课时45 空间直角坐标系、空间向量及其运算-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关４５　空间直角坐标系、空间向量及其运算 学生用书　P３１８ [基础训练组] １．(２０２５􀅰成都市模拟)已知{a,b,c}是空间一个 基,p＝a＋b,q＝a－b,一定可以与向量p,q构 成空间另一个基的是 (　　) A．a B．b C．c D．１３p－２q 解析:C　[由题意和空间向量的共面定理,结合 向量p＋q＝(a＋b)＋(a－b)＝２a,得a与p,q 是共面向量,同理b与p,q是共面向量,所以a 与b 不能与p、q构成空间的一个基; 又c与a 和b 不共面, 所以c与p、q构成空间的一个基．] ２．(２０２５􀅰四川南充模拟)已知向量a＝(１,０,１), b＝(２,０,－２),若(ka＋b)􀅰(a＋kb)＝２,则k 的值为 (　　) A．１ B．３５ C．２５ D． １ ５ 解析:D　[由已知得|a|＝ ２,|b|＝２ ２,且a􀅰 b＝０,所以(ka＋b)􀅰(a＋kb)＝２,得k|a|２＋ k|b|２＋(k２＋１)a􀅰b＝２,即２k＋８k＝２,解得k ＝１５． ] ３．(２０２５􀅰重庆南开中学高一 期末)如 图,在 斜 三 棱 柱 ABCＧA１B１C１ 中,M 为BC 的中点,N 为A１C１ 靠近A１ 的三等分点,设AB → ＝a,AC → ＝b,AA１ → ＝c,则用a,b,c表 示NM → 为 (　　) A．１２a＋ １ ６b－c B．－ １ ２a＋ １ ６b＋c C．１２a－ １ ６b－c D．－ １ ２a－ １ ６b＋c 解析:A　[NM → ＝NC１ → ＋C１C → ＋CM → ＝２３b－c＋ １ ２ (a－b)＝１２a＋ １ ６b－c． ] ４．(２０２５􀅰福建龙岩模拟)已知正方体 ABCDＧ A１B１C１D１ 的棱长为１,点E 在线段CD１ 上,若 直线BE 与AD１ 所成角的余弦值为 ３ ２ ,则线段 BE 的长为 (　　 ) A．３ ２４ 　　　B． ６ ２　　　C． ３ ２　　　D．２ 解析:B　 [分 别 以 DA,DC,DD１ 为 x, y,z建立空间直角坐 标 系,A(１,０,０),B (１,１,０),D１(０,０,１), 设E(０,t,１－t), 则AD１ → ＝(－１,０,１), BE→＝(－１,t－１,１－t), ∵直线BE 与AD１ 所成角的余弦值为 ３ ２ , ∴ cos‹AD１ →,BE→›＝ |AD１ →􀅰BE→| 　　　　　　　　 　　　　　　　 　|AD１ → ||BE→| ＝ |１＋１－t| ２ １＋(t－１)２＋(１－t)２ ＝ ３２． 解得t＝１２ ,BE→＝ －１,－１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷, ∴|BE→|＝ １＋１４＋ １ ４＝ ６ ２． ] ５．(２０２５􀅰上海秋季高考卷)定义一个集合 Ω,集 合中的元素是空间内的点集,任取P１,P２,P３∈ Ω,存在不全为０的实数λ１,λ２,λ３,使得λ１OP１ → ＋λ２OP２ → ＋λ３OP３ → ＝０．已知(１,０,０)∈Ω,则(０, ０,１)∉Ω的充分条件是 (　　 ) A．(０,０,０)∈Ω B．(－１,０,０)∈Ω C．(０,１,０)∈Ω D．(０,０,－１)∈Ω 解析:C　[由题意知这三个向量OP１ →,OP２ →,OP３ → 共面,即这三个向量不能构成空间的一个基, 对 A,由空间直角坐标系易知(０,０,０),(１,０, ０),(０,０,１)三个向量共面,则当(０,０,０),(１,０, ０)∈Ω无法推出(０,０,１)∉Ω,故 A 错误; 对B,由空间直角坐标系易知(－１,０,０),(１,０, ０),(０,０,１)三个向量共面,则当(－１,０,０),(１, ０,０)∈Ω无法推出(０,０,１)∉Ω,故B错误; 对C,由空间直角坐标系易知(１,０,０),(０,０, １),(０,１,０)三个向量不共面,可构成空间的一 个基,则由(１,０,０),(０,１,０)∈Ω 能推出(０,０, １)∉Ω, 对 D,由空间直角坐标系易知(１,０,０),(０,０, １),(０,０,－１)三个向量共面,则当(０,０,－１) (１,０,０)∈Ω 无 法 推 出 (０,０,１)∉Ω,故 D 错误．] ６．(多选)如图,在平行六面体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,以顶点A 为端点的三条棱长都是１,且它们 彼此的夹角都是６０°,M 为A１C１ 与B１D１ 的交 点,若AB → ＝a,AD → ＝b,AA１ → ＝c,则下列正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 A．BM → ＝１２a－ １ ２b＋c B．AC１ → ＝a＋b＋c C．AC１ 的长为 ５ D．cos‹AB →,AC１ →›＝ ６３ 解析:BD　[根据题意,依次分析选项:对于 A 选项,BM → ＝BB１ → ＋B１M → ＝AA１ → ＋１２ (BA → ＋BC →) ＝１２b－ １ ２a＋c ,A 错误;对于B选项,AC１ → ＝AB → ＋AD → ＋CC１ → ＝a＋b＋c,B 正确;对于 C 选项, AC１ → ＝a＋b＋c,则|AC１ → |２＝(a＋b＋c)２＝a２＋ b２＋c２＋２a􀅰b＋２a􀅰c＋２b􀅰c＝６,则|AC１ → | ＝ ６,C错误;对于AB →􀅰AC１ → ＝a􀅰(a＋b＋c) ＝a２＋a􀅰b＋a􀅰c＝２,则cos‹AB →,AC１ →› ＝ AB →􀅰AC１ → 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　|AB → |􀅰|AC１ → | ＝ ６３ ,D正确．] ７．(多选)已知空间向量a＝(２,－１,３),b＝(－４, ２,x),下列说法正确的是 (　　 ) A．若a⊥b,则x＝１０３ B．若３a＋b＝(２,－１,１０),则x＝１ C．若a在b上的投影向量为１３b ,则x＝４ D．若a与b夹角为锐角,则x∈ １０３ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 解析:ABD　[∵a⊥b,∴a􀅰b＝０, 即a􀅰b＝(２,－１,３)􀅰(－４,２,x)＝－８－２＋ ３x＝０,解得x＝１０３． 故 A 选项正确; ∵３a＋b＝(２,－１,１０), ∴３a＋b＝３(２,－１,３)＋(－４,２,x) ＝(２,－１,９＋x)＝(２,－１,１０), ∴９＋x＝１０,解得x＝１．故B选项正确; a在b 上的投影向量为a 􀅰b |b| 􀅰 b |b| , 即a􀅰b |b| 􀅰 b |b|＝ １ ３b ,代入坐标化简可得:x２－ ９x＋５０＝０,x无解,故C选项错误; ∵a与b 夹角为锐角, ∴a􀅰b＝－１０＋３x＞０,解得x＞１０３ , 且a与b 不共线,即－４２ ≠ x ３ ,２ －１≠ x ３ , 解得x≠－６,所以a与b 夹角为锐角时,解得x ＞１０３． 故 D选项正确．] ８．(２０２５􀅰包头市模拟)如图 所示,PD 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所在平面,AB＝２, E 为PB 的中点,cos‹DP →, AE →›＝ ３３ ,若以 DA,DC, DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为　　　　． 解析:由已知得D(０,０,０),A(２,０,０),B(２,２,０), 设P(０,０,a)(a＞０),则 E １,１,a２ æ è ç ö ø ÷,所以DP → ＝(０,０,a), AE → ＝ －１,１,a２ æ è ç ö ø ÷,|DP → |＝a, |AE → |＝ (－１)２＋１２＋ a２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２＋a ２ ４＝ ８＋a２ ２ ． 又cos‹DP →,AE →›＝ ３３ , 所以 ０􀅰(－１)＋０􀅰１＋a ２ ２ a􀅰 ８＋a ２ ２ ＝ ３３ , 解得a２＝４,即a＝２,所以E(１,１,１)． 答案:(１,１,１) ９．(２０２５􀅰浙江嘉兴模拟)如 图,在 三 棱 锥 PＧABC 中, AB⊥BC,PA⊥平面ABC, AE⊥PB 于点E,M 是AC 的中 点,PB＝１,则EP → 􀅰 EM → 的最小值为　　　　． 解析:连接EC,如图, 因 PA⊥ 平 面 ABC,BC⊂ 平面ABC,则 PA⊥BC,而 AB⊥BC,PA∩AB＝A, PA,AB⊂平面PAB, 则BC⊥平面 PAB,又 PB ⊂ 平 面 PAB,即 有 BC ⊥PB, 因 M 是AC 的中点,则EM → ＝１２ (EA → ＋EC →) ＝１２EA → ＋１２ (EB → ＋BC →),又AE⊥PB, EP →􀅰EM → ＝EP →􀅰 １ ２EA → ＋１２ (EB → ＋BC →)[ ] ＝１２EP →􀅰EA → ＋１２EP →􀅰EB → ＋１２EP →􀅰BC → ＝１２EP →􀅰EB → ＝－１２|EP → ||EB → | ≥－１２ |EP → |＋|EB → | ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝－１８ , 当且仅当|EP → |＝|EB → |＝１２ 取“＝”, 所以EP →􀅰EM → 的最小值为－１８． 答案:－１８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３５􀅰 高考总复习　数学(BS) １０．(２０２５􀅰遵义市调研)在棱长为２的正四面体 ABCD 中,点 M 满足AM → ＝xAB → ＋yAC → － (x＋y－１)AD →,点 N 满足BN → ＝λBA → ＋(１－λ) BC →,则点M 与平面BCD 的位置关系是　　　; 当|AM → |最 小 且|BN → |最 小 时,AM → 􀅰MN → ＝　　　　． 解析:由四点共面定理及三点共线定理可知: ∵x＋y＋(－x－y＋１)＝１,λ＋(１－λ)＝１, ∴M∈平面BCD,N∈直线AC, 当|AM → |最 小 且 BN → 最 小 时,则 M 是 等 边 △BCD 的中心,N 是AC 边中点． 所以BM＝２３× ３ ２×２＝ ２ ３ ３ , AM＝ AB２－BM２＝ ２２－ ２ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２ ６３ , 又因为 N 是AC 边中点, 所以MN → ＝１２ (MA → ＋MC →), 故|AM → |􀅰|MN → |＝AM →􀅰MN → ＝１２ (MA → ＋ MC →)􀅰AM → ＝１２ (MA →􀅰AM → ＋MC →􀅰AM →) ＝－１２AM →２ ＝－１２× ２ ６ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝－４３． 答案:M∈平面BCD　－４３ [能力提升组] １１．(多选)(２０２５􀅰全国模拟)在所有棱长都相等 的正三棱柱中,点A 是三棱柱的顶点,M,N、Q 是所在棱的中点,则下列选项中直线AQ 与直 线MN 垂直的是 (　　) 解析:AC　[所 有 棱 长 都相 等 的 正 三 棱 柱 中, 点A 是三棱柱的顶点, M,N、Q 是所在棱的中 点,故可设棱长为２,在 正三棱柱中建立如图所 示的空间直角坐标系: 对于 A,A(３,０,０),Q(０,０,０),M(０,１,１), N(０,０,２), 故AQ → ＝(－ ３,０,０),MN → ＝(０,－１,１), 则AQ →􀅰MN → ＝(－ ３,０,０)􀅰(０,－１,１)＝０,故 AQ → ⊥MN →,即AQ⊥MN,故 A 正确; 对于B,A(０,１,０),Q ３ ２ ,－１２ ,２ æ è ç ö ø ÷, M ３ ２ ,－１２ ,０ æ è ç ö ø ÷,N ３ ２ ,１ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷, 故AQ → ＝ ３ ２ ,－３２ ,２ æ è ç ö ø ÷,MN → ＝(０,１,０), 则AQ → 􀅰MN → ＝ ３ ２ ,－３２ ,２ æ è ç ö ø ÷ 􀅰 (０,１,０)＝ －３２ ,故AQ,MN 不垂直,故B不正确; 对于C,A(３,０,０),Q(０,１,１), M(０,－１,１),N ３ ２ ,－１２ ,２ æ è ç ö ø ÷, 故AQ → ＝(－ ３,１,１),MN → ＝ ３ ２ ,１ ２ ,１ æ è ç ö ø ÷, 则AQ →􀅰MN → ＝(－ ３,１,１)􀅰 ３ ２ ,１ ２ ,１ æ è ç ö ø ÷＝０, 故AQ → ⊥MN →,即AQ⊥MN,故C正确; 对于 D,A(０,１,０),Q ３ ２ ,－１２ ,２ æ è ç ö ø ÷, M ３ ２ ,－１２ ,０ æ è ç ö ø ÷,N(０,－１,１), 故AQ → ＝ ３ ２ ,－３２ ,２ æ è ç ö ø ÷,MN → ＝ － ３２ ,－１２ ,１ æ è ç ö ø ÷, 则AQ →􀅰MN → ＝ ３ ２ ,－３２ ,２ æ è ç ö ø ÷ 􀅰 －３２ ,－１２ ,１ æ è ç ö ø ÷＝２, 故AQ,MN 不垂直,故 D不正确．] １２．(多选)(２０２５􀅰河北模拟预测)已知正方体 ABCDＧA１B１C１D１,P 为AA１ 中点,Q 为BC 中 点,则 (　　 ) A．直线PD 与直线QB１ 平行 B．直线PC１ 与直线QD１ 垂直 C．直线PQ 与直线A１B 相交 D．直线PQ 与直线DB１ 异面 解析:BD　[根据题意,设正方体的棱长为２, 以D 为坐标原点,如图建立坐标系, 则A(２,０,０),B(２,２,０),C(０,２,０),A１(２,０,２), B１(２,２,２),C１(０,２,２),D１(０,０,２),P(２,０,１), Q(１,２,０), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 对于 A,DP→＝(２,０,１),QB１ → ＝(１,０,２),由于 DP→＝kQB１ → 对于任意的k都不会成立,则DP→ 与QB１ → 不平行,则直线PD 与直线QB１ → 不平行, A 错误; 对于B,PC１ → ＝(－２,２,１),QD１ → ＝(－１,－２,２),则 有PC１ →􀅰QD１ → ＝２－４＋２＝０,则PC１ → ⊥QD１ →,即 直线PC１ 与直线QD１ 垂直,B正确; 对于 C,直 线 PQ 与PB 相 交,故 PQ⊂ 平 面 PBQ,直线A１B∩平面PBQ＝B,B∉PQ,所以 PQ 与直线A１B 是异面直线,C错误; 对于 D,PQ→＝(－１,２,－１),DB１ → ＝(２,２,２),显 然两直线不平行,假设直线PQ 与直线DB１ 相 交,则P,Q,D,B１ 在同一平面上,DP → ＝(２,０,１), 故存在实数x,y,使得PQ → ＝xDB１ → ＋yDP →,即 －１＝２x＋２y, ２＝２x, －１＝２x＋y, { 则x,y无解,故PQ 与直线DB１ 既不相交也不平行,是异面直线,D正确．] １３．(２０２５􀅰 河南濮阳模 拟)如图所示,正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 的 棱长为４,MN 是它内 切球的一条弦(我们把 球面上任意两点之间 的线段称为球的弦), P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最 大时的PM → 􀅰PN → 取值范围是　　　　． 解析:当弦 MN 的长 度 最 大 时,弦 过 球 心 O,如图,建立空间直角 坐标系,不妨设 M,N 是上下底面的中心, 则 M(２,２,４),N(２, ２,０),P(x,y,z),PM → ＝(２－x,２－y,４－z),PN → ＝(２－x,２－y,－z),则 PM → 􀅰PN → ＝(２－x)２＋(２－y)２－z(４－z)＝ (x－２)２＋(y－２)２＋(z－２)２－４,而(x－２)２ ＋(y－２)２＋(z－２)２ 表示点 P(x,y,z)和定 点(２,２,２)距离的平方,很显然正方体的顶点 到定 点(２,２,２)距 离 的 平 方 最 大,最 大 值 是 １ ２ ４ ２＋４２＋４２æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１２,正方体面的中心到定 点的距离的平方最小,最小值是４,所以PM → 􀅰 PN → 的最小值是４－４＝０,最大值是１２－４＝８． 答案:[０,８] １４．如图,已知斜三棱柱ABCＧ A１B１C１ 中,∠BAC＝９０°, ∠BAA１＝１２０°,∠CAA１＝ ６０°,AB＝AC＝１,AA１＝２, 点 O 是 B１C 与 BC１ 的 交点． (１)用向量AB→,AC→,AA１ → 表示向量AO→; (２)求异面直线AO 与BC 夹角的余弦值; (３)判定平面 ABC 与平面B１BCC１ 的位置 关系． 解:(１)AO → ＝AB → ＋BO → ＝AB → ＋１２ (BC → ＋BB１ →) ＝AB → ＋１２ (AC → －AB → ＋AA１ →) ＝１２ (AB → ＋AC → ＋AA１ →)． (２)设AB → ＝a,AC → ＝b,AA１ → ＝c,则 |AO → |２＝ １２ (a＋b＋c)[ ] ２ ＝１４ (a２＋b２＋c２＋２a􀅰b＋２b􀅰c＋２a􀅰c) ＝１４× (１＋１＋４＋０＋２×１×２cos６０°＋２×１× ２cos１２０°)＝３２ , ∴|AO → |＝ ６２． 又BC → ＝b－a, ∴AO →􀅰BC → ＝１２ (a＋b＋c)􀅰(b－a)＝１, |BC → |＝ ２, ∴cos‹AO →,BC →›＝ AO →􀅰BC → 　　　　　　　 　　　　　　 　 |AO → ||BC → | ＝ ３３ , ∴异面直线AO 与BC 夹角的余弦值为 ３３． (３)如图,取BC 的中点E,连接AE, 则AE → ＝１２ (AB → ＋AC →)＝１２ (a＋b)． ∵AB＝AC,E 为BC 的中点, ∴AE⊥BC． 又AE →􀅰BB１ → ＝１２ (a＋b)􀅰 c＝１２× (１×２cos１２０°＋ １×２cos６０°)＝０, ∴AE⊥BB１． ∵BC∩BB１＝B,BC,BB１⊂平面B１BCC１, ∴AE⊥平面B１BCC１． 又AE⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面B１BCC１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３５􀅰 高考总复习　数学(BS)