课时41 空间几何体内切球与外接球问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关４１　空间几何体内切球与外接球问题 学生用书　P３１１ [基础训练组] １．(２０２５􀅰广西桂林模拟)已知四面体AＧBCD 的棱长 都等于２,那么它的外接球的表面积为 (　　) A．６２π B．６π C．６π D．１２π 解析:C　[如图,正四面体 ABCD 棱 长 为 ２,AH⊥ 平 面BCD 于 点 H,则 H 是 △BCD 的中心, BH＝ ３３×２＝ ２ ３ ３ ,AH⊥ 平面BCD,BH⊂平面BCD,则AH⊥BH,AH ＝ ２２－ ２ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２ ６３ , 设外接球球心为O,则O 在AH,则OA＝OB＝ R 为外接半径, 由BH２＋OH２＝BO２,得 ２ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２ ６ ３ －R æ è ç ö ø ÷ ２ ＝R２,解得R＝ ６２ , 所以其外接球的表面积为４πR２＝４π×６４＝６π． ] ２．(２０２５􀅰全国模拟)若圆锥的内切球(球面与圆 锥的侧面以及底面都相切)的半径为１,当该圆 锥体积取最小值时,该圆锥体积与其内切球体 积比为 (　　) A．２∶１ B．４∶１ C．８∶１ D．８∶３ 解析:A　[设圆锥的高为h,底 面半径为r, 则当球面与圆锥的侧面以及底 面都相切时,轴截面如图, 由 △AOE∽ △ACF,可 得 １r ＝ (h－１)２－１２ h ,即r＝ h h２－２h , ∴圆锥的体积V＝１３πr ２h＝ πh ２ ３(h－２) ＝π３ (h－２)＋ ４h－２＋４[ ] ≥π３ ２ (h－２)􀅰 ４ h－２＋４ é ë êê ù û úú＝ ８π ３． 当且仅当h－２＝２,即h＝４时取等号．∴该圆锥 体积的最小值为８π ３． 则内切球体积为４π ３． 所以该圆锥体积与其内切球体积比为２∶１．] ３．(２０２５􀅰广西北海市教育教学研究室模拟)已知 正四面体PＧABC 的外接球体积为３２π３ ,则正四 面体PＧABC 的表面积为 (　　) A．８ ３ B．１６ ３３ C． ３２ ３ ３ D．１８ 解析:C　 [将 正 四 面 体 PＧABC补成正方体PEAFＧ GBHC, 设正方体PEAFＧGBHC 的 棱 长 为 a,则 正 四 面 体 PＧABC的棱长为 ２a, 正四面体PＧABC 的外接球半径为 ３２a , 由题意可得４ ３π× ３ ２a æ è ç ö ø ÷ ３ ＝３２π３ ,解得a＝４ ３３ , 所以正四面体PＧABC 的棱长为 ２a＝４ ６３ , 因此,正 四 面 体 的 表 面 积 为 ４× ３４ × ４ ６ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３２ ３３ ． ] ４．(２０２５􀅰天津和平模拟)已知圆锥底面圆的直径 为３,圆锥的高为３ ３２ ,该圆锥的内切球也是棱 长为a的正四面体的外接球,则此正四面体的 棱长a为 (　　 ) A．２ B．３２ ２ C．３ D．９２ (３－ ２) 解析:A　[由题意可知,该四面体内接于圆锥的 内切球,设球心为P,球的半径为r,圆锥的底面 半径为R,轴截面上球与圆锥母线的切点为Q, 圆锥的轴截面如图所示, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 由已知可得AB＝SA＝SB＝３,所以△SAB 为 等边三角形,故点P 是△SAB 的中心, 连接BP,则BP 平分∠SBA, 所以∠PBO＝３０°,故tan３０°＝rR , 解得r＝ ３３R＝ ３ ３× ３ ２＝ ３ ２ ,故正四面体的外接 球的半径r＝ ３２． 又正四面体可以从正方体中截得,如图所示, 从图中可以得到,当正四面体的棱长为a时,截 得它的正方体的棱长为 ２ ２a ,而正四面体的四个 顶点都在正方体上,故正四面体的外接球即为 截得它的正方体的外接球, 所以２r＝ ３AA１＝ ３× ２ ２a＝ ６ ２a＝ ３ , 解得a＝ ２．] ５．(２０２５􀅰河北衡水市模拟)在正四棱锥PＧABCD 中,AB＝４,PA＝２ ６,则平面PAB 截四棱锥PＧ ABCD 外接球的截面面积是 (　　) A．６ ５π５ B． ３６π ５ C．１２π D．３６π 解析:B　[如图,作PO′⊥平 面ABCD,垂足为O′,则 O′ 是正 方 形ABCD 外 接 圆 的 圆 心, 从 而 正 四 棱 锥 PＧABCD外接球的球心O 在 PO′上, 取棱AB 的中点E,连接O′D,O′E,OD,PE,作 OH⊥PE,垂足为 H． 由题中数据可得O′D＝２ ２,O′E＝２, PE＝２ ５,O′P＝４, 设四棱锥PＧABCD 外接球的半径为R, 则R２＝O′D２＋O′O２＝OP２＝(O′P－O′O)２, 即R２＝８＋O′O２＝(４－O′O)２,解得R＝３． 由题意易证△OPH∽△EPO′, 则PH O′P＝ OP PE ,故PH＝６ ５５ ． 故所求截面圆的面积是π􀅰PH２＝３６π５ ． ] ６．(２０２５􀅰新疆乌鲁木齐模拟)在三棱锥AＧBCD 中,AB＝AC＝２ ７,BC＝CD＝DB＝２ ３,平面 ABC⊥平面BCD,则三棱锥AＧBCD 外接球的 表面积为 (　　) A．２２１π７５ B． ２２１π ２５ C． ８８４π ７５ D． ８８４π ２５ 解析:D　[由题意得,如图,取 BC的中点E,连接AE,DE, 则△BCD 外接圆圆心O１ 在 DE 上,且２O１D＝ ２ ３ sin６０° , 解得O１D＝２,设三棱锥 AＧBCD 外接球球心为O, 连接 OO１,OD,OA,过 O 作 OF ⊥AE,垂 足 为F, 由平面ABC⊥平面BCD,得O１E⊥AE,故四边 形OO１EF 为矩形, 因为AB＝AC＝２ ７,BC＝BD＝CD＝２ ３, 所以AE⊥BC,DE⊥BC, 且AE＝ (２ ７)２－(３)２＝５, DE＝ (２ ３)２－(３)２＝３, 所以O１E＝OF＝１,设三棱锥AＧBCD 外接球半 径为R, 有AF＝ R２－OF２＝ R２－１, OO１＝ R２－O１D２＝ R２－２２, 又OO１＝EF＝５－AF＝５－ R２－１, 所以５－ R２－１＝ R２－２２,解得R２＝２２１２５ , 所以三棱锥AＧBCD 外接球的表面积为４πR２ ＝８８４２５π． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１５􀅰 高考总复习　数学(BS) ７．(２０２５􀅰黑龙江哈尔滨模拟)已 知 直 三 棱 柱 ABCＧA１B１C１ 的６个顶点都在球O 的表面上, 若AB＝AC＝１,AA１＝４,∠BAC＝ ２π ３ ,则球O 的表面积为 (　　 ) A．１６π B．２０π C．２８π D．３２π 解析:B　[如图所示,在△ABC 中,AB ＝AC ＝１,且 ∠BAC ＝２π３ , 由余弦定理得BC２＝AB２＋AC２ －２AB􀅰ACcos∠BAC＝１＋１ －２×１×１×cos２π３＝ ３ , 设底面△ABC 的外接圆的半径为r,由正弦定 理得２r＝ BCsin∠BAC＝２ ,即O１A＝１, 再设直三棱柱 ABCＧA１B１C１ 外接球 的 球 心 为 O,外接球的半径为R, 在直角△OO１A 中,可得R＝ O１A２＋OO２１ ＝ O１A２＋ O１O２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １２＋２２＝ ５, 所以球 O 的 表 面 积 为S＝４πR２＝４π×(５)２ ＝２０π．] ８．(２０２５􀅰全国模拟)已知三棱锥PＧABC 三条侧棱 PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝２, M,N 分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点, 则M,N 两点间的距离最大值为　　　　． 解析:由已知可将该三棱锥 补成如图所示的正方体． 则三棱锥内切球球心O１,外接 球球心O２,以及内切球与平面 ABC的切点G 三点均在PD１ 上,且GO２＝ １ ６PD１＝ ３ ３． 设内切球半径为r,外接球半径为R, 则R＝１２ ２ ２×３＝ ３． 由１ ３ (S△ACP＋S△BCP＋S△ABP＋S△ABC)r ＝１３ 􀅰S△ABP􀅰PC,解得r＝１－ ３ ３ , 故 M,N 两点间距离的最大值为R＋GO２＋２r ＝２＋２ ３３ ． 答案:２＋２ ３３ [能力提升组] ９．(２０２５􀅰安徽芜湖模拟预测)已 知 正 三 棱 台 ABCＧA１B１C１ 的上、下底面边长分别为 ３,２ ３, 且侧棱与底面所成角的正切值为３,则该正三棱 台的外接球表面积为 (　　 ) A．９π B．１０ ２π C．１０ ３π D．２０π 解析:D　[分别取△ABC、△A１B１C１ 的中心E, F,连接EF,过点A 作AM⊥A１F, 因为AB＝ ３,由正弦定理得２AE＝ ABsin６０° ,得 AE＝１,同理可得A１F＝２,所以A１M＝１, 因为正三棱台ABCＧA１B１C１, 所以EF⊥平面A１B１C１,EF∥AM, 所以AM⊥平面A１B１C１,所以∠AA１M 为侧棱 A１A 与底面所成的角, 所以AM＝A１M􀅰tan∠AA１M＝３, 所以EF＝AM＝３, 设正三棱台的外接球球心O,因为E 为上底面 截面圆的圆心,F 为下底面截面圆的圆心, 所以由正三棱台的性质可知,其外接球的球心 O 在直线EF 上, 设外接球O 的半径为R, 所以OA＝OA１＝R,OA２＝AE２＋OE２,OA２１＝ A１F２＋OF２,即R２＝１２＋OE２,R２＝２２＋OF２, 当O 在EF 的延长线上时, 可得 R２－１２－ R２－３２＝３,无解; 当O 在线段EF 上时,轴截面中由几何知识可 得 R２－１２＋ R２－２２＝３,解得R＝ ５, 所以正三棱台ABCＧA１B１C１ 的外接球表面积为 S＝４πR２＝２０π．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 １０．(２０２３􀅰全国甲卷)在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,AB＝４,O为AC１ 的中点,若该正方体的棱与 球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围 是　　　　． 解析:设球的半径为 R． 当球O 是正方体的外接 球时,恰 好 经 过 正 方 体 的每 个 顶 点,所 求 的 球 的半 径 最 大,若 半 径 变 得更 大,球 会 包 含 正 方 体,导致球面和棱没有交点,正方体的外接球直 径２R′为体对角线长AC１＝ ４２＋４２＋４２＝４ ３, 即２R′＝４ ３,R′＝２ ３,故Rmax＝２ ３; 分别取侧棱 AA１,BB１,CC１,DD１ 的中点 M, H,G,N,显然四边形MNGH 是边长为４的正方 形,且O为正方形MNGH 与体对角线的交点, 连接 MG,则 MG＝４ ２,当球的一个大圆恰好 是四边形 MNGH 的外接圆,球的半径达到最 小,即R 的最小值为２ ２．综上可知,球O 的半 径R 的取值范围是[２ ２,２ ３]． 答案:[２ ２,２ ３] １１．(２０２５􀅰贵州模拟)在三棱锥PＧABC 中,AB＝ BC＝１０,∠ABC＝１２０°,D 为AC 的中点,PD ⊥平面ABC,且PD＝１５,则三棱锥PＧABC 外 接球的表面积为　　　　． 解析:在 △ABC 中,AB＝BC＝１０,∠ABC ＝１２０°, 由余弦定理得 AC２＝AB２＋BC２－２AB􀅰BC 􀅰cos∠ABC＝３００,所以AC＝１０ ３, 设△ABC 的外接圆O１ 的半径为r, 则由正弦定理得２r＝ ACsin∠ABC＝ １０ ３ sin１２０° , 解得r＝１０, 结合图形分析: 因为D 为AC 的中点,PD⊥平面ABC,且PD ＝１５, 在 Rt△ABD 中,AD＝１２AC＝５ ３ , BD＝ AB２－AD２＝５, 又因为O１B＝r＝１０,则圆心O１ 到D 点的距离 为O１D＝５, 另设三棱锥 PＧABC 的外接球球心O 到平面 ABC 的距离为OO１＝d,设外接球的半径为R, 则 Rt△O１OB 中,O１B２＋OO２１＝OB２, 即１０２＋d２＝R２, 直角梯形O１OPD 中,O１D２＋(PD－OO１)２ ＝OP２,即５２＋(１５－d)２＝R２, 解得d＝５,R２＝１２５,所以S＝４πR２＝５００π． 答案:５００π １２．(２０２５􀅰全国模拟)四边形 ABDC 是 菱 形, ∠BAC＝６０°,AB＝ ３,沿对角线BC 翻折后, 二面角 AＧBCＧD 的余弦值为－１３ ,则三棱锥 DＧABC的外接球的体积为　　　　． 解析:如图,取BC 的中点 为 M,连 接 AM,DM,则 AM⊥BC,DM⊥BC , 则二面角AＧBCＧD 的平面 角为∠AMD,AB＝ ３, 由四边形 ABDC 是菱形, ∠BAC＝６０°,可 知 △ABC,△DBC 为 正 三 角形, 设球心O 在平面ABC 内的射影为O１,在平面 BCD 内的射影为O２, 则O１,O２ 为△ABC,△DBC 的中心, 所以DM＝３２ ,DO２＝１,O２M＝ １ ２ , 由于二面角AＧBCＧD 的余弦值为－１３ , 故设∠AMD＝２θ,θ∈ π４ ,π ２ æ è ç ö ø ÷, 则cos２θ＝２cos２θ－１＝－１３ ,cos２θ＝１３ , 故sin２θ＝２３ ,则tanθ＝ ２, ∴OO２ ＝O２Mtanθ＝ ２ ２ ,球 O 的 半 径 R ＝ DO２２＋OO２２＝ ６ ２ , 所求外接球的体积为V＝４３π ６ ２ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ６π． 答案:６π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２５􀅰 高考总复习　数学(BS)