课时11 指数与指数函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关１１　指数与指数函数 学生用书　P２５７ [基础训练组] １．设x＞０,且１＜bx＜ax,则 (　　) A．０＜b＜a＜１　　　　B．０＜a＜b＜１ C．１＜b＜a D．１＜a＜b 解析:C　[因为１＜bx,所以b０＜bx, 因为x＞０,所以b＞１,因为bx＜ax,所以 ab æ è ç ö ø ÷ x ＞１, 因为x＞０,所以ab ＞１ ,所以a＞b,所以１＜b ＜a．] ２．函数y＝xa x |x| (０＜a＜１)图象的大致形状是 (　　) 解析:D　[函数定义域为{x|x∈R,x≠０},且y ＝xa x |x|＝ ax,x＞０, －ax,x＜０．{ 当x＞０时,函数是一个 指数函数,因为０＜a＜１,所以函数在(０,＋∞) 上是减函数;故排除 A,C;当x＜０时,函数图象 与指数函数y＝ax(x＜０,０＜a＜１)的图象关于 x轴对称,在(－∞,０)上是增函数．故排除B．] ３．(２０２５􀅰广东茂名模拟预测)自“ChatGPT”横空 出世,全球科技企业掀起一场研发 AI大模型的 热潮,随着 AI算力等硬件底座逐步搭建完善, AI大规模应用成为可能,尤其在图文创意、虚 拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的 落地应用．Sigmoid函数和 Tanh函数是研究人 工智能被广泛使用的２种用作神经网络的激活 函数,Tanh函数的解析式为tanhx＝e x－e－x ex＋e－x , 经过某次测试得知tanhx０＝ ３ ５ ,则当把变量减 半时,tanh x０ ２＝ (　　 ) A．１３　　　B．３　　　 C．１　　　D． １ ３ 或３ 解析:A　[∵tanhx＝e x０－e－x０ ex０＋e－x０ ＝３５ , ∴e２x０＝４,ex０＝２,ex０＝－２(舍)． ∵tanh x０ ２ ＝ e x０ ２ －e－ x０ ２ e x０ ２ ＋e－ x０ ２ ＝e x０－１ ex０＋１ ,∴tanh x０ ２ ＝１３． ] ４．(２０２５􀅰贵州毕节模拟)已知函数f(x)＝e x－a ex＋a 是奇函数,若f(２０２３)＞f(２０２４),则实数a的 值为 (　　 ) A．１ B．－１ C．±１ D．０ 解析:B　[因为函数f(x)＝e x－a ex＋a 是奇函数, 所以f(－x)＝e －x－a e－x＋a ＝１－ae x １＋aex ＝－f(x) ＝－e x－a ex＋a ＝a－e x ex＋a ,解得a＝±１, 又因为f(x)＝e x－a ex＋a ＝e x＋a－２a ex＋a ＝１－ ２a ex＋a , 所以当a＞０时,函数为增函数,当a＜０时,函 数为减函数,因为f(２０２３)＞f(２０２４),所以a ＜０,故a＝－１．] ５．(２０２５􀅰陕西榆林市教育科学研究所模拟)甲、 乙两人解关于x的方程２x＋b􀅰２－x＋c＝０,甲写错 了常数b,得到的根为x＝－２或x＝log２ １７ ４ ,乙写 错了常数c,得到的根为x＝０或x＝１,则原方程的 根是 (　　) A．x＝－２或x＝log２３ B．x＝－１或x＝１ C．x＝０或x＝２ D．x＝－１或x＝２ 解析:D　[令t＝２x,则方程２x＋b􀅰２－x＋c＝０ 可化为t２＋ct＋b＝０,甲写错了常数b, 所以１ ４ 和１７ ４ 是方程t２＋ct＋m＝０的两根, 所以c＝－ １４＋ １７ ４ æ è ç ö ø ÷＝－９２ , 乙写错了常数c,所以１和２是方程t２＋nt＋b＝０ 的两根,所以b＝１×２＝２, 则可得方程t２－９２t＋２＝０ ,解得t１＝ １ ２ ,t２＝４, 所以原方程的根是x＝－１或x＝２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第二章　函　数 ６．(２０２５􀅰安徽淮南模拟)１９４７年,生物学家 Max Kleiber发表了一篇题为«bodysizeandmetaＧ bolicrate»的论文,在论文中提出了一个克莱伯 定律:对于哺乳动物,其基础代谢率与体重的３ ４ 次幂成正比,即F＝c０M ３ ４ ,其中F 为基础代谢 率,M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生 长,其体重为原来的１０倍,则基础代谢率为原 来的(参考数据:４１０≈１．７７８３) (　　) A．５．４倍 B．５．５倍 C．５．６倍 D．５．７倍 解析:C　[设该哺乳动物原体重为 M１、基础代 谢率为F１,则F１＝c０M ３ ４ １ , 经过一段时间生长,其体重为１０M１,基础代谢 率为F２,则F２＝c０􀅰(１０M１) ３ ４ , 则F２＝c０􀅰(１０M１) ３ ４ ＝１０ ３ ４ 􀅰c０􀅰M１ ３ ４ ＝ １０ ３ ４F１,则 F２ F１ ＝１０ ３ ４ ≈１．７７８３３≈５．６．] ７．(多选)已知a＋a－１＝３,在下列各选项中,其中 正确的是 (　　) A．a２＋a－２＝７ B．a３＋a－３＝１８ C．a １ ２ ＋a－ １ ２ ＝± ５ D．a a＋ １ a a ＝２ ５ 解析:ABD　[在选项 A 中,因为a＋a－１＝３,所 以a２＋a－２＝(a＋a－１)２－２＝９－２＝７,故 A 正 确;在选项B中,因为a＋a－１＝３,所以a３＋a－３ ＝(a＋a－１)(a２－１＋a－２)＝(a＋a－１)􀅰[(a＋ a－１)２－３]＝３×６＝１８,故B正确;在选项 C中, 因为a＋a－１＝３,所以(a １ ２ ＋a－ １ ２ )２＝a＋a－１＋２ ＝５,且a＞０,所以a １ ２ ＋a－ １ ２ ＝ ５,故 C错误;在 选项 D 中,因 为a３＋a－３＝１８,且a＞０,所 以 a a＋ １ a a æ è ç ö ø ÷ ２ ＝a３＋a－３＋２＝２０,所以a a＋ １ a a ＝２ ５,故 D正确．] ８．(多选)(２０２５􀅰山东济南模拟)下列不等关系中 一定成立的是 (　　) A．３ ２ ３ ＞２３ B．１５ æ è ç ö ø ÷ ２ ５ ＜ １２ æ è ç ö ø ÷ １ ５ C．(１＋n) １ ２ ＜１＋n２ ,n∈N＋ D．２n＞n２,n∈N＋ 解析:ABC　[A 项,因为３ ２ ３ ＞１,所以３ ２ ３ ＞２３ , 故正确;B项,因为y＝x ２ ５ 在(０,＋∞)上递增, 则 １ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ５ ＜ １２ æ è ç ö ø ÷ ２ ５ ,因为y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ x 在(０,＋∞) 上 递 减,则 １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ５ ＜ １２ æ è ç ö ø ÷ １ ５ ,所 以 １ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ５ ＜ １ ２ æ è ç ö ø ÷ １ ５ ,故 正 确;C 项,因 为 [(１＋n) １ ２ ]２ － １＋n２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝－n ２ ４＜０ ,所以(１＋n) １ ２ ＜１＋n２ ,n∈ N＋,故正确;D项,当n＝２时,２n＝n２,故错误．] ９．(２０２５􀅰四川绵阳模拟预测)已知函数f(x)＝ ex＋e－x－２,x≥０, x２＋２x,x＜０,{ 则f(x)的值域为 　 　 　 　　． 解析:由题意可知x≥０时,y＝ex＋e－x－２≥ ２ ex􀅰e－x－２＝０,当且仅当x＝０时取得等号, x＜０时,y＝x２＋２x＝(x＋１)２－１≥－１,当且仅 当x＝－１时取得等号,故f(x)≥－１,即f(x) 的值域为[－１,＋∞)． 答案:[－１,＋∞) １０．(２０２５􀅰全国模拟)已知函数f(x)＝９x－m􀅰 ３x＋m＋６,若方程f(－x)＋f(x)＝０有解,则 实数m 的取值范围是　　　　． 解析:由题意得:９x＋９－x－m(３x＋３－x)＋２m ＋１２＝０有解, 令３x＋３－x＝t(t≥２),则９x＋９－x＝t２－２, ∴t２－mt＋２m＋１０＝０有解,即m(t－２) ＝t２＋１０有解,显然t＝２无意义, ∴t＞２,令t－２＝y(y＞０), ∴m＝ (y＋２)２＋１０ y ＝y＋ １４ y ＋４≥２ １４＋４ , 当且仅当y＝１４y ,即y＝ １４时取等, ∴m∈[２ １４＋４,＋∞)． 答案:[２ １４＋４,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０４􀅰 高考总复习　数学(BS) １１．若实数b∈[－１,２],使得２b(a＋b)≥４恒成立,则 实数a的取值范围是　　　　　　　． 解析:要使２b(a＋b)≥４在实数b∈[－１,２]时 恒成立等价于a≥２２－b－b在实数b∈[－１,２] 时恒成立,则a≥(２２－b－b)max, 令f(b)＝２２－b －b＝４× １２ æ è ç ö ø ÷ b －b,∵y＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ b ,y＝－b均为减函数, ∴f(b)＝２２－b－b在b∈[－１,２]上为减函数, 故当b＝－１时,(２２－b－b)max＝９, 即实数a的取值范围是[９,＋∞)． 答案:[９,＋∞) １２．(２０２５􀅰安徽滁州月考)已 知 函 数 g(x)＝ ax２－２ax＋１＋b(a＞０,b∈R)在区间[２,４]上 有最小值１和最大值９,设f(x)＝g (x) x ． (１)求a,b的值． (２)若不等式f(３x)－k􀅰３x≥０在x∈[－１,１] 上有解,求实数k的取值范围． 解:(１)函数g(x)＝ax２－２ax＋１＋b,(a＞０,b∈R) 则对 称 轴 x＝ － －２a２a ＝１ ,故 函 数 g(x)在 [２,４]上为增函数, 所以当x＝２时,g(x)min＝１, 当x＝４时,g(x)max＝９, ∴ b＋１＝１, ８a＋１＋b＝９,{ 解之得 a＝１, b＝０,{ 故a的值为１,b的值为０． (２)由(１)得g(x)＝x２－２x＋１,f(x)＝g (x) x ＝x＋１x－２ , 因为不等式f(３x)－k􀅰３x≥０在x∈[－１,１] 上有解,所以３x ＋１ ３x －２－k􀅰３x ≥０ 在x∈ [－１,１]上有解, 设t＝１ ３x ,t∈ １３ ,３[ ],所以t２－２t＋１≥k 在 １ ３ ,３[ ] 上有解,即(t２－２t＋１)max≥k． 设h(t)＝t２－２t＋１,t∈ １３ ,３[ ],对称轴t＝１, 则当t＝３时,h(t)max＝h(３)＝９－６＋１＝４, 所以实数k的取值范围是(－∞,４]． [能力提升组] １３．已知函数y＝f(x－１)的图象关于x＝１对称, 满足f(２－x)＝f(x),且f(x)在(－１,０)上递 减,若 a＝f (５ １ ２ ),b＝f (－ln ２),c＝ f(log３１８),则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 解析:A　[由函数y＝f(x－１)关于x＝１对 称,可得函数f(x)关于x＝０对称,即f(－x) ＝f(x), 又由函数f(x)满足f(２－x)＝f(x),可 得 f(－x)＝f(２－x),即f(x)＝f(x＋２), 所以函数f(x)是以２为周期的周期函数, 则a＝f(５ １ ２ )＝f(５ １ ２ －２),b＝f(－ln２)＝ f(ln２),c＝f(log３１８)＝ f (log３１８ － ２) ＝f(log３２), 又由 ５－２＜ ６．２５－２＝１２ ,且１ ２＝log３ ３＜ log３２＜ln２, 因为f(x)在(－１,０)上递减,可得函数f(x)在 (０,１)上是递增函数, 所以f(５)＜f(log３１８)＜f(－ln２),即a＜c＜b．] １４．(多选)(２０２５􀅰山东烟台模拟)某公司通过统 计分析发现,工人工作效率E 与工作年限r(r ＞０),劳累程度T(０＜T＜１),劳动动机b(１＜b ＜５)相关,并建立了数学模型E＝１０－１０T􀅰 b－０．１４r．已知甲、乙为该公司的员工,则下列说 法正确的有 (　　) A．甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率 高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强 B．甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率 高,工作年限短,则甲比乙劳累程度弱 C．甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限 长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高 D．甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限 长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高 解析:BCD　[设甲与乙的工人工作效率 E１, E２,工作年限r１,r２,劳累程度 T１,T２,劳动动 机b１,b２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０４􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题二　第二章　函　数 对于 A,r１＝r２,E１＞E２,b１＜b２,０＜ b１ b２ ＜１, ∴E１－E２＝１０(T２􀅰b２－０．１４r２ －T１􀅰b１－０．１４r１ ) ＞０,T２􀅰b２－０．１４r２＞T１􀅰b１－０．１４r１, T２ T１ ＞ b１－０．１４r１ b２－０．１４r２ ＝ b１b２ æ è ç ö ø ÷ －０．１４r１ ＞１,所以 T２＞T１, 即甲比乙劳累程度弱,故 A 错误; 对于B,b１＝b２,E１＞E２,r１＜r２, ∴E１－E２＝１０(T２􀅰b２－０．１４r２ －T１􀅰b１－０．１４r１ ) ＞０,T２􀅰b２－０．１４r２＞T１􀅰b１－０．１４r１, ∴ T２ T１ ＞ b１－０．１４r１ b２－０．１４r２ ＝(b１)－０．１４ (r１－r２)＞１,所以T２＞ T１,即甲比乙劳累程度弱,故B正确; 对于C,T１＝T２,r１＞r２,b１＞b２,∴１＞b２－０．１４＞ b１－０．１４＞０,b２－０．１４r２＞b１－０．１４r２＞b１－０．１４r１, 则E１－E２＝１０－１０T１􀅰b１－０．１４r１－(１０－１０T２􀅰 b２－０．１４r２)＝１０T１(b２－０．１４r２－b１－０．１４r１)＞０, ∴E１＞E２,即甲比乙工作效率高,故C正确; 对于 D,b１＝b２,r１＞r２,T１＜T２,１＜b＜５,０＜ b２－０．１４＜１,∴b２－０．１４r２＞b１－０．１４r１,T２＞T１＞０, 则E１－E２＝１０－１０T１􀅰b１－０．１４r１ －(１０－１０T２􀅰 b２－０．１４r２)＝１０(T２􀅰b２－０．１４r２－T１􀅰b１－０．１４r１)＞０, ∴E１＞E２,即甲比乙工作效率高,故 D正确．] １５．已知函数f(x)＝ －x２－６x－５,x＜０, １ ２ æ è ç ö ø ÷ x －１ ,x≥０, ì î í ïï ï 若关于 x的方程[f(x)]２＋(２a－１)f(x)＋a２－a＝０ 有５ 个 不 同 的 实 数 根,则a 的 取 值 范 围 为 　　　　． 解析:由题意得[f(x)＋a－１][f(x)＋a]＝０, 即f(x)＝１－a或f(x)＝－a, f(x)的图象如图所示, 关于x的方程[f(x)]２＋(２a－１)f(x)＋a２－a ＝０有５个不同的实数根, 则 －５＜－a＜０, ０≤１－a＜１{ 或 ０≤－a＜１, １≤１－a＜４,{ 解得－１＜a≤１． 答案:(－１,１] １６．(２０２５􀅰北京模拟)定义在D 上的函数f(x), 如果满足:对任意x∈D,存在常数M＞０,都有 －M≤f(x)≤M 成立,则称f(x)是D 上的有 界函数,其中 M 称为函数f(x)的上界．已知 f(x)＝４x＋a􀅰２x－２． (１)当a＝－２时,求函数f(x)在(０,＋∞)上 的值域,并判断函数f(x)在(０,＋∞)上是否 为有界函数﹐请说明理由﹔ (２)若函数f(x)在(－∞,０)上是以２为上界 的有界函数,求实数a的取值范围． 解:(１)当a＝－２时,f(x)＝４x－２×２x－２ ＝(２x－１)２－３, 令２x＝t,由x∈(０,＋∞),可得t∈(１,＋∞), 令g(t)＝(t－１)２－３,有g(t)＞－３,可得函数 f(x)的值域为(－３,＋∞), 故函数f(x)在(－∞,０)上不是有界函数． (２)由题意有,当x∈(－∞,０)时,－２≤４x＋ a􀅰２x－２≤２ 可化为０≤４x＋a􀅰２x≤４,必有a＋２x≥０且 a≤４ ２x －２x, 令２x＝k,由x∈(－∞,０),可得k∈(０,１), 由a＋２x≥０恒成立,可得a≥０, 令h(t)＝４t－t (０＜t＜１),可知函数h(t)为减 函数,有h(t)＞４－１＝３, 由a≤４ ２x －２x 恒成立,可得a≤３, 故若函数f(x)在(－∞,０)上是以２为上界的 有界函数, 则实数a的取值范围为[０,３]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１４􀅰 高考总复习　数学(BS)