专题03 导数在研究函数极值和最值中的应用7考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题03 导数在研究函数极值和最值中的应用 7考点复习指南 【问题背景】 导数在研究函数极值和最值中占据核心地位，它是连接函数性质与数学问题求解的关键桥梁，通过对函数求导，能精准剖析函数的变化趋势，进而确定函数的极值点与最值点，这在解决众多数学问题中起着至关重要的作用。 【处理角度】 1.求导运算：求导是解决导数与函数极值和最值问题的基础。熟练掌握各种函数的求导公式和求导法则，如基本初等函数的求导公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则等，是准确求出导函数的关键。在求导过程中，要注意函数的定义域，确保求导的正确性。 2.分类讨论：在含参函数的问题中，分类讨论是常用的方法。根据参数的不同取值范围，分别讨论函数的单调性、极值和最值情况。在分类时，要做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况。通过分类讨论，将复杂的含参问题转化为多个简单的不含参问题进行求解。 3.构造函数：在一些问题中，通过构造新的函数可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式。在证明不等式时，可以构造一个函数，通过研究该函数的单调性和最值来证明不等式成立。构造函数的关键在于根据问题的特点和需要，合理选择函数的形式，使其能够有效地解决原问题。 4.数形结合：借助函数图象可以直观地理解函数的性质，对于导数与函数极值和最值问题也不例外。通过画出函数的图象，我们可以更清晰地看到函数的单调性、极值点和最值点的位置。在解决问题时，将数与形结合起来，能够帮助我们更好地分析问题，找到解题思路。在分析导函数图象与原函数极值的关系时，结合图象可以更直观地理解和判断。 5.利用函数性质：充分利用函数的单调性、极值和最值等性质来解决问题。函数在极值点处的导数为 0，且在极值点两侧单调性不同；函数的最值是函数在某个区间上的最大或最小值。在解题过程中，灵活运用这些性质，能够简化计算和推理过程，提高解题效率。 【解法策略】 1.导函数图象与原函数极值：导函数图象是洞察原函数极值的重要窗口。通过观察导函数图象的正负分布，我们可以确定原函数的单调性变化情况。当导函数值为正时，原函数单调递增；当导函数值为负时，原函数单调递减。而导函数图象与 x 轴的交点，即导函数值为 0 的点，可能是原函数的极值点。在这些点两侧，导函数的正负性发生改变，原函数的单调性也随之改变，从而形成极值点。通过这种方式，我们能够直观地从导函数图象中获取原函数极值的相关信息。 2.求函数（不含参）极值（或极值点）：对于不含参数的函数，求导是确定其极值和极值点的关键步骤。求出导函数后，令导函数等于 0，解出这些方程的根，这些根就是可能的极值点。然后，通过分析导函数在这些根两侧的正负性，来判断原函数在这些点附近的单调性变化。如果导函数在根的左侧为正，右侧为负，那么原函数在该点取得极大值；反之，如果导函数在根的左侧为负，右侧为正，则原函数在该点取得极小值。这种方法基于导数与函数单调性的紧密关系，能够准确地找到函数的极值和极值点。 3.求函数（含参）极值（或极值点）：含参数的函数增加了问题的复杂性，因为参数的取值会影响导函数的性质，进而影响原函数的极值和极值点。在处理这类问题时，我们同样先对函数求导，得到含参的导函数表达式。然后，根据参数的不同取值范围进行分类讨论。在每一种取值情况下，分析导函数的正负性，确定原函数的单调区间，从而找到函数的极值和极值点。在讨论过程中，需要全面考虑参数对导函数的各种影响，确保不遗漏任何可能的情况。 4.已知函数极值（或极值点）求参：当已知函数的极值或极值点时，我们可以利用导数的性质建立关于参数的方程或不等式。函数在极值点处的导数为 0，且在极值点两侧导数的正负性不同。根据这些条件，结合函数的表达式，我们可以列出方程或不等式，通过求解这些方程或不等式来确定参数的值或取值范围。在求解过程中，可能需要对得到的结果进行检验，以确保其符合函数极值的定义和条件。 5.求函数（不含参）最值：求不含参数函数在给定区间上的最值，需要综合考虑函数的极值和区间端点处的函数值。首先，通过求导找到函数的极值点，计算出这些极值点处的函数值。然后，求出函数在区间端点处的函数值。最后，比较这些函数值的大小，其中最大的值就是函数在该区间上的最大值，最小的值就是函数在该区间上的最小值。这种方法充分利用了函数极值和区间端点值的信息，能够准确地确定函数的最值。 6.求函数（含参）最值：对于含参函数在给定区间上的最值问题，处理方法更为复杂。同样先对函数求导，分析参数对函数单调性的影响，确定函数的单调区间和极值点。然后，根据参数的取值范围和区间的端点情况，分类讨论函数在该区间上的最值。在不同的参数取值下，函数的单调性和极值点会发生变化，从而导致最值的位置和大小也不同。需要仔细分析各种情况，找到函数在不同条件下的最值。 7.已知函数最值求参：已知函数在某个区间上的最值，要求参数的取值范围，这需要我们根据函数的最值条件建立关于参数的方程或不等式。通过对函数求导，分析函数的单调性和极值情况，结合已知的最值信息，列出方程或不等式。在求解这些方程或不等式时，可能需要运用函数的单调性、极值等性质，以及一些数学运算和推理方法，来确定参数的取值范围。 考点1 导函数图象与原函数极值 1．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极小值 C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点 2．（24-25高二下·陕西安康·阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 3．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（    ） A． B． C． D． 考点2 求函数（不含参）极值（或极值点） 4．（21-22高二下·重庆南岸·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值 C．函数的极大值点为，无极小值点 D．函数的极小值点为，无极大值点 5．（22-23高二下·北京海淀·期中）实数在上的极大值点为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 7．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）函数的导数的极值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数，为的导函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 考点3 求函数（含参）极值（或极值点） 9．（22-23高二下·河北邯郸·期中）已知函数，则的极值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 10．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； (2)当时，求函数的极值点的个数. 11．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数零点的个数； (2)求函数的极值； (3)若恒成立，求的取值范围. 考点4 已知函数极值（或极值点）求参 12．（21-22高三上·福建龙岩·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 13．（23-24高二下·四川成都·期中）已知在处的极大值为5，则（    ） A． B．6 C．2 D． 14．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）函数在处取得极值10，则（   ） A．5 B． C．0 D．0或 15．（2025·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在处取得极大值，则的极小值为 17．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若函数在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点5 求函数（不含参）最值 19．（23-24高二下·北京·期中）函数的最小值为（   ） A．0 B． C．1 D． 20．（16-17高二下·江苏苏州·期中）某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费t（单位:百万元），可增加销售额约为（单位:百万元）（）. (1)该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大? (2)该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费（单位:百万元），可增加的销售额为（单位:百万元）.请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大.（注:收益=销售额-投入） 21．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数，，则的最大值为 . 22．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）函数，当时，的最小值为 ． 23．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数，的值 (2)求函数在区间上的最大值和最小值 考点6 求函数（含参）最值 24．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)求在区间上的最大值． 25．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 26．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数（）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 27．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，其中. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的最小值. 考点7 已知函数最值求参 28．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间，并求的极值； (2)若函数在区间上的最大值为，求的值. 29．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 30．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，且函数在上的最大值为，求的值． 32．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 一、单选题 1．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南周口·期中）若方程与方程共有个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·吉林长春·期中）已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 5．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ）    A．函数的单调递增区间是 B．函数的单调递增区间是 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 6．（24-25高三上·河南周口·期中）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．在处取得极小值 B．当时，方程有两个不同的实根 C． D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 三、填空题 7．（24-25高二下·广东河源·期中）函数在上的最大值为 ． 8．（24-25高二下·福建·期中）若函数有2个零点，则m的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高二下·天津滨海新·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值． 10．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知曲线与曲线交于，两点． (1)求； (2)求的最小值． 12．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的极值点，求实数的取值范围. 13．（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）设函数，. (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围； (3)设的两个不同的极值点为，证明：. 14．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题03 导数在研究函数极值和最值中的应用 7考点复习指南 【问题背景】 导数在研究函数极值和最值中占据核心地位，它是连接函数性质与数学问题求解的关键桥梁，通过对函数求导，能精准剖析函数的变化趋势，进而确定函数的极值点与最值点，这在解决众多数学问题中起着至关重要的作用。 【处理角度】 1.求导运算：求导是解决导数与函数极值和最值问题的基础。熟练掌握各种函数的求导公式和求导法则，如基本初等函数的求导公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则等，是准确求出导函数的关键。在求导过程中，要注意函数的定义域，确保求导的正确性。 2.分类讨论：在含参函数的问题中，分类讨论是常用的方法。根据参数的不同取值范围，分别讨论函数的单调性、极值和最值情况。在分类时，要做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况。通过分类讨论，将复杂的含参问题转化为多个简单的不含参问题进行求解。 3.构造函数：在一些问题中，通过构造新的函数可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式。在证明不等式时，可以构造一个函数，通过研究该函数的单调性和最值来证明不等式成立。构造函数的关键在于根据问题的特点和需要，合理选择函数的形式，使其能够有效地解决原问题。 4.数形结合：借助函数图象可以直观地理解函数的性质，对于导数与函数极值和最值问题也不例外。通过画出函数的图象，我们可以更清晰地看到函数的单调性、极值点和最值点的位置。在解决问题时，将数与形结合起来，能够帮助我们更好地分析问题，找到解题思路。在分析导函数图象与原函数极值的关系时，结合图象可以更直观地理解和判断。 5.利用函数性质：充分利用函数的单调性、极值和最值等性质来解决问题。函数在极值点处的导数为 0，且在极值点两侧单调性不同；函数的最值是函数在某个区间上的最大或最小值。在解题过程中，灵活运用这些性质，能够简化计算和推理过程，提高解题效率。 【解法策略】 1.导函数图象与原函数极值：导函数图象是洞察原函数极值的重要窗口。通过观察导函数图象的正负分布，我们可以确定原函数的单调性变化情况。当导函数值为正时，原函数单调递增；当导函数值为负时，原函数单调递减。而导函数图象与 x 轴的交点，即导函数值为 0 的点，可能是原函数的极值点。在这些点两侧，导函数的正负性发生改变，原函数的单调性也随之改变，从而形成极值点。通过这种方式，我们能够直观地从导函数图象中获取原函数极值的相关信息。 2.求函数（不含参）极值（或极值点）：对于不含参数的函数，求导是确定其极值和极值点的关键步骤。求出导函数后，令导函数等于 0，解出这些方程的根，这些根就是可能的极值点。然后，通过分析导函数在这些根两侧的正负性，来判断原函数在这些点附近的单调性变化。如果导函数在根的左侧为正，右侧为负，那么原函数在该点取得极大值；反之，如果导函数在根的左侧为负，右侧为正，则原函数在该点取得极小值。这种方法基于导数与函数单调性的紧密关系，能够准确地找到函数的极值和极值点。 3.求函数（含参）极值（或极值点）：含参数的函数增加了问题的复杂性，因为参数的取值会影响导函数的性质，进而影响原函数的极值和极值点。在处理这类问题时，我们同样先对函数求导，得到含参的导函数表达式。然后，根据参数的不同取值范围进行分类讨论。在每一种取值情况下，分析导函数的正负性，确定原函数的单调区间，从而找到函数的极值和极值点。在讨论过程中，需要全面考虑参数对导函数的各种影响，确保不遗漏任何可能的情况。 4.已知函数极值（或极值点）求参：当已知函数的极值或极值点时，我们可以利用导数的性质建立关于参数的方程或不等式。函数在极值点处的导数为 0，且在极值点两侧导数的正负性不同。根据这些条件，结合函数的表达式，我们可以列出方程或不等式，通过求解这些方程或不等式来确定参数的值或取值范围。在求解过程中，可能需要对得到的结果进行检验，以确保其符合函数极值的定义和条件。 5.求函数（不含参）最值：求不含参数函数在给定区间上的最值，需要综合考虑函数的极值和区间端点处的函数值。首先，通过求导找到函数的极值点，计算出这些极值点处的函数值。然后，求出函数在区间端点处的函数值。最后，比较这些函数值的大小，其中最大的值就是函数在该区间上的最大值，最小的值就是函数在该区间上的最小值。这种方法充分利用了函数极值和区间端点值的信息，能够准确地确定函数的最值。 6.求函数（含参）最值：对于含参函数在给定区间上的最值问题，处理方法更为复杂。同样先对函数求导，分析参数对函数单调性的影响，确定函数的单调区间和极值点。然后，根据参数的取值范围和区间的端点情况，分类讨论函数在该区间上的最值。在不同的参数取值下，函数的单调性和极值点会发生变化，从而导致最值的位置和大小也不同。需要仔细分析各种情况，找到函数在不同条件下的最值。 7.已知函数最值求参：已知函数在某个区间上的最值，要求参数的取值范围，这需要我们根据函数的最值条件建立关于参数的方程或不等式。通过对函数求导，分析函数的单调性和极值情况，结合已知的最值信息，列出方程或不等式。在求解这些方程或不等式时，可能需要运用函数的单调性、极值等性质，以及一些数学运算和推理方法，来确定参数的取值范围。 考点1 导函数图象与原函数极值 1．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极小值 C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点 【答案】D 【分析】由图象得出函数的单调性以及极值. 【详解】由导函数的图象可知，函数在上单调递增，故A选项错误； 在的左右，所以函数在处不能取得极值，故C选项错误； 当时，；当时，，即函数在上单调递增， 在上单调递减，即函数在出取得极大值， 且是函数的唯一极值点，故B选项错误，D选项正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·陕西安康·阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用导函数的图象得出导函数的正负，得出函数的单调区间，即可知为的极大值点，无极小值点，可判断得出结论. 【详解】根据图象可知，当时，且不恒为零， 当时，， 因此可得在上单调递增，在上单调递减； 即在处取得极大值，可知有唯一极值点，即A错误；B错误； 显然仅在处取得极大值，无极小值，C正确； 因为在上单调递增，又，可得在上单调递增，即D错误； 故选：ABD 3．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据极大值点的定义结合图象判断即可. 【详解】极大值点处导数为0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有符合. 故选：B. 考点2 求函数（不含参）极值（或极值点） 4．（21-22高二下·重庆南岸·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值 C．函数的极大值点为，无极小值点 D．函数的极小值点为，无极大值点 【答案】A 【分析】利用导数判断出正确答案. 【详解】的定义域为， ， 所以在区间递增；在区间递减. 所以是的极大值，无极小值.极大值点为，无极小值点. 故选：A 5．（22-23高二下·北京海淀·期中）实数在上的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导后，令，求出，然后由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值点. 【详解】由，得， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以为在上的极大值点. 故选：B 6．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【答案】(1)的单调递增区间为和，的单调递减区间为 (2)的极小值为，极大值为 【分析】（1）利用导数直接求解函数单调区间即可； （2）利用导数根据求极值的步骤求解即可. 【详解】（1）由题知，定义域为， 则， 令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为. （2）由（1）知，在和上递增，在上递减， 所以的极小值为，极大值为. 7．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）函数的导数的极值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求，令，根据极值的定义求，并求的解，分析的单调性，可求出导数的极值. 【详解】函数的导数为：， 则令，则， 令，则有，当时，，当时，，所以为的极小值点，且. 故选：B 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数，为的导函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减 (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）对函数求导求出导函数零点，即可得出其单调区间； （2）根据（1）中的结论以及函数极值的定义代入计算可得结果. 【详解】（1）易知，. 可得， 令，解得，， 由得或，此时函数在和上单调递增； 由得，此时函数在上单调递减， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. （2）函数与的变化如下表： + - + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，. 因此函数的极大值为，极小值为. 考点3 求函数（含参）极值（或极值点） 9．（22-23高二下·河北邯郸·期中）已知函数，则的极值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】求出函数导数，讨论a的正负，判断函数的单调性，即可得到答案. 【详解】由于，故， 当时，，则时，， 时，， 故在上都单调递增，在在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极小值点， 同理判断当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故的极值点的个数为2， 故选：B 10．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； (2)当时，求函数的极值点的个数. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）（ⅰ）求导，结合导数的几何意义列式求解即可；（ⅱ）求导，利用导数判断的单调性和极值； （2）分和两种情况，令整理可得，构建，利用导数分析的单调性，结合的图象分析的极值点的个数. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， （ⅰ）由题意可知：，解得， （ⅱ）此时，， 若，则，可得， 可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：的单调递减区间为，，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. （2）由（1）可知：函数的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减，无极值点； 若，令，整理得， 构建，则， 若，则；若，则； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当x趋近于0时，趋近于1；当x趋近于时，趋近于； 作出的图象，如图所示： 且，可知： 当，则， 可知与有且仅有一个交点，可知有且仅有一个极值点； 当，则， 可知与没有交点，可知没有极值点； 综上所述：若，有0个极值点； 若，有且仅有1个极值点. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. 11．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数零点的个数； (2)求函数的极值； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)有唯一的零点 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得解； （2）求导，再分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，再结合极值的定义即可得解； （3）利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上单调递减， 又因为， 由零点存在定理，在区间内存在零点， 所以在上有唯一的零点； （2）， 则， ①当时，令，得， 当变化时，的变化情况如下表 1 + 0 单调递增 单调递减 所以有极大值，没有极小值； ②当时，令，得， 当即时， 当变化时，的变化情况如下表 1 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极小值为，极大值为； 当即时，没有极值； 当即时， 当变化时，的变化情况如下表 1 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极小值为，极大值为； 综上所述， 当时，有极大值，没有极小值； 当时，的极小值为，极大值为； 当时，没有极值； 当时，的极小值为，极大值为； （3）恒成立，即恒成立， 令，即恒成立，则， 当时，，所以函数在上单调递减， 又因为， 所以，当时，，不符合题意； 当时，令，则，令，则， 所以函数得在上单调递增，在上单调递减， 所以，只需，即， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使，只能，即， 综上，要使不等式恒成立，. 考点4 已知函数极值（或极值点）求参 12．（21-22高三上·福建龙岩·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导得到，设，得到，从而得到的单调性和，根据有两个极值点，结合零点存在定理，得到的范围. 【详解】，定义域为， ， 设，，， 当时，，所以在单调递减，即在单调递减； 当时，，所以在单调递增，即在单调递增， 所以， 因为有两个极值点，所以有两个解， 因为和时，都有，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（23-24高二下·四川成都·期中）已知在处的极大值为5，则（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出,并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，， 当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意； 当时，， 当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意， 所以，所以. 故选：B 14．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）函数在处取得极值10，则（   ） A．5 B． C．0 D．0或 【答案】B 【分析】由在处取得极值10，求得或，再结合函数的极值的概念检验得解. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得，解得或， 当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当时，得， 当或时，；当时，， 因此是函数的极小值点，符合题意，所以. 故选：B 15．（2025·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导后分的取值范围讨论函数的单调性，当，求出函数的隐零点，即可求出极大值点从而得到，再次构造函数，利用导数分析单调性可得. 【详解】， 当时，，在定义域上单调递减，无极值点， 当时，，在定义域上单调递增，无极值点， 当时，因为，， 而在单调递减，所以存在，使， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 于是是在上的极大值点， 此时，即， 由题意，，即， 设，则， 于是在上单调递增，又， 所以，. 故选：C． 16．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在处取得极大值，则的极小值为 【答案】 【分析】先求得，根据题意，得到，求得，得到，求得的单调区间，进而求得函数的极小值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极大值，可得， 即，解得， 将，代入可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极小值，极小值为. 故答案为：. 17．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若函数在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将题意转化为在区间内有两个解，从而得到在区间内有两个解，设，，再根据的图象性质求解即可. 【详解】，因为函数在区间内存在2个极值点， 所以在区间内有两个解. 即在区间内有两个解. 设，，， 当时，，函数在上为增函数； 当时，，函数在上为减函数， 又，，，则，如图所示. 由图知，当且仅当时，函数与函数有两个交点， 此时即在区间内有两个解，故实数a的取值范围为. 故选：B 18．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】， 则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为， 且当时，，当时，， 则函数的图象如下图所示： 所以当时， 即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故选：D. 考点5 求函数（不含参）最值 19．（23-24高二下·北京·期中）函数的最小值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】直接求导，令导函数为0，得到其极值点，分析其单调性即可得到最小值. 【详解】函数，求导得，令，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：B. 20．（16-17高二下·江苏苏州·期中）某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费t（单位:百万元），可增加销售额约为（单位:百万元）（）. (1)该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大? (2)该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费（单位:百万元），可增加的销售额为（单位:百万元）.请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大.（注:收益=销售额-投入） 【答案】(1)2百万元 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质解出即可； （2）根据题意，得到收益模型为，再用导数研究其最值即可. 【详解】（1）设收益为，则有 ，， 所以当百万元时，公司获得的收益最大. （2）设此时的收益为，则 ，， 所以， 令，解得，或（舍）， 又当时，；当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，取最大值， 即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，将该公司由此获得收益最大. 21．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】求出导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得，由于，则， 故，等号仅在时取得，故在上单调递增， 故， 故答案为： 22．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）函数，当时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用三次求导判断函数的单调性，从而求得最小值. 【详解】因为，所以， 令，所以， 令，所以， 因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以. 故答案为：0.    23．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数，的值 (2)求函数在区间上的最大值和最小值 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先求导，根据已知列方程组即可求解； （2）由（1）知，根据导函数判断函数的单调性和极值，再求解区间端点处的函数值与极值比较即可求解最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得，经检验，符合题意， 所以，； （2）由（1）知，所以， 令，得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数的极小值为，极大值为， 又，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 考点6 求函数（含参）最值 24．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)在上单调递增；在上单调递减. (2) 【分析】（1）先求，通过分析的符号确定函数的单调性; （2）由函数的单调性知在区间上的最大值，通过构造辅助函数，利用导数研究其函数的单调性从而比较、的大小，最终确定最大值 【详解】（1）由，得 令则 所以在R上单调递增 又 故时，时， 即时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减. 故. , , 令， 则，当且仅当，即时，等号成立. 所以在R上单调递减. 又. 所以时，；时，， 故当时，，时，，时，. 故. 25．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，分，和三种情况，结合函数单调性得到最大值； （2）变形为，构造，求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，求出最大值为，故，证明出结论. 【详解】（1），， 故， 若时，，又，所以， 所以在上单调递减， 所以最大值为， 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， 若时，时，， 所以在上单调递增，故最大值为， 综上，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为； （2）当时，，定义域为， ， 即证，即， 令，则， 令，， 则，故在上单调递减， 其中，， 由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， ，故， 所以，所以， 故. 26．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数（）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再利用斜截式得到切线方程； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最小值. 【详解】（1）当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． （2）函数，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值. 综上可得. 27．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，其中. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别得到函数在上的单调性，从而求出函数的最小值. 【详解】（1）当时，， 则，， 所以，故切线方程为：，即. （2）函数的定义域是， 又. 当时，令则或（舍去）. 当，即时，，在上单调递减， 在上的最小值是， 当，即时， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在上的最小值是， 当，即时，，，在上单调递增， 在上的最小值是. 综上可得. 考点7 已知函数最值求参 28．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间，并求的极值； (2)若函数在区间上的最大值为，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值； (2). 【分析】（1）求出导函数，解导函数不等式即可求得单调区间； （2）分类讨论研究函数单调性，当时，函数单调递增，此时无最大值；当时，在上单调递增，在上单调递减，利用最大值建立方程即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 则的极大值为，无极小值； （2）函数的定义域为，， ①当时，，所以在定义域上单调递增，此时无最大值； ②当时，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，解得； 综上：. 29．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，有，换元可得，利用函数导数判断的单调性，求得.进而有解，分类讨论和结合函数单调性求得的取值范围. 【详解】令，则，由， 换元可得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 因为函数的最小值为0，所以有解， 当时，不符合题意，当时，则，即有解. 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以或. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据函数最小值求参数范围问题，常常构造函数结合函数导数判断函数单调性得到最值，结合参数的分类讨论得到参数范围； 30．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【详解】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 31．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，且函数在上的最大值为，求的值． 【答案】(1)单调减区间为，增区间为； (2) 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （2）先求出导函数的零点，再分零点是否在区间进行讨论，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）当时，，， 当时，，当时，， 所以函数的单调减区间为，增区间为； （2）， 若，令得（舍负）， 当时，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， 所以函数在上单调递增， 则，得； 当，即时，函数在上递减，上递增， 则， 如若可以，只能，则（舍）； 当，即时，函数在上递减， 则（舍）. 综上可知，. 32．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上不存在最值，则，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，求得，进而可得对恒成立，进而令，利用导数求得，可求得实数的取值范围. 【详解】， ，解得， 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 令，解得或， 易得在上单调递增，在上单调递减，故， 故实数的取值范围是. 故选：A. 2．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 3．（24-25高三上·河南周口·期中）若方程与方程共有个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到单调区间，进而可得的图象，再结合图象与题设得且，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则，令，得到或（舍）， 当时，，当时，， 即的增区间为，减区间为， 又时，，时，，时，， 且，，的图象如图， 令，由图知，当时，与有个交点，即方程有个解， 当或时，与有个交点，即方程有个解， 又方程与方程共有个不同的实数根， 则且，得到， 故选：B. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于通过构造函数，利用导数求出的单调区间，作出的图象，数形结合，先求出解的情况，再结合二次方程的解的情况，即可求解. 二、多选题 4．（24-25高三上·吉林长春·期中）已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 【答案】AD 【分析】由题意，根据，得到是的极小值点，进而可判断AB；对函数进行求导，根据导函数的符号即可判断选项CD. 【详解】由题意知，得， 若，所以是的极小值点， 此时，解得， 则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，则，故A正确，B错误； 若，此时， 当时，，在上单调递减，故C错误； 若，此时， 当时，，在上单调递增，故D正确． 故选：AD． 5．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ）    A．函数的单调递增区间是 B．函数的单调递增区间是 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 【答案】BD 【分析】根据给定的函数图象，确定函数的单调区间及单调性，再逐项判断即可. 【详解】由图可得函数的零点为， 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增，故A错误，B正确； 是函数的极大值点，是函数的极小值点，故C错误，D正确. 故选：BD. 6．（24-25高三上·河南周口·期中）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．在处取得极小值 B．当时，方程有两个不同的实根 C． D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，对求导，再利用极值的定义，即可求解；对于B，求出的单调区间，进而得出的图象，数形结合，即可求解；对于C，利用的单调性，即可求解；对于D，根据条件得当曲线在处的切线与平行时，点到直线的距离最小，再利用导数的几何意义，求出切点，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则， 当时，，当时，，且， 所以是的极小值点，又，所以选项A正确， 对于选项B，由选项A知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，当时，，的图象如图， 令，由图知，当时，与有两个交点， 当时，与只有一个交点，所以选项B错误， 对于选项C，由选项B知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，，又， 所以，故选项C正确， 对于选项D，设点，易知当曲线在处的切线与平行时， 点到直线的距离最小， 又，则， 令，则， 易知，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且时，，又，所以， 又，得到，所以到直线的距离为，故选项D正确， 故选：ACD. 【点晴】方法点晴，利用导数研究函数的极值： （1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧f′(x)的符号不同； （2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 三、填空题 7．（24-25高二下·广东河源·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】对函数求导并得出其在指定区间上的单调性，即可求得最大值. 【详解】由，求导得， 在上，恒成立， 因此在上单调递增，所以的最大值为. 故答案为： 8．（24-25高二下·福建·期中）若函数有2个零点，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数有两个不同的零点，即函数的图象与x轴有两个不同的交点，利用导数探讨函数的最值，建立不等式求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多1个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， 而当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大， 函数有两个不同的零点，当且仅当函数的图象与x轴有两个不同的交点， 因此，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二下·天津滨海新·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【详解】（1）由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： （2）令，即得， 令，则得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，， 的极小值点为，， 又,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 10．（22-23高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）求的导数，利用导数与函数极值的关系即可得解； （2）利用，结合放缩法将不等式转化为证明恒成立，再构造函数，利用导数即可得证. 【详解】（1）易知的定义域为， 则， 若，则，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值. （2）因为，所以， 要证，只需证即可， 即证即可，即证即可， 令，则， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以的最大值在或处取得，又，， 所以，即恒成立， 所以. 11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知曲线与曲线交于，两点． (1)求； (2)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据交点列式结合对数运算计算求值； （2）先根据交点坐标，参数分离再构造函数，应用导函数得出函数单调性即可求出最小值. 【详解】（1）因为曲线与曲线交于两点， 所以，化简得， 即，所以，因为交点为，，所以或， 所以； （2）因为，所以，所以， 设，所以， 当单调递减；当单调递增； 所以，所以. 12．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可； （2）求导函数，令，，按照和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，进而根据函数在上的零点分布情况，即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 则，所以斜率，又， 所以切线方程为. （2），， 令得， 令，，则，由得， 当即时，，可得在内单调递增， 即在内单调递增，因为在区间上有唯一的极值点， 则需，而，不满足； 当即时，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，则， 因为，且， 此时，有唯一的变号零点，符合题意； 综上，实数的取值范围为. 13．（24-25高二下·重庆合川·阶段练习）设函数，. (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围； (3)设的两个不同的极值点为，证明：. 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时易求出，利用的正负即可判断函数的单调性； （2）将问题转化为关于的带参数的一元二次方程有两个不同的正根，结合判别式、韦达定理等求出的取值范围； （3）利用第（2）问的结果，结合韦达定理将转化为关于的函数，再次利用导数求该函数的最值即可证明. 【详解】（1）的定义域为，当时，， 令，得或， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2），不妨设在上有两个不同的极值点， 即方程有两个不同的正根，则有 ，解得， 所以的取值范围为. （3）， 设，则， 则在上单调递增，所以， 故. 14．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为， ， ①当时，， 所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （3）①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$