课时43 平行关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关４３　平行关系 学生用书　P３１４ [基础训练组] １．(２０２５􀅰浙江海宁中学模拟)已知a,b,c是不全 平行的直线,α,β,γ是不同的平面,则下列能够 得到α∥β的是 (　　) A．α⊥γ,β⊥γ B．a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β C．a⊂α,b⊂α,c⊂α,a∥β,b∥β,c∥β D．b∥α,b∥β 解析:C　[对于 A,由垂直于同一平面的两个平 面可以平行或相交可知,选项 A 错误;对于 B, 由平面与平面平行的判定定理可知,若a∥b,则 结论不成立,所以选项 B错误;对于 C,因为a, b,c是不全平行的共面直线,即至少两条相交, 所以a⊂α,b⊂α,c⊂α,a∥β,b∥β,c∥β成立．故 选项C正确;对于 D,由平行于同一直线的两个 平面平行或相交可知,选项 D错误．] ２．(２０２５􀅰 全 国 模 拟)如 图,正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E、F 分别为棱A１A、BC 上的点, 在平面ADD１A１ 内且与平面DEF 平行的直线 (　　) A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在 解析:C　[设l⊂平面 ADD１A１,且l∥DE,又 DE⊂ 平 面 DEF,l⊂ 平 面 DEF,∴l∥ 平 面 DEF,显然满足要求的直线l有无数条．] ３．(２０２５􀅰合肥市模拟)若平面α截三棱锥所得截 面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行 的棱有 (　　) A．０条 B．１条 C．２条 D．１条或２条 解析:C　[如图所示,平面α即平面EFGH,则 四边形EFGH 为平行四边形,则EF∥GH． ∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD, ∴EF∥平面BCD． ∵EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD＝CD, ∴EF∥CD,又 EF⊂平面 EFGH,CD⊄ 平 面 EFGH,∴CD∥平面EFGH． 同理AB∥平面EFGH．所以与平面α平行的棱 有２条．] ４．(２０２５􀅰广东模拟)如图,已知P 为四边形ABCD 外一点,E,F分别为BD,PD上的点,若EF∥平面 PBC,则 (　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 解析:B　[如 图 分 别 在 边 CD,AD 上 取 点 G, H,使 DG ＝ DF,DH ＝DF, 所 以 FG∥PC,FH ∥ PA,又 EF∩FG＝F, EF∩FH＝F, 所以选项 A ,C,D不正确． 因为EF∥平面PBC,且平面PBD∩平面PBC ＝PB,EF⊂ 平 面 PBD,所 以 EF∥PB,故 B 正确．] ５．(２０２５􀅰四川成都高一期末)在底面为等边三角 形的三棱柱ABCＧA１B１C１ 中,已知AA１⊥平面 ABC,AB＝２,AA１＝４,D 是棱CC１ 的中点,M 是四边形ABB１A１ 内的动点,若 C１M∥平面 ABD,则线段C１M 长度的最小值为 (　　) A．２ ２　　　B．２　　　C．３　　　D．７ 解析:D　[取 线 段 AA１, BB１ 的中点为 E,F,连接 C１E,C１F,EF, 因 为 侧 面 ACC１A１ 为 矩 形,D 是棱CC１ 的中点, 所以C１E∥AD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 因为C１E⊄平面 ABD,AD⊂平面 ABD,所以 C１E∥平面ABD, 同理C１F∥平面 ABD,因为C１E∩C１F＝C１, C１E,C１F⊂ 平 面 C１EF,所 以 平 面 C１EF∥ 平 面ABD, 因为 M 是四边形ABB１A１ 内的动点,C１M∥平 面ABD,所以点 M 的轨迹是线段EF, 因为AB＝２,AA１＝４,所以C１E＝C１F＝２ ２, EF＝２,所 以 线 段 C１M 长 度 的 最 小 值 为 (２ ２)２－１＝ ７．] ６．(多选)以下命题中,正确的命题有 (　　) A．在平面α内有两条直线和平面β 平行,那么 这两个平面平行 B．在平面α内有无数条直线和平面β 平行,那 么这两个平面平行 C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一 侧且到平面β的距离相等且不为０,那么这 两个平面平行 D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且 不为０,那么这两个平面平行或相交 解析:CD　[如图１,作α,β交线的无数条平行 线,可知 A,B错误; 对C,由题意可知AB//β,BC//β,AB∩BC＝B, 由面面平行的 判 定 定 理 可 知α//β,C 正 确;对 D,假设α内有一个点位于点A 处,而其余点均 位于直线BC 上,则两个平面平行;如图２,α内 有一个点位于点A 处,而其余点均位于直线BC 上,可知两个平面相交,D正确．] ７．(多选)(２０２５􀅰云南昆明模拟)如图,在正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中, E,F,G 分别是棱BB１,B１C１,C１D１ 的中点,则 (　　) A．FG∥平面AED１ B．BC１∥平面AED１ C．点C１ 在平面AED１ 内 D．点F 在平面AED１ 内 解析:BD　 [连 接 EF, B１D１,在正方体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,AB ∥ C１D１ 且AB＝C１D１, 所以四边形 ABC１D１ 是 平行 四 边 形,所 以 AD１ ∥BC１,AD１⊂平面 AED１,BC１⊄平面 AED１, 所以BC１∥平面 AED１,又EF∥BC１,所以EF ∥AD１,所以E,F,D１,A 四点共面,即点F 在平 面AED１ 内,故B,D 正确;再连接FD１,显然G 不在平面AEFD１ 内,所以FG 与平面AED１ 不 平行,故 A 错误;由BC１∥平面 AED１,可知点 C１ 不在平面AED１ 内,故C错误．] ８．(２０２５􀅰陕西商洛模拟预测)如图,正三棱柱 ABCＧA１B１C１ 的底面边长是２,侧棱长是２ ３, M 为A１C１ 的中点,N 是侧面BCC１B１ 内的动 点,且MN∥平面ABC１,则点 N 的轨迹的长度 为　　　　． 解析:如图,取 B１C１ 的中点 D, 取 BB１ 的 中 点 E,连 接 MD, DE,ME,则DE∥BC１, 又DE⊄平面ABC１,BC１⊂平面 ABC１,所以DE∥平面ABC１, 又 M 为A１C１ 的中点, 所以 MD∥A１B１∥AB, 又 MD⊄平面ABC１,AB⊂平面ABC１, 所以 MD∥平面ABC１, 又DE∩MD＝D,DE⊂平面DEM,MD⊂平面 DEM,所以平面DEM∥平面ABC１, 又因为 N 是侧面BCC１B１ 上一点,且 MN∥平 面ABC１, 所以 N 的轨迹为线段DE,DE＝１２ ４＋１２＝２ , 所以点 N 的轨迹的长度为２． 答案:２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２５􀅰 高考总复习　数学(BS) ９．(２０２５􀅰全国模拟)如图,已 知 棱 长 为 １ 的 正 方 体 ABCDＧA１B１C１D１中,E,F, M 分 别 是 线 段 AB,AD, AA１的中点,又 P,Q 分别 在线 段 A１B１,A１D１ 上,且 A１P＝A１Q＝x(０＜x＜１)． 设平面 MEF∩平面 MPQ＝l,现有下列结论: ①l∥平面 ABCD;②l⊥AC;③直线l与平面 BCC１B１不垂直;④当x 变化时,l不是定直线． 其中成立的结论是　　　　(写出所有成立结 论的序号)． 解析:连接BD,B１D１, ∵A１P＝A１Q＝x, ∴PQ∥B１D１∥BD∥EF, 易证PQ∥平面 MEF, 又平面 MEF∩平面 MPQ ＝l,∴PQ∥l, 同理可证l∥EF, ∴l∥平面ABCD,故①成立; 又EF⊥AC,∴l⊥AC,故②成立; ∵l∥EF∥BD,而EF,BD 与平面BCC１B１不垂 直,∴直线l与平面BCC１B１不垂直,故③成立; 当x变化时,l是过点M 且与直线EF 平行的定 直线,故④不成立． 答案:①②③ １０．(２０２５􀅰四川乐山模拟)如 图,在 正 四 面 体 SＧABC中,AB＝４,E,F,R 分别是SB,SC,SA 的中点,取 SE,SF 的中点 M,N,Q 为平面 SBC 内一点． (１)求证:平面MNR∥平面AEF; (２)若RQ∥平面AEF,求线段RQ 的最小值． 解:(１)证明:因为R,M,N 分别是SA,SE,SF 的中点, 所以 MN ∥EF,MN ⊄ 平 面 AEF,EF⊂ 平 面AEF, 所以 MN∥平面AEF． 同理,MR∥平面AEF, 又因为 MR∩MN＝M, 所以平面 MNR∥平面AEF． (２)由(１)可得平面 MNR∥ 平 面 AEF,若 RQ ∥ 平 面 AEF,则点Q 在线段 MN 上 移动, 在△RMN 中,RM＝１２AE＝ ３,RN＝１２AF＝ ３ ,MN＝１,RQ 的最小值为 R 到线段MN 的距离, 因为△RMN 是等腰三角形,故RQ 的最小值 为 (３)２－ １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １１２ ． [能力提升组] １１．(２０２５􀅰江西模拟)下列四个正方体中,A,B,C 为所在棱的中点,D,E,F 为正方体的三个顶 点,则能得出平面ABC∥平面DEF 的是 (　　 ) A　　　　　　　　　B　　 C　　　　　　　　　D 解析:B　[对于 A 选项,若平面 ABC∥平面 DEF,BC⊂平面ABC,则BC∥平面DEF, 由图可知BC 与平面DEF 相交,故平面 ABC 与平面DEF 不平行,A 不满足条件; 对于B选项,如图所示,连接 NG, 因为A、C 分别为PN、PG 的中点, 则AC∥NG, 在正方体EHDGＧMFNP 中,FN∥EG 且FN ＝EG, 故四边形EFNG 为平行四边形, 所以 NG∥EF,所以AC∥EF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 因为AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF, 所以AC∥平面DEF, 同理可证BC∥平面DEF,因为AC∩BC＝C, 因此,平面ABC∥平面DEF,B满足条件; 对于C选项,如图所示: 在正方体PHDGＧMNFE 中,若平面ABC∥平 面DEF,且平面DEF∥平面 MNHP, 则平面ABC∥平面 MNHP,但这与平面ABC 与平面MNHP 相交矛盾, 因此,平面 ABC 与平面DEF 不平行,C 不满 足条件; 对于 D 选项,在正方体PDHGＧFNEM 中,连 接PH、PM、MH,如图所示: 因 为 DH ∥FM 且 DH ＝FM,则 四 边 形 DHMF 为平行四边形,则DF∥MH, 因为DF⊄平面PHM,MH⊂平面PHM, 所以DF∥平面PHM, 同理可证EF∥平面 PHM,因为 DF∩EF＝ F,所以平面DEF∥平面PHM, 若平面 ABC∥ 平面 DEF,则 平 面 ABC∥ 平 面PHM, 这与平面 ABC 与平面PHM 相交矛盾,故平 面ABC 与平面DEF 不平行,D不满足条件．] １２．(２０２５􀅰北京北师大实验 中学模拟)如图所示,记 几何体W 是棱长为１的 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 割去两个三 棱 锥 A１ＧAB１D１,C１Ｇ CB１D１ 后剩余的几何体．给出下列四个结论: ①几何体W 的体积为２３ ; ②几何体W 的表面积为２＋ ３; ③几何体W 的顶点均在某个球面上,则该球 的半径为 ３ ２ ; ④若几何体W 被与平面ABCD平行的平面α所 截的截面多边形的每条边长都相等,则平面α与 平面ABCD 的距离为 ２－１． 其中所有正确结论的序号是　　　　． 解析:依题意VA１ＧAB１D１＝VC１ＧCB１D１＝ １ ３× １ ２×１× １×１＝１６ ,所以VW ＝１３－２× １ ６＝ ２ ３ ,故①正确; SABCD＝１×１＝１,S△ABB１ ＝S△CBB１ ＝S△CDD１ ＝ S△ADD１＝ １ ２×１×１＝ １ ２ ,S△AD１B１＝S△CD１B１＝ １ ２× ２× ２×sin６０°＝ ３ ２ ,所以SW ＝１＋４× １ ２＋２× ３ ２＝３＋ ３ ,故②错误; 几何体W 的外接球即为正方体的外接球,正 方体的外接球的直径恰为体对角线, 所以该球的半径为R＝１２DB１＝ １ ２ １ ２＋１２＋１２ ＝ ３２ ,故③正确; 如 图,设 截 面α 为 平 面 EFGHIJ,依 题 意 平 面 EFGHIJ∥平面ABCD,所 以EF∥AB,GF∥B１D１, 所以 B１F AB１ ＝ B１E EB１ ＝EFAB 且 AF AB１ ＝ GFD１B１ ,所以B１F AB１ ＋AFAB１ ＝１, 又EF＝FG,即EFAB＋ GF D１B１ ＝１, 即EF １ ＋ EF ２ ＝１,解得EF＝ ２ ２＋１ ＝２－ ２, 所以B１E＝２－ ２,则BE＝１－(２－ ２)＝ ２－１, 故平面α与平面ABCD 的距离为 ２－１,即④ 正确． 答案:①③④ １３．(２０２５􀅰浙江宁波模拟)在棱长均相等的四面 体ABCD中,P为棱AD(不含端点)上的动点,过 点A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平 面ABD,平面ACD 的交线分别为m,n,则m,n 所成角的正弦值的最大值为　　　　． 解析:连接PB,PC,由题意知过点A 的平面α 与平面PBC 平行,平面α与平面ABD、平面 ACD 的交线分别为m,n 由于 平 面α∥ 平 面 PBC,平 面 PBC∩ 平 面 ABD＝PB, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２５􀅰 高考总复习　数学(BS) 平面PBC∩平面ACD＝PC, 所以m∥PB,n∥PC, 所以 ∠BPC 或 其 补 角 即 为 m,n 所 成 的 平 面角, 设正四棱锥ABCD的棱长为１,AP＝x(０＜x＜１), 则PD＝１－x, 在△ABP 中,由余弦定理得 BP＝ AB２＋AP２－２AB×APcos６０° ＝ １＋x２－２×１×x×１２＝ １＋x ２－x, 同理求得PC＝ １＋x２－x, 故在△PBC 中,cos∠BPC＝PB ２＋PC２－BC２ ２PB􀅰PC ＝２ (x２－x＋１)－１ ２(x２－x＋１) ＝１－１２× １ x２－x＋１ ＝１－ １ ２ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４ , 由于 x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４≥ ３ ４ ,则 １ ２ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４ ≤ ２ ３ ,进而１－ １ ２ x－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３４ ≥１３ , 当x＝１２ 时 取 等 号,故 cos∠BPC 的 最 小 值 为１ ３ , 进而sin∠BPC＝ １－cos２∠BPC≤２ ２３ , 故sin∠BPC 的最大值为２ ２３ ． 答案:２ ２ ３ １４．(２０２５􀅰山东模拟)如图, 在 四 棱 锥 EＧABCD 中, AB∥CD,CD＝４AB,点F 为棱CD 的中点,与E,F 相 异 的 动 点 P 在 棱 EF 上． (１)当 P 为 EF 的 中 点 时,证 明:PB ∥ 平 面ADE; (２)设平面EAD 与平面EBC 的交线为l,是否 存在点P 使得l∥平面PBD? 若存在,求EPPF 的值;若不存在,请说明理由． 解:(１)证明:如图,设点G 为棱ED 的中点,连 接AG,PG, ∴GP＝１２DF＝ １ ４DC ,GP∥DC, ∵AB∥CD,CD＝４AB,∴GP＝AB, GP∥AB, ∴四边形ABPG 为平行四边形,∴AG∥PB, 又PB⊄平面ADE,AG⊂平面ADE, ∴PB∥平面ADE． (２)如 图,延 长 DA, CB 相交于点H,连接 EH,则直线EH 为平 面EAD 与平面EBC 的交线,连接 HF,交 BD 于点I, 若EH∥平面 PBD,由线面平行的性质可知 EH∥PI, 设HI → ＝λHF →, ∵点F 为棱CD 的中点,AB∥CD,CD＝４AB, ∴HI → ＝λHF → ＝λ２HD → ＋λ２HC → ＝λ２HD → ＋２λHB →, ∵D,I,B 三点共线,∴λ２＋２λ＝１ ,即λ＝２５ , 所以当EP PF＝ ２ ３ 时,PF EF＝ FI FH＝ ３ ５ , ∴EH∥PI, 又EH⊄平面PBD,PI⊂平面PBD, ∴EH∥平面PBD, ∴存在满足条件的点P 使得l∥平面PBD,此 时EP PF＝ ２ ３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量