课时16 导数的概念及其几何意义、导数的运算-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

[选择性必修第二册]　 第三章　导数及其应用 课时冲关１６　导数的概念及其几何意义、导数的运算 学生用书　P２６７ [基础训练组] １．(２０２５􀅰全国模拟)若函数f(x)＝eax＋ln(x＋１), f′(０)＝４,则a＝ (　　) A．０ B．１ C．２ D．３ 解析:D　[由f(x)＝eax＋ln(x＋１),得f′(x) ＝aeax＋ １x＋１ ,又f′(０)＝４,所以f′(０)＝a＋１ ＝４,则a＝３．] ２．(２０２５􀅰四川高三模拟)曲线y＝f(x)在x＝１ 处的切线如图所示,则f′(１)－f(１)＝ (　　) A．０ B．２ C．－２ D．－１ 解析:C　[设曲线y＝f(x)在x＝１处的切线方 程为y＝kx＋b,则 b＝２, －２k＋b＝０,{ 解得 k＝１, b＝２,{ 所 以曲线y＝f(x)在x＝１处的切线方程为y＝x ＋２,所 以f′(１)＝１,f(１)＝１＋２＝３,因 此, f′(１)－f(１)＝１－３＝－２．] ３．若函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导,且x０∈(a,b), 则lim h→０ f(x０＋h)－f(x０－h) h 的值为 (　　 ) A．f′(x０) B．２f′(x０) C．－２f′(x０) D．０ 解析:B　[由题意知,lim h→０ f(x０＋h)－f(x０－h) h ＝２lim h→０ 􀅰f (x０＋h)－f(x０－h) ２h ＝２lim h→０ f(x０＋h)－f(x０－h) (x０＋h)－(x０－h) ＝２f′(x０)．] ４．(２０２５􀅰河南洛阳模拟)若过点P(１,０)作曲线y ＝x３ 的切线,则这样的切线共有 (　　) A．０条 B．１条 C．２条 D．３条 解析:C　[设切点为(x０,x３０),由y＝x３, 所以y′＝３x２,所以y′|x＝x０＝３x ２ ０, 所以切线方程为y－x３０＝３x２０(x－x０),即y＝ ３x２０x－２x３０,因为切线过点P(１,０), 所以０＝３x２０－２x３０,解得x０＝０或x０＝ ３ ２ ,所以 过点 P(１,０)作 曲 线 y＝x３ 的 切 线 可 以 作 ２条．] ５．已知函数f(x)＝xlnx,g(x)＝ax２－x．若经过 点A(１,０)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和 y＝g(x)都相切,则a＝ (　　) A．－１ B．１ C．２ D．３ 解析:B　[∵f(x)＝xlnx,∴f′(x)＝１＋lnx, ∴f′(１)＝１＋ln１＝１,∴k＝１,∴曲线y＝f(x) 在 A(１,０)处 的 切 线 方 程 为 y＝x－１,由 y＝x－１, y＝ax２－x,{ 得ax ２－２x＋１＝０,由Δ＝４－４a ＝０,解得a＝１．] ６．(２０２５􀅰榆林市模拟)曲线f(x)＝x３－１x (x＞０) 上一动点P(x０,f(x０))处的切线斜率的最小 值为 (　　) A．３ B．３ C．２ ３ D．６ 解析:C　[f(x)＝x３－１x (x＞０)的导数f′(x) ＝３x２＋１ x２ ,∴在该曲线上点(x０,f(x０))处切线 斜率k＝３x２０＋ １ x２０ ,由函数的定义域知x０＞０, ∴k≥２ ３x２０􀅰 １ x２０ ＝２ ３,当且仅当３x２０＝ １ x２０ ,即 x２０＝ ３ ３ 时,等号成立．∴k的最小值为２ ３．] ７．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于 y轴对称,则f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝３cosx B．f(x)＝x３＋x C．f(x)＝x＋１x D．f (x)＝ex＋x 解析:BC　[对 于 A,f(x)＝３cosx,其 导 数 f′(x)＝－３sinx,其导函数为奇函数,图象不关 于y轴对称,不符合题意; 对于B,f(x)＝x３＋x,其导数f′(x)＝３x２＋１, 其导函数为偶函数,图象关于y 轴对称,符合 题意; 对于C,f(x)＝x＋１x ,其导数f′(x)＝１－１x２ , 其导函数为偶函数,图象关于y 轴对称,符合 题意; 对于 D,f (x)＝ex＋x,其导数f′(x)＝ex＋１, 其导函数不是偶函数,图象不关于y轴对称,不 符合题意．] ８．(多选)已知函数f(x)＝ex,则下列结论正确 的是 (　　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是１ B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－１ C．过点(０,１)且与曲线y＝f(x)相切的直线有 且只有１条 D．过点(０,０)且与曲线y＝f(x)相切的直线有 且只有２条 解析:AC　[因为函数f(x)＝ex,所以f′(x)＝ex． A．令f′(x)＝ex ＝１,得x＝０,所 以 曲 线y＝ f(x)的切线斜率可以是１,故正确;B．令f′(x) ＝ex＝－１无解,所以曲线y＝f(x)的切线斜率 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第三章　导数及其应用 不可以是－１,故错误;C．因为(０,１)在曲线上, 所以点(０,１)是切点,则f′(０)＝１,所以切线方 程为y－１＝x,即y＝x＋１,所以过点(０,１)且与 曲线y＝f(x)相切的直线有且只有１条,故正 确;D．设切点(x０,ex０),则切线方程为y－ex０ ＝ ex０(x－x０),因为点(０,０)在切线上,所以ex０ ＝ x０ex０,解得x０＝１,所以过点(１,e)且与曲线y＝ f(x)相切的直线有且只有１条,故错误．] ９．在平面直角坐标系xOy中,点A 在曲线y＝lnx 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－１) (e为自然对数的底数),则点A 的坐标是　　 　　,切线方程为　　　　　　． 解析:设点A(x０,y０),则y０＝lnx０． 又因为y′＝１x ,当x＝x０ 时,y′＝ １ x０ , 曲线y＝lnx在点A 处的切线方程为y－y０＝ １ x０ (x－x０),即y－lnx０＝ x x０ －１,代入点(－e,－１), 得－１－lnx０＝ －e x０ －１,即x０lnx０＝e, 记 H(x)＝xlnx,当x∈(０,１)时,H(x)＜０, 当x∈(１,＋∞)时,H(x)＞０, 且 H′(x)＝lnx＋１,当x＞１时,H′(x)＞０, H(x)单调递增,注意到H(e)＝e,故x０lnx０＝e 存在唯一的实数根x０＝e,此时y０＝１, 故点A 的坐标为(e,１),切线方程为y＝xe． 答案:(e,１)　y＝xe １０．(２０２５􀅰广东深圳市模拟)已知函数f(x)＝xlnx －ax２＋x(a∈R),则曲线y＝f(x)在点(１,f(１)) 处的切线l恒过定点　　　　． 解析:函数f(x)＝xlnx－ax２＋x(a∈R)的定 义域为(０,＋∞), 由f(x)＝xlnx－ax２＋x,得f′(x)＝lnx＋２ －２ax,则f′(１)＝２－２a． 又f(１)＝１－a,则 曲 线 y＝f(x)在 点 (１, f(１))处的切线l的方程为y－(１－a) ＝２(１－a)(x－１), 即y＝２(１－a)x－１２ æ è ç ö ø ÷,由 x－ １ ２＝０ , y＝０ { 可得 x＝１２ , y＝０, { 所以直线l恒过定点 １２,０æèç öø÷． 答案:１ ２ ,０æ è ç ö ø ÷ １１．(２０２５􀅰全国模拟)已知a＞１,函数f(x)＝lnx,则 下面结论中正确的有　　　　(填上所有正确结 论的序号)． ①函数f(x)在区间[a,a＋１]上的平均变化率 总是大于１; ②函数f(x)在区间[a,a＋１]上的平均变化率 总是小于１; ③函数f(x)在区间[a,a＋１]上的平均变化率 随着a的增大而增大; ④函数f(x)在区间[a,a＋１]上的平均变化率 随着a的增大而减小． 解析:Δy Δx＝ f(a＋１)－f(a) a＋１－a ＝ln (a＋１)－lna ＝lna＋１a ＝ln１＋ １ a æ è ç ö ø ÷, 因为a＞１,所以ln １＋１a æ è ç ö ø ÷ ＜ln(１＋１)＝ln２ ＜１,所以①错误,②正确． 又当a＞１时,１＋１a 随着a 的增大而减小, ln１＋１a æ è ç ö ø ÷随着１＋１a 的减小而减小, 所以Δy Δx 随着a 的增大而减小,所以③错误,④ 正确． 答案:②④ １２．已知函数f(x)＝x３－３x 及y＝f(x)上一点 P(１,－２),过点P 作直线l． (１)求使直线l和y＝f(x)相切且以P 为切点 的直线方程; (２)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P 的直线方程． 解:(１)由f(x)＝x３－３x,得f′(x)＝３x２－３, 过点P 且以P(１,－２)为切点的直线的斜率 f′(１)＝０, ∴所求的直线方程为y＝－２． (２)设过P(１,－２)的直线l与y＝f(x)切于另 一点(x０,y０), 则 f′ (x０ )＝ ３x２０ － ３．又 直 线 过 (x０, y０),P(１,－２), 故其斜率可表示为y０－ (－２) x０－１ ＝ x３０－３x０＋２ x０－１ , 又 x３０－３x０＋２ x０－１ ＝３x２０－３, 即x３０－３x０＋２＝３(x２０－１)(x０－１), 解得x０＝１(舍去)或x０＝－ １ ２ , 故所求直线的斜率为k＝３× １４－１ æ è ç ö ø ÷＝－９４ , ∴y－(－２)＝－９４ (x－１),即９x＋４y－１＝０． [能力提升组] １３．(２０２５􀅰玉溪市模拟)已知函数f(x)＝x２＋ ln２x－２m(x＋lnx)＋２m２＋１,若存在x０ 使得 f(x０)≤ ３ ２ 成立,则实数m 的值为 (　　) A．１２ B．１ C． ３ ２ D．２ 解析:A　[∵函数f(x)＝x２＋ln２x－２m(x＋ lnx)＋２m２＋１,若存在x０ 使得f(x０)≤ ３ ２ 成立 ⇔存在x０ 使得x２０－２mx０＋m２＋ln２x０－２mlnx０ ＋m２≤１２ 成立． 存在x０ 使得g(x０)＝(x０－m)２＋(lnx０－m)２≤ １ ２ 成立． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２４􀅰 高考总复习　数学(BS) 可以看作是动点M(x０,lnx０)与动点N(m,m) 之间距离的平方小于或等于１ ２ ,动点 M 在函 数y＝lnx 的图象上,N 在直线y＝x 的图象 上,问题转化为求直线y＝x上的动点到曲线y ＝lnx的最小距离,由y＝lnx,得y′＝１x＝１ ,解 得x＝１,∴曲线上点 M(１,０)到直线y＝x 的 距离最小,最小距离d＝ ２２ ,即g(x０)≥ １ ２ ,根 据题意,要使g(x０)≤ １ ２ ,则g(x０)＝ １ ２ ,此时 N 恰好为垂足,由kMN ＝ m m－１＝－１ ,解得 m ＝１２． ] １４．已知直线y＝ax＋b(a∈R,b＞０)是曲线f(x) ＝ex 与曲线g(x)＝lnx＋２的公切线,则a＋b＝ (　　 ) A．２ B．１２ C．e D． １ e 解析:A　[由题意知直线y＝ax＋b(a∈R,b＞０) 是曲线f(x)＝ex 与曲线g(x)＝lnx＋２的公 切线, 设(t,et)是f(x)图象上的切点,f′(x)＝ex, 所以f(x)在点(t,et)处的切线方程为y－et＝ et(x－t),即y＝etx＋(１－t)et,① 令g′(x)＝１x＝e t, 解得x＝e－t,g(e－t)＝lne－t＋２＝２－t, 即直线y＝ax＋b(a∈R,b＞０)与曲线g(x)＝ lnx＋２的切点为(e－t,２－t), 所以２－t－e t e－t－t ＝et,即１－t＝(１－t)et, 解得t＝０或t＝１, 当t＝１ 时,①为y＝ex,b＝０,不 符 合 题 意, 舍去, 所以t＝０,此时①可化为y＝x＋１,所以a＋b ＝１＋１＝２．] １５．(２０２５􀅰河北邯郸模拟)已知点P 为曲线y＝ lnx e 上的动点,O 为坐标原点．当|OP|最小时, 直线OP 恰好与曲线y＝alnx 相切,则实数 a＝　　　　． 解析:设P x,１elnx æ è ç ö ø ÷, 所以|OP|＝ x２＋ １e æ è ç ö ø ÷ ２ 􀅰(lnx)２, 设g(x)＝x２＋ １e æ è ç ö ø ÷ ２ 􀅰(lnx)２,g′(x)＝２x＋ １ e æ è ç ö ø ÷ ２ 􀅰２􀅰(lnx)􀅰１x＝ ２x２＋２ e２ lnx x , 当x＞１e 时,lnx＞－１⇒２ e２ lnx＞－２ e２ ,２x２＞ ２ e２ ,所以g′(x)＞０,g(x)单调递增, 当０＜x＜１e 时,lnx＜－１⇒２ e２ lnx＜－２ e２ ,２x２ ＜２ e２ ,所以g′(x)＜０,g(x)单调递减, 当x＝１e 时,函数g(x)有最小值,即|OP|有最 小值,所以P １e ,－１e æ è ç ö ø ÷, 此时直线 OP 的方程为y＝－x,设直线y＝ －x与曲线y＝alnx相切于点(x０,alnx０), 由y＝alnx⇒y′＝ax⇒ a x０ ＝－１⇒x０＝－a,显 然(x０,alnx０)在直线y＝－x上, 则alnx０ ＝ －x０,因 此 有 aln(－a)＝a⇒ a＝－e． 答案:－e １６．(２０２５􀅰福州市质检)设函数f(x)＝ax－bx , 曲线y＝f(x)在点(２,f(２))处的切线方程为 ７x－４y－１２＝０． (１)求f(x)的解析式; (２)证明:曲线y＝f(x)上任一点处的切线与 直线x＝０和直线y＝x 所围成的三角形的面 积为定值,并求此定值． 解:(１)方程７x－４y－１２＝０可化为y＝７４x－３． 当x＝２时,y＝１２． 又f′(x)＝a＋bx２ , 于是 ２a－b２＝ １ ２ , a＋b４＝ ７ ４ , ì î í ï ï ïï 　解得 a＝１ , b＝３．{ 故f(x)＝x－３x． (２)证明:设P(x０,y０)为曲线上任一点, 由y′＝１＋３x２ ,知曲线在点P(x０,y０)处的切线 方程为y－y０＝ １＋ ３ x２０ æ è ç ö ø ÷(x－x０), 即y－ x０－ ３ x０ æ è ç ö ø ÷＝ １＋３x２０ æ è ç ö ø ÷(x－x０)． 令x＝０,得y＝－６x０ , 从 而 得 切 线 与 直 线 x ＝０ 的 交 点 坐 标 为 ０,－６x０ æ è ç ö ø ÷． 令y＝x,得y＝２x０, 从而 得 切 线 与 直 线 y ＝x 的 交 点 坐 标 为(２x０,２x０)． 所以点P(x０,y０)处的切线与直线x＝０,y＝x 所围成的三角形的面积为 S＝１２ － ６ x０ |２x０|＝６． 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝０, y＝x所围成的三角形的面积为定值,且此定 值为６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第三章　导数及其应用