期中真题精选（十三大压轴题型专练）高二数学下学期人教B版

期中真题精选（十三大压轴题型专练） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 排列组合综合 · 题型二 涂色问题 · 题型三 杨辉三角形 · 题型四 条件概率与全概率公式 · 题型五 二项分布与超几何分布 · 题型六 正态分布与其他的综合 · 题型七 概率与导数的交汇 · 题型八 非线性回归拟合 · 题型九 插项型数列 · 题型十 公共项型数列 · 题型十一 概率与数列的交汇 · 题型十二 数列中的恒成立问题 · 题型十三 数列中的存在性问题 题型一 排列组合综合 1．（2024·25高三下·湖南长沙·期中）雅礼中学科技社成员设计的一款机器人，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．假设该机器人接到六个方向指令是等可能的，现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的概率为（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（2025·河南郑州·二模）某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·25高二下·江西·期中）20名同学排成一个4行5列的矩形方阵，要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，则这20名同学不同的站法种数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南南阳·模拟预测）有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（    ） A．8 B．144 C．120 D．280 5．（2023·24高二下·福建·期中）设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 题型二 涂色问题 6．（2023·24高三上·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（    ） A．216 B．360 C．720 D．1080 7．（2023·24高二下·河北石家庄·期中）在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（    ） ①图中共有675个不同的矩形 ②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种 ③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2023·24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 9．（2023·24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 题型三 杨辉三角形 10．（2023·24高二下·海南海口·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（    ）． 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5   10   10   5   1 第n行 A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为 11．（2023·24高二下·山东聊城·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（    ） A． B．第16行所有数字之和为 C．第2024行的第1012个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与第5个数之比为1:3 12．（2023·24高二下·江苏南京·期中）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（    ） A．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 B．由“第行所有数之和为2的指数幂"猜想： C． D．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和"猜想： 13．（2023·24高二下·广东佛山·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左到右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，则下列说法正确的是（   ） A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B． C．在“杨辉三角”中，从第2行开始到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 D．的前项和为 题型四 条件概率与全概率公式 14．（2023·24高二下·广东深圳·期中）（多选）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 15．（2024·25高三上·天津西青·期中）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 . 16．（2023·24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种番茄果实的颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占.果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占.根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 . 17．（2024·25高三上·湖南·期中）某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为. (1)若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； (2)若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率. 18．（2023·24高二下·云南保山·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. (1)求第2次摸到红球的概率； (2)对于事件，当时，证明：； (3)利用（2）中的结论，求第次都摸到红球的概率. 题型五 二项分布与超几何分布 19．（2024·25高二下·河北保定·期中）袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是 .①；②；③；④. 20．（2023·24高二下·北京顺义·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者． (1)从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和． (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论） 21．（2023·24高二下·江苏连云港·期中）某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据： 男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29； 女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49. (1)在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率； (2)时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望. 22．（2023·24高二下·吉林·期中）小林开车从家出发去单位上班，路上共需要经过n个红绿灯路口，已知他在每个路口遇到红灯的概率均为． (1)若，记小林上班路上遇到红灯的个数为X，求X的分布列与期望； (2)若，记小林上班路上恰好遇到k（）个红灯的概率为，求当k取何值时，取得最大值． 23．（2023·24高二下·辽宁大连·期中）清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题. (1)从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 题型六 正态分布与其他的综合 24．（2023 24 高二下·山东聊城·期中）（多选）在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（    ） A． B． C． D．随的增大先增大后减小 25．（2023·24高二下·江苏泰州·期中）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 26．（2023·24高二下·河北邯郸·期中）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． (2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望． 27．（2023·24高二下·江西景德镇·期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． (1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表： 原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83 赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望： (2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值． 附，若，则，． 题型七 概率与导数的交汇 28．（2023·24高二下·山东潍坊·期中）（多选）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X则（    ） A．乙连胜三场的概率是 B． C． D．的最大值是 29．（2024·25高三上·江苏南京·期中）甲、乙两同学进行某项没有平局的比赛，规定：每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一方先得到3分为止，先得3分的一方赢得比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.若比赛进行5局时甲获胜，则甲获胜的概率最大时的值为 . 30．（2024·25高三上·河南许昌·期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 31．（2024·25高三上·重庆沙坪坝·期中）某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表: 质量指标值 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图: (1)若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值; (2)若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表: 质量指标值 利润（万元） 以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围. 题型八 非线性回归拟合 32．（2023·24高二下·宁夏石嘴山·期中）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 33．（2018·湖北荆州·一模）已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．    17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中， ． (1)根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由） (2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ② 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 34．（2023·24高二下·山东青岛·期中）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 35．（2023·24高二下·山东青岛·期中）肥胖不仅影响形体美，而且给生活带来不便，此外还有关节软组织损伤､心脏病､糖尿病､脂肪肝､痛风等危害.小王通过运动和节食进行减肥，并将时间x（单位：周）和体重（单位：）记录制作如下统计表： 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 (1)若和满足经验回归模型，求； (2)求该模型的决定系数，并判断该经验回归方程是否有价值（认为有价值）； (3)当某组数据残差的绝对值不超过0.3时，称该组数据为“身材有效管理数据”，现从这六组数据中任意抽取两组，设抽取的“身材有效管理数据”的个数为，求的分布列和期望. 附：经验回归方程中，， 参考数据：. 36．（2023·24高二下·山西长治·期中）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间的关系. 平均温度 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数个 5 9 22 25 65 118 324 441 529 625 729 841 1024 1225 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 27.43 773.43 81.14 3.55 20.03 0.37 0.29 0.0052 其中. (1)根据表中数据，经计算得出模型①，请建立模型②下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数；（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：） (2)模型①，②的决定系数分别为，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好； (3)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：. 题型九 插项型数列 37．（2023·24高二上·上海闵行·期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 38．（2023·24高二上·安徽阜阳·期中）已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为 . 39．（2024·25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 40．（2023·24高三上·山东·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 题型十 公共项型数列 41．（2024·25高三上·天津河西·期中）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 42．（2023·24高二上·安徽·期中）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前10项和为 43．（2023·24高二下·辽宁·期中）将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的n的最小值为 . 44．（2023·24高二上·河北保定·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，若，则的最大值为 ． 题型十一 概率与数列的交汇 45．（2024·25高三上·四川成都·期中）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； (2)市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 46．（2023·24高二下·山东滨州·期中）这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率． (1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列； (2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和： (3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值． 47．（2023·24高二下·浙江·期中）一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． (1)请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 (2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 题型十二 数列中的恒成立问题 48．（2024·25高二下·重庆·期中）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 49．（2024高二·全国·专题练习）设数列的前项和为．对任意恒成立，则的取值范围为 . 50．（2024·25高二下·四川成都·期中）设是公差大于1的等差数列，数列满足.已知，，，是和的等差中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 51．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 52．（2024·25高二下·四川南充·期中）已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 53．（2024·25高二下·北京·期中）若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”， (1)若，判断，是否是“P数列”； (2)已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围； 题型十三 数列中的存在性问题 54．（2023·24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 55．（2024·25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 56．（2023·24高二下·北京怀柔·期中）在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 57．（2024·25高三上·江苏无锡·期中）在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求和的值; ②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由. $$期中真题精选（十三大压轴题型专练） 2 / 61 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 排列组合综合 · 题型二 涂色问题 · 题型三 杨辉三角形 · 题型四 条件概率与全概率公式 · 题型五 二项分布与超几何分布 · 题型六 正态分布与其他的综合 · 题型七 概率与导数的交汇 · 题型八 非线性回归拟合 · 题型九 插项型数列 · 题型十 公共项型数列 · 题型十一 概率与数列的交汇 · 题型十二 数列中的恒成立问题 · 题型十三 数列中的存在性问题 题型一 排列组合综合 1．（2024·25高三下·湖南长沙·期中）雅礼中学科技社成员设计的一款机器人，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．假设该机器人接到六个方向指令是等可能的，现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的概率为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【详解】因为每次指令都有种可能，一共发次指令，根据分步乘法计数原理，每次的选择相互独立，所以总的基本事件数. 要使手臂回到原来位置，可分以下两种情况： 情况一：两次相反方向移动 例如向前移动两次，向后移动两次.从组相反方向（前与后、左与右、上与下）中选组，有种选法；然后在次移动中安排这两次相同方向的移动，有种方法.根据分步乘法计数原理，这种情况的基本事件数为. 情况二：两组不同的相反方向各移动一次 从组相反方向中选组，有种选法；然后对这次不同方向的移动进行全排列，有种排法.根据分步乘法计数原理，这种情况的基本事件数为. 所以手臂回到原来位置的基本事件数.   根据古典概型概率公式，可得： ． 故选：D. 2．（2025·河南郑州·二模）某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校， 若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种； 若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种， 故不同的安排方法共有种. 将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，甲、乙安排在同一个学校， 若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种； 若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种， 故不同的安排方法共有种. 所以所求事件的概率为. 故选：A. 3．（2024·25高二下·江西·期中）20名同学排成一个4行5列的矩形方阵，要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，则这20名同学不同的站法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】求20名同学不同的站法种数需两步： 先让甲、乙、丙站，从4行中任取1行，5列中任取1列，其交点让甲站，有种； 从余下3行中任取1行，4列中任取1列，其交点让乙站，有种； 从余下2行中任取1行，3列中任取1列，其交点让丙站，有种， 因此符合要求的甲、乙、丙的站法种数为种， 再让除甲、乙、丙外的17人站，有， 所以这20名同学不同的站法种数为. 故选：B 4．（2025·河南南阳·模拟预测）有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（    ） A．8 B．144 C．120 D．280 【答案】D 【详解】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入， 相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有种方法， 最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有种方法， 由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为. 故选：D 5．（2023·24高二下·福建·期中）设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 【答案】A 【详解】若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 即共有种不同排列， 即集合中满足的元素的个数为. 故选：A. 题型二 涂色问题 6．（2023·24高三上·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（    ） A．216 B．360 C．720 D．1080 【答案】D 【详解】根据题意，如图： 分3步进行分析： ①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法， ②对于上底，有4种颜色可选，则有， ③对于下底，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有种选法， 则共有种选法． 故选：D． 7．（2023·24高二下·河北石家庄·期中）在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（    ） ①图中共有675个不同的矩形 ②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种 ③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①根据题意，的方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线， 在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条， 就可以组成一个矩形，则可以组成个矩形，故①错误； ②当其中一组对角区域同色时，有种， 当其中一组对角区域异色时，有种， 由分类加法计数原理得四个区域涂色方法共有种，故②正确； ③蚂蚁沿小正方形的边从点A出发到达C的最短路径，需要走4条小正方形的边， 向上走2条边，向右走2条边，所以有条， 然后从点C出发到达E的最短路径，需要走9条小正方形的边， 向上走3条边，向右走6条边，所以有条， 由分步乘法计数原理，则共有条，故③错误. 故选：B. 8．（2023·24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 【答案】72 【详解】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同. 那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色. 由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和. 如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种. 综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种. 而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种. 故答案为：. 9．（2023·24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 【答案】396 【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情： 第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 按照分类加法计数原理得，共有种. 故答案为：396. 题型三 杨辉三角形 10．（2023·24高二下·海南海口·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（    ）． 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5   10   10   5   1 第n行 A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为 【答案】BC 【详解】对于A：第10行是二项式的展开式的系数， 所以第10行中第个数最大，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：第8行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为， 所以第4个数为，第5个数为， 所以第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D：第n行是二项式的展开式的系数，故第n行的所有数字之和为，故D错误． 故选：BC． 11．（2023·24高二下·山东聊城·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（    ） A． B．第16行所有数字之和为 C．第2024行的第1012个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与第5个数之比为1:3 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为， 第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为， 第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为， 以此类推，第16行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大， 且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第行，第个数为，第个数为，即，故D正确. 故选：ABD. 12．（2023·24高二下·江苏南京·期中）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（    ） A．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 B．由“第行所有数之和为2的指数幂"猜想： C． D．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和"猜想： 【答案】BCD 【详解】对于A，第7行中从左到右第5与第6个数的比为，A不正确； 对于B，由二项式系数的性质知成立，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，， D正确. 故选：BCD 13．（2023·24高二下·广东佛山·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左到右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，则下列说法正确的是（   ） A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B． C．在“杨辉三角”中，从第2行开始到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 D．的前项和为 【答案】ACD 【详解】在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是，A选项正确； 从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以， 为等比数列，，所以，故B错误； ， 所以的前n项和为 ，故D正确； 在“杨辉三角”中，从第2行开始到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 ，故C正确. 故选：ACD. 题型四 条件概率与全概率公式 14．（2023·24高二下·广东深圳·期中）（多选）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【详解】用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 由题意得，，，， 则， 由全概率公式得，故A、B正确； ，，故C错误，D正确； 故选：ABD 15．（2024·25高三上·天津西青·期中）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 . 【答案】 【详解】记“至少有一人命中”为事件A，所以； 记“三人中恰有两人命中”为事件M，“甲命中”为事件N， 则， ， 所以. 故答案为：；. 16．（2023·24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种番茄果实的颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占.果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占.根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 . 【答案】/ 【详解】记果皮为黄色为事件，果皮不为黄色为事件，果肉为红色为事件，果肉不是红色为， 依题意，，， 又，所以， 又， 即， 即，解得. 故答案为： 17．（2024·25高三上·湖南·期中）某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为. (1)若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； (2)若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他买到的红茶是优质品， 则依据已知可得，， 由全概率公式得， 所以他买到的红茶是优质品的概率为. （2）设事件表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件的情况有： 甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立， 则， 所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为. 18．（2023·24高二下·云南保山·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. (1)求第2次摸到红球的概率； (2)对于事件，当时，证明：； (3)利用（2）中的结论，求第次都摸到红球的概率. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”，则第2次摸到红球的事件为， 由题意可得，， 所以； （2）因为， 所以，得证； （3）由题意可知，， 由（2）中结论， 可得. 题型五 二项分布与超几何分布 19．（2024·25高二下·河北保定·期中）袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是 .①；②；③；④. 【答案】①③④ 【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数的可能取值为，黑球个数Y的可能取值为， 则， ， ， ， 由，可得，，， 故， 所以，故①正确； ， ，所以，故②错误； 抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为，则， 所以，， 所以，，故③④正确. 故答案为：①③④. 20．（2023·24高二下·北京顺义·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者． (1)从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和． (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论） 【答案】(1)， ． (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）依题意，记“人中恰有人是通过电视收看”为事件， 则，又． （2）由题可知人中，通过电视收看的人，通过手机收看的人，其他为未收看者人， 所以的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 故； （3）依题意可得，， 所以． 21．（2023·24高二下·江苏连云港·期中）某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据： 男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29； 女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49. (1)在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率； (2)时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【详解】（1）由数据分析知“阅读能手”有4人，“阅读后进者”有3人，我们把阅读时长为51、49、46、46小时的同学分别记为A、B、C、D； 把阅读时长为10、11、12小时的同学分别记为甲、乙、丙. 那么问题即为：从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被A指导的概率. 从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，则共有种情况. 记“甲被A指导”为事件E，若甲被A指导，那么只需从BCD中随机选2人指导乙丙， 则共有种情况. 则.即阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率为. （2）由题意可知，随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为，随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为. 记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人， 则~，~，.于是有                                的所有可能取值为0，1，2，3，4.从而 ； =； =； =；    的分布列为：                  0 1 2 3 4 . 22．（2023·24高二下·吉林·期中）小林开车从家出发去单位上班，路上共需要经过n个红绿灯路口，已知他在每个路口遇到红灯的概率均为． (1)若，记小林上班路上遇到红灯的个数为X，求X的分布列与期望； (2)若，记小林上班路上恰好遇到k（）个红灯的概率为，求当k取何值时，取得最大值． 【答案】(1)分布列见解析，期望 (2)7 【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，， 则， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 期望. （2）依题意，，显然， 当时，，即， 整理得，即， 解得，而，于是，而， 所以当时，取得最大值. 23．（2023·24高二下·辽宁大连·期中）清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题. (1)从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)，7. 【详解】（1）的可能取值为，则， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 数学期望. （2）由人的合计得分为分，得其中只有1人两项都游览，则， 设， 则， 两式相减得， 所以. （3）依题意，， 设最大，则，即， 整理得，即，解得，而，因此， 所以当时，. 题型六 正态分布与其他的综合 24．（2023 24 高二下·山东聊城·期中）（多选）在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（    ） A． B． C． D．随的增大先增大后减小 【答案】CD 【详解】由题意，则， 所以，故选项A错误； ，则，设当时概率最大， 则有，即， 解得，由，所以当时概率最大， 则， 即随的增大先增大后减小，故D选项正确； 又，则，， 所以，故选项B错误； ， 又，所以，故选项C正确. 故选：CD 25．（2023·24高二下·江苏泰州·期中）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)， (3)0.2056． 【详解】（1）由题知，的可能取值为0，1，2，． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望． （2）由题意可知，服从二项分布， 故， 技术攻坚成功的概率为 ， ． （3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以． 从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056． 26．（2023·24高二下·河北邯郸·期中）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）； ①；②；③． 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级． (2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望． 【答案】(1)丙级； (2). 【详解】（1）依题意，，，， 观察数表得：直径小于的共有10件，直径大于的零件共有10件， 直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件， 直径小于等于的共有1件，直径大于的零件共有1件， ，， ， 所以设备的性能等级为丙级． （2）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件， 则样本中次品共6件，估计设备生产零件的次品率为0.06， 依题意，从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为， 则，于是； 从样本中随意抽取2件零件其次品数设为，则的可能取值为， ， 于是， 则次品总数的数学期望. 27．（2023·24高二下·江西景德镇·期中）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． (1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表： 原始分 97 95 91 90 89 87 85 84 84 83 赋分 99 97 95 95 94 92 91 90 90 90 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望： (2)假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值． 附，若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)或16 【详解】（1）据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布， 因此， 则，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为. （2）据题意可知， 那么 有， 要使取最大值，只需， 得：且， 故：当或16时，取得最大值. 题型七 概率与导数的交汇 28．（2023·24高二下·山东潍坊·期中）（多选）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X则（    ） A．乙连胜三场的概率是 B． C． D．的最大值是 【答案】BD 【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3，4，5， 比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是； 比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；比赛局数为5时， 乙连胜三场的概率是，故选项A错误. 由题意可知，决赛中的比赛局数X的可能取值为3，4，5， 则， ，故选项B正确. ，故选项C错误. 令，则， 因为， 所以当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取最大值， 所以的最大值是，故选项D正确. 故选：BD. 29．（2024·25高三上·江苏南京·期中）甲、乙两同学进行某项没有平局的比赛，规定：每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一方先得到3分为止，先得3分的一方赢得比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.若比赛进行5局时甲获胜，则甲获胜的概率最大时的值为 . 【答案】/ 【详解】设比赛5局，甲恰好获胜3局的概率为，则， ， 因为所以当单调递增； 当单调递减； 所以当， 即时，甲获胜的概率最大. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到甲恰好获胜3局的概率关于的函数，从而利用导数即可得解. 30．（2024·25高三上·河南许昌·期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由已知的取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 甲进入决赛的概率为； （2）（i）由题意得， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 可得的最大值为； （ii）由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， 所以，， ，， 所以 ， 可得，即， 整理得， 由， 得， 解得. 【点睛】关键点睛：第二问解题关键点是利用导数研究单调性，可得极大值. 31．（2024·25高三上·重庆沙坪坝·期中）某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表: 质量指标值 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图: (1)若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值; (2)若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表: 质量指标值 利润（万元） 以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由中位数为87.5，得，则， 由平均值为87，得， 则，联立解得， 所以. （2）以频率作为概率，每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）及对应概率关系为： 质量指标值 利润（万元） 0.05 0.1 5a 5b 0.3 依题意，，即， 每件产品的利润，， 由对任意的，生产该产品一定能盈利，得，恒成立， 此时，令，， 求导得，令，， 求导得，而，， 当，即时，，函数在上单调递增， ，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，则存在，使得， 由在上单调递增，得当时，，函数在上单调递减， ，，函数在上单调递减，，不符合题意， 由，及，得，因此， 所以的取值范围是. 题型八 非线性回归拟合 32．（2023·24高二下·宁夏石嘴山·期中）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【答案】(1)模型①； (2) 【详解】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则． 于是， ， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为． 33．（2018·湖北荆州·一模）已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．    17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中， ． (1)根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由） (2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ② 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 【答案】(1)适宜 (2) (3) 【详解】（1）适宜； （2）由得， 令， ， ， 由图表中的数据可知， ， 所以， 则关于的回归方程为； （3）时，由回归方程，， 即鸡舍的温度为时，即的时段产量的预报值为，投入的陈本预报值为. 34．（2023·24高二下·山东青岛·期中）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【详解】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表： x y 则，， 可得， ， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，则， 所以y关于的回归方程. （2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天， 所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有： ；； ；； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的期望值. 35．（2023·24高二下·山东青岛·期中）肥胖不仅影响形体美，而且给生活带来不便，此外还有关节软组织损伤､心脏病､糖尿病､脂肪肝､痛风等危害.小王通过运动和节食进行减肥，并将时间x（单位：周）和体重（单位：）记录制作如下统计表： 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 (1)若和满足经验回归模型，求； (2)求该模型的决定系数，并判断该经验回归方程是否有价值（认为有价值）； (3)当某组数据残差的绝对值不超过0.3时，称该组数据为“身材有效管理数据”，现从这六组数据中任意抽取两组，设抽取的“身材有效管理数据”的个数为，求的分布列和期望. 附：经验回归方程中，， 参考数据：. 【答案】(1)；. (2)；该经验回归方程有价值. (3)分布列见解析；数学期望是1. 【详解】（1）设则， 因 ， 则 又且经验回归直线过点， 故得，， （2）由（1）， 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 90 88 86.8 86 84.8 84 0.01 0.16 0.16 0.04 0.36 0.09 12.25 1 0.36 0.16 5.76 5.29 则，因,则该经验回归方程有价值； （3）经计算，这六组数据中，残差的绝对值不超过0.3的有三组，分别是第一组、第四组和第八组， 故从这六组数据中任意抽取两组,的可能值有， 于是，, 则的分布列为： 0 1 2 故数学期望为. 36．（2023·24高二下·山西长治·期中）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间的关系. 平均温度 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数个 5 9 22 25 65 118 324 441 529 625 729 841 1024 1225 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 27.43 773.43 81.14 3.55 20.03 0.37 0.29 0.0052 其中. (1)根据表中数据，经计算得出模型①，请建立模型②下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数；（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：） (2)模型①，②的决定系数分别为，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好； (3)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：. 【答案】(1)答案见解析 (2)模型②的拟合效果更好 (3)①；② 【详解】（1）令，则， 所以与呈线性相关关系， 由题，， ， 所以，故， 所以，故， 所以模型②下关于的回归方程为； 当时， 经模型①计算估计产卵数为， 经模型②计算估计产卵数为. （2）因为模型①，②的决定系数分别为，故， 所以模型②的拟合效果更好. （3）①由题， 所以 ， 令得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率. ②由①知，当时取最大值， 所以当时，， 则由题意可知每年需要人工防治的概率为，且， 所以. 【点睛】方法点睛：常见非线性回归方程类型与求解思路： 求解思路：非线性转化成线性. （1）指数型： 令，则与建立线性相关关系， 利用最小二乘法公式求出关于的线性回归方程，进而利用即可得到关于的回归方程. （2）幂函数型： 令，则，故与建立线性相关关系， 同理求出关于的线性回归方程，即可利用得到关于的回归方程. （3）对数型： 令，则，故与建立线性相关关系， 同理求出关于的线性回归方程，即可利用得到关于的回归方程. 题型九 插项型数列 37．（2023·24高二上·上海闵行·期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】设插入的这个数分别记为、、、， 由等差数列的性质可得， 这个数列的公差为，这个数列所有项的和为， 这个数列的前项的和为， 因为这个数列的前项的和与后项的和之比为， 则，即，解得， 所有，插入数的个数是个. 故选：B. 38．（2023·24高二上·安徽阜阳·期中）已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为 . 【答案】77 【详解】在之间插入个1，构成数列， 所以共有个数， 当时，，当时，， 由于，所以. 故答案为：. 39．（2024·25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①， 当时，②， 由①②，得，即， 又当时，，满足，所以. （2）由（1）知，所以，则， 所以③， ④， 由③④得： ， 所以. 40．（2023·24高三上·山东·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【详解】（1）设数列的公差为，由题意知，，解得，所以， 因为数列的前项和为，且满足， 当时，， 当时，， 经验证当时，也满足上式， 综上得，． （2）（ⅰ）在和之间插入个数，，， 因为，，，…，成等差数列， 所以设公差为，， 则． （ⅱ）设， 则 ， 设， 即， ， ． 所以，． 题型十 公共项型数列 41．（2024·25高三上·天津河西·期中）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列中的项为， 观察得到中的奇数项都是数列中的项， 即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列， 故，故. 故选：D 42．（2023·24高二上·安徽·期中）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前10项和为 【答案】ACD 【详解】设等差数列的公差为，，由解得：， 故，，故A项正确，B项错误； 将数列列举出来为： 数列列举出来为： 故共同项依次有：,即， 故，则，C项正确； 因， 其前10项和为．故D项正确. 故选：ACD. 43．（2023·24高二下·辽宁·期中）将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的n的最小值为 . 【答案】19 【详解】令数列的第项与数列的第项为公共项，即，， 于是，则或，， 即有或，， 因此或，， 从而数列是数列和的项从小到大排列得到的， 显然数列都是递增的， 而当时，，， 当时，，，显然， 即数列前18项均小于2023，第19项为2116，是第一个大于2023的项， 所以使得成立的n的最小值为19. 故答案为：19 44．（2023·24高二上·河北保定·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，若，则的最大值为 ． 【答案】14 【详解】由题意，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列， 首项为2，公差为3，则 ， 所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成等差数列， 首项为2，公差为5，,则， 把数列与的公共项按从小到大的顺序排列，组成首项为2，公差为15的等差数列，则 ， 故由，令 ， 由于，故的最大值为14， 故答案为：14 题型十一 概率与数列的交汇 45．（2024·25高三上·四川成都·期中）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； (2)市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)①，证明见解析 ；②该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析 【详解】（1）， 因为服从正态分布， 所以． 所以，所以的数学期望为． （2）①棋子开始在第格为必然事件，． 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即． 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 所以， 即，且， 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列． ②由①知，，，，， 以上各式相加，得， 所以． 所以闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为． ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率． 46．（2023·24高二下·山东滨州·期中）这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率． (1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列； (2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和： (3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3) 【详解】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到1份文旅纪念品； 既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得2份文旅纪念品， 则的可能取值为3，4，5，6， 其中，， ，， 所以的分布列为 3 4 5 6 （2）因为个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个， 则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人， 于是， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以． （3）设只游览冰雪大世界的人数为， 则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为， 因此游客得到纪念品的总个数， 此时， 假定取最大值，必有，于是， 即，整理得， 解得，而，则， 所以当取最大值时，． 【点睛】关键点睛：求解第三问时，关键在于利用，通过解不等式组，得出的值. 47．（2023·24高二下·浙江·期中）一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． (1)请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 (2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)填表见解析；有 (2)① 答案见解析；②；③为定值1，证明见解析 【详解】（1）由题意得： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 35 20 55 女生 15 30 45 合计 50 50 100 则的观测值为， 所以有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联 （2）（ⅰ）由题可知，的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知： ；； 故的分布列如下表： 0 1 2 P （ⅱ）由全概率公式可知： 即：，所以，所以， 又，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即． （ⅲ）可判断为定值 由全概率公式可得： 即：，又， 所以， 所以 又， 所以， 所以 所以 可得的分布列 0 1 2 P 所以 ∴为定值1 【点睛】方法点睛：先应用全概率公式列式，再构造新数列，进而证明数学期望的定值. 题型十二 数列中的恒成立问题 48．（2024·25高二下·重庆·期中）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，令，解得， 当时，由得，即， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立， 令，则，而，所以， 即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为. 故选：C 49．（2024高二·全国·专题练习）设数列的前项和为．对任意恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得，又， 所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，所以， 则， 进而数列是以2为公比，1为首项的等比数列，可得， 不等式恒成立， 即． 设，则， 当时，，为递减数列， 所以， 所以，解得． 故答案为：. 50．（2024·25高二下·四川成都·期中）设是公差大于1的等差数列，数列满足.已知，，，是和的等差中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，，得数列是等比数列， 设数列的公差为，数列的公比为q，依题意，， 而，解得，则 所以数列和数列的通项公式. （2）由（1）得，，， 两式相减得：， 而，于是是递增数列，即， 由对任意的，不等式恒成立，得， 解得或， 所以的取值范围或. 51．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知，， ，，， 又, ， 数列中任意一项不为0, ， 数列是首项为2, 公比为2的等比数列，. （2）由第（1）问知， ， 则，设数列的前项和为, 所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 52．（2024·25高二下·四川南充·期中）已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； （2）①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， 所以则对任意的恒成立， 令； 所以， 则当时，为递增数列，； 当时，； 当时，为递减数列，. 当或6时，，故． 53．（2024·25高二下·北京·期中）若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”， (1)若，判断，是否是“P数列”； (2)已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围； 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）由，则数列是“数列”， 由，当时，，则数列不是“数列”. （2）设等差数列的公差为，则， 由数列是“数列”，则， ， 恒成立，即恒成立， 令， 当时，即，二次函数开口向下，对称轴为直线， 易知函数在上单调递减，则数列无最小值，不符合题意； 当时，即，，当时，，符合题意； 当时，即，二次函数开口向上，对称轴为直线， 易知函数在上单调递增，则，符合题意. 综上所述，公差d的取值范围为. 题型十三 数列中的存在性问题 54．（2023·24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，，取值见解析. 【详解】（1）由①，当时，，       当时，②， ①-②得，即， 所以，所以， 当时，，上式也成立， 所以数列为常数列，，                    所以. （2）由，， 则， 所以的前项和为 . （3）由（1）知. 要使成等差数列，则， 即，整理得， 因为，为正整数，所以只能取2，3，5. 当时，； 当时，； 当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将分裂为，然后根据裂项相消法即可得解. 55．（2024·25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得：，， 于是有， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 因此，. 假设存在正整数m，n，使得成等差数列， 则， 即，整理得， 显然是50的正约数，又，则或25，50. 当时，即时，与矛盾， 当时，即时，，符合题意， 当时，即时，无解 所以存在正整数使得成等差数列，此时. 56．（2023·24高二下·北京怀柔·期中）在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【详解】（1）因为，且， 所以，. （2）假设数列为等差数列， 因为，所以， 当，得到为常数， 故存在实数，使得数列为等差数列，. 57．（2024·25高三上·江苏无锡·期中）在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求和的值; ②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)①，；②. 【详解】（1）由题意知，， 当时， ，而也满足上式，. （2）①， 令， 当时，，此时， 当时，， 此时. ②，记从第2项到第项的和为， ， ， 上述两式作差得 ， ， 当时，； 当时， ， 也满足上式，， ， ，当时，左边，舍去， 当时，经检验符合； 当时，左边恒，无解， 综上:. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得，再计算得. $$