课时42 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关４２　空间点、直线、平面之间的位置关系 学生用书　P３１２ [基础训练组] １．(２０２５􀅰山东淄博模拟)已知α,β,γ为三个不同 的平面,a,b,l为三条不同的直线．若α∩β＝l, α∩γ＝a,β∩γ＝b,l∥γ,则下列说法正确的是 (　　 ) A．a与l相交　　　　B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交 解析:C　[对于 AB,l∥γ,l⊂平面α,α∩γ＝a, 则l∥a,同理可得l∥b,则 AB错误; 对于C,由 AB可知a∥b,则C正确; 对于D,由A可知l∥a,又a⊄平面β,l⊂平面β, 则a∥β,故 D错误．] ２．(２０２５􀅰全国模拟)如果直线a∥平面α,P∈α, 那么过点P 且平行于直线a 的直线 (　　) A．只有一条,不在平面α内 B．有无数条,不一定在平面α内 C．只有一条,且在平面α内 D．有无数条,一定在平面α内 解析:C　[过a与P 作一平面β,由于P∈α, 故可设平面α与平面β的交线为b,且P∈b, 由平面的公理２可知两平面的交线b是唯一的, 因为直线a∥平面α,所以a∥b, 即过点P 和已知直线a 平行的直线有且只有一 条,且在平面α内．] ３．(２０２５􀅰泉州市模拟)设a,b是互不垂直的两条 异面直线,则下列命题成立的是 (　　) A．存在唯一直线l,使得l⊥a,且l⊥b B．存在唯一直线l,使得l∥a,且l⊥b C．存在唯一平面α,使得a⊂α,且b∥α D．存在唯一平面α,使得a⊂α,且b⊥α 解析:C　[a,b是互不垂直 的两条异面直线,把它放入 正方体中如图,由图可知 A 不正确;由l∥a,且l⊥b,可 得a⊥b,与题设矛盾,故 B 不正确;由a⊂α,且b⊥α,可得a⊥b,与题设矛 盾,故 D不正确．] ４．(２０２３􀅰上海春招)如图所示, 在正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,点P 为边A１C１ 上的动 点,则下列直线中,始终与 直线BP 异面的是 (　　) A．DD１　　　　　B．AC C．AD１ D．B１C 解析:B　[对于 A,当P 是A１C１ 的中点时,BP 与DD１ 是相交直线;对于B,根据异面直线的定 义知,BP 与AC 是异面直线;对于 C,当点P 与 C１ 重合时,BP 与AD１ 是平行直线;对于 D,当 点P 与C１ 重合时,BP 与B１C 是相交直线．] ５．(２０２５􀅰江西南昌模拟)在三棱锥 AＧBCD 中, AB⊥平面BCD,AB＝ ３,BC＝BD＝CD＝２, E,F 分别为AC,CD 的中点,则下列结论正确 的是 (　　 ) A．AF,BE 是异面直线,AF⊥BE B．AF,BE 是相交直线,AF⊥BE C．AF,BE 是异面直线,AF 与BE 不垂直 D．AF,BE 是相交直线,AF 与BE 不垂直 解析:A　[显然根据异面直线判定方法:经过平 面ACD 外一点B 与平面ACD 内一点E 的直 线BE 与平面ACD 内不经过E 点的直线AF 是异面直线． 下面证明BE 与AF 垂直: 证明:因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD, 所以AB⊥CD, 因为BC＝BD＝CD,F 分别为CD 的中点,连接 BF,所以BF⊥CD, 因为AB∩BF＝B,AB,BF⊂平面ABF, 所以CD⊥平面ABF, 如图:取AF 的中点Q,连接 BQ,EQ, 因为AF⊂平面ABF, 所以CD⊥AF, 又因为EQ∥CD, 所以EQ⊥AF, 因为BC＝BD＝CD＝２,所以BF＝ ３２×２＝ ３ ＝AB, 又因为Q 为AF 的中点,所以BQ⊥AF, 因为BQ∩EQ＝Q,BQ,EQ⊂平面BEQ, 所以AF⊥平面BEQ, 又因为BE⊂平面BEQ,所以AF⊥BE．] ６．(多选)(２０２５􀅰浙江温州模拟)用一个平面去截 一个几何体,所得截面的形状是正方形,则原 来的几何体可能是 (　　) A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 解析:ACD　[对 于 A, 若长方体的底面为正方 形,则 用 平 行 于 底 面 的 平面 去 截 几 何 体,所 得 截面 的 形 状 是 正 方 形, 故 A 正确;对于 B,圆台 的截面均不可能是正方 形,故B错误;对于 C,若四棱台的底面是正方 形,则用平行于底面的平面去截几何体,所得截 面的形状是正方形,故 C 正确;对于 D,如图所 示正四面体SＧABC,将其放到正方体中,取SB 的中点E,SC 的中点D,取AB 的中点F,AC 的 中点DG,依次连接EF、FG、GD、DE,由正方体 的性质可知截面DEFG 为正方形,故 D正确．] ７．(多 选)(２０２５􀅰 重庆模拟)如 图,在 正 方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,O 为正方形 ABCD 的中 心,当点P在线段BC１ 上(不包含端点)运动时,下 列直线中一定与直线OP异面的是 (　　) A．AB１ B．A１C C．A１A D．AD１ 解析:BCD　[对于 A,当 P 为BC１ 的中点时, OP∥DC１∥AB１,故 A 不正确; 对于 B,因 为 A１C⊂ 平 面 AA１C１C,O∈ 平 面 AA１C１C,O∉A１C,P∉平 面 AA１C１C,所 以 直 线 A１C 与直线OP 一定是异面直线,故B正确; 对于 C,因 为 A１A⊂ 平 面 AA１C１C,O∈ 平 面 AA１C１C,O∉A１A,P∉平面AA１C１C,所以直线 A１A 与直线OP 一定 是异面直线,故C正确; 对于 D,因 为 AD１ ⊂ 平 面 AD１C,O∈ 平 面 AD１C,O∉AD１,P∉平面AD１C,所以直线AD１ 与直线OP 一定是异面直线,故 D正确．] ８．(２０２５􀅰 贵州毕节模拟)在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,点P 是线段BC１ 上的一个动点, 记异面直线DP 与A１B１ 所成角为θ,则sinθ的 最小值为　　　　． 解析:连接CP, 在正方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,可 得 A１B１ ∥ AB∥DC, 所以 ∠PDC(或 其 补 角)是 异 面 直 线 DP 与 A１B１ 所成的角, 在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,可得CD⊥平面 BCC１B１,又CP⊂平面BCC１B１, 所以CD⊥CP,所以tan∠PDC＝CPCD , 即tanθ＝CPCD , 当CP 最小时,tanθ最小,此时θ最小, 当CP⊥BC１ 时,CP 最小, 令CD＝１,可得(CP)min＝ ２ ２ , 可得DP＝ １＋１２＝ ３ ２ , 所以(sinθ)min＝ ２ ２ ３ ２ ＝ ３３． 答案:３ ３ ９．某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为１的 正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的顶点A 出发沿棱向 前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电 子狗”爬行的路线是AA１→A１D１→􀆺,黄“电子 狗”爬行的路线是AB→BB１→􀆺,它们都遵循 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２５􀅰 高考总复习　数学(BS) 如下规则:所爬行的第i＋２段与第i段所在直 线必须是异面直线(其中i是正整数)．设黑“电 子狗”爬完２０２２段、黄“电子狗”爬完２０２３段 后各自停在正方体的某个顶点处,这时黑、黄 “电子狗”间的距离是　　　　． 解析:由题意,黑“电子狗”爬行的路线为AA１→ A１D１→D１C１→C１C→CB→BA→AA１→􀆺,即 爬完６段后又回到起点,可以看作以６为周期, 又２０２２÷６＝３３７,所以黑“电子狗”爬完２０２２ 段后停在点A;黄“电子狗”爬行的路线为AB→ BB１→B１C１→C１D１→D１D→DA→AB→􀆺,黄 “电子狗”也是爬完６段后又回到起点,可以看 作以６为周期,又２０２３÷６＝３３７􀆺􀆺１,所以黄 “电子狗”爬完２０２３段后到达点B．此时黑、黄 “电子狗”间的距离为１． 答案:１ １０．已知在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,E,F 分别 为D１C１,C１B１ 的中点,AC∩BD＝P,A１C１∩ EF＝Q． 求证:(１)D,B,F,E 四点共面; (２)若A１C交平面DBFE 于R 点,则P,Q,R 三 点共线; (３)DE,BF,CC１ 三线交于一点． 证明:(１)如图所示． 因为EF 是△D１B１C１ 的中 位线,所以EF∥B１D１．在正 方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中, B１D１∥BD,所以EF∥BD, 所以 EF,BD 确定一个平 面,即D,B,F,E四点共面． (２)在 正 方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,设 A１ACC１ 确定的平面为α,又设平面BDEF 为 β．因为Q∈A１C１,所以Q∈α．又Q∈EF,所以 Q∈β．所以Q 是α 与β 的公共点,同理,P 是α 与β的公共点．所以α∩β＝PQ．又 A１C∩β＝ R,所以R∈A１C,R∈α,且R∈β．则R∈PQ,故P, Q,R三点共线． (３)∵EF∥BD 且EF＜BD,∴DE 与BF 相 交,设 交 点 为 M,则 由 M ∈DE,DE ⊂ 平 面D１DCC１, 得 M ∈ 平 面 D１DCC１,同 理,点 M ∈ 平 面 B１BCC１．又 平 面 D１DCC１ ∩ 平 面 B１BCC１ ＝ CC１,∴M∈CC１． ∴DE,BF,CC１ 三线交于点 M． [能力提升组] １１．(２０２５􀅰陕西西安期末)如图,在棱长为２的正 方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,点E,F 分别为棱 AB 和DD１ 的中点,过点B１,E,F 的平面α 交 AD 于点G,则AG＝ (　　 ) A．１３　　　B． ２ ３　　　C． ３ ４　　　D． ４ ３ 解析:D　[如图,平面 B１EF 与 平 面 CC１D１D 的 交 线 与 B１E 平行,即过点 F 作B１E 的平行线,交C１D１ 于点 H, 连接B１H, 因为E,F 分别为棱AB 和DD１ 的中点,所以 H 为C１D１ 的四等分点, 过点E 作EG∥B１H,交AD 于点G．从而G 为 AD 的三等分点,故AG＝２３×２＝ ４ ３． ] １２．已知四棱锥D１ＧABCD 的底 面ABCD 为平行四边形,M 是棱DD１ 上靠近点D 的三 等分点,N 是BD１ 的中点, 平面 AMN∩CD１ ＝H,则 D１H D１C ＝ (　　) A．１２ B． ２ ３ C． １ ４ D． ２ ５ 解析:D　[将棱锥补全成 棱 柱,作 D１E ∥AB,且 D１E＝AB,因 为 四 边 形 ABCD 为平行四边 形,所 以CD∥AB,且CD＝AB, 所以D１E∥AB∥CD,且D１E＝AB＝CD,因为 N 是BD１ 的中点,所以延长AN 必过点E,连 接 ME 交D１C 于点H,此时A,M,N,H 四点 共面,因为四边形为平行四边形 DCED,所以 D１D∥CE,且 DD１ ＝CE,所 以 △MD１H ∽ △ECH,又因为 M 是棱DD１ 上靠近点D 的三 等分 点,所 以D１H HC ＝ D１M EC ＝ ２ ３ ,所 以D１H D１C ＝２５． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 １３．(多选)(２０２５􀅰安徽芜湖模拟预测)如图,长方 体AC１,过点A 作平面A１BD 的垂线,垂足为 点 H．则以下命题中,正确的是 (　　 ) A．点 H 是△A１BD 的垂心 B．AH 垂直平面CB１D１ C．AH 的延长线经过点C１ D．直线AH 和D１B 是异面直线 解析:AB　 [对 于 A,AH 垂 直 平 面 A１BD, BA１⊂平面A１BD,故AH⊥BA１, 在长方体中直线AB,AD,AA１ 两两互相垂直, 则AD⊥平面AA１B１B, BA１⊂平面AA１B１B,故AD⊥BA１, 可得AH⊥BA１,AD⊥BA１, 又AH,AD 是平面AHD 内两条相交直线, 则BA１⊥平面AHD, 因为 HD⊂平面AHD,所以BA１⊥DH． 同理可得A１H⊥BD,BH⊥A１D, 则 H 是△A１BD 的垂心,故 A 正确; 对于B,由长方体的性质可知,BA１∥CD１,BA１ ⊄平面CB１D１,CD１⊂平面CB１D１, 所以BA１∥平面CB１D１;同理BD∥B１D１,BD ⊄平面CB１D１,B１D１⊂平面CB１D１, 所以BD∥平面CB１D１;又因为BA１,BD 是平 面A１BD 内两条相交直线, 则平面A１BD∥平面CB１D１, 由题意可知AH 垂直平面A１BD, 则AH 垂直平面CB１D１,故B正确; 对于 C,根据正方体的性质可知,对角线C１A 垂直于平面A１BD, 则在不是正方体的长方体中,C１A 不垂直于平 面A１BD,又因为AH 垂直平面A１BD,两直线 不重合, 正方体是长方体的特殊情况,则AH 的延长线 不一定过点C１,故C错误; 对于 D,根 据 正 方 体 的 性 质 可 知,当 长 方 体 AC１ 为正方体时,AH 即AC１． 由于四边形 ABC１D１ 为平行四边形,故直 线 AC１ 和D１B 是相交直线, 即直线 AH 和D１B 不一定是异面直线,故 D 错误．] １４．(２０２５􀅰 全 国 模 拟)已 知 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 的棱长为a,点E,F,G 分别为棱 AB,AA１,C１D１ 的中点,则下列结论中正确的 序号是　　　　． ①过E,F,G 三点作正方体的截面,所得截面 为正六边形; ②B１D１∥平面EFG; ③BD１⊥平面ACB１; ④四面体ACB１D１ 的体积等于 １ ２a ３． 解析:延 长 EF,分 别 交B１A１,B１B 的延长 线 交 于 N,Q,连 接 GN 交A１D１ 于点 H, 设 HG 与B１C１ 的 延 长线交于P,连接PQ 交CC１ 于点I,交BC 于点M,连接FH,HG, GI,IM,ME,则截面六边形EFHGIM 为正六 边形,故①正确;B１D１ 与 HG 相交,故 B１D１ 与平面EFG 相交,故②错误;因为正方体中, C１D１⊥平面BCC１B１,所以C１D１⊥B１C,因为 B１C⊥BC１,C１D１∩BC１＝C１,C１D１,BC１⊂平 面BC１D１,所以B１C⊥平面BC１D１,所以B１C ⊥BD１,同理可得 BD１⊥AC,因为 AC∩B１C ＝C,AC,B１C⊂平面ACB１,所以BD１⊥平面 ACB１,故③正确;四面体 ACB１D１ 的体积等 于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,即 为a３－４×１３× １ ２a ３＝１３a ３,故④错误． 答案:①③ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２５􀅰 高考总复习　数学(BS)