课时18 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

高考总复习 数学(BS) 课时冲关18 利用导数研究函数的极值、最值 学生用书 P271 [基础训练组] 4.如图,可导函数y=f(x)在点P(x。,f(x))处 1.(2025·沈阳市模拟)设函数f(x)三xe十1.则 的切线为l;y=g(x),设h(x)=f(x)一g(x). - 则下列说法正确的是 ( ) A.x=1为f(x)的极大值点 )-g(x) B.x三1为f(x)的极小值点 C.x三一1为f(x)的极大值点 D.x三一1为f(x)的极小值点 (x) 解析:D [由于f(x)一xe十1,可得 f'(x)-(x十1)e, 令f'(x)-(x十1)e-0,可得x=-1, A.xR,h(x)>0 令f(x)=(x十1)e>0,可得x-1,即函数 B. VxR,h'(x)<0 在(一1,+oo)上是增函数,令f'(x)-(x十1)e C.h'(x)一0,x一x。是h(x)的极大值点 <0可得x -1,即函数在(-,-1)上是减 D.h'(x。)=0,x三x。是h(x)的极小值点 函数,所以x一一1为f(x)的极小值点.] 解析:C[因函数y三f(x)在点P(x,f(x)) 处的切线为y一f(x。)=f(x。)(x一x。),即 g(x)=f(x。)x-xf(x。)十f(x。). 函数f(x)的最大值为 则h(x)=f(x)一g(x) A.0 B.2- =f(x)-f(x)x十xf(x。)-f(x). D# 于是,h'(x)一f(x)-f(x),由图知,当 x 时,f(x)>f(x),此时h'(x)>0. 解析:C[:f(x)=-1+2cosx,.'当 当x>x时,f(x)<f(x),此时h'(x)<0 [0.]时,/'(c)>o,f(x)单调递增, 对于B项,由上分析,B项显然错误; 当#(,]时,f(2)<0,f(i)单调沸减, 对于C,D项,由上分析,当xx.时,h(x)单调 递增;当x二x.时,h(x)单调递减 f()#()# 即当x=x。时,h(x)取得极大值,且h(x。)-0. 故C项正确,D项错误;对于A项,由以上分析 3.已知x-是函数f(x)=xln(2x)-ax的极值 知x一x。时,h(x)取得极大值h(x。)一0,也是 最大值,则有VxR,h(x)0,故A项错误。 点,则实数a的值为 C 5.已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时 B.### A.1 (x)#=1nx-ax#(a),当x(-2.20)时, C.2 D.& f(x)的最小值为1,则a的值为 - 解析:C [由题意可得:f(x)一ln(2x)十x× A.1 C. D.1 2x 解析:D[:f(x)是奇函数,..f(x)在(0,2)上 因为x二 的最大值为-1.当x(0,2)时,f(x)--a,令 值点, 经验证;a=2时,f'(x)-ln(2x)-1. 当时,#(x)<0,f(x)#减#当## 时,f(x)>0,f(x)递增, 则x-是函数f(x)-xln(2x)-ax的极小值 点,故a-2.] -1,解得a-1.] ·434· 主题二 第三章 导数及其应用 6.函数 f(2)-#-sin,若f(x)在(0#)上 8.(多选)(2024·新课标I卷)设函数f(x)=( -1)(x-4),则 ( 有最小值,则实数a的取值范围是 ( A.x=3是f(x)的极小值点 A.(0,十oo) B.(0,1) B.当0<x<1时,f(x)<f(x) D.(-1,0) C.(-oo,0) C.当1 <2时,-4 f(2x -1)< D.当-1<x<0时,f(2-x)>f() 解析:ACD [首先有f(x)=(x-1)②}(x-4) 得f'(x)=ax-cosx. 则r'(x)-3(x-1)(x-3). 若△<o时,当x(0#)时,可得”(c)<0, 对于A有,x一3左右的两侧符号变化为由负到 正,故其为极小值点,故A正确; f(2)在#,)上单减 对于B有,当0 x<1时,函数单调递增且< 此时函数f()在(0)上没有最小值,不符合 x.故fx{}) f(x),故B错误; 对于C有,当1<x<2时,得1<2x-1<3且 f(1)-0,f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故 题意; C正确; 当a>0时,令f(x)=0,即ax-cosx=0,即y 对于D有,当一1 x 0时,f(x)单调递增, 一ax与y一cosx的交点. f(2一x)二f(x)成立,故D正确,故选 画出函数y一ax与y= y 择ACD.] cos文的图象,如图所示, y- 9. f(x)= ln(ax)-2 十ax,f(x)的最小值为 结合图象,可得存在xE #6##使得(o)0. 解析:令ax=t(0,+oo),则y=|lnt-2|+ y-cosx (+lnt-2,te, 当x(0,x。)时,f'(x) t-lnt+2,0 t<e. <0.f(x)单调递减; 当t^{}时,y=lnt+t-2单调递增,ymn=e^②,$ 当x#(。,)时,f(t)>o,f(2)单调递增, 当0<t<e*时,令g(t)=-lnt十t+2, , 0{ <1时,g'(t)<0,g(t)递减. 综上可得,实数a的取值范围是(0,十). t1时,g’(t)→0,g(t)递增.g(t)=g(1)-3. 7.(多选)函数y一f(x)的 综上,f(x)-3. 导函数一f(x)的图象 答案:3 如图所示,下列命题中 10.已知a→0,函数g(x)=x+1+a-2在[2,+o) 正确的是 ) A.-3是函数y=f(x)-3-2-10 上的最小值为1,则a三 的极值点 解析:由题意得g(c)=1-1_-(1+a) } B.y=f(x)在区间(一3,1)上单调递增 当 1+a<2,即0<a<3时,g'(x)>0,g(x) C.一1是函数y三f(x)的最小值点 在[2,十)上单调递增, D. y三f(x)在x一0处切线的斜率小于零 故g(t) m-8g(2)-11,解得an=1; 解析:AB [根据导函数图象可知:当x 2 (-,-3)时,f(x)<0,在x(-3,1)时 当 1+a>2,即a>3时,当2<x<1+a时, f'(x)二0,'函数y=f(x)在(-,一3)上单$ g'(x)~0,g(x)单调递减, 调递减,在(一3,1)上单调递增,故B正确;则-3 当x>\1+a时,g'(x)>0,g(x)单调递增 是函数y一f(x)的极小值点,故A正确;·在 故g(x)=g(\1+a)=2 1+-2-1,解得 (一3,1)上单调递增,..-1不是函数y=f(x) 的最小值点,故C不正确;.函数y一f(x)在 a二 一0处的导数大于0,.',切线的斜率大于零,故 综上,a-1. D不正确.] 答案:1 ·435· 高考总复习 数学(BS) 则g(x)在(0,e^{})上单调递减,在(e,十)上 的极大值点,则实数a的取值范围为__. 解析:f(x)的定义域为(0,十o),f(c)-1- ax-b,由f(1)=0,得6-1-a. [能力提升组] 13.(多选)(2024·新课标II卷)设函数f(x)一 。 2. 2x-3ax*十1,则 -(ax+1)(x-1) ( 。 A.当a>1时,f(x)有三个零点 ①若a>0,当0<x<1时,f(x)>0,f(x)单 B.当a<0时,x一0是f(x)的极大值点 调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减 C.存在a,b,使得x一b为曲线f(x)的对称轴 所以x一1是f(x)的极大值点. D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y三f(x)的 ②若a<0,由f(x)=0,得x=1或x=- 对称中心 解析:AD[求导得f(x)一6x(x一a),于是: A正确,当a1时,极大值f(0)一1>0,极小 解得一1<a0.综合①②得实数a的取值范 值f(a)-1-a<0,所以必有三个零点;B错, 围是(-1,十。). a 0时,x一0应为极小值点;C错,任何三次 答案:(-1,十。) 函数不存在对称轴;D正确,当a一2时f(x)一 12.已知函数f(x)=ax-1-lnx(aéR). 2(x-1)-6(x-1)-3,关于(1,-3)中心 (1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的 对称] 个数; 14.(2025·陕西西北工业大学附属中学模拟)已 (2)若函数f(x)在x=1处取得极值,VxE 知函数f(x)=[ax^}-(4a十1)x+4a+3]e. (0.+oo),f(x)bx-2恒成立,求实数b的最 若x=2是f(x)的极小值点,则实数a的取值 大值. 范围是 解:(1)f(x)的定义域为(0,十o). A.(-~ B.,{) f()--1ax-1 ) C.(-o,0) D.(-1.十o) 当a<0时,f(x)<0在(0,十o)上恒成立, 解析:B [由f(x)-[ax}-(4a十1)x+4a十 函数f(x)在(0,+o)上单调递减. 3]e,得f(x)=(ax-1)(x-2)e, f(x)在(0,十)上没有极值点. 令f(x)-(a-1)(x-2)e0→(ax-1)( 当a>0时,由f(x)>o,得x1. -2)>0. (0.)上单调递减,在 若a<o,则(ax-1)(x-2)>0→1<<2,此 所以f(x)在 时在(#2)上单调增,在(2,), 极小值。 综上,当a0时,f(x)在(0,十o)上没有极值 点;当a>0时,f(x)在(0,十o)上有一个极 极小值点矛盾,故舍去, 值点. 若a一0,可知x一2是f(x)的极大值点,故不 (2).函数f(x)在x一1处取得极值, 符合题意. f(1)=a-1-0,则a-1, 从而f(x)=x-1-lnx. ##此时(2)在(-2)(#+#上单# 令8(x)-1+11n,则g'()-1n2. 递增,在(2.)上单调递减,可知x=2是 文2 { 由g(x)二0,得x二e?, f(x)的极大值点,故不符合题意, ·436· 主题二 第三章 导数及其应用 解:(l)f'(x)=e*(x-a){②}+e·2(x-a) -e[x2+(2-2a)x+a^{②}-2a], 此时/(2)在(-~)(2,+)上单调增, 由f'(-1)=e[1-(2-2a)+a^}-2a]= 解得a一士1, 当a=1时,f()=e(-1)^②},f(-1)=4 e 符合题意; 小值点,符合题意: 当a=-1时,f(x)=e(x+1){},f(-1)=0 若a一- 此时切线与工轴重合,不符合题意; 所以a-1. 不符合题意,舍去,综上可知实数a的取值范 ($2)由(1)知:f(x)=e'(r+(2-2a)x+a-2a) #是(~).# = (x-a)[x-(a-2)],令f(x)-0,可得x 15.(2025·长沙市模拟)在半径为B的圆内,作内 -a或a-2, 则f(x)在(-co,a-2),(a,十oo)上单调递 接等腰△ABC,当底边上高hE(0,t]时, 增,在(a-2,a)上单调递减,则a-2,a是f(x) △ABC的面积取得最大值3~3R{} 一,则:的取值 的两个极值点,不妨设x一a-2,x。=a, #4)#(-2## 范围是 -f(a-1)-e-, . 解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高 f(x.)十f(x) 一 f(a-2)十f(a) 4e-2+0 为h,△ABC的面积为S,则x^{②}一h(2R-h)$ 2 2 2 .S-xh, -2, *$${②}=^*h^{}-h^$}(2R-h)=-h$'+2 Rh^$}(0 $h$$ 又-1-e?>2e*, <2R). ##4去))# 令f(h)=-h+2Rh*,(0<h<2R). 2 '.f(h)=-4/}+6Rh^{}-2h}(3R-2h), (3)由(2)知:f(x)在(-oo,a-2),(a,十o)上 3R 单调递增,在(a-2,a)上单调递减. 令f'(h)一0,解得h= 2. 当a3时,a-2>1,则f(x)在[-1,1]上单 调递增,则f(x)=f(1)=e(1-a){②}=4e,解 得a-3或-1,故a-3; #<h<2R时,f'(h)<0,函数f(h) 当1<a 3时,-1<a-2<1,则f(x)在$ [-1,a-2)上单调递增,在(a-2,1]上单调递 单调递减. 减,则f(x)ma,=f(a-2)-4e{-?-4e,解得a 一3,不满足1<a3,不合题意; 当a=1时,a-2--1,则f(x)在[-1,1]上 单调递减,则f(x)=f(-1)=e-1(-1 .的取值范因为[3R,2R). 当-1<a<1时,a-2<-1,则f(x)在[-1,a)上 答案:[,2R 单调递减,在(a,1]上单调递增,则f(x).. f(-1),f(1)): 16.(2025·北京人大附中模拟)已知函数f(x) 若f(-1)f(1),则f(x)=f(-1)=e-1 e(x一a)2. (-1-a)②}-4e,解得a-2e-1或-2e-1,不 (1)若f(x)在x二一1处的切线与x轴平行 满足-1<a1,不合题意, 求a的值; 若f(1)>f(-1),则f(x)=f(1)-e(1-a){} (2)f(2)有两个极值点习,x,比较/(2) 4e,解得a-3或-1,不满足-1 a 1,不合 _#()十f()的大小; 题意; # 当a<-1时,则f(x)在[-1,1]上单调递增; 则f(x)-ff(1)=e(1-a){②}-4e,解得a=3 (3)若f(x)在[-1,1]上的最大值为4e,求a 或一1,故a--1; 的值. 综上,a-3或-1. ·437·