第1章 专题拓展1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中物理选择性必修第二册（教科版2019）

专题拓展1　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 物理观念 科学探究 科学态度与责任 　　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题和多解问题。 　　带电粒子在有界匀强磁场中运动的解题规律和方法。 　　能用所学知识灵活解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的实际问题。 [对应学生用书P24] 探究点一 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 1．直线边界 粒子进出磁场具有对称性，轨迹示意图如图所示。 2．平行边界 平行边界存在临界条件 3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度与半径的夹角为θ，出射速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 4．三角形边界 如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图。粒子能从AC边射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 [特别提醒]　解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等关键词为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。 (3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。 【例1】 (多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(　　) A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 BD　解析：假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图甲所示，O1为圆周运动的圆心，由几何关系可知∠O1AO为直角，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，即粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，其轨迹关于O点对称，故粒子的运动轨迹一定不过圆心，A错误，D正确；由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，边数最少应为三角形如图乙所示，即撞击两次，B正确；粒子在筒内做圆周运动的半径r＝，则速度越大，粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，但粒子运动时间不一定短，C错误。 带电粒子在匀强磁场中做匀速 圆周运动的解题方法 [练1] 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B′的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 答案：(1)负电荷　　(2)B　 解析：(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r。又qvB＝m，则粒子的比荷＝。 (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R′＝＝r，又R′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝T＝×＝。 探究点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 【例2】 如图所示，在x轴上方有匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有匀强电场，电场强度为E、方向如图所示，PQ是一个垂直于x轴的屏幕，O点到PQ的距离为L。有一质量为m、电荷量为－q的粒子(不计重力)从y轴的M点由静止释放，最后垂直打在PQ上。求： (1)M点到O点的距离； (2)粒子在整个运动过程中的路程s。 答案：见解析 解析：(1)作出粒子的运动轨迹如图所示。 设粒子进入磁场时的速度为v，M到O点的距离为y，由运动学公式有2ay＝v2，a＝；设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m，得r＝，由题意有L＝(2n＋1)r(n＝0，1，2，…) 联立解得y＝(n＝0，1，2，…)。 (2)s＝(2n＋1)y＋(n＋)πr＝＋πL(n＝0，1，2，…)。 [练2] (多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足(　　) A．垂直纸面向里，B> B．垂直纸面向里，B> C．垂直纸面向外，B> D．垂直纸面向外，B> BC　解析：当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2＝OB sin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB＝，所以得B>，A错误，B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，所以得B>，C正确，D错误。 解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识求解。 [对应学生用书P26] 1．(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是(　　) A．c粒子速率最大 B．a粒子动能最大 C．a粒子在磁场中运动时间最长 D．它们做圆周运动的周期Ta<Tb<Tc AC　解析：由运动轨迹可知ra<rb<rc，粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，则qvB＝m，解得半径r＝，c粒子对应的半径最大，a粒子对应的半径最小，可知vc>vb>va，A正确，B错误；根据周期公式T＝可知，它们的周期相等，a粒子在磁场中转过的圆心角最大，运动时间最长，C正确，D错误。 2．如图所示，三角形ABC区域内有匀强磁场，其中，边长AB＝0.4 m，BC＝0.3 m，∠B＝30°，磁感应强度为B＝0.1 T。一些正离子自D点(BD＝0.1 m)垂直进入匀强磁场中，离子比荷均匀为＝108 C/kg，重力不计。若要求这些离子均能从BC边飞出磁场区域，则它们的速度应满足(　　) A.v＞1.0×106 m/s B．v<1.0×106 m/s C．v＞4.0×106m/s D．v<4.0×106 m/s A　解析：当离子运动轨迹与BC相切时为临界情况，如图所示，设此时轨迹半径为r，由几何知识可得2r＝r＋BD，解得r＝BD＝0.1 m，根据牛顿第二定律有qBv0＝m，解得v0＝＝0.1×108×0.1 m/s＝1.0×106 m/s，要使离子能从BC边飞出，v必须大于v0，A正确。 3.如图，正方形abcd区域内存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面向里。甲、乙两个相同的粒子均从a点沿ad方向射入磁场，甲粒子从b点飞出磁场，乙粒子从c点飞出磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　) A．甲、乙两个粒子的速率之比为1∶2 B．甲、乙两个粒子在磁场中运动的时间之比为1∶2 C．甲、乙两个粒子离开磁场后的运动方向相同 D．甲、乙两个粒子离开磁场后的运动方向相反 A　解析：甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示，根据几何知识可知r甲∶r乙＝1∶2，因为洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，则r＝，所以甲、乙两个粒子的速率之比为1∶2，A正确；因为T＝，甲、乙两粒子运动的周期相等，所以甲、乙两个粒子在磁场中运动的时间之比为180°∶90°＝2∶1，B错误；根据图形可知，甲粒子离开磁场的方向向左，乙粒子离开磁场时的方向向下，C、D错误。 4.(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一 质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则质子的速度可能为(　　) A．2BkL B． C． D． BD　解析：因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r＝(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，即v＝＝Bk(n＝1，2，3，…)，B、D正确。 [课时梯级训练(5)见P124] 学科网（北京）股份有限公司 $$