课时38 平面向量的数量积与平面向量应用举例-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关３８　平面向量的数量积与平面向量应用举例 学生用书　P３０６ [基础训练组] １．(２０２４􀅰北京卷)已知向量a,b,则“(a＋b)􀅰 (a－b)＝０”是“a＝－b或a＝b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:B　[∵(a＋b)􀅰(a－b)＝０,∴a２－b２＝０, ∴a２＝b２,则|a|＝|b|,不能得到a＝b或a＝－b, 充分性不成立;若a＝b或a＝－b,则(a＋b)􀅰 (a－b)＝０成立,必要性成立．所以“(a＋b)􀅰 (a－b)＝０”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分 条件．] ２．(２０２５􀅰安徽模拟)已知|b|＝２|a|,若a与b 的 夹角为６０°,则２a－b在b上的投影向量为 (　　 ) A．１２b　　　　　　B．－ １ ２b C．－３２b D． ３ ２b 解析:B　 [因 为|b|＝２|a|,a 与b 的 夹 角 为６０°, 所以a􀅰b＝|a||b|cos６０° ＝|a|×２|a|×１２＝|a| ２, 则(２a－b)􀅰b＝２a􀅰b－b２＝２|a|２－４|a|２ ＝－２|a|２, 所以２a－b在b 上的投影向量为 (２a－b)􀅰b 　　　 　　　|b| × b 　　　 　　　|b| ＝－２|a| ２ 　　　 　　２|a| × b２|a|＝－ １ ２b． ] ３．(２０２５􀅰北京潞河中学模拟)已知菱形ABCD 的 边长为a,∠ABC＝６０°,则DB →􀅰CD → ＝ (　　) A．－３２a ２ B．－３４a ２ C．３４a ２ D．３２a ２ 解析:A　[DB → ＝DA → ＋AB → ＝－BC → －BA →,CD → ＝BA →, 则DB →􀅰CD → ＝(－BC → －BA →)􀅰 BA → ＝－BC →􀅰BA → －BA →２ ＝－１２a ２－a２ ＝－３２a ２．] ４．(２０２５􀅰江西新余模拟)已知a＝(３,２ ３),b＝ (－ ３,λ),若a＋b与b的夹角为２π３ ,则λ＝ (　　 ) A．－１　　　B．１　　　C．±１　　　D．±２ 解析:A　[因为a＝(３,２ ３),b＝(－ ３,λ), 所以a􀅰b＝ ３×(－ ３)＋２ ３λ＝－３＋２ ３λ, a＋b＝(３,２ ３)＋(－ ３,λ)＝(０,２ ３＋λ), |a＋b|＝ (２ ３＋λ)２＝|２ ３＋λ|, 因为(a＋b)􀅰b＝a􀅰b＋b２＝－３＋２ ３λ＋３＋λ２ ＝λ２＋２ ３λ, 又因为(a＋b)􀅰b＝|a＋b||b|cos２π３ ＝|２ ３＋λ|× ３＋λ２× －１２ æ è ç ö ø ÷, 所以λ２＋２ ３λ＝|２ ３＋λ|× ３＋λ２× －１２ æ è ç ö ø ÷, 解得λ＝１或λ＝－１, 因为２ ３＋λ≠０,所以λ２＋２ ３λ＜０, 解得－２ ３＜λ＜０,所以λ＝－１．] ５．(２０２５􀅰浙江乐清市模拟)平面向量a,b 满足 |a－b|＝３,|a|＝２|b|,则a－b与a 夹角最大 时,|a|为 (　　) A．２ B．３ C．２ ２ D．２ ３ 解析:D　[因为平面向量a,b满足|a－b|＝３, |a|＝２|b|,所以(a－b)２＝a２－２a􀅰b＋b２ ＝４b２－２a􀅰b＋b２＝９, 所以a􀅰b＝５２b ２－９２ ,所以(a－b)􀅰a＝a２－a􀅰b ＝４b２－５２b ２＋９２＝ ３ ２b ２＋９２． 由夹角公式,cos‹a－b,a›＝ (a－b)􀅰a |a－b||a| ＝ ３ ２b ２＋９２ ６|b| ＝ １ ４|b|＋ ３ ４|b|≥ ３ ２ (当且仅当１ ４|b| ＝ ３４|b| ,即|b|＝ ３时等号成立)． 因为０≤‹a－b,a›≤π,所以０≤‹a－b,a›≤π６ , 即|b|＝ ３时‹a－b,a›＝π６ 最大． 此时|a|＝２|b|＝２ ３．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０５􀅰 高考总复习　数学(BS) ６．(多选)(２０２５􀅰全国模拟)已知向量a＝(２－m,３), b＝(m,１),则下列说法正确的是 (　　) A．若a∥b,则m＝１２ B．若a⊥b,则m＝３ C．|２a＋b|的最小值为７ D．若－１＜m＜３,则a与b的夹角为钝角 解析:AC　[若a∥b,则２－m＝３m,解得 m＝ １ ２ ,故选项 A 正确;若a⊥b,则 m(２－m)＋３＝ ０,解得m＝－１或m＝３,故选项B错误;由题得 ２a＋b＝(４－m,７),故|２a＋b|＝ ７２＋(４－m)２ ≥７,当且仅当m＝４时取得最小值,故选项C正 确;当m＝０时,a􀅰b＞０,a与b 的夹角不为钝 角,故选项 D错误．] ７．(多选)(２０２５􀅰福建省福州格致中学模拟)已知 单位向量a,b的夹角为１２０°,则以下说法正确 的是 (　　) A．|a＋b|＝１ B．(a＋２b)⊥a C．cos‹a－b,b›＝ ３２ D．a＋２b与２a＋b可以作为平面内的一组基 解析:ABD　[据题意,a２＝b２＝１,a􀅰b ＝１×１×cos１２０°＝－１２ , 因为(a＋b)２＝a２＋b２＋２a􀅰b＝１＋１＋２× －１２ æ è ç ö ø ÷＝１,所以|a＋b|＝１,所以 A 正确; 因 为 (a＋２b)􀅰a＝a２ ＋２a􀅰b＝１＋２× －１２ æ è ç ö ø ÷＝０,所以(a＋２b)⊥a,所以B正确; 因为(a－b)􀅰b＝a􀅰b－b２＝－１２－１＝－ ３ ２ , (a－b)２＝a２＋b２－２a􀅰b＝３, 所以cos‹a－b,b›＝ (a－b)􀅰b |a－b|􀅰|b|＝ －３２ ３×１ ＝－ ３２ ,所以C错误; 因为a＋２b与２a＋b不共线,所以可以作为平 面内的一组基,所以 D正确．] ８．(２０２５􀅰湖南长沙模拟)在△ABC,已知２AB→􀅰 AC→＝ ３|AB→||AC→|＝３BC→ ２ ,∠B＜∠C． 则sin∠C＝　　　　． 解析:设BC＝a,AC＝b,AB＝c, 由２AB→􀅰AC→＝ ３|AB→||AC→|,得 ２bccosA＝ ３bc,所以cosA＝ ３２． 又因为A∈(０,π),所以A＝π６ ,B＝５π６－C． 由 ３|AB→||AC→|＝３BC→ ２ ,得bc＝ ３a２, 于是sinCsinB＝ ３sin２A＝ ３４ , 所以sinCsin５π６－C æ è ç ö ø ÷＝ ３４ , ∴２sinCcosC＋２ ３sin２C＝３, 即sin２C－π３ æ è ç ö ø ÷＝０． ∵A＝π６ ,∴０＜C＜５π６ ,∴－π３＜２C－ π ３＜ ４π ３ , ∴２C－ π３ ＝０ 或 ２C－ π３ ＝π ,∴C＝ π６ 或 C ＝２π３． 又∵∠B＜∠C,∴A＝π６ ,C＝２π３ ,B＝π６ , 则sin∠C＝ ３２． 答案:３ ２ ９．(２０２５􀅰 烟台模拟)在 等 腰 直 角 △ABC 中, ∠ABC＝９０°,AB＝BC＝２,M,N 为AC 边上的 两个动点(M,N 不与A,C重合),且满足|MN → | ＝ ２,则BM →􀅰BN → 的取值范围为　　　　． 解析:不妨设点 M 靠近点A, 点 N 靠近点C,以等腰直角三 角形ABC 的直角边所在直线 为坐标轴建立平面直角坐标 系,如 图 所 示,则 B(０,０),A (０,２),C(２,０), 线段AC 的方程为x＋y－２＝０(０≤x≤２)． 设 M(a,２－a),N(a＋１,１－a)(由题意可知０＜ a＜１),∴BM → ＝(a,２－a),BN → ＝(a＋１,１－a), ∴BM →􀅰BN → ＝a(a＋１)＋(２－a)(１－a) ＝２a２－２a＋２＝２a－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３２ , ∵０＜a＜１,∴由二次函数的知识可得BM →􀅰BN → ∈ ３２ ,２[ öø÷． 答案:３ ２ ,２[ öø÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题三　第六章　平面向量、复数 １０．如 图,在 四 边 形 OBCD 中,CD → ＝２BO →,OA → ＝ ２AD →,∠D＝９０°,且|BO → | ＝|AD → |＝１． (１)用OA →,OB → 表示CB →; (２)点 P 在 线 段 AB 上,且 AB＝３AP,求 cos∠PCB的值． 解:(１)因为OA → ＝２AD →,所以DO → ＝３２AO → ． 因为CD → ＝２BO →,所以CB → ＝CD → ＋DO → ＋OB → ＝ ２BO → ＋３２AO → ＋OB → ＝－３２OA → －OB → ． (２)因为CD → ＝２BO →,所以OB∥CD． 因为OA → ＝２AD →,所以O,A,D 三点共线． 因为∠D＝９０°,所以∠O＝９０°． 以O 为坐标原 点,OA 所在的直线为x 轴,建 立如 图 所 示 的 平 面 直 角坐标系． 因为|BO → |＝|AD → |＝１, CD → ＝２BO →,OA → ＝２AD →, 所以A(２,０),B(０,１),C(３,２)． 所以AC → ＝(１,２),AB → ＝(－２,１)． 因为点P 在线段AB 上,且AB＝３AP, 所以AP → ＝１３AB → ＝ －２３ ,１ ３ æ è ç ö ø ÷, 所以CP → ＝AP → －AC → ＝ －５３ ,－５３ æ è ç ö ø ÷． 因为CB → ＝(－３,－１), 所以cos∠PCB＝ CP →􀅰CB → 　　　　　　　　 　　　　　　　 　 |CP → |􀅰|CB → | ＝ ５＋５３ ５ ３ ２× １０ ＝２ ５５ ． [能力提升组] １１．(多选)已知向量a＝(３,１),b＝(cosα,sinα), α∈ ０,π２[ ],则下列结论正确的有 (　　) A．|b|＝１ B．若a∥b,则tanα＝ ３ C．a􀅰b的最大值为２ D．|a－b|的最大值为３ 解析:AC　[对于 A,|b|＝ cos２α＋sin２α＝１, A 正确;对于B,若a∥b,则 ３sinα－cosα＝０, ∴tanα＝ ３３ ,B错误;对于C,a􀅰b＝ ３cosα＋ sinα＝２sinα＋π３ æ è ç ö ø ÷,最大值为２,C正确;对于 D,|a－b|＝ (３－cosα)２＋(１－sinα)２ ＝ ５－２sinα－２ ３cosα＝ ５－４sinα＋π３ æ è ç ö ø ÷ 因为α∈ ０,π２[ ],所以α＋ π ３∈ π ３ ,５π ６[ ],则 sinα＋π３ æ è ç ö ø ÷∈ １２ ,１[ ], 即|a－b|max＝ ５－４× １ ２＝ ３ ,D错误．] １２．(２０２５􀅰昌吉模拟)折扇又名“撒扇”“纸扇”,是 一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或绫绢做扇面 的能折叠的扇子,如图１．其平面图如图２的扇 形AOB,其中∠AOB＝１２０°,OA＝２OC＝２,点 E 在弧CD 上,则EA →􀅰EB → 的最小值是 (　　) A．－１ B．１ C．－３ D．３ 解析:C　[以O 为原点,OB → 为x 轴的正方向建 立平面直角坐标系,如图． 则A(－１,３),B(２,０), 设E(cosθ,sinθ),０°≤θ≤１２０°, EA →􀅰EB → ＝ (－１－cosθ,３－sinθ)􀅰(２－cosθ,－sinθ) ＝(－１－cosθ)􀅰(２－cosθ)－(３－sinθ)􀅰sinθ ＝－ ３sinθ－cosθ－１＝－２sin(θ＋３０°)－１, 所以当θ＝６０°时,EA →􀅰EB → 取得最小值－２－１ ＝－３．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０５􀅰 高考总复习　数学(BS) １３．(２０２５􀅰天津市西青区 模 拟)如 图,在 菱 形 ABCD 中,AB ＝ ２, ∠BAD＝６０°,E,F 分 别为BC,CD 上的点, CE → ＝２EB →,CF → ＝２FD →,若线段EF 上存在一 点M,使得AM → ＝５６AB → ＋１２AD →,则|AM → |＝ 　　　　　,若点 N 为线段BD 上一个动点, 则AN →􀅰MN → 的取值范围为　　　　． 解析:因 为 ABCD 为 菱 形,所 以 AC ⊥ BD,以 BD、AC 所在直线分别为 x、y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标系, 因 为 AB＝２,∠BAD ＝ ６０°,所以OB＝OD＝１,OC ＝OA＝ ３, 则A(０,－ ３),B(１,０),D(－１,０), 设 M m,３３ æ è ç ö ø ÷,N(n,０), 所以AB → ＝ (１,３),AD → ＝ (－１,３),AM → ＝ m,４ ３３ æ è ç ö ø ÷,AN → ＝(n,３), 因为AM → ＝５６AB → ＋１２AD →, 所以 m,４ ３３ æ è ç ö ø ÷＝５６ (１,３)＋１２ (－１,３), 解得m＝１３ ,所以|AM → |＝ １９＋ ４８ ９＝ ７ ３． 又MN → ＝ n－１３ ,－ ３３ æ è ç ö ø ÷, 所以AN →􀅰MN → ＝nn－１３ æ è ç ö ø ÷－１ ＝ n－１６ æ è ç ö ø ÷ ２ －３７３６． 因为－１≤n≤１,所以当n＝１６ 时,AN →􀅰MN → 有 最小值－３７３６ , 当n＝－１时,AN →􀅰MN → 有最大值１ ３ , 所以AN →􀅰MN → 的取值范围为 －３７３６ ,１ ３[ ]． 答案:７ ３　 － ３７ ３６ ,１ ３[ ] １４．已知a＝(２cosx,２sinx),b＝ sinx－π６ æ è ç ö ø ÷,æ è ç cosx－π６ æ è ç ö ø ÷ ö ø ÷,函数f(x)＝cos‹a,b›． (１)求函数f(x)的零点; (２)若锐角△ABC的三个内角A、B、C 的对边 分别是a、b、c,且 f(A)＝１,求b＋ca 的取值 范围． 解:(１)由条件可知:a􀅰b＝２cosx􀅰 sinx－π６ æ è ç ö ø ÷＋２sinx􀅰cosx－π６ æ è ç ö ø ÷ ＝２sin ２x－π６ æ è ç ö ø ÷, ∴f(x)＝cos‹a,b›＝ a 􀅰b |a|􀅰|b| ＝ 　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　 　 　 ２sin２x－π６ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝sin２x－ π ６ æ è ç ö ø ÷． 故函数f(x)的零点满足sin２x－π６ æ è ç ö ø ÷＝０, 由２x－π６＝kπ ,k∈Z,解得x＝kπ２＋ π １２ ,k∈Z． (２)由正弦定理得b＋ca ＝ sinB＋sinC sinA ．① 由(１)知f(x)＝sin２x－π６ æ è ç ö ø ÷, 而f(A)＝１,得sin２A－π６ æ è ç ö ø ÷＝１, ∴２A－π６＝２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 又A∈(０,π),得A＝π３． ∵A＋B＋C＝π,∴C＝２π３－B ,代入①化简得: b＋c a ＝ sinB＋sin２π３－B æ è ç ö ø ÷ sinA ＝ ３ ２sinB＋ ３ ２cosB sinA ＝ ３sinB＋π６ æ è ç ö ø ÷ sinA ＝２sinB＋π６ æ è ç ö ø ÷, 又在锐角△ABC 中,有０＜B＜π２ , 又０＜C＝２π３－B＜ π ２ , ∴π６＜B＜ π ２ ,∴π３＜B＋ π ６＜ ２π ３ , 则有 ３ ２＜sinB＋ π ６ æ è ç ö ø ÷≤１,即 ３＜b＋ca ≤２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题三　第六章　平面向量、复数