精品解析：广东省深圳市南山区深圳湾学校2024-2025学年上学期八年级数学期中试卷

深圳湾学校2024-2025学年秋季学期 八年级期中考试—数学学科试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本题有8小题，每题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列实数中，无理数是　　 A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（ ） A. 3、4、5 B. 5、12、13 C. 7、9、13 D. 7、24、25 5. 已知，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 6. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ） A. 前10分钟，甲比乙速度慢 B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟 D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少 7. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（ ）．（边缘部分的厚度忽略不计） A. 25 B. C. 35 D. 8. 如图，等腰中，交于点D，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 的平方根是________． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 11. 若一次函数的图象如图所示，那么关于的方程的解是______． 12. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____． 13. 如图，在和中，，点在边中点上，若，，连结，则的长为 ________________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题12分，第15题9分，第16题8分，第17题8分，第18题12分，第19题12分，共61分） 14. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 16. 数学项目小组为解决某超市购物车从楼到楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息 购物车的尺寸如图所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图所示，辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为米． 信息 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运辆购物车，直立电梯一次性最多能转运列长度均为米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当辆购物车按图的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_____； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量； （3）若该超市需转运辆购物车，使用电梯总次数为次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 17. 已知：如图，有一块的绿地，量得两直角边m，，现要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以8m为直角边长的直角三角形， （1）在图1中，当m时，的周长为______； （2）在图2中，当m时，的周长为_______； （3）在图3中，当时，求的周长． 18. 综合与探究： 【问题呈现】： 下面表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线l，如图．琪琪为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线． x 0 2 y 1 7 （1）求直线l解析式； 【知识运用】 （2）求直线的解析式，并在图中画出直线； 【解决问题】 （3）若是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别交直线l，于点M，N．当时，求出a的值； 【能力提升】 （4）若是y轴上的一个动点，过点Q作x轴的平行线，分别与直线l，及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出m的值． 19. 如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．易证得．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“K形图． 【问题初探】 （1）如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰．求点C的坐标，并求出直线的表达式； 【应用探究】 （2）如图3，直线交y轴于E，在直线上取一点D，连接，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图4，设计师标记公园原址为长方形，并以点O为原点建立平面直角坐标系，已知A、B的坐标分别是，．设计师准备在原花园的两边和上分别选取点D和点E，以为斜边在的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形区域作为餐饮角，由于点C处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点F的位置，使点F到点C的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师在图4中标出F（不限作图工具，保留作图痕迹），使得最小，并直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳湾学校2024-2025学年秋季学期 八年级期中考试—数学学科试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本题有8小题，每题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了第四象限点坐标的特征．熟练掌握第四象限点坐标为是解题的关键．根据第四象限点坐标为作答即可． 【详解】解：由题意知，位于第四象限， 故选：D． 2. 下列实数中，无理数是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：，，有理数， 是无理数， 故选C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如，，每两个8之间依次多1个等形式． 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟知运算法则是解本题的关键． 4. 下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（ ） A. 3、4、5 B. 5、12、13 C. 7、9、13 D. 7、24、25 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理进行计算即可． 【详解】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不合题意； B、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不合题意； C、72+92≠132，不能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、72+242=252，能构成直角三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 5. 已知，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断一次函数的图象经过象限即可． 【详解】解：， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数，当，时，图象过一、二、三象限；当，时，图象过一、三、四象限；，时，图象过一、二、四象限；，时，图象过二、三、四象限． 6. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ） A. 前10分钟，甲比乙的速度慢 B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟 D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数关系图逐项判断即可． 【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意； B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意； C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意； D项，经过30分钟，甲走了24千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键． 7. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（ ）．（边缘部分的厚度忽略不计） A. 25 B. C. 35 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于． 【详解】解：将半圆柱展开，如图：，，， ， ∴， 解得（负值舍去），即他滑行的最短距离约为． 故选：A． 8. 如图，等腰中，交于点D，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先构造直角三角形，作AE⊥BC交BC于E，再利用三线合一、勾股定理求线段即可． 【详解】解：如图所示，作AE⊥BC交BC于E， ∵AB=AC，AE⊥BC， ∴BE=CE=4， ∴在中，有勾股定理得：， ∵， ∴tan∠C=， 即：， 解得：AD=，在中，有勾股定理得：， ∴BD=BE-DE=4-=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，等腰三角形的三线合一，勾股定理的运用，准确做出直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：解：平方根是． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于对称轴对称的点的坐标，关于轴对称的点的坐标是横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标是纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标是横坐标相同，纵坐标互为相反数来求解． 【详解】解：点关于轴对称的点， 对称点的坐标是． 故答案为：． 11. 若一次函数的图象如图所示，那么关于的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数y=kx+b与x轴交点坐标即为对应方程的解. 【详解】解：∵一次函数y=kx+b与x的交点坐标是（2，0）， ∴关于x的方程kx+b=0的解是：x=2. 故答案为2. 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标即为对应方程的解是解答本题的关键. 12. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】解：连接AB，AD，如图所示： ∵AD＝AB＝， ∴DE＝， ∴CD＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键． 13. 如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解． 【详解】延长到，使得，连接，，如图所示， ，， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 点为的中点， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题12分，第15题9分，第16题8分，第17题8分，第18题12分，第19题12分，共61分） 14. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算． （1）先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算二次根式的乘除，再算二次根式的加减即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并即可； （4）先根据绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标 【答案】（1）见解析，4 （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 解：下图为所求： 如图所示：的面积是： 故答案为：4 【小问2详解】 解：点与点关于轴对称， 则点的坐标为： 【小问3详解】 解：为轴上一点，的面积为1， 点的横坐标为：或 点坐标为：或． 16. 数学项目小组为解决某超市购物车从楼到楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息 购物车的尺寸如图所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图所示，辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为米． 信息 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市扶手电梯一次最多能转运辆购物车，直立电梯一次性最多能转运列长度均为米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当辆购物车按图的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_____； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运辆购物车，使用电梯总次数为次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【答案】（1）； （2）直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）共有种运输方案：扶手电梯运次，直立电梯运次；扶手电梯运次，直立电梯运次；；扶手电梯运次． 【解析】 【分析】（）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （）把代入解析式，求出的值即可； （）设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； 【小问3详解】 解：设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次， 由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ， 解得：， ∴为正整数， ∴， ， ， ∴共有种运输方案： 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次． 17. 已知：如图，有一块的绿地，量得两直角边m，，现要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以8m为直角边长的直角三角形， （1）在图1中，当m时，的周长为______； （2）在图2中，当m时，的周长为_______； （3）在图3中，当时，求的周长． 【答案】（1）32m （2）m （3）m 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理得出DC的长，进而求出的周长； （2）利用勾股定理得出AD的长，进而求出的周长； （3）首先利用勾股定理得出的长，进而求出的周长． 【小问1详解】 解：如图1，∵m，m， ∴（m）， 则的周长为：（m）． 故答案为：32m； 【小问2详解】 解：如图2，当m时， 则（m）， 故， 则的周长为：； 故答案为：m； 【小问3详解】 解：如图3，， ∴设m，则m， ∴， 即， 解得；， ∵m， m， ∴m， 故的周长为：m． 18. 综合与探究： 【问题呈现】： 下面表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线l，如图．琪琪为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线． x 0 2 y 1 7 （1）求直线l的解析式； 【知识运用】 （2）求直线的解析式，并在图中画出直线； 【解决问题】 （3）若是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别交直线l，于点M，N．当时，求出a的值； 【能力提升】 （4）若是y轴上的一个动点，过点Q作x轴的平行线，分别与直线l，及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出m的值． 【答案】（1）；（2），图见解析；（3）或；（4）或7或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，直角坐标系与点坐标，中心对称的性质，根据题意构建方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意确定解析式，确定与坐标轴的交点，运用两点法画出图象； （3）由题意，得，即可求解； （4）直线与交点的横坐标为；与交点的横坐标为；分三种情况：①当第三点在轴上时，②当第三点在直线上时，③当第三点在直线上时，根据中心对称性质，分别构建方程求解，得的值． 【详解】解：（1）：∵直线中，当时，；当时，， ， 解得， ∴直线l的解析式为； （2）依题意可得直线的解析式为， x 0 y 0 3 画出直线如图： （3）把代入，得， 把代入，得， ， ． 解得或； （4）把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 分三种情况： ①当第三点在轴上时．，解得； ②当第三点在直线上时，，解得； ③当第三点在直线上时，，解得； 直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则的值为或7或． 19. 如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．易证得．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“K形图． 【问题初探】 （1）如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰．求点C的坐标，并求出直线的表达式； 【应用探究】 （2）如图3，直线交y轴于E，在直线上取一点D，连接，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图4，设计师标记公园原址为长方形，并以点O为原点建立平面直角坐标系，已知A、B的坐标分别是，．设计师准备在原花园的两边和上分别选取点D和点E，以为斜边在的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形区域作为餐饮角，由于点C处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点F的位置，使点F到点C的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师在图4中标出F（不限作图工具，保留作图痕迹），使得最小，并直接写出的最小值． 【答案】（1）点，； （2）见详解； （3），的最小值为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及“K”形图，解题的关键是读懂题意，能灵活应用“K”形图证明三角形全等． (1)由可证，可得，，可求点坐标，由待定系数法可求直线的表达式； (2)由待定系数法可求解析式，可求点E坐标，由等腰三角形的性质可求，可求点坐标，即可求解； (3)过F作轴交x轴于H，过D作于G，由，知，设，则，可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则，令，则，则点、的坐标分别为：，，过点作轴于点， ，， ， 又，， ， ，， 则点， 将点、的坐标代入一次函数表达式： 得：， 解得：， 故直线的表达式为：； （2）证明：的坐标为，点， 设直线的表达式为：， ， ， 直线的表达式为：， 则点， ，， ， 点， 点、、的坐标分别为，，， 故点是的中点， 即； （3）解：过作轴交轴于，过作于， 如图： 是等腰直角三角形， 同理得， ， 设， 则， ，， ， ， 当时 ，取最小值， ，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$