课时39 复数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关３９　复　数 学生用书　P３０８ [基础训练组] １．(２０２５􀅰上海华师大预测)已知z∈C,则“z为纯 虚数”是“z＋􀭵z＝０”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:A　[由题意,z为纯虚数,则设z＝bi(b∈ R,b≠０),则z＋􀭵z＝bi－bi＝０; 当z＋􀭵z＝０时,可取z＝􀭵z＝０,则z为纯虚数不 成立．故“z为纯虚数”是“z＋􀭵z＝０”的充分不必 要条件．] ２．(２０２４􀅰全国甲卷)设z＝ ２i,则z􀅰􀭵z＝ (　　) A．－２ B．２ C．－ ２ D．２ 解析:D　[因为z＝ ２i,所以z􀅰􀭵z＝２．] ３．若复数z满足 􀭵z １＋i＝－i ,则z在复平面内的对 应点 (　　) A．在直线y＝－x上 B．在直线y＝x上 C．在直线y＝－２x上 D．在直线y＝２x上 解析:B　[∵ 􀭵z １＋i＝－i ,∴􀭵z＝－i(１＋i)＝１－i, ∴z＝１＋i,∴z在复平面内的对应点的坐标为 (１,１),在直线y＝x上．] ４．１８世纪末,挪威测量学家维塞尔首次利用坐标 平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有 了几何意义,例如|z|＝|OZ|,也即复数z的模 的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已 知复数z满足|z|＝２,则|z－３－４i|的最大值为 (　　) A．３　　　　B．５　　　　C．７　　　　D．９ 解析:C　[∵|z|＝２,∴z对应的点Z(x,y)的 轨迹为圆x２＋y２＝４;∵|z－３－４i|的几何意义 为点Z(x,y)到点(３,４)的距离,∴|z－３－４i|max ＝ (０－３)２＋(０－４)２＋２＝７．] ５．(２０２５􀅰江苏盐城中学模拟)设复数z的模长为１, 在复 平 面 对 应 的 点 位 于 第 一 象 限,且 满 足 |z＋􀭵z|＝１,则􀭵z＝ (　　) A．１２＋ ３ ２i B． ２ ２＋ ２ ２i C．１２－ ３ ２i D． ２ ２－ ２ ２i 解析:C　[设z＝a＋bi(a,b∈R),因为在复平面 对应的点位于第一象限,所以a＞０,b＞０, 由|z＋􀭵z|＝|２a|＝１,得a＝１２ , 因为复数z的模长为１, 所以 a２＋b２＝ １４＋b ２＝１,解得b＝ ３２ , 所以z＝１２＋ ３ ２i ,􀭵z＝１２－ ３ ２i． ] ６．(多选)(２０２５􀅰广东佛山模拟)关于复数z＝ cos２π３＋isin ２π ３ (i为虚数单位),下列说法正确 的是 (　　) A．|z|＝１ B．􀭵z在复平面上对应的点位于第二象限 C．z３＝１ D．z２＋z＋１＝０ 解析:ACD　[z＝cos２π３＋isin ２π ３＝－ １ ２＋ ３ ２i , 所以|z|＝ －１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,故 A 正确; 􀭵z＝－１２－ ３ ２i ,则􀭵z 在 复 平 面 上 对 应 的 点 为 －１２ ,－ ３２ æ è ç ö ø ÷位于第三象限,故B错误; z＝－１２＋ ３ ２i⇒z ２＝ －１２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ －１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋２× －１２ æ è ç ö ø ÷ ３ ２i æ è ç ö ø ÷＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ２ ＝－１２－ ３ ２i , z３＝z２􀅰z＝ －１２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ２ －１２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ＝ －１２－ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ －１２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷＝ －１２ æ è ç ö ø ÷ ２ － －３２i æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１４－ ３ ４i ２＝１４＋ ３ ４＝１ ,故 C 正确;z２＋z＋１ ＝－１２－ ３ ２i－ １ ２＋ ３ ２i＋１＝０ ,故 D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１５􀅰 高考总复习　数学(BS) ７．(多选)(２０２５􀅰山东泰安模拟预测)已知复数z 满足方程(z２＋９)(z２－２z＋４)＝０,则 (　　) A．z可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根 C．z可能为１－ ３i D．该方程的各根之和为２ 解析:ACD　[由(z２＋９)(z２－２z＋４)＝０, 得z２＋９＝０或z２－２z＋４＝０, 即z２＝－９或(z－１)２＝－３, 解得z＝±３i或z＝１± ３i, 即方程的根分别为z１＝３i,z２＝－３i,z３＝１＋ ３i, z４＝１－ ３i． 所以z１＋z２＋z３＋z４＝３i＋(－３i)＋(１＋ ３i)＋ (１－ ３i)＝２．] ８．(２０２５􀅰山东聊城模拟)i为虚数单位,复数z＋ |z|＝８＋４i,复数z的共轭复数为􀭵z,则􀭵z 的虚 部为　　　　． 解析:解法一: 设复数z＝x＋yi(x,y∈R),则x＋yi＋ x２＋y２ ＝８＋４i, 由复数相等,得 x＋ x ２＋y２＝８, y＝４,{ 解得x＝３, 即复数z＝３＋４i, 所以􀭵z＝３－４i,所以􀭵z的虚部为－４． 解法二: 由z＋|z|＝８＋４i,得z＝８－|z|＋４i． 因为|z|是实数,所以８－|z|也是实数, 则有􀭵z＝８－|z|－４i,所以􀭵z的虚部为－４． 答案:－４ ９．设x∈R,记[x]为不大于x 的最大整数,{x}为 不小于x的最小整数．设集合A＝{z|２≤[|z|] ≤３,z∈C},B＝{z|２≤{|z|}≤３,z∈C},则 A∩B在 复 平 面 内 对 应 的 点 的 图 形 面 积 是 　　　． 解析:依题意由２≤[|z|]≤３,所以２≤|z|＜４, 由２≤{|z|}≤３,所以１＜|z|≤３,所以A＝{z| ２≤[|z|]≤３,z∈C}＝{z|２≤|z|＜４,z∈C},B ＝{z|２≤{|z|}≤３,z∈C}＝{z|１＜|z|≤３,z∈ C},所以A∩B＝{z|２≤|z|≤３,z∈C},设z＝x ＋yi(x,y∈R),由 ２≤ |z| ≤ ３,所 以 ２ ≤ x２＋y２≤３,所以４≤x２ ＋y２≤９,所以复数z在 复平面内对应的点为在 复平面内到坐标原点的 距离大于等于２且小于等于３的圆环部分, 所以圆环的面积S＝π(３２－２２)＝５π． 答案:５π １０．已知x＝－１＋i是方程x２＋ax＋b＝０(a,b∈ R)的一个根． (１)求实数a,b的值; (２)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个 根,并给予证明． 解:(１)把x＝－１＋i代入方程x２＋ax＋b＝０, 得(－a＋b)＋(a－２)i＝０, ∴ －a＋b＝０, a－２＝０,{ 解得 a＝２, b＝２．{ (２)由(１)知方程为x２＋２x＋２＝０． 设另一个根为x２,由根与系数的关系, 得－１＋i＋x２＝－２, ∴x２＝－１－i． 把x２＝－１－i代入方程x２＋２x＋２＝０, 则左边＝(－１－i)２ ＋２(－１－i)＋２＝０＝ 右边, ∴x２＝－１－i是方程的另一个根． [能力提升组] １１．已知复数z对应的点在第二象限,􀭵z为z 的共 轭复数,有下列关于z的四个命题: 甲:z＋􀭵z＝－２;乙:z－􀭵z＝２i;丙:z􀅰􀭵z＝４;丁: z÷􀭵z＝１２－ ３ ２i． 如果只有一个假命题,则该命 题是 (　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析:B　[设z＝a＋bi,􀭵z＝a－bi,由于z对应的 点在第二象限,所以a＜０,b＞０,z＋􀭵z＝２a＜０,z－ 􀭵z＝２bi, z􀅰􀭵z＝a２＋b２,z　　 　　􀭵z ＝a＋bia－bi＝ (a＋bi)２ (a－bi)(a＋bi) ＝a ２－b２＋２abi a２＋b２ ＝a ２－b２ a２＋b２ ＋ ２ab a２＋b２ i． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题三　第六章　平面向量、复数 甲⇒２a＝－２,a＝－１,乙⇒２b＝２,b＝１,丙⇒ a２＋b２＝４,丁⇒a ２－b２ a２＋b２ ＝－１２ ,２ab a２＋b２ ＝－ ３２ ⇒b＝－ ３a,由于“只有一个假命题”,所以乙 是假命题,b的值应为 ３．] １２．(多选)设复数z＝ １a＋２i (a∈R),当a变化时, 下列结论正确的是 (　　) A．|z|＝|􀭵z|恒成立 B．z可能是纯虚数 C．z＋１z 可能是实数 D．|z|的最大值为１２ 解析:ABD　[z＝ １a＋２i＝ a－２i (a＋２i)(a－２i) ＝ a a２＋４ － ２ a２＋４ i, 对选项 A,􀭵z＝ a a２＋４ ＋ ２ a２＋４ i,|z| ＝|􀭵z|＝ a ２ (a２＋４)２ ＋ ４(a２＋４)２ ,故 A 正确; 对选项B,z＝ a a２＋４ － ２ a２＋４ i,当a＝０时, z＝－１２i 为纯虚数,故B正确; 对选项C,z＋１z＝ a a２＋４ － ２ a２＋４ i＋a＋２i ＝ aa２＋４ ＋aæ è ç ö ø ÷＋ ２－ ２a２＋４ æ è ç ö ø ÷i,令２－ ２ a２＋４ ＝０, 即a２＋３＝０无解,故C错误; 对选项 D,|z|２＝ a ２ (a２＋４)２ ＋ ４(a２＋４)２ ＝ １ a２＋４ ≤１４ ,当且仅当a＝０时取等号．所以|z|的最 大值为１ ２ ,故 D正确．] １３．(２０２５􀅰湖北鄂州模拟)已知复数z１,z２ 满足 |z１＋ ３－i|＋|z１－ ３＋i|＝２ ５,z２＝２＋ ２ ３i,(其中i是虚数单位),则|z１－z２|的最小 值为　　　　． 解析:设复数z１,z２＝２＋２ ３i,－ ３＋i,３－i 在复平面内对应的点分别为Z１(x,y),Z２(２, ２ ３),F１(－ ３,１),F２(３,－１), 由题 意 可 知:|Z１F１|＋|Z１F２|＝２ ５＞４ ＝|F１F２|, 可知点Z１ 的轨迹表示焦点分别为F１(－ ３,１), F２(３,－１)的椭圆, 则长半轴长为a＝ ５,半焦距c＝２,短半轴长 为b＝ a２－c２＝１,且该椭圆的长轴所在直线 为y＝－ ３３x ,短轴所在直线为y＝ ３x． 因为点Z２ 在y＝ ３x上,且|OZ２|＝４, 若使 得|z１ －z２|最 小,则 需|Z１Z２|取 得 最 小值, 即点Z１ 为第一象限内的短轴端点, 此时|z１－z２|＝|OZ２|－１＝３． 答案:３ １４．已知虚数z满足|２z＋１－i|＝|z＋２－２i|． (１)求|z|的值; (２)若mz＋１z∈R ,求实数m 的值． 解:(１)设虚数z＝a＋bi(a、b∈R且b≠０), 代入|２z＋１－i|＝|z＋２－２i|, 得|２a＋１＋(２b－１)i|＝|(a＋２)＋(b－２)i|, ∴(２a＋１)２＋(２b－１)２＝(a＋２)２＋(b－２)２, 即４a２＋４b２＋４a－４b＋２＝a２＋b２＋４a－４b＋８, 可得a２＋b２＝２,因此|z|＝ ２． (２)由(１)知,z＝a＋bi,其中a、b∈R,且b≠０, a２＋b２＝２, 又知m∈R,mz＋１z∈R． ∴mz＋１z＝m (a＋bi)＋ １a＋bi＝m (a＋bi)＋ a－bi (a＋bi)(a－bi)＝m (a＋bi)＋a－bi２ ＝ ma＋a２ æ è ç ö ø ÷＋ mb－b２ æ è ç ö ø ÷i, ∵mz＋１z∈R ,∴mb－１２b＝０ ,解得m＝１２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１５􀅰 高考总复习　数学(BS)