专题02 一次函数（考题猜想，压轴必刷60题15种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北京版）

专题02 一次函数（压轴必刷60题15种题型） 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 动点问题的函数图象 · 题型二 平面直角坐标系中规律探索 · 题型三 坐标与图形面积计算 · 题型四 一次函数的图象与性质 · 题型五 一次函数的规律探究问题 · 题型六 一次函数的图象平移问题 · 题型七 一次函数与方程、不等式压轴 · 题型八 一次函数应用之方案分配问题 · 题型九 一次函数应用之最大利润问题 · 题型十 一次函数应用之行程问题 · 题型十一 一次函数应用之几何问题 · 题型十二 一次函数中的旋转问题 · 题型十三 一次函数中的翻折问题 · 题型十四 一次函数中的最值问题 · 题型十五 一次函数中的新定义问题 题型一 动点问题的函数图象 1．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图1，在中，于点D ．动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为(   )    A．4 B．6 C． D． 2．（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，四边形是长方形，点从边上点出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点，最后沿运动到点，设点运动的路程为，的面积为，图是关于变化的函数图象，根据图象下列判断不正确的是（    ） A． B．点为的中点 C．当时，的面积为 D．当时，长度的最小值为 3．（23-24七年级下·北京·期末）如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 4．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 题型二 平面直角坐标系中规律探索 5．（24-25七年级下·北京·阶段练习）如图，在一单位为1的方格纸上，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为 ． 6．（2025·北京·模拟预测）如图，等边三角形的边长为1，顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，过点作于点，过点作，交于点；过点作于点，过点作，交于点；……，按此规律进行下去，点的横坐标是 ． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：； 观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 若按第题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ，点坐标为 ． 题型三 坐标与图形面积计算 9．（24-25八年级上·北京·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足． (1)求的面积； (2)如图2，以为斜边构造等腰直角，点是腰上的一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点． ①请在图2中按要求画图（不要求尺规作图）； ②若平分，求证：； ③探究：连接，当点在运动过程中，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，且位于原点两侧．当时，的面积为16． (1)求A、B点坐标． (2)如图2，在边上有一动点F，连接，与y轴交于点G．设点F的横坐标为t，用含t的式子来表示的面积S． (3)如图3，在（2）的条件下，过点A作交x轴于点D，垂足为E．连接，当时，求出点D的坐标． 11．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 12．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图1，，过点的直线l不经过三角形的内部，过点、作，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，求图1中四边形的面积；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，求四边形面积；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 题型四 一次函数的图象与性质 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为 ． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“友好函数”为 ； (2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 15．（24-25九年级上·北京·开学考试）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 16．（22-23八年级下·北京西城·期中）探究函数的图像与性质． 小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整： 第一步：的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (2)第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论： ①当________时，函数有最小值为_______________； ②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少； ③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称； ④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________． 题型五 一次函数的规律探究问题 17．（23-24七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标中的任意两点，，若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为和合点，如图中的，两点即为“和合点”． (1)已知点，，，． ①在上面四点中， 与点为“和合点”的是 ； ②若点， 过点 作直线轴，点在直线上， 、两点为“和合点”， 则点的坐标为 ； ③若点在第二象限，点在第四象限， 且、两点为“和合点”， 、两点为“和合点”， 求， 的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点， 且满足 过点作直线轴，若在直线上存在点，使得，两点为“和合点”，直接写出的最大值． 18．（2022·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点（1，0）作x轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，点的坐标为 ． 19．（19-20八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+1 与 x、y 轴分别交于点 A、B， 在直线 AB 上截取 BB=AB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C，得到矩形 OABC；在直线 AB 上截取 BB= BB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C，得到矩形 OABC；在直线 AB 上截取 BB= BB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C， 得到矩形 OABC；……；则点 B 的坐标是 ；第 4 个矩形 OABC的面积是 ；第 n 个矩形 OAnBnCn 的面积是 （用含 n 的式子表示，n 是正整数）． 20．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型六 一次函数的图象平移问题 21．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 22．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，且正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 23．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 24．（24-25八年级上·四川·期中）在探究一次函数k、b对函数图象和性质的影响时，北师大教材87页探究了“直线与的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线变为吗？一般地，直线与又有怎样的关系呢？”根据以上探究结论，解答下列问题： 若直线交坐标轴于A，B两点，将直线向右平移m个单位得到直线． (1)若时，求： ①直线l1的表达式； ②移动后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标； (2)若直线与x轴的交点为P，满足，求m的值． 题型七 一次函数与方程、不等式压轴 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交x轴于点A、交y轴于点B，函数（m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线与直线相交于点P． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_________． (2)当时，求点P的坐标． (3)当点P位于第四象限时，求m的取值范围． (4)连结，，当的面积是面积的2倍时，直接写出m的值． 26．（22-23八年级下·四川巴中·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2023·四川乐山·模拟预测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为， （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标 28．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 题型八 一次函数应用之方案分配问题 29．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 30．（20-21八年级下·北京·期中）为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)求：当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数表达式； (2)李老师经常骑共享单车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 31．（2021九年级·北京·专题练习）某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱辆） 租金（元辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 （1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车辆，共需付租金元，请写出与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 32．（19-20八年级下·北京延庆·期中）自2014年12月28日北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．（说明：表格中“10~15公里”指的是大于10公里，小于等于15公里，其他类似） 北京公交车新票价 里程范围 对应票价 0~10公里 2元 10~15公里 3元 15~20公里 4元 20公里以上 每增加1元可再乘坐5公里（不足5公里按5公里计算） *持市政交通一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折 小明办了一张市政交通一卡通学生卡． （1）如果小明全程乘坐公交车的里程为17公里，用他的学生卡刷卡，需交费___元； （2）小明周末和妈妈一起去离他家50公里的莲花山公园游玩，他用学生卡，妈妈用普通卡，请通过计算说明，此次出行小明和妈妈的单程车费一共是多少元？ （3）小明乘坐公交车前往区图书馆，请表示他此次出行单程的公交费用y（元）与行驶里程x公里（且为整数）之间的数量关系． 题型九 一次函数应用之最大利润问题 33．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如下表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价（元/套） 300 a 售价（元/套） b 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元．（利润售价进价） (1)求表中a，b的值； (2)该电商计划购进长征系列画册和红色经典故事两种图书共300套，据市场销售分析，购进红色经典故事的套数不低于长征系列画册套数的2倍．若电商把300套图书全部售出，则购进长征系列画册多少套能使利润最大？（直接写出即可） 34．（23-24七年级下·北京·阶段练习）我校举办了首届“数学展示”活动，为表彰在本次活动中表现优秀的学生，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品．已知1个笔袋、2筒彩色铅笔原价共需44元；2个笔袋、3筒彩色铅笔原价共需73元． (1)每个笔袋、每筒彩色铅笔原价各多少元? (2)正巧商家举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过10筒不优惠，超出10筒的部分“八折”优惠．若买个笔袋需要元，买筒彩色铅笔需要元．请用含的代数式表示； (3)若在（2）的条件下购买同一种奖品100件，请你分析买哪种奖品省钱． 35．（22-23八年级下·北京大兴·期末）呦呦、鸣鸣这对麝鹿兄妹是大兴区创建全国文明城区的吉祥物．某中学决定制作这对吉祥物的宣传条幅和展示牌，若宣传条幅的单价比展示牌的单价多2元，制作4个宣传条幅比制作5个展示牌多3元． (1)求宣传条幅和展示牌的单价各多少元？ (2)该学校需制作宣传条幅和展示牌共200个． ①若制作展示牌m个，制作宣传条幅和展示牌共花费w元，求w与m的函数解析式； ②若展示牌的数量不超过宣传条幅数量的3倍，求该中学制作多少个展示牌时．所需费用最少？最少费用是多少？ 36．（22-23七年级下·北京东城·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A、B两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由． 题型十 一次函数应用之行程问题 37．（24-25七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬行，最后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s（单位：m）与时间t（单位：）之间的图象如图②所示．回答下列问题（π的值取3）： (1)花坛的半径是_______m，_______； (2)当时，求s与t之间的关系式； (3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了，且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变．请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离． 38．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）小宇和小浩是邻居，周末两人骑共享单车从家到茂陵博物馆参观．若小宇先出发，骑行时，小浩才出发，开始时，他们两人骑行的速度相同，后来小宇改变骑行速度，小浩骑行速度始终保持不变．后，小宇到达茂陵博物馆．在整个骑行过程中，他们各自骑行的路程与小浩的骑行时间之间的关系如图所示． (1)求小宇改变骑行速度后，小宇的骑行路程y与x的函数表达式； (2)在小浩骑行过程中，当x为何值时，他们两人相距？ 39．（22-23八年级下·北京房山·期中）A，B两地相距，甲、乙两人开车从A地出发前往B地，其中甲先出发30分钟，乙再出发，如图是甲、乙两人离开A地的距离随甲离开A地的时间变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲的速度为 ； (2)当时，请直接写出与x的函数表达式； (3)求乙出发后多少小时追上甲？ 40．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量（）与汽车行驶路程（）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题： (1)充满电最多可以行驶 ． (2)汽车每行驶消耗 ． (3)电池中的剩余电量不大于15（）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？ (4)现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为元（），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？ 题型十一 一次函数应用之几何问题 41．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，且在点右侧，轴交直线于点，若，求点的坐标． (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在中，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y的图象； (2)根据函数图象，写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 43．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围． 44．（23-24八年级下·北京·期中）已知：在平面直角坐标系中，直线与直线， (1)若直线与直线交于点，求m，b的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D，结合函数图象回答下列问题： ①当时，若，求b的值； ②当时，在点B运动的过程中，恒大于1，请写出符合条件的b的范围______． 题型十二 一次函数中的旋转问题 45．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 46．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点B为y轴正半轴上一点，将线段绕点B旋转至BC处，过点C作垂直x轴于点D，若四边形的面积为，则直线的解析式为 ． 47．（20-21八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 48．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 题型十三 一次函数中的翻折问题 49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 50．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，四边形是长方形，为原点，点在轴上，点在轴上，，，点在边上，将沿着翻折，点恰好落在，边上点处． (1)求点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式． 51．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标． 52．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 题型十四 一次函数中的最值问题 53．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 54．（22-23八年级下·青海西宁·期末）A，B两点的坐标分别为，点P在y轴上，且使线段的值最小，则点P的坐标是 ． 55．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直线的函数表达式为，且分别交轴、轴于点，；直线的函数表达式为，经过点，分别交轴、直线于点，，且点坐标为．    (1)则_____，______； (2)直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一动点，是否存在点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．    (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在（1）的条件下，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是． ①求的面积； ②直线l上是否存在点P，使的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十五 一次函数中的新定义问题 57．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 58．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）定义：我们把一个函数图像上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如点是反比例函数图像的一个“2阶方点”；点是正比例函数图像的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么a的取值范围是 ． 59．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 60．（22-23八年级下·北京海淀·期末）对于线段外一点，给出如下定义：若点满足，则称为线段的垂点，特别地，对于垂点，若或时，称为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点，．    (1)如图，在点，，，中，线段的垂点是______ ； (2)已知点，． ①如图，当时，若直线上存在线段的等垂点，求的值； ②如图，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，直接写出的取值范围是______ ． 21 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$专题02 一次函数（压轴必刷60题15种题型） 1 / 104 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 动点问题的函数图象（重点） · 题型二 平面直角坐标系中规律探索 · 题型三 坐标与图形面积计算（重点） · 题型四 一次函数的图象与性质（高频） · 题型五 一次函数的规律探究问题 · 题型六 一次函数的图象平移问题（高频） · 题型七 一次函数与方程、不等式压轴（高频） · 题型八 一次函数应用之方案分配问题（重点） · 题型九 一次函数应用之最大利润问题（重点） · 题型十 一次函数应用之行程问题（重点） · 题型十一 一次函数应用之几何问题（难点） · 题型十二 一次函数中的旋转问题（难点） · 题型十三 一次函数中的翻折问题（难点） · 题型十四 一次函数中的最值问题 （难点） · 题型十五 一次函数中的新定义问题（难点） 题型一 动点问题的函数图象 1．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图1，在中，于点D ．动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为(   )    A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，由图象可知，，当时，，即，由勾股定理得，，则，可求得，，同理可求，，联立①②，可求，进而可求． 【详解】解：∵， ∴， 由图象可知，， 当时，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， 同理可求，， 联立①②，可得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式的变形．熟练掌握函数图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式的变形是解题的关键． 2．（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，四边形是长方形，点从边上点出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点，最后沿运动到点，设点运动的路程为，的面积为，图是关于变化的函数图象，根据图象下列判断不正确的是（    ） A． B．点为的中点 C．当时，的面积为 D．当时，长度的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，根据函数图象求出有关线段的长度逐一判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由题意知，当与重合时，，最大， 当点在上运动，逐渐减小，直至与重合时，则， ∴时，的最大值， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 由题意知，当时，点在上，，，如图， ， ∴， ∴点是的中点，故正确，不符合题意； 当时，与重合，连接， ∴，故正确，不符合题意； 作，延长交于，如图， 当时，点在上运动，， 即， ∵， ∴ 解得， ∴当时，长度的最小值即为的值，故错误，符合题意； 故选：． 3．（23-24七年级下·北京·期末）如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 【答案】(1)10；5；2 (2) (3)或14或或时，为等腰三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分三种情况进行讨论：当，点P在上时，当，点P在上时，当时，点P在点B上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：当，点P在上时，过点P作， 则， 根据图2可知：点P从点A运动到点C所用时间为，则： ， ∴， 根据题意可知：四边形，为长方形， ∴，， ∴， ∴， 此时； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时， 当时，点P在点B上，如图所示： 此时． 当时，点P在点上，延长，交于点M，如图所示： 则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∵点P运动点E时用时， ∴此时 综上分析可知：或14或或时，为等腰三角形． 4．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)当出发4秒，9秒，12秒时，是等腰三角形． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值； （2）确定与的等量关系后列出关系式即可； （3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是,分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒， ∴图①中，， 即， ∴， ∵在上运动时， 面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系， ∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即， ∴， 在上速度为， ， ∴， 当运动到时停止，此时，即对应图②中秒， 在上速度为， ， ∴， 即，，，； （2）解：前8秒速度为， ，8秒后速度为， ∴， 因此； （3）解：如图③当时， 中， ∴， ∴， 同理当时， 中，， ∴， ， 当时， 在的垂直平分线上， 即为的中点， ， ∴， ， 即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，路程、速度、时间的关系，用函数关系式表示变量间的关系及分类讨论的数学思想．此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． 题型二 平面直角坐标系中规律探索 5．（24-25七年级下·北京·阶段练习）如图，在一单位为1的方格纸上，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考析，根据2024是偶数，求出点的下标是偶数时的变化规律是解题的关键． 根据下标确定出下标为偶数时的点的坐标，得到规律：当下标是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4，8，12，．．时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第2024个点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标变化发现： 当下标为偶数时的点的坐标，得到规律： 当下标是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数， 当下标是4，8，12，．．时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半， 因为， 所以横坐标为2，纵坐标为， 故答案为：． 6．（2025·北京·模拟预测）如图，等边三角形的边长为1，顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，过点作于点，过点作，交于点；过点作于点，过点作，交于点；……，按此规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，等边三角形的性质，勾股定理，关键是能根据求出的数据得出规律，题目比较好，但是有一定的难度． 根据是等边三角形，得到，，由勾股定理得到，，根据等腰三角形的性质得到，根据中点坐标公式得到，推出是等边三角形，得到是的中点，求得，推出，即可求出点的横坐标． 【详解】解：是等边三角形， ，， 过点作于点， ∴， ∴， ，， ， ， ∴点为中点， ， ∵， ， 是等边三角形， ∴同理是的中点， ， 同理， ， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律，由图可知横坐标为的点有个，横坐标为的点有个，横坐标为的点有个，纵坐标分别是，，，横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数，横坐标为偶数，则从开始数，据此解答即可求解，由图形得到坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有个数，第二列有个数， 第列有    个数，则列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵， ∴第个数一定在第列，由下到上是第个数， ∴第个点的坐标是， 故选： ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：； 观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 若按第题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ，点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标，根据点的坐标变化的规律写出、的坐标即可； 根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点的坐标的长度每变化一次横坐标就变为上一次的倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是，然后写出即可． 【详解】解：根据图形变换的规律： ，，，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为； ，，，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为 ； 解：由图形变换的规律可得： 点坐标为：； 点的坐标为：． 【点睛】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律． 题型三 坐标与图形面积计算 9．（24-25八年级上·北京·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足． (1)求的面积； (2)如图2，以为斜边构造等腰直角，点是腰上的一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点． ①请在图2中按要求画图（不要求尺规作图）； ②若平分，求证：； ③探究：连接，当点在运动过程中，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)6 (2)①见解析；②见解析；③不变， 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标，据此求解即可； （2）①根据题意画出图形即可； ②延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ③过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，，解得：，． ，， 的面积； （2）解：①所作图形如图： ②延长，，它们相交于点，如图： 等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中，， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中，， ， ，即， ； ③的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图： ， 由①可知：，， 在和中，， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，且位于原点两侧．当时，的面积为16． (1)求A、B点坐标． (2)如图2，在边上有一动点F，连接，与y轴交于点G．设点F的横坐标为t，用含t的式子来表示的面积S． (3)如图3，在（2）的条件下，过点A作交x轴于点D，垂足为E．连接，当时，求出点D的坐标． 【答案】(1)点，点 (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式可求，即可求解； （2）过点作于，可证△是等腰直角三角形，可得，由三角形的面积公式可求解； （3）由可证，可得，，由“ “可证，可得，由面积的关系可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， △的面积为16， ， ， 点，点； （2）解：如图2，过点作于， 点的横坐标为， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：如图3，过点作，交的延长线于，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)25 【分析】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，算术平方根，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）连接，过B作于E，过A作轴于F，则，设C运动的时间为t秒时，，则，根据，可得，即可得解； （3）平移至，则，，根据面积关系可得，当时，的面积最大，求出的面积的最大值即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知：，， 连接，过B作于E，过A作轴于F，则， ， ， 设C运动的时间为t秒时，，则， ， ， ， ， 当点运动秒时，； （3）解：平移至，则，， ， 当四边形的面积有最大时，的面积也最大， 当时，的面积最大，的面积的最大值为：， 四边形的面积的最大值为25． 12．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图1，，过点的直线l不经过三角形的内部，过点、作，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，求图1中四边形的面积；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，求四边形面积；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，② (4)，或或 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． （1）由图可知； （2）利用可证； （3）①图1中，利用梯形面积公式可解；②图2中，同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）在坐标系内构造一线三垂直模型证明全等三角形，即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：和是一对全等三角形， 故答案为：； （2）证明：，， ∴， ，， ， 在和中， ， ； （3）解：①如图1，由（2）知， ，， ∴， 四边形的面积为：； ②如图2，同（2）可证， ，， ， 四边形的面积为：； （4）解：如图所示，作轴于点D， ，， ，， ，轴， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为：，或或． 题型四 一次函数的图象与性质 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出、两点的坐标，进而求出的面积，再根据和的面积相等分情况列出等式解答即可． 【详解】解：当时，则， 点的坐标为， 当时，则， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 又为等腰直角三角形， ， 当点在第四象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 当点在第一象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 综上所述，实数的值为或． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“友好函数”为 ； (2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 (4) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解答本题的关键． （1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当时，，从而当时，，进而可以得解； （2）依据题意，分和，结合点在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程求出，即可得解； （3）依据题意，分和，根据一次函数的性质求出最大值和最小值即可； （4）依据题意，画出一次函数的“友好函数”的图象，进而结合直线与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据“友好函数”的定义， 当时，， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意，当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，符合题意； 当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，不符合题意； 综上，； （3）解：当时，，随的增大而减小， 当时，有最大值为，当时，有最大值为； 当时，，随的增大而增大， 当时，有最小值为，当时，有最大值为； 综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为，最小值为； （4）解：由题意，画出一次函数的“友好函数”的图象如下： 直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点， ． 15．（24-25九年级上·北京·开学考试）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 【答案】(1)y轴，或 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数的图象的对称轴为直线，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；点和都在函数的图象上，且，得到当时，；当时，关于直线的对称点为，得到，得到，即得， 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）由图象看出， 函数的图象的对称轴为直线（y轴）， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∴函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∵点和都在函数的图象上，且， ∴当时， ； 当时， ∵关于直线的对称点为， ∴， ∴． 综上，． 故t的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数与方程，函数与不等式，是解决问题在关键． 16．（22-23八年级下·北京西城·期中）探究函数的图像与性质． 小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整： 第一步：的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (2)第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论： ①当________时，函数有最小值为_______________； ②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少； ③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称； ④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2)①1；0；②；；③；④或或 【分析】（1）根据表格中的数据可以画出相应的函数图像； （2）①根据图像即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图像，可知x的取值范围；③函数图像即可求得点的坐标；④根据函数图像的特征即可求解． 【详解】（1）描点，并画出函数的图像如下： （2）①由图可知，当时，函数有最小值， 故答案为，0； ②由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时（填写自变量取值范围），随的增大而减少， 故答案为； ③由图像可知，图像关于成轴对称， ∴图像关于过点且垂直于x轴的直线对称， 故答案为； ④∵， ∴当时，函数与平行，当时，函数与平行， ∴当或时，函数与有一个交点， 另外当函数过点时，有，即时，函数与有一个交点， 故答案为或或． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图像，利用数形结合的思想解答． 题型五 一次函数的规律探究问题 17．（23-24七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标中的任意两点，，若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为和合点，如图中的，两点即为“和合点”． (1)已知点，，，． ①在上面四点中， 与点为“和合点”的是 ； ②若点， 过点 作直线轴，点在直线上， 、两点为“和合点”， 则点的坐标为 ； ③若点在第二象限，点在第四象限， 且、两点为“和合点”， 、两点为“和合点”， 求， 的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点， 且满足 过点作直线轴，若在直线上存在点，使得，两点为“和合点”，直接写出的最大值． 【答案】(1)①A，C；②或；③ (2) 【分析】本题考查了坐标系中各象限点的坐标特征，“和合点”的定义，解二元一次方程组； （1）①分别求出四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可； ②，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可； ③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可； （2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可． 【详解】（1）①∵，，， ∴点A到两坐标轴的距离之和为， 点B到两坐标轴的距离之和为， 点C到两坐标轴的距离之和为， 点D到两坐标轴的距离之和为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； ②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上， ∴设 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” ∴，解得 ∴点G的坐标为或； ③∵点在第二象限，点在第四象限， ∴，，，， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， ∴，即 解得； （2）∵点是线段上的一动点，且满足， ∴ ∴点R到两坐标轴的距离之和为 设 ∵R，S两点为“和合点”， ∴ ∴． 所以最大值为． 18．（2022·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点（1，0）作x轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，点的坐标为 ． 【答案】（，） 【分析】把点（1，0）代入求出坐标，进而求得、坐标，可得、坐标，据此找到规律，即可得坐标． 【详解】解：∵过点（1，0）作轴的垂线交于点， ∴（1，2）， 把代入得，即（，）， 把代入得，即（，）， 同理可得（，），（4，8），（，），（，），（，），（，），… ∴（，），（，）， （，），（，），（n为自然数） ∵， ∴的坐标为（，）（，）． 故答案为：（，）． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出变化规律． 19．（19-20八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+1 与 x、y 轴分别交于点 A、B， 在直线 AB 上截取 BB=AB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C，得到矩形 OABC；在直线 AB 上截取 BB= BB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C，得到矩形 OABC；在直线 AB 上截取 BB= BB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C， 得到矩形 OABC；……；则点 B 的坐标是 ；第 4 个矩形 OABC的面积是 ；第 n 个矩形 OAnBnCn 的面积是 （用含 n 的式子表示，n 是正整数）． 【答案】 (1,2) 12 【分析】①直线y=x+1与x轴交于A点(-1,0)，与y轴交于B点(0,1)，为了使，则的坐标可被表示；②依次使，，即，，，即可求得；③依次类推，，，，可求得． 【详解】解：①直线y=x+1与x轴交于A点(-1,0)，与y轴交于B点(0,1)，为了使， ∴的坐标为(1,2)； ②依次使，，即，，， ∴； ③依次类推，，，， ∴， 故答案为：①(1,2)；②12；③． 【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键在于写出、、分别的坐标，利用规律即可求解该题． 20．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【详解】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键． 题型六 一次函数的图象平移问题 21．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，直线相交的交点个数问题．熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 由，可知从1到的条直线平行，由，可知从到的30条直线交于一点，则剩余条直线最多可以有个交点，从1到的条平行直线可以和剩余的条直线最多有个交点，从到的30条直线可以和其他的条直线最多有个交点，然后求和计算即可． 【详解】解：∵， ∴从1到的条直线平行， ∵， ∴从到的30条直线交于一点， ∴剩余条直线最多可以有个交点， 从1到的条平行直线可以和剩余的条直线最多有个交点， 从到的30条直线可以和其他的条直线最多有个交点， ∴这条直线最多有个交点， 故答案为：． 22．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，且正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点，求的值； (3)坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）先将点B代入正比例函数解析式，求出a的值，再将点A和点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）先求出点C坐标，再将点C坐标代入，即可求出m的值； （3）为等腰三角形，分情况讨论：当点E在x轴上，设点E坐标为；当点E在y轴上，设点E坐标为，根据分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数， 得，解得， ∴点B坐标为， 将点，点代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点C坐标为， ∵正比例函数的图象向下平移个单位长度后经过点C， ∴将点代入， 得，解得； （3）解：为等腰三角形，分情况讨论： 当点E在x轴上， 设点E坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时， ， 解得或（不合题意，舍去）； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得, 当点E在y轴上， 设点E坐标为， ∵, 当时， ，n无解， 当时，     ， 解得， 当时， ，n无解， 综上所述，满足条件的点E坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数与平移，等腰三角形的判定等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 23．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【答案】(1)直线l1的函数解析式为；直线l2的函数解析式； (2)当时，函数的图象在函数图象的上方 (3) 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式以及一次函数与不等式，正确求出两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入求得a的值，再把代入求得点P的坐标，利用待定系数法即可求得的函数解析式； （2）两直线的交点坐标为，根据图象即可得出答案， （3）根据平移的性质得到平移点的坐标，代入直线l1的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； ∵、的交点． ∴， ∴ ∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， 解得：， ∴直线l1的函数解析式为； （2）∵ 、的交点， 由函数图象可得当时，函数的图象在函数图象的上方； （3）点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后 平移后点的坐标为即， ∵平移后的点恰好落在的图象上， ∴，解得： 24．（24-25八年级上·四川·期中）在探究一次函数k、b对函数图象和性质的影响时，北师大教材87页探究了“直线与的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线变为吗？一般地，直线与又有怎样的关系呢？”根据以上探究结论，解答下列问题： 若直线交坐标轴于A，B两点，将直线向右平移m个单位得到直线． (1)若时，求： ①直线l1的表达式； ②移动后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标； (2)若直线与x轴的交点为P，满足，求m的值． 【答案】(1)①；②或 (2)5 【分析】本题考查了直线的平移，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）①先求出直线l与y轴交点A的坐标，然后求出平移后的对应点的坐标，设平移后的解析为，把对应点的坐标代入求解即可； ②设点的坐标，结合已知得方程，解方程即可求解； （2）类似（1）求出平移后直线的解析式，然后求出点B、P的坐标，根据两点间距离公式构建方程求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当，则， ∴直线经过， ∴右平移3个单位得到， ∴直线由直线向右平移3个单位后经过， ∴设直线解析式为， 则， ∴， ∴； ②设点的坐标为， ∵点到坐标轴距离相等， ∴， 解得或， ∴或， ∴坐标为或； （2）解：对于，当，则， ∴直线经过， ∴右平移m个单位得到， ∴直线由直线向右平移3个单位后经过， ∴设直线解析式为， 则， ∴， ∴； 令，则， ∴， ∴， 对于，当，则， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得 题型七 一次函数与方程、不等式压轴 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交x轴于点A、交y轴于点B，函数（m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线与直线相交于点P． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_________． (2)当时，求点P的坐标． (3)当点P位于第四象限时，求m的取值范围． (4)连结，，当的面积是面积的2倍时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3) (4)或 【分析】（1）根据，得到当时，；当时，，即可得到与坐标轴的交点坐标； （2）时，得到方程，解到，再求出对应y值即得； （3）求出点P在点和时的m值，即得； （4）求出，根据，，，即可求得m值． 【详解】（1）在中， 当时，；当时，，； ∴，； 故答案为：，， （2）当时， 有，， 解得，， ∴， ∴点P的坐标为； （3）当P点在时，代入，得； 当P点在时，代入，得； ∴当P点在第四象限时； （4）或． 理由： 当时，，解得，∴， ∴． ∵，，， ∴ ， 得； 或， 得． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与不等式的关系，三角形的面积公式，分类讨论，是解题的关键． 26．（22-23八年级下·四川巴中·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 27．（2023·四川乐山·模拟预测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为， （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标 【答案】 或 【分析】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据题意，联立，即可求解； （2）由题意可知直线与直线平行，则有，在求出，，设，由，可得，即可点坐标． 【详解】解：（1）联立， 解得， 一次函数的“不动点”为， 故答案为：； （2）直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， 或， 或． 故答案为：或 28．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点代入，得，则，由直线与直线相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解； （2）先求出直线与轴的交点的坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，然后求出线段的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积； （3）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 方程组的解为； （2）解：对于直线， 令，则， 解得：， ， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ， ； （3）解：由题意得： 直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为， ， ， 即：， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键． 题型八 一次函数应用之方案分配问题 29．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 【答案】(1)， (2)学校选择方案一购买的劳动工具较多 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）按方案一购买：根据付款总金额劳动工具单价件数运费即可得；按方案二购买：根据付款总金额劳动工具单价件数即可得； （2）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，． （2）解：当时，，解得：， 当时，，解得， 因为， 所以学校选择方案一购买的劳动工具较多． 30．（20-21八年级下·北京·期中）为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)求：当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数表达式； (2)李老师经常骑共享单车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 【答案】(1)y=x-0.5 (2)当0<x<2时，李老师选择手机支付比较合算，当x=2时，李老师选择两种支付一样，当x>2时，李老师选择会员卡支付比较合算 【分析】（1）根据题意和函数图象可以分别求出当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数解析式； （2）根据题意可以求得会员卡支付对应的函数解析式，再根据函数图象即可解答本题． 【详解】（1）解：（1）当x≥0.5时，设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=kx+b， ， 解得，， 即当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=x-0.5； （2）设会员卡支付对应的函数解析式为y=ax， 则0.75=a×1，得a=0.75， 即会员卡支付对应的函数解析式为y=0.75x， 令0.75x=x-0.5，得x=2， 由图象可知，当0<x<2时，李老师选择手机支付比较合算， 当x=2时，李老师选择两种支付一样， 当x>2时，李老师选择会员卡支付比较合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答，这是一道典型的方案选择问题． 31．（2021九年级·北京·专题练习）某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱辆） 租金（元辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 （1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车辆，共需付租金元，请写出与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 【答案】（1）；（2）最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案． 【详解】解：（1）由题意可得， ， 即与的函数关系式为； （2）由题意可得， ， 解得，， ， ，随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时，， 答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 32．（19-20八年级下·北京延庆·期中）自2014年12月28日北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．（说明：表格中“10~15公里”指的是大于10公里，小于等于15公里，其他类似） 北京公交车新票价 里程范围 对应票价 0~10公里 2元 10~15公里 3元 15~20公里 4元 20公里以上 每增加1元可再乘坐5公里（不足5公里按5公里计算） *持市政交通一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折 小明办了一张市政交通一卡通学生卡． （1）如果小明全程乘坐公交车的里程为17公里，用他的学生卡刷卡，需交费___元； （2）小明周末和妈妈一起去离他家50公里的莲花山公园游玩，他用学生卡，妈妈用普通卡，请通过计算说明，此次出行小明和妈妈的单程车费一共是多少元？ （3）小明乘坐公交车前往区图书馆，请表示他此次出行单程的公交费用y（元）与行驶里程x公里（且为整数）之间的数量关系． 【答案】（1）1；（2）7.5元；（3）当17＜x≤20时，y=1；当20＜x≤25时，y=1.25；当25＜x≤30时，y=1.5 【分析】（1）由15＜17＜20结合乘公交车的收费标准即可得出结论； （2）分别计算小明和妈妈的费用，相加即可得出结论； （3）小明乘坐公交车前往区图书馆，分三种情况讨论：当17＜x≤20时，当20＜x≤25时，当25＜x≤30时解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵15＜17＜20， ∴如果小林全程乘坐公交车的里程为17公里，用他的学生卡需要刷卡交费4×25%=1元． 故答案为：1．   （2）小明：1+(50-20)÷5×0.25=2.5元 妈妈：20×0.5+(50-20)÷5×0.5=5元 5+2.5=7.5元 ∴一共为7.5元． （3）当17＜x≤20时，y=1 当20＜x≤25时，y=1.25 当25＜x≤30时，y=1.5 【点睛】本题考查了函数的应用问题，根据条件求出对应的分段函数关系，分别进行讨论求解是解题的关键． 题型九 一次函数应用之最大利润问题 33．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如下表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价（元/套） 300 a 售价（元/套） b 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元．（利润售价进价） (1)求表中a，b的值； (2)该电商计划购进长征系列画册和红色经典故事两种图书共300套，据市场销售分析，购进红色经典故事的套数不低于长征系列画册套数的2倍．若电商把300套图书全部售出，则购进长征系列画册多少套能使利润最大？（直接写出即可） 【答案】(1) (2)购进长征系列画册100套能使利润最大． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设该电商计划购进长征系列画册x套，则红色经典故事套，根据题意得到，求出，然后设总利润为w，表示出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）根据题意，得    解得 ． （2）设该电商计划购进长征系列画册x套，则红色经典故事套 根据题意得， 解得 设总利润为w ∴ ∵ ∴w随x的增大而增大 ∴当时，w有最大值． ∴购进长征系列画册100套能使利润最大． 34．（23-24七年级下·北京·阶段练习）我校举办了首届“数学展示”活动，为表彰在本次活动中表现优秀的学生，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品．已知1个笔袋、2筒彩色铅笔原价共需44元；2个笔袋、3筒彩色铅笔原价共需73元． (1)每个笔袋、每筒彩色铅笔原价各多少元? (2)正巧商家举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过10筒不优惠，超出10筒的部分“八折”优惠．若买个笔袋需要元，买筒彩色铅笔需要元．请用含的代数式表示； (3)若在（2）的条件下购买同一种奖品100件，请你分析买哪种奖品省钱． 【答案】(1)每个笔袋、每筒彩色铅笔原价各为14元、15元 (2)； (3)彩笔省钱 【分析】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、一次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）设每个笔袋原价元，每筒彩色铅笔原价元，构建方程组即可解决问题； （2）根据优惠方法，分别求出和即可； （3）分别列出方程或不等式即可解决问题； 【详解】（1）解：设每个笔袋原价元，每筒彩色铅笔原价元，根据题意，得： 解得： 所以每个笔袋原价14元，每筒彩色铅笔原价15元． （2）， 当超过10筒时：即， （3）当时，有，解得，因此当购买同一种奖品的数量少于50件时，买笔袋省钱． 当时，有，解得，因此当购买同一种奖品的数量为50件时，两者费用一样． 当时，有，解得，因此当购买同一种奖品的数量大于50件时，买彩色铅笔省钱． 奖品的数量为100件，， 买彩色铅笔省钱． 35．（22-23八年级下·北京大兴·期末）呦呦、鸣鸣这对麝鹿兄妹是大兴区创建全国文明城区的吉祥物．某中学决定制作这对吉祥物的宣传条幅和展示牌，若宣传条幅的单价比展示牌的单价多2元，制作4个宣传条幅比制作5个展示牌多3元． (1)求宣传条幅和展示牌的单价各多少元？ (2)该学校需制作宣传条幅和展示牌共200个． ①若制作展示牌m个，制作宣传条幅和展示牌共花费w元，求w与m的函数解析式； ②若展示牌的数量不超过宣传条幅数量的3倍，求该中学制作多少个展示牌时．所需费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)宣传条幅和展示牌的单价各7元，5元 (2)①②展示牌的个数为时，最小为元 【分析】（1）设宣传条幅和展示牌的单价各x元，y元，根据“宣传条幅的单价比展示牌的单价多2元，制作4个宣传条幅比制作5个展示牌多3元”列一元二次方程组解题即可； （2）①根据题意列函数关系式整理即可；②求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性解题． 【详解】（1）解：设宣传条幅和展示牌的单价各x元，y元， ，解得 答：：宣传条幅和展示牌的单价各7元，5元． （2）①； ②∵， 解得：， 对于，，随的个数的增大而减小， ∴当展示牌的个数为时，最小为元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 36．（22-23七年级下·北京东城·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A、B两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由． 【答案】(1)A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； (2)A种材质的围棋最多能采购10套； (3)商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标；理由见解析． 【分析】（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，根据表格中的销量和收入列方程组求解即可； （2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，根据“用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套”列不等式求解即可； （3）设销售利润为w，根据题意列出一次函数解析式，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； （2）解：设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套， 由题意得：， 解得：， 所以a的最大值为10， 答：A种材质的围棋最多能采购10套； （3）解：商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标； 理由：设销售利润为w， 由题意得：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵a的最大值为10， ∴当时，w取最大值1300， 即商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程组、不等式以及一次函数解析式． 题型十 一次函数应用之行程问题 37．（24-25七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬行，最后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s（单位：m）与时间t（单位：）之间的图象如图②所示．回答下列问题（π的值取3）： (1)花坛的半径是_______m，_______； (2)当时，求s与t之间的关系式； (3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了，且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变．请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离． 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、圆的定义、待定系数法求正比例函数解析式、行程问题等知识点，读懂题目信息、理解蚂蚁的爬行轨迹是解题的关键． （1）根据圆上的点到圆心的距离等于半径可知S开始不变时的值即为花坛的半径，然后求出蚂蚁的速度，再根据时间、路程、速度计算即可求出a即可； （2）设，然后利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （3）根据蚂蚁吃食时离出发点的距离不变判断出蚂蚁在段，再求出蚂蚁从B爬到吃食时的时间，然后列式计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可知，花坛的半径是4米， 蚂蚁的速度为米/分，． 故答案为：4，8． （2）解：设， ∵函数图象经过点， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵沿途只有一处食物， ∴蚂蚁只能在段吃食物，， ∴蚂蚁从B爬1分钟找到食物，， ∴蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离是． 38．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）小宇和小浩是邻居，周末两人骑共享单车从家到茂陵博物馆参观．若小宇先出发，骑行时，小浩才出发，开始时，他们两人骑行的速度相同，后来小宇改变骑行速度，小浩骑行速度始终保持不变．后，小宇到达茂陵博物馆．在整个骑行过程中，他们各自骑行的路程与小浩的骑行时间之间的关系如图所示． (1)求小宇改变骑行速度后，小宇的骑行路程y与x的函数表达式； (2)在小浩骑行过程中，当x为何值时，他们两人相距？ 【答案】(1)小宇改变骑行速度后，关于的函数关系式为 (2)当或时，小宇和小浩两人相距 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解二元一次方程组等知识点，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． (1)设小宇改变骑行速度后，关于的函数关系式为，把，代入得； (2)根据小宇和小浩两人相距列方程求值即可． 【详解】（1）解：设小宇改变骑行速度后，关于的函数关系式为， 把，代入得： ，解得， 小宇改变骑行速度后，关于的函数关系式为； （2）解：小浩的速度为（千米/小时）， 小浩骑行过程中，关于的函数解析式为， 小宇和小浩两人相遇前后相距， ， 解得或， 当或时，小宇和小浩两人相距． 39．（22-23八年级下·北京房山·期中）A，B两地相距，甲、乙两人开车从A地出发前往B地，其中甲先出发30分钟，乙再出发，如图是甲、乙两人离开A地的距离随甲离开A地的时间变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲的速度为 ； (2)当时，请直接写出与x的函数表达式； (3)求乙出发后多少小时追上甲？ 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数的应用，数形结合和正确求出一次函数解析式是解题的关键． （1）根据路程除以时间即可求出速度； （2）分和两种情况分别利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）利用待定系数法求出当时，与x的函数表达式是，根据路程相等得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可得， 甲的速度为：， 故答案为：60； （2）设当时，与x的函数表达式是， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当时，与x的函数表达式是； 设当时，与x的函数表达式是， ∵点，在该函数图象上， ∴，     解得， ∴当时，与x的函数表达式是； 由上可得，； （3）设当时，与x的函数表达式是， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当时，与x的函数表达式是， 令， 解得， （小时）， 即乙出发后小时追上甲． 40．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量（）与汽车行驶路程（）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题： (1)充满电最多可以行驶 ． (2)汽车每行驶消耗 ． (3)电池中的剩余电量不大于15（）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？ (4)现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为元（），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？ 【答案】(1) (2)12 (3)375千米 (4)37.44元 【分析】本题主要考查了从函数图像上获取信息、求函数解析式、一次函数的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）根据函数图像即可解答； （2）根据函数图像即可解答； （3）先求出与x的函数关系式，再令，求得x的值即可； （4）先求出的函数值，再求出需要冲的电量，然后再求费用即可． 【详解】（1）解：由函数图像可知：充满电最多可以行驶 ． 故答案为：500； （2）解：汽车每行驶消耗． 故答案为：12； （3）解：设与x的函数关系式为：， 把代入，可得，解得：． ∴此函数解析式； 当时，可得：，解得：． 答：行驶375米后，汽车将自动报警． （4）解：当时，， 则将电车充满电需花费． 答：将电车充满电需花费元． 题型十一 一次函数应用之几何问题 41．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，且在点右侧，轴交直线于点，若，求点的坐标． (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由函数图像上的坐标特征可确定点的坐标，再根据点的坐标即可确定直线的函数表达式； （2）设，由轴得，，再结合点在点右侧则可得出答案； （3）由题意可得是直角三角形需分两种情况讨论：①，则此时点；②，由即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）在中，令，得， ∴， ∵， ∴， 设， ∵轴，点在直线上，， ∴， ∴， 解得：或， ∵点在点右侧 ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 设点， ∵，， ∴，，， ∵是直角三角形， ①，则，； ②，则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，存在满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合应用，考查了坐标与图形，函数图像上点的坐标特征，函数图像的交点坐标，勾股定理的应用，待定系数法，掌握一次函数的性质是解题的关键． 42．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在中，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y的图象； (2)根据函数图象，写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 【答案】(1)y＝，图象如图所示 (2)当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或6.2 【分析】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分两种情况分别求出函数解析式，再画出函数图象即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值． 【详解】（1）解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，， 综上，． y与x的函数图象如图所示， （2）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． （3）令，； 令，． ∴当时x的值为或6.2． 43．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查一次函数图像与几何变化及待定系数法求一次函数解析式，数形结合方法解题是解题关键． （1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法可得该函数的解析式；把代入所求解析式即可得出点的坐标； （2）求出直线过点、时的值，结合图像即可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式为， ∵一次函数的图象与过点且平行于x轴的直线交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为． （2）如图所示： 把代入得， 解得：， 把代入得， 解得：， ∵时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于， ∴的取值范围为． 44．（23-24八年级下·北京·期中）已知：在平面直角坐标系中，直线与直线， (1)若直线与直线交于点，求m，b的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D，结合函数图象回答下列问题： ①当时，若，求b的值； ②当时，在点B运动的过程中，恒大于1，请写出符合条件的b的范围______． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点问题． （1）先得出m的值，得出点A的坐标，再代入直线，得出b的值即可； （2）①把分别代入直线与直线，得出点C，D的坐标，再利用得出结论； ②把和分别代入直线与直线，再根据恒大于1，得出b的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，当，则， ∴，代入，得：， ∴， ∴的值为：； （2）解：①由（1）知： 如图， ∵过点作垂直于x轴的直线分别交于点， ∴， ∵，即， ∴或； ②如图， 把分别代入直线与直线，可得：，， ∴， ∴或， ∴或； 把分别代入直线与直线，可得：，， ∴ ∴或， ∴或； 又∵， 解得 综上，b的取值范围为：或． 故答案为：或 题型十二 一次函数中的旋转问题 45．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 46．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点B为y轴正半轴上一点，将线段绕点B旋转至BC处，过点C作垂直x轴于点D，若四边形的面积为，则直线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：过C作于点E，则四边形是矩形，得到，，根据旋转的性质得到，，可证得，根据全等三角形的性质得到，，求得，设，得到或，再根据面积公式列方程得到点C的坐标，设直线的解析式为，把A点和C点的坐标分别代入解析式，即可得到结论． 【详解】解：当线段绕点B逆时针旋转时，过C作于点E，如图1， 则四边形是矩形， ，， ∵将线段绕点B旋转至处， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 设， ， ∵四边形的面积为， ， ， (负值舍去)， ， 设直线的解析式为， 把A点和C点的坐标分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 当线段绕点B顺时针旋转时，过C作于点E，如图2， 则四边形是矩形， ，， ∵将线段绕点B旋转至处， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 设， ， ∵四边形的面积为， ， (负值舍去)， ， 设直线的解析式为， 把A点和C点的坐标分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 综上，直线的解析式为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 47．（20-21八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交，轴于点，，将直线绕点按顺时针方向旋转45°，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】y=3x-2 【分析】根据已知条件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=-2x-2的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x=0，得y=-2，令y=0，则x=-1， ∴A（-1，0），B（0，-2）， ∴OA=1，OB=2， 过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC=45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB=AF， ∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°， ∴∠ABO=∠EAF， 在△ABO和△FAE中， ， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE=OB=2，EF=OA=1， ∴F（1，1）， 设直线BC的函数表达式为：y=kx+b， ∴，解得， ∴直线BC的函数表达式为：y=3x-2， 故答案为：y=3x-2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 48．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0） 【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论； （2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论； （3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l， ∴∠ACB＝∠ADC． ∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC． ∴△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE， （2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G， 由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°， ∴由（1）得△OFM≌△MGN， ∴MF＝NG，OF＝MG， 设M（m，n）， ∴MF＝m，OF＝n， ∴MG＝n，NG＝m， ∵点N的坐标为（4，2）      ∴ 解得 ∴点M的坐标为（1，3）； （3）如图3， 过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H， 对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4， ∴P（0，4）， ∴OP＝4， 由y＝0得x＝1， ∴Q（1，0），OQ＝1， ∵∠QPR＝45°， ∴∠PSQ＝45°＝∠QPS． ∴PQ＝SQ． ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP． ∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1． ∴S（5，1）， 设直线PR为y＝kx+b，则 ， 解得． ∴直线PR为y＝x+4． 由y＝0得，x＝， ∴R（，0）． 【点睛】 本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 题型十三 一次函数中的翻折问题 49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解； （3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得直线解析式为， ∵将直线向左平移个单位长度，， ∴平移后的直线与轴的交点为， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得， ， ∴， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为． （3）解：设点关于的对称点为，， 当在轴负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时，， ∴点与点重合，即， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键． 50．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，四边形是长方形，为原点，点在轴上，点在轴上，，，点在边上，将沿着翻折，点恰好落在，边上点处． (1)求点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用． （1）根据折叠的性质知．在中，由勾股定理求得； （2）根据知，由折叠的性质与勾股定理，求得，利用待定系数法求所在直线的解析式． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠的性质知，， ， 在中，由勾股定理得， ； （2）解：设所在直线的解析式为， ， ， 由折叠的性质知，， 设， ，， 由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 代入得，， 故所在直线的解析式为：． 51．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或 【分析】（1）把代入可得答案； （2）先求解点B的坐标为，、，联立与可得，则，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图2，当时，过点E作轴于H，证明，可得，由翻折得，从而可得答案，如图3，当时，由翻折得，求解，，，从而可得答案． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴直线：； （2）∵直线：， ∴点B的坐标为， ∵直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E， 当时，，当时，，解得， ∴、， 联立与得，解得， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）如图2，当时，过点E作轴于H， 由翻折得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 由翻折得， ∴点N的坐标为； 如图3，当时， 由翻折得， ∵，， ∴，， ∴， ∴点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，一次函数的交点坐标问题，勾股定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 52．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 题型十四 一次函数中的最值问题 53．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)线段的长度最小时，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点的位置． （1）由两直线平行可得出 ，取即可得出结论； （2）过点作直线于点，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为由点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点的坐标． 【详解】（1）解：∵两直线平行， ， ∴该直线可以为 故答案为： （答案不唯一）； （2）解：过点作⊥直线于点，此时线段的长度最小，如图所示． ∵直线与直线垂直， ∴设直线的解析式为， ∵点)在直线上， ，解得：， ∴直线的解析式为 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得； ∴当线段的长度最小时，点的坐标为． 54．（22-23八年级下·青海西宁·期末）A，B两点的坐标分别为，点P在y轴上，且使线段的值最小，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求出一次函数解析式，要使线段的值最小，则P、A，B在一条直线上，求解即可． 【详解】解：如图所示，    要使线段的值最小，则P、A，B在一条直线上， 设直线解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式、知道要使线段的值最小，则P、A，B在一条直线上，是解题关键． 55．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直线的函数表达式为，且分别交轴、轴于点，；直线的函数表达式为，经过点，分别交轴、直线于点，，且点坐标为．    (1)则_____，______； (2)直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一动点，是否存在点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求解； （）作点关于轴对称点，连接，交轴于点，此时周长最小，求出点，然后再用待定系数法求出直线解析式为即可； 本题考查一次函数的图象及性质，轴对称最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）∵， ∴由函数图象可得不等式的解集为：； （3）存在，理由， 如图，作点关于轴对称点，连接，交轴于点，此时周长最小，      ∵， ∴， 由（）得直线的函数表达式为， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点． 56．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．    (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)如图2，在（1）的条件下，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是． ①求的面积； ②直线l上是否存在点P，使的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)①；② 【分析】（1）先求出，将和代入，即可得直线的解析式； （2）①设点，，分别代入和，可得，，，过点C作于H，依据进行计算即可； ②设点O关于直线l的对称点为，设直线的解析式为，将，代入可得直线的解析式为，令，则，即可求得． 【详解】（1）解：将点代入，可得， ， 将和代入，可得， ，解得， 直线的解析式为； （2）①轴，点E，F，G都在直线l上，且点E的坐标为， 点F，G的横坐标均为4， 设点，，分别代入和，可得： ， ，， ，，， 如图2，过点C作于H   ， ， ； ②存在点，使得的值最小 理由：设点O关于直线l的对称点为，连接，交直线l于P，则点P即为所求，    设直线的解析式为，可得： ，解得 直线的解析式为， ∵点P在直线l：上， ∴， ． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题型十五 一次函数中的新定义问题 57．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了新定义—“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． 的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时，，得到． 【详解】解：中，当时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ， ， 当直线过时，， ， ， ∴的取值范围为或． 故m的值可以为， 故选：B． 58．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）定义：我们把一个函数图像上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如点是反比例函数图像的一个“2阶方点”；点是正比例函数图像的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数、不等式组，根据是一次函数的“2阶方点”，得关于的不等式组，解不等式组即可求解，理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵点是一次函数的“2阶方点”， ∴，即：， ∴， 解得：， 故答案为：． 59．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义题型，读懂题意结合所学知识是解本题的关键． （1）由点 可得， ，再根据题意将点 到矩形的最短距离算出来， 若大小等于， 则符合题意，即可求解； （2）先求出正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 再根据直线在坐标轴内平移，找出直线上关联点到正方形距离等于 时的临界点时的值即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：，符合题意； 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：， 符合题意， 故 是矩形的“关联点”， 故答案为，； （2）根据题意可得，正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 根据题意画出临界点如图所示： 当直线经过点时，为最大值， 当直线经过时，为最小值， ， 当直线经过点时， ，解得， 当直线经过时， ， 解得 ， 所以取值范围为：． 60．（22-23八年级下·北京海淀·期末）对于线段外一点，给出如下定义：若点满足，则称为线段的垂点，特别地，对于垂点，若或时，称为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点，．    (1)如图，在点，，，中，线段的垂点是______ ； (2)已知点，． ①如图，当时，若直线上存在线段的等垂点，求的值； ②如图，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，直接写出的取值范围是______ ． 【答案】(1)， (2)①的值为或；② 【分析】（1）按照线段的垂点的定义进行计算验证即可得到答案； （2）①当时，点，，设点是直线上存在的线段的等垂点，则，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，则，，得到，则点，即可求出；同理可得，即可求出；最终得到b的值；②说明线段的垂点一定在直线上，把代入，得，当在直线上时，，解得，把代入，得，当在直线上时，，解得，即可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 点不是线段的垂点； ， ， 点是线段的垂点； ， ， 点不是线段的垂点； ， ， 点是线段的垂点； 综上所述，点、是线段的垂点； 故答案为：，； （2）解：①当时，点，，    设点是直线上存在的线段的等垂点，则， 过点作轴于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 解得：； 同理可得：， ， 解得：； 的值为或； ②，． ∴， 线段的垂点一定在直线上，    把代入，得， 当在直线上时，， 解得：， 把代入，得， 当在直线上时，， 解得：， 的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理求平面内两点间的距离等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． $$