课时17 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

高考总复习数学(BS) 课时冲关17 利用导数研究函数的单调性 学生用书P269 [基础训练组] 4.(2025·沙坪坝区模拟)定义在(0，十∞)上的函 1.(2025·天津崇化中学期中)函数y=x2·e的 数fx)的导函数为fx),且f(r)<f工，则 递增区间是 ) A.(0,2) 对任意x1、x2∈(0，十∞)，x1≠x2,下列不等式 中一定成立的有 B.(-o∞，0) C.(-o∞，0)，(2，十∞) ①f(x1+x2)<f()十f(x2):②f()+f(2)< D.(-∞，0)U(2,+∞) 兰f,)+5f):③f2)<25f1):④f） 解析：A[由题意，函数f(x)=x2·ex= <f()f(x2). e A.①②③ B.②④ 可得f(x)=-2,令f(x)>0,即x(x C.②③ D.③ e 一2)<0，解得0<x<2,所以函数y=x2·e 解析：A[由已知g(x)=C卫，则g'(x)= 的递增区间是(0,2).] f()r-f(2)<0. 2.(2025·安徽毫州期中)已知函数f(x)的导函 数是f(x)=√1一x,则函数f(x)的图象可 故g(x)在(0，十o∞)上单调递减， 能是 故(x1一x2)[g(1)-g(x2)]<0,展开即为②； 由于21>1，故g(21)<g(1),故③正确； 由于x1十x2>x1→g(x1十x2)<g(x1)→ 。fx十x)<fx), x1十e 同理，，f(m十)<fx),相加得f(,十 x1十x2 2)<f(x1)十f(x2),故①正确： 取f(x)=1,它符合题意，但是①并不成立，综 -1O7 上一定成立的有①②③.] 5.(2025·湖南师范大学附中模考)下列两数的大 C 小关系中正确的是 ( 解析：B[由题知f(x)≥0且不恒等于0，又因 A.x3>3 B.5>4 为y=1一x在(0,1)上单调递减，在（一1,0）上 C.2In 3<3In 2 D.tan 1<1 单调递增，y=√？在定义域上单调递增，所以 解析：B[对于A,设f(x)=ln(r>e), f(x)在(0,1)上单调递减，在（一1,0）上单调递增， 即当x∈[一1,1门时，f(x)的值由小变大，再由大 则f(x=1-lnx x 变小，即函数f(x)图象从左到右是单调递增， 则当x>e时，f'(x)<0,∴.f(x)在(e,十∞)上 且变化趋势是先慢后快再变慢.] 单调递减，.f(3)>f(π)， 3.(2025·湖北房县第一中学模拟)已知函数f(x) =1-e2 e不等式fr)>f(x+2)的解集为 即lh3>hx,即xln3>31n,ln3>lnx, 3 则3>π，A错误； 对于B,,(5)2=3=81,(4)2=42=64, A.(-∞，-1)U(2,+∞) ∴.(3)12>(4)12，则>4，B正确： B.(-1,2) 对于C,2n3=ln32=ln9,3ln2=ln23= C.(-∞，-2)U(1,+o∞) ln8,ln9>ln8,∴.2ln3>3ln2,C错误； D.(-2,1) 解标：B[因为f)=齐所以了) 对于D,tam1>tan平=1，D错误.] 6.(2025·荆州模拟)已知f(.x)是定义在（一∞， (e十1)<0，所以f(x)在R上单调道减， -4e2 0)U(0,十∞)上的奇函数，f(x)是f(x)的导 则f(x2)>f(x十2)等价于x2<x+2,解得-1 函数，f1)≠0，且满足f(x)1nx+f心<0，则 <x<2,即原不等式的解集为（一1,2）.] 不等式(x一1)f(x)<0的解集为 ( ·430· 主题二第三章导数及其应用 A.(1,+∞) B.(0,1) 由题知，f(x)=ln(e一ae),若f(x)在(0， C.(-∞，1) D.(-∞，0)U(1,+∞) 十o∞)上单调递增，则函数g(x)=er一ae在 解桥：D[[fx)n]'=1f(x)+f(xnr< (0,十o∞)上单洞适增，则g()=是e·(e 0,g(x)=f(x)1nx在(0，十∞)上为减函数， 十a)≥0在(0，十∞)上恒成立，即e十a≥0在 而g(1)=0, (0,十o∞)上恒成立，解得a≥一1，即D正确.] ∴.在(0,1)上1nx<0,g(x)>0:在(1，+∞)上 9.(2025·呼和浩特市模拟)若函数f(x)=lnx+ lnx>0,g(x)<0:而f1)<0, ax2一2x在区间(1,2)内存在单调递增区间，则 .在(0，十o∞)上f(x)<0,又函数f(x)为奇函数， 实数a的取值范围是 .在(-∞，0)上f(x)>0, 解析：f(x)=1+2ax-2, 不等我r-1f)<0等价于0或 若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增区间， {<1,。x∈(-∞，0)U1,+∞).] 则f(x)>0在x∈(1,2)有解，故a>1-1 1f(x)>0, 7.(多选)(2025·全国模拟)已知函数f(x)的定义域 令82)=27g)在1,2)为减画数7 为(0，十)，其导函数为f(x),对于任意x∈(0， +∞)，都有xnxf(x)十f(x)>0,则使不等式 g)>g2)=是名-营故a> fx)1nx+1>子成立的x的值可以为 ( 答案：（+ A号 B.1 C.2 D.3 10.(2025·河北模拟)若函数f(x)=(x2+mx)e 解析：CD[令g)=fanx+1-所以 在[一名，]上存在单调递减区间，则m的取 值范围是 g(x)=f(r)lnx+fx2+⊥ 解析：f(x)=(2x十m)e十(x2+m.x)e =[x2+(m+2)x+m]e, 因为f)nr+f四>0，>0，所以g(x) 则原问题等价于f()<0在【一立]上有 >0,所以g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又g(1)=0,可得g(x)>0的解集为 解，即2+(m+2)x+m<0在[]上 (1,+∞).] 有解， 8.(多选)(2025·广东茂名模拟)已知函数f(x) 1 即m<2在[合小上有解， x十1 =ln(e-ae)-豆r,其中e是自然对数的底 因为二x2-2 数，则下列选项正确的是 ) x+1 =-(x+1)+且y=- A.若a=1,则f(x)为奇函数 +1)+在[小上单调递减， B.若a=一1，则f(x)为偶函数 C.若f(x)具备奇偶性，则a=-1或a=0 所以当x=一号时，=-（号+1计 D.若f(x)在(0，十∞)上单调递增，则a的取值 范围为[一1，十∞) 解析：BCD[若a=1,fx)=n(e-e)- 含+1 x,则e一e>0,解得x>0,故f(x)的定义域 答案：m< 为(0，十o∞)，不关于原点对称，即A错误；若a 11.(2025·北京模拟)已知奇函数f(x)的定义域 =-1f)=h(e+e)-2x=ln(e+ 为R,且巴>0，则f(r)的单调递减区间为 x2-1 er)一lne普=ln(er十e),定义域为R,满足 :满足以上条件的一个函数 是 f(-x)=f(x),故f(x)=ln(e+er)为偶 函数，即B正确； 解析：由工>0，可得f(x)(x2-1)>0, x2-1 当a=一1时，由B可知f(x)为偶函数， 所以{fx)0或fx)0. 当a=0时，易知f)=号：为奇画数，即C ‘{x2-1>0{x2-1<0, 所以当x<一1或x>1时，f(x)>0,当一1< 正确； x<1时，f(x)<0, ·431· 高考总复习数学(BS)》 所以f(x)的单调递减区间为（一1,1）， 解析：D [g(x)=f(z) 所以满足条件的一个函数可以为f()=3工 sin x ∴g'(x)= f (r)sin r-f(r)cos a. 一x(答案不唯一). sin'x 答案：(-1,1)f)=了r-(答案不唯-) :当x∈（0，受)时fx)sinx-fm)cos<0, 12.(2025·齐齐哈尔市模拟)已知函数f(x)= ∴g(x)<0, 加x一1十士，且曲线y-fx)在点1，I)处的 ∴g)在(0，受)上单调递减，“f(r)是定义 切线与y轴垂直. 在（登0u(o) 上的奇函数， (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(.x)>ax在0<x<1时恒成立，求实数 故g(一x)= f(-x) f(x) sin(-) sin a =g(x),∴g(x) a的取值范围. 是定义在 解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x) 00，)上的偶数 纟之，y=)在点11)类 g(x)在 x r ,上单调递增。 的切线与y轴垂直， ①当x∈ 0,时，sinx>0, )=0.即=1f)=号 则不等式f)2f()sinx可转化为 sin x .当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时， f(a)>0, .f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区 间为(1，十0∞). sin (2)f)=n-1+子：f>ar对0 故r(后) <1恒成立，a<f卫在(0,1)上恒成立， @当x(受0时，inr<0, 设g)=f9--+0<<1.则 则不等式f)<2f)sinx可转化为 gx)=1-n2+3-2=2红-nx-2. x x sin x 令h(x)=2x-xlnx-2(0<x<1),则 sin君 h'(x)=2-lnx-1=1-lnx>0, ∴.h(x)在(0,1)上单调递增，∴.h(x)<h(1)=0, 即g)>g()-(看) g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减， x>- 故x（0 ∴.g(x)>g(1)=0,∴.a≤0. [能力提升组] 不等式f(x)<2f()sin的解集为 13.(2025·江西鹰潭市模拟)已知奇函数f(x)的 (晋o(门 定义域为（受0·(0受）其导函数是 14.(多选)若定义域为(0，十∞)的函数f(x)的导 函数f(x)满足xf'(x)+1>0,且f(1)=1, fa当xe(0,号)时，fsm- f()cos 0, 则下列结论中成立的是 ( A.f(e)>0 则关于x的不等式f(x)<2f()sinx的解 n.)2 集为 C.Hx∈(1，e),f(x)>0 A(受-U() n3ea.ef)-f()+20 B(受)（告·） 解析：ABC[根据题意，若定义域为(0，十∞) 的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)十1 c.(ouo.) >0则有)+>0，则有c)+nx>0,设 Dn.(-吾ou( g)=f)+lnx,则g'()=f(x)+>0,则 ·432· 主题二第三章导数及其应用 g(x)在(0，十∞)上为增函数，依次分析选项： 解析：(1)当b=1时，f(x)=1nx+x2-3x, 对于A,e>1,则g(e)>g(1),即f(e)+lne 1,则有f(e)>0,A成立；对于B,<1,则 f1)=-2,fx)=是+2x-3,f)=0, 故曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程 )g.则f日)+=f)-1K 为y=-2. (2)f(x)=b1lnx+x2-(b+2)x,其定义域为 1,即有f(日)2，故B成立：对于C)在 (0,+o∞)，则f(x)=+2x-(6+2) (1,e)上为增函数，且g(1)=1,则有f(x)十 lnx>1,则f(x)>1-lnx,又当1<x<e时， =2x2-(h+2)x+b_(2x-b)(x-1D 0<lnx<1,则f(x)>0,符合题意；对于D,当 rE(1,e)时，有x>上>1>0，此时有gr)> ①当台<0，即0时，令了(x)<0,得0<红 <1,令f(x)>0,得x>1,故f(x)的单调递 ()即)+nx>f()+n()变形 减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞). 可得f)-f(日)+2hx>0,又当1Kr<e @当合>0，即>0时，由f(x)=0,得x 时，0<1n<1,则f)-f +2>0恒成立， 22=1. 不符合题意.] (1)当0<名<1，即0<<2时， 15.(2025·北京石景山模拟)设函数f(x) (x3+3ax,x≤1， {3.x+a2,x>1, 令fx)>0,可得0<<号我>1： ①若f(x)有两个零点，则实数a的一个取值 令f)<0,可得台<x<1, 可以是 ②若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值 范围是 故)的单调适增区间为(0，号)和1，+o∞)， 解析：①函数f(x)=3x+a在(1，十o∞)上单 调递增，f(1)=3十a>0, 单调地或区润为台，小 所以函数f(x)在区间(1，十∞)上无零点， (i)当号=1，即6=2时，fx) 则函数f(x)=x3+3ax在（一∞，1]上有2个 零点， 2x-2)(x-1D=2x-1D≥0， 即x3+3ax=0,x(x2+3a)=0,则x=0,或x 故f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，无单调 =-√-3a或x=√-3a,a<0, 递减区间 面>1，解得a<日 ()当乡>1，即6>2时， 所以a的一个值是一1； ②函数f(x)=3x+a2在(1，十∞)上单调 令f)>0,可得0<<1或>： 递增， 则在（一∞，1]上，f(x)=x3+3ax也单调递 令f)0,可得1<合 增，且13+3a≤3×1十a°， 若函数在f(x)=x3+3a.x在区间(-∞，1]上 故f(x)的单调递增区间为(0,1) 单调递增，则f'(x)=3x2+3a≥0，即a≥-r 在区间（一o∞，1]上恒成立，即a≥(-x2)mx, 和（台+） 即a≥0， 不等式13+3a≤3×1+a2,解得a≥2或a 单润道减区间为，号) ≤1， 综上，当b≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,1)， 综上可知，0≤a≤1或a≥2. 单调递增区间为(1，十∞)： 答案：①-1(a<-号内的值都可以)@[0， 当0<b<2时，f(x)的单调递增区间为 1]U[2,+∞) 0,号)和1，+∞).单调递减区间为（台1小： 16.(2025·陕西模拟预测)已知函数f(x)=lnx 当b=2时，f(x)的单调递增区间为(0，十∞)， +x2-(b+2)x. 无单调递减区间： (1)当b=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1) 当b>2时，f(x)的单调递增区间为(0,1)和 处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间. (会+单递减区间为，)】 ·433·