课时19 函数中的构造问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

高考总复习数学(BS) 课时冲关19函数中的构造问题 学生用书P273 [基础训练组 解析：B[构造函数F(x)=xf(x), 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且 因为f(x)为奇函数，所以F(一x)=一xf(一x) f(x)的导函数f(x)满足f(x)>6x2+2,则不 =xf(x)=F(x),所以F(x)为偶函数， 等式f(x)>2x2+2x的解集为 因为当x<0时，xf(x)十f(x)<0,即F(x)<0, A.{xlx>-2} B.(rlr>2) 所以x<0时，函数F(x)单调递减，x>0时，函 C.{x|x<2} D.{xx<-2或x>2} 数F(x)单调递增， 解析：B[令函数g(x)=f(x)-2x3一2x,则 因为f(-1)=0,所以F(-1)=(-1)f(一1)=0. g(x)=f(x)-6x2-2>0,所以g(x)在R上 F0)=0.因为f(r)>0,所以FC2>0, 单调递增 因为g(2)=f(2)-2×2-2×2=0,所以原不 所以 (x>0, 或 x<0, F(x)>0F(x)<0, 所以x>1或-1< 等式等价于g(x)>0=g(2), 所以所求不等式的解集为{xx>2.] x<0.] 2.已知a,6.ce（日+o∞且 In 3 --5In a.b 4.(2025·江苏模拟)f(x)在(0，十∞)上的导函数 为f(x),xf(x)>2f(x),则下列不等式成立 =-31nb,2=-21nc,则 的是 () A.2024f(2025)>2025f(2024) A.b<c<a B.c<b<a B.2024f(2025)<20252f(2024) C.a<c<b D.a<b<c 解析：A[设函数f(x)=,xlnx,f(x)=1十lnx, C.2024f(2025)>2025f(2024) D.2024f(2025)<2025f(2024) 当z(日，十f()>0,此时f)单调道 解析：A[令g(x)=fC(x>0),则g(x)= 增，当x∈（0，)f)<0,此时fx)单润递 r'f(r)-2xf()_rf(x)-2f(x) 减，由题5=-5lna,n3=-3nb,2 b xf(x)>2f(x),.g'(x)>0, -21nc,得alna=号n号，bnb=号n子clnc g(x)在(0，十∞)上单调递增， =n合1n子，周为日<子<3<日，所以 g2024)<g(2025),即f2024<2025) 2024 20252 .2024f(2025)>2025f(2024).] n号>n子>3n则an>he>b 5.设a=1n3,b=√31n2,c=√21n3,则a、b、c的大 且a,b.eE(日+o)小所以a>c>h] 小关系是 A.a>b>c B.b>c>a 3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(-1)=0, C.c>a>b D.c>b>a 当x<0时，xf(x)+f(x)<0,则使得f(x)>0 成立的x的取值范围是 解析：D[构造函数f(x)=2n工，其中x>0, A.(-0∞，-1)U(0,1) 则f(x)=21-ln2 B.(-1,0)U(1,十∞) C.(-∞，-1)U(-1,0) 当0<x<e时，f(x)>0,所以函数f(x)在 D.(0,1)U(1,+o∞) (0,e)上单调递增， ·438· 主题二第三章导数及其应用 因为0<2<√5<e,则f(√2)<f(W5), 2 100X101101≥0 即2n巨2n5,即3in2<in3. √2 5 所以(b+1)2>(c+1)2, 所以b<c, 又因为6=1.02-1>0c=可>0， 因为35=243<256=2，故5ln3<81n2,即1n3 所以b+1>e+1,即b>c,所以c<b<a.] <gn2<n2,即a<b 8.设函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f'(x)是函 因此，c>b>a,] 数f(x)的导函数，f(x)+(xlnx)f(x)>0,则 6.(2025·安徽模拟)已知a=e*3,b=ln(eπ 下列不等关系正确的是 2e),c=x-2,则 A.f(3)log23>f(2) &f(餐n号<0 A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a C.f(3)>2f(9) 解析：A[由a=e3,b=ln(er-2e), 解析：A[函数f(x)的定义域为(0，十∞)，则 a=e*2-,b=In(ex-2e)=In(x-2)+1, 令fx)=e1-x(x>1),则f(x)=e1-1>0 f(z)+(zlnx)f(z)>0f(x)+f(r)Inx> 在(1，十∞)上恒成立， 0,令g()=f(x1n,x>0,则g(x)=f(x) 故f(x)在(1，十o∞)上单调递增， 十f(x)lnx>0,即g(x)在(0，+o∞)上单调 则有f(x-2)=e2)1-(x-2)>f(1)=0,即 递增， a>c,g(z)=In x-x+1(x>1), 对于A,g(3)>g(2),即f(3)ln3>f(2)ln2台 则g)=-1=1<0在1，+o)上恒成 f3lg,3>f(2),A正确：对于Bg号) 立，故g(x)在(1，十∞)上单调递减， 则有g(π-2)=ln(x-2)+1-(π-2)<g(1) g1),即f(3)1n于>f1)1n1=0,B不正确：对 =0,即b<c,故b<c<a.] 于C,g(3)<g(9),即f(3)ln3<f(9)ln9 72.设a=2n1016.2-1c=则 () 2f(9)ln3台f(3)<2f(9),C不正确：对于D, A.a<b<c B.c<a<b (日)大g1,即f)n3<1n1=0,有 C.<a<c D.c<b<a 解析：D[令f(x)=lnx,g(x)=√元-1， 2(日)0=/）>0.D不正确.] h(x)=f(x)-g(x)=In x-z+1, 9已知不等式+nx+>≥对1，+o)止 (x)=上-1=2E,可以判断Ax)在 恒成立，则实数m的最小值为 x2√E 2x [0,4]上单调递增， 解折：x叶mln+≥可支为x+≥ a-b=2ln1.01-√1.02+1=ln1.01-√1.02+1 mlnx→x十e≥xm-lnxm, =ln1.0201-√1.02+1>ln1.02-√.02+1 再变形可得，e一lne≥x"-lnx", =h(1.02)>h(1)=0, 设f(x)=x一Inx(x>0),原不等式等价于 所以a>b, f(e)≥f(x),因为f(x)=1-1=1,所 2X (b+1)-(c+1)=1.02- +) 以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上 22 1202-2001 1001011012100×101101 单调延增而>1e1∈01 ·439· 高考总复习数学(BS)》 当m<0时，0x"<1,所以由f(e)≥f(x"), y=f(x 可得e‘≤xm, 因为x>1,所以lne'≤lnx"→m≥ In 设g)=2u>1g(x)=-月 (In 2)2 由图象可知，不等式f(x)≤sin元x在[-3,3] -ln,所以函数(x)在(1，e)上单调递增，在 (In 2)2 上的解集为[-2,0]U[2,3]. (e,十∞)上单调递减，所以g(x)nmx=9(e)= 答案：[-2,0]U[2,3] -e,即-e≤m<0. [能力提升组] 当m=0时，不等式x+>≥1在1，十∞) 11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导 函数为f(x),且当x<0时，2f(x)+xf(x) 上恒成立： <0,则不等式(x-2024)f(x-2024)- 当m>0时，x”>1,无论是否存在m∈ f(一1)<0的解集为 (0,十∞)，使得f(e)≥f(xm)在x∈(1，十o∞) A.(-0∞，2025) 上恒成立，都可判断实数m的最小值为一e. B.(2023,2025) 答案：一e C.(-∞，2025)U(2023,+∞) 10.(2025·江苏常州期末)已知定义在R上的奇 D.(-0∞，2023)U(2025,+∞) 函数f(x)满足f(2+x)=f(一x),且当x∈ 解析：D[令F(x)=xf(x), [0,1门时f'(x)>r,则不等式f(x)≤sin xx在 F'(x)=2xf(x)+x'f'(x)=x[2f(x)+ [一3,3]上的解集为 xf(x)],当x<0时，2f(x)+xf(x)<0, 解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以当x<0时，F(x)=x[2f(x)+xf(x)] 则f(-x)=-f(x),且f(0)=0, >0,即F(x)在（一∞，0）上是增函数， 所以f(2+x)=f(一x)=-f(x), 由题意f(x)是定义在R上的偶函数，所以 则f(4+x)=-f(x+2)=f(x), f(-x)=f(x),所以F(-x)=(一x)2f(-x) 所以函数f(x)为周期为4的函数，且图象关 =x2f(x)=F(x),所以F(x)是偶函数，在 于x=1对称. (0,十∞)递减，所以F(x-2024) 令g(x)=f(x)-元x,x∈[0,1] (x-2024)2f(x-2024),F(-1) 则g'(x)=f(x)-r>0, =(-1)f(-1)=f(-1),即不等式等价为 所以函数g(x)在[0,1]上单调递增， F(x-2024)<F(-1),所以x-2024|>1, 所以当x∈[0,1]时，g(x)≥g(0)=0, 所以x<2023或x>2025.] 即f(x)≥πx. 2.已知可导函数f)是定义在(-受，受)上的 设h(x)=sin x-xx,x∈[0,1]， 则h'(x)=πcos元x-元=π(cosπx-1)≤0， 奇函数.当x∈(0，受)时，f)+fx)tan 所以函数h(x)在[0,1]上单调递减， >0,则不等式cosx·f+受)+sinx 则当x∈[0,1]时，h(x)≤h(0)=0, 即sinπx≤xx, f(一x)>0的解集为 所以f(x)≥sinπx在[0,1]上恒成立， A(受-) a(0 结合对称性可画出函数f(x)和y=sin元x在 [一3,3]上的简图，如图所示： c(-- D.(-.0) ·440· 主题二第三章导数及其应用 解析：D[当x∈（O,受)时f)+f(x)ant 由f(2λ.x)≥f(lnx),知2λx≥1nx,即入≥ 0,cos xf(x)+f (x)sin x0. 2x 则画数mfx)在(0，受)上单调递增，又可 设g(x)=,x∈(0，+∞)，求号g'()= 导画数f是定义在（一受·受）上的奇画数 2(1-lnm2,令g'(x)=0,得x=e, 42 则sinf(x)是（受号）上的偶画数，且在 当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当0<x <e时，g'(x)>0,g(x)单调递增； (-受0单调递减， ∴g(x)在x=e处取得极大值，且为最大值， g(2).=g(e)=In e=1 2e 2e 由 <-x< 可得x(受0 所以≥品时，不等式。“2要>0恒成主。 2 则x+登∈(0)-(0，) 答案：。 则（受0时，不等式mx…f(+) 14.若关于x的不等式alnx+1≤x(e-a)(a∈ R)恒成立，则a的取值范围是 sinx·f(-x)>0 解析：alnx十l≤x(e一a),整理为xe一ax 可化为sm（+)f(+) alnx-l≥0，其中xe=enr·e'=e+hr,故 sin(-x)·f(-x), e+h-a(x+lnx)-l≥0，令x+lnx=t∈R, 又由画数mfu)在(0，受)上单调递增，且 则e-at-1≥0，f(t)=e-at-1,注意到： f(0)=0,其中f(t)=e-a,当a=1时，令 re(o,)+∈(0，) f(t)>0,解得t>0,令f(t)<0,解得1<0，则 则有受>1+>->0, f(t)≥f(0)=0,满足题意： 当a>1时，令f(t)>0,得>lna,令f(t)<0, 解之得-平<<0.] 得t<lna,则f(t)=e-at-1在(lna,+o∞) 13.已知λ>0，对任意的x∈(0，十∞)，不等式 上单调递增，在（一∞，lna)上单调递减，且 ”爱>0恒成立则入的最小值为 lna>0,f(0)=0,所以当t∈(0，lna)时， f(t)<f(0)=0,不合题意，会去： 解析：，对于任意x∈(0，十∞)，>0，不等式 故不满足题意，舍去； e出1>≥0恒成立， 2λ 当0<a<1时，令f(t)>0,得t>lna,令 ∴.对于任意x∈(0，十∞)，2e≥lnx台 f(t)<0,得t<lna,所以f(t)在(-o∞，lna) 2λxe≥xlnx=lnx·en,即2Are2≥lnx· 上单调递减，在(lna,十oo)上单调递增，且lna enr恒成立， <0,f(0)=0,所以当t∈(lna,0)时，f(t)< 当0<x≤1时，2λxe2>0≥lnx·enr: f(0)=0,不合题意，含去；当a≤0时，f(-1) 当x>1,lnx>0, =e1十a-1<0,故不合题意，含去. 设f(x)=xe,则f(x)=e(1十x)>0,所以 综上，a的取值范围是{1}. f(x)=xe在x∈(0，十o∞)上单调递增， 答案：{1》 ·441·