的解析式； (2)若点D在x轴上，且满足，求点D的坐标． 题型二十一 分配方案问题 49．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在促销活动期间，两家文具店都进行了优惠活动． 甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超过20支，则超出的部分按6折销售； 乙文具店：不论买多少，全部按八折销售． (1)分别写出在甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用、（元）与购买支数之间的函数表达式； (2)请你通过计算分析说明促销活动期间在哪家文具店购买划算？ 50．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 51．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 题型二十二 行程问题 52．（2025八年级下·北京·专题练习）某水果店准备购进A，B两种水果进行销售，若购进A种水果和B种水果各5千克共需花费140元，购进A种水果3千克和B种水果7千克共需花费156元． (1)求购进A种水果和B种水果的单价； (2)若该水果店购进了A，B两种水果共100千克，其中A种水果售价为15元/千克，B种水果售价为25元/千克，A种水果运输和仓储过程中质量损失4%．设购进A种水果m千克，A，B两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式． 53．（2025·河南·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 54．（24-25九年级下·河南南阳·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球．已知购买3个品牌足球和2个品牌足球共需360元；购买2个品牌足球和1个品牌足球共需220元． (1)求两种品牌足球的单价． (2)该学校计划购买两种品牌的足球共75个，且A品牌足球的数量不少于品牌足球数量的2倍，实际购买时，商家对A品牌足球售价下调m（）元，且限定学校最多购进A品牌足球60个．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 题型二十三 最大利润问题 55．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的距离是，请根据图像回答： (1)乙骑摩托车的速度是多少？ (2)甲骑自行车的速度是多少？ (3)两人相遇的时候，距B地还有多远？ (4)乙比甲晚多少时间出发，又早到多少时间？ 56．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式． (2)求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 57．（23-24八年级下·天津南开·期中）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆：在体育馆停留一段时间后，匀速骑行0.4h到达图书馆：在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间/h 0.1 0.2 1.8 2.2 2.8 小明离开家的距离/km 1.2 6 (2)填空： ①体育馆与图书馆之间的距离为 ； ②小明从体育馆到图书馆的骑行速度为 ； ③当小明离开家的距离为时，他离开家的时间为 h． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 题型二十四 一次函数与几何综合 58．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，直线与轴，轴交于点，点在直线上，点的横坐标为1． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 59．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点为直线与轴交点． (1)直接写出点的坐标； (2)设点为直线，在第一象限的交点，其横坐标为．当的面积与的面积相等时： ①求点的坐标； ②直接写出此时的值． 60．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于成A、B，与函数的图像交于点． (1)求出k，b的值； (2)求出的面积； (3)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．若，求点P的坐标． 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$