课时62 计数原理、排列与组合-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

[必修第一册＋选择性必修第一册] 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时冲关６２　计数原理、排列与组合 学生用书　P３５８ [基础训练组] １．(２０２５􀅰全国模拟)高中数学新教材有必修一和 必修二,选择性必修有一、二、三共５本书,把这 ５本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不 相邻的排列方法种数是 (　　) A．７２　　　B．１４４　　　C．４８　　　D．３６ 解析:A　[先将选择性必修一、二、三这三本书 排成一排,有 A３３＝６种方法, 再将必修一、必修二这两本书插入两个空隙中, 有 A２４＝１２种方法, 所以把这５本书放在书架上排成一排,必修一、 必修二不相邻的排列方法种数是６×１２＝７２．] ２．(２０２５􀅰海南省直辖县级单位模拟)小明将１,４, ０,３,２,２这六个数字的一种排列设为自己的六 位数字的银行卡密码,若两个２不相邻,且１与 ４相邻,则可以设置的密码种数为 (　　 ) A．１４４　　　B．７２　　　C．３６　　　D．２４ 解析:B　[由题意知可将１,４当成一个整体来 计算,和０,３总计有 A３３ 种排法, 再根据插空法可得总排法有 A３３􀅰A２２􀅰C２４＝３× ２×２×４×３÷２＝７２．] ３．(２０２５􀅰江西新余模拟预测)三名篮球运动员 甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己),由丙 开始传,经过５次传递后,球又被传回给丙,则 不同的传球方式共有 (　　 ) A．６种 B．１０种 C．１１种 D．１２种 解析:B　[设在第n(n≥２)次传球后有an 种情 况球在丙手中,即经过n 次传球后球又被传回 给丙, 在前n次传球中,每次传球都有２种可能,故在 前n次传球中共有２n 种传球方法,故在第n次 传球后,球不在丙手中的情况有(２n－an)(种), 即球在甲或乙手中,只有在这 些 情 况 时,在 第 n＋１次传球后,球才会被传回给丙,即an＋１＝ ２n－an,由题意可得a２＝２,则a３＝２２－a２＝２, a４＝２３－a３＝６,a５＝２４－a４＝１６－６＝１０．] ４．(２０２５􀅰合肥模拟)中国 空间站的主体结构包括 天和核心舱、问天实验 舱和梦天实验舱．假设 中国空间站要安排甲, 乙,丙,丁,戊５名航天员开展实验,其中天和核 心舱安排３人,问天实验舱与梦天实验舱各安 排１人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实 验,则不同的安排方案共有 (　　) A．８种 B．１４种 C．２０种 D．１１６种 解析:B　[按照甲是否在天和核心舱划分, ①若甲在天和核心舱,天和核心舱需要从除了 甲乙之外的三人中选取两人,剩下两人去剩下 两个舱位,则有C２３􀅰A２２＝３×２＝６种可能;②若 甲不在天和核心舱,需要从问天实验舱和梦天 实验舱中挑选一个,剩下四人中选取三人进入 天和核心舱即可,则有 C１２􀅰C１４＝２×４＝８种可 能;根据分类加法计数原理,共有６＋８＝１４种 可能．] ５．(２０２５􀅰江西高三模拟)２０２５年４月１５日,是第 十个全民国家安全教育日,教育厅组织宣讲团 到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣 讲,时间顺序要求是:高校甲必须排在第二或第 三个,且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣 讲,高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻,则不 同的宣讲顺序共有 (　　) A．２８种 B．３２种 C．３６种 D．４４种 解析:B　[根据题意:分成以下两种情况进行分 类讨论: 高校甲排在第二个时,高校丁必排在第三个,当 乙或丙排在第一个时共有C１２A３３＝１２种排法,当 乙或丙不排在第一个时,乙和丙只能排在第四 个和第六个,此时共有 A２２A２２＝４种排法,所以高 校甲排在第二个时共有１６种排法; 高校甲排在第三个时,高校丁必排在第四个,乙 或丙只能一个排在第一二个,一个排在第五六 个,则共有C１２C１２C１２A２２＝１６种排法; 综上:共有３２种排法满足题意．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１６􀅰 高考总复习　数学(BS) ６．(多选)(２０２５􀅰沈阳模拟)在新高考方案中,选 择性考试科目有:物理、化学、生物、政治、历史、 地理６门．学生根据高校的要求,结合自身特长 兴趣,首先在物理、历史２门科目中选择１门, 再从政治、地理、化学、生物４门科目中选择２ 门,考试成绩计入考生总分,作为统一高考招生 录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政 治、历史、地理这６门课程中选三门作为选考科 目,下列说法正确的是 (　　) A．若任意选科,选法总数为C２４ B．若化学必选,选法总数为C１２C１３ C．若 政 治 和 地 理 至 少 选 一 门,选 法 总 数 为C１２C１２C１３ D．若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总 数为C１２C１２＋１ 解析:BD　[若任意选科,选法总数为 C１２C２４,A 错误;若化学必选,选法总数为 C１２C１３,B正确;若 政治和地理至少选一门,选法总数为 C１２(C１２C１２ ＋１),C错误;若物理必选,化学、生物至少选一 门,选法总数为C１２C１２＋１,D正确．] ７．(多选)定义“圆排列”:从n个不同元素中选m 个元素围成一个圆形,称为圆排列,所有圆排列 的方法数计为 Hmn ．圆排列是排列的一种,区别 于通常的“直线排列”,既无“头”也无“尾”,所以 Hmn ＝ Amn m ． 现有２个女生４个男生共６名同学围 坐成一圈,做击鼓传花的游戏,则 (　　 ) A．共有 H６６ 种排法 B．若两名女生相邻,则有２H５５ 种排法 C．若两名女生不相邻,共有４H４４ 种排法 D．若男生甲位置固定,则有５H５５ 种排法 解析:ABD　[对于 A,现有２个女生４个男生 共６名同学围坐成一圈,共有 A６６ ６ ＝H ６ ６ 种排法, A 选项正确; 对于B,若两名女生相邻,则有 A２２A５５ ５ ＝２H ５ ５ 种排 法,B选项正确; 对于C,若两名女生不相邻,共有 A４４A２４ ４ ＝１２H ４ ４ 种排法,C选项错误; 对于 D,若男生甲位置固定,考虑以甲为基准的 顺逆 时 针 排 列,则 有 A５５ ＝５H５５ 种 排 法,D 选 项正确．] ８．某市安排A,B,C,D,E,F 六名党员志愿者到三 个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动,每 个社区至少安排一人,至多安排三人,且 A,B 两人安排在同一个社区,C,D 两人不安排在同 一个社区,则不同的分配方法总数为　　　　． 解析:第一种分配方式为每 个 社 区 各 两 人,则 CE 一组,DF 一组,或CF 一组,DE 一组,有２ 种分组方式,三组人分配到三个社区进行排列, 则分配方式共有２A３３＝１２(种); 第二种分配方式为一个社区１人,一个社区２ 人,一个社区３人, 当AB 两人一组去一个社区,则剩下的４人,１ 人为一组,３人为一组,则必有C 或D 为一组, 有C１２C３３ 种分配方法,将三个社区,三组人,进行 排列,有C１２C３３A３３＝１２(种)分配方法; 当AB 加上另一人三人去一个社区,若选择的 是C 或D,则有 C１２ 种选择,再将剩余３人分为 两组,有 C１３C２２ 种 分 配 方 法,将 三 个 社 区,三 组 人,进行排列,有C１２C１３C２２A３３＝３６(种)分配方法; 若选择的不是C 或D,即从E 或F 中选择１人 和AB 一起,有C１２(种)分配方法,再将CD 和剩 余的１人共３人分为两组,有２种分配方法,将 三个 社 区,三 组 人,进 行 排 列,有 ２C１２A３３ ＝２４ (种)分配方法．综上共有１２＋１２＋３６＋２４＝８４ (种)不同的分配方式． 答案:８４ ９．泉州洛阳桥,原名万安 桥,桥 长 ８３４ 米,宽 ７ 米,４６个桥墩,４７个桥 孔,全都是由花岗岩筑 成,素有“海内第一桥” 之誉,是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太 守蔡襄(今莆田市仙游县人,北宋名臣,书法家、 文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建 成,至今已有九百多年历史．现有一场划船比 赛,选取相邻的１２个桥孔作为比赛道口,有４ 艘参赛船只将从一字排开的１２个桥孔划过,若 为安全起见相邻两艘船都必须至少留有１个空 桥孔间隔划过,１２个桥孔头尾两侧桥孔也不过 船,所有的船都必须从不同的桥孔划过,每个桥 孔都只允许１艘船划过,则４艘船通过桥孔的 不同方法共有　　　　种(用数字作答)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　主题四　第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 解析:依题意相当于将８个相同的小球,放入５ 个盒子中,且每个盒子不空,则在８个小球中的 ７个空档插入４个板,分为５堆,则有 C４７＝３５ (种)分法,即通过的桥孔组合有３５种,再对４ 艘参赛船全排列有 A４４＝２４(种)排法,故共有 C４７A４４＝３５×２４＝８４０(种)方法． 答案:８４０ １０．有４个不同的球,四个不同的盒子,把球全部 放入盒内． (１)共有多少种放法? (２)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (３)恰有一个盒内放２个球,有多少种放法? (４)恰有两个盒子不放球,有多少种放法? 解:(１)一个球一个球的放到盒子里去,每只球都 有４种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法 共有４４＝２５６(种)． (２)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个 盒子中任意拿出去１个,即将４个球分成２,１, １的三组,有 C２４ 种分法;然后再从三个盒子中 选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,全排 列即 可．由 分 步 乘 法 计 数 原 理 知,共 有 放 法 C１４C２４C１３A２２＝１４４(种)． (３)“恰有一个盒子内放２个球”,即另外的三 个盒子放２个球,每个盒子至多放１个球,即另 外三个盒子中恰有一个空盒．因此,“恰有一个盒 子放２球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故 也有１４４种放法． (４)先从四个盒子中任取两个有 C２４ 种,问题转 化为“４个球,两个盒子,每盒必放球,有几种放 法?”从放球数目看,可分为(３,１),(２,２)两类． 第一类:可从４个球中先选３个,然后放入指 定的一个盒子中即可,有 C３４􀅰C１２ 种放法;第二 类:有 C２４ 种 放 法．因 此 共 有 C３４C１２ ＋C２４ ＝１４ (种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子 不放球”的放法有C２４􀅰１４＝８４(种)． [能力提升组] １１．(２０２５􀅰江苏扬中市模拟)为落实立德树人的 根本任务,践行五育并举,某学校开设A,B,C 三门德育校本课程,现有甲、乙、丙、丁、戊五位 同学参加校本课程的学习,每位同学仅报一 门,每门至少有一位同学参加,则不同的报名 方法有 (　　) A．５４种 B．２４０种 C．１５０种 D．６０种 解析:C　[根据题意,甲、乙、丙、丁、戊五位同 学选A,B,C 三门德育校本课程, 每位同学仅报一门,每门至少 有 一 位 同 学 参 加,需要分三组,有两类情况, ①三 组 人 数 为 １、１、３,此 时 有 C１５C１４C３３ A２２ 􀅰A３３ ＝６０(种); ②三组人数为２、２、１,此时有 C２５C２３C１１ A２２ 􀅰A３３＝ ９０(种)．所以共有６０＋９０＝１５０(种)．] １２．(多选)(２０２５􀅰福建三明模拟)某单位从６男４ 女共１０名员工中,选出３男２女共５名员工, 安排在周一到周五的５个夜晚值班,每名员工 值一个夜班且不重复值班,其中女员工甲不能 安排在星期一、星期二值班,男员工乙不能安 排在星期二值班,其中男员工丙必须被选且必 须安排在星期五值班,则 (　　) A．甲乙都不选的方案共有４３２种 B．选甲不选乙的方案共有２１６种 C．甲乙都选的方案共有９６种 D．这个单位安排夜晚值班的方案共有１４４０种 解析:ABC　[男员工丙必须被选且必须安排 在星期五值班,则原题可理解为从５男４女共 ９名员工中,选出２男２女共４名员工,安排在 周一到周四的４个夜晚值班,每名员工值一个 夜班且不重复值班,其中女员工甲不能安排在 星期一、星期二值班,男员工乙不能安排在星 期二值班, 甲乙都不选的方案共有 C２４C２３A４４＝４３２(种),A 正确;选甲不选乙的方案共有 C１２C２４C１３A３３＝２１６ (种),B正确;甲、乙都选,则分两种情况:乙排 星期一或乙不排星期一, 乙排星期一的方案共有 C１２C１４C１３A２２＝４８(种), 乙不排星期一的方案共有A２２C１４C１３A２２＝４８(种), ∴甲、乙都选的方案共有４８＋４８＝９６(种),C 正确;这个单位安排夜晚值班分为四种情况: 甲、乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲、 乙都选,选乙不选甲的方案共有 C１３C１４C２４A３３＝ ４３２(种),∴这个单位安排夜晚值班的方案共 有４３２＋２１６＋４３２＋９６＝１１７６(种),D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１６􀅰 高考总复习　数学(BS) １３．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A, B,C,D,E 五家医院进行核酸检测指导,每名 专家只能选择一家医院,且允许多人选择同一 家医院,则 (　　) A．所有可能的安排方法有１２５种 B．若A 医院必须有专家去,则不同的安排方 法有６１种 C．若专家甲必须去A 医院,则不同的安排方 法有１６种 D．若三名专家所选医院各不相同,则不同的安 排方法有１０种 解析:AB　[对于 A,每名专家有５种选择方 法,则所有可能的安排方法有５３＝１２５(种),A 正确;对于B,由选项 A 知,所有可能的方法有 ５３ 种,A 医院没有专家去的方法有４３ 种,所以 A 医 院 必 须 有 专 家 去 的 不 同 的 安 排 方 法 有 ５３－４３＝６１(种),B正确;对于 C,专家甲必须 去A 医院,则专家乙、丙的安排方法有５２＝ ２５(种),C错误;对于 D,三名专家所选医院各 不相同的安排方法有 A３５＝６０(种),D错误．] １４．(２０２５􀅰长春市模拟)某班主任准备请２０２４届 毕业生做报告,要从甲、乙等８人中选４人发 言,要求甲、乙两人至少一人参加,若甲乙同时 参加,则他们发言中间需恰隔一人,那么不同 的发言顺序共有　　　种(用数字作答)． 解析:根据题意,分２种情况讨论:①若甲、乙 同时参加,先在其他６人中选出２人,有 C２６ 种 选法,选出２人进行全排列,有 A２２ 种不同顺 序,甲、乙２人进行全排列,有 A２２ 种不同顺序, 甲、乙与选出的２人发言,甲、乙发言中间需恰 隔一人,有２种情况,此时共有２C２６A２２A２２＝１２０ (种)不同顺序;②若甲、乙有一人参加,在甲、 乙中选１人,有C１２ 种选法,在其他６人中选出 ３人,有 C３６ 种选法,选出４人进行全排列,有 A４４ 种不同情况,此时共有 C１２C３６A４４＝９６０(种), 从而总共的发言顺序有１０８０种不同顺序． 答案:１０８０ １５．(２０２５􀅰上海模拟)某医药研究所将在７天时 间内检测３种不同抗生素类药品、３种不同抗 过敏类药品、１种降压类药品．若每天只能检测 １种药品,且降压类药不在第１天或第７天检 测,３种不同抗生素类药品中恰有２种在相邻 两天被检测,则不同的检验时间安排方案的个 数为　　　　． 解析:根据题意,先计算３种不同抗生素类药 品中恰有２种相邻两天被检测的种数,可分三 步分析:先将３种不同抗过敏类药品和１种降 压类药品进行全排列,有 A４４＝２４种情况,其排 好后有５个空位可选,再从３种不同抗生素类 药品任 选 ２ 种,安 排 在 相 邻 的 ２ 天 检 测,有 C２３A２２＝６种,最后和另外１种抗生素类药品, 安排在４个空位中,有 A２５＝２０种排法, 此时,共有２４×６×２０＝２８００种不同的排法, 其中１种降压类药品安排在第１天或第７天 的检测,有２C２３A２２A３３A２４＝８６４,综上可得,共有 ２８８０－８６４＝２０１６种不同的排法． 答案:２０１６ １６．如图是某城区的街道平面网格,它由２４个全 等的小正方形构成,每个小正方形的边界都是 能通行的街道道路,而小正方形的内部都有楼 房建筑(不能跨越通行)．小张家居住在街道网 格的M 处,她的工作单位在街道网格的N 处, 每天早上她从家出发,沿着街道道路去单位上 班,若她要选择最短路径前往,则小张上班一 共有　　　种走法;若小张某天早上从家出发 前往单位上班,途中要先到达街道 P 处吃早 餐,吃完早餐再前往单位,则她一共有　　　 种最短路径的走法． 解析:小张从 M 处出发选择最短路径前往N 处,需要向右走６条街道和向上走４条街道, 共走１０条街道． 所以从 M 处出发选择最短路径到达N 处一共 有C６１０C４４＝２１０种走法; 同理,从 M 处到达P 处有 C４６C２２＝１５种走法, 从P 处到达N 处有 C２４C２２＝６种走法,所以根 据分步乘法计数原理,小张每天早上上班途经 街道P 处的最短路径走法有１５×６＝９０种． 答案:２１０　９０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１６􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　主题四　第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列