课时8 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

主题二 第二章 函 数 课时冲关8 函数的奇偶性与周期性 学生用书 P252 [基础训练组] 解法二 令x=0,y=-1,得f(0)f(-1)- 1.(2025·呼和浩特市模拟)下列函数中,既是偶函 f(0)-1,又因为f(0)=1,所以 f(-1)=2,B$ C 数又在(-,0)上单调递减的函数是 错误; ) A.-- B.y-21 C.解法一 由B选项的解法一可知f(x)-1-x, C.y--。 则f(x十1)一一x,所以f(x十1)为奇函数,C错 D.-log(-x) 误,D正确. 解析:B [选项A,函数是奇函数,不满足条件; 解法二 令x=0,y=2,得f(0)f(2)-f(0)=-2. 选项B,函数是偶函数,当x<0时,y-2=$ 又因为f(0)=1,所以f(2)=-1,所以f(0)十 -)# 是减函数,满足条件;选项C,函数 f(2)一0,结合选项得C错误,D正确,综上可 知,选D.] 是偶函数,当x<0时,y-}--是增函数,不 5.(2025·安庆市模拟)定义在R上的奇函数 f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0 满足条件;选项D,函数的定义域为(一,0). 时,f(x)-2-1,则/(log20)- ( - 不关于原点对称,为非奇非偶函数,不满足 A.1 #B.-# C D.}# 条件。] 2.(2025·河北保定模拟)若函数v=f(x)一1是定义 解析:D[:f(x十1)=f(x-1),..函数f(x) 在R上的奇函数,则/(一1)十f(0)十f(1) 是周期为2的周期函数, ~ ( 又.log,32log 20 log。16,.',4log.205 1./(1og,:0)(og:204)(o0g。) A.3 C.-2 B.2 D.-3 解析:A [设F(x)=f(x)-1,则F(x)+F(-x) --(-1og). -0,即f(x)-1+/(一x)-1=0, 即f(x)+f(-x)=2,所以 f(1)十f(-1)-2. 又:'x(-1,0)时,f(x)-2-1. 因为F(0)=f(0)-1=0,所以f(0)-1. (-1o8)-(10)-1-. f(-1)+f(0)+f(1)-2+1-3. 3.(2025·黄冈中学模拟)已知函数f(x)三 xln(e^+1)-x2+1,f(a)=2,则f(-a)的 值为 ) 6.(2025·安徽滁州月考)设函数f(x)是定义在 A.1 B.0 C.-1 D.-2 实数集上的奇函数,在区间[一1,0)上是增函 数,且f(x十2)一一f(x),则有 ( 解析:B [构造函数g(x)=xln(e^+1)-x*. ) A.##)(#)(#)# 则g(-x)+g(x)=-xln(e*+1)-2+ 2+12-xln B./(1)#)(3)# xln(e*+1)-x2=xln e-②+1 -2^{}一0,故函数g(x)为奇函数,又f(a) C./(1)<#()<#3# =g(a)+1=2. '.g(a)=1,.f(-a)=g(-a) +1=-g(a)+1=0.] D./#)<(1)<()# 4.(2025·山东泰安模拟)已知函数f(x)的定义 解析:A[f(x)为奇函数,..f(一x)=一f(x). 域为R,f(x)f(y)一f(x)=xy一y,则( ) 又/(x+2)#--)(x)#()-(-). A.f(0)-0 B.f(-1)-1 (1)-#(-1)#())-/#(-+2)#一 C.f(x十1)为偶函数 ##-##_在 D. f(x十1)为奇函数 解析:D[当f(x)=o时,f(x)f(y)一f(x) 间[-1.0)上是增曲数, :)(-1)<(-)< =xy-y不恒成立,故f(0)一1,A错误; B:解法一 令x=0,得f(0)f(y)-f(0) #(#)<#(-1)(-) --. 又因为f(0)=1,所以f(y)-1-y,故f(-1) #(-)()>(2)), -1+1-2.B错误; ·397. 高考总复习 数学(BS) 7.(多选)(2025·湖北校联考期中)函数/(x)三 10.(2025·四川雅安模拟)已知函数/(x) 2+2- 一,g(x)=ln(/1+9x-3x),那么 3 ( ) 解析:/(x)定义域为R, A.f(x)十g(x)是偶函数 f(一x)= B.f(x)g(x)是奇函数 (-+](o 2x(c)-(-)o 2: C.是奇函数 f(x) D.g(/(x))是奇函数 ##(1#(#)-0,故--1 3 所以f(x)-2+2 -为偶函数,因为g(一x)十 3 答案:一1 g(x)=lnv 1+9*+3x)+ln(v 1+9^-3x)= 11.(2025·江苏南京市天印高级中学模拟预测 已知f(x)是定义在R上的函数,若对任意x ln[ $1+9x^{}+3x) 1+9-3x)1=ln1=0 R,都有f(x十8)=f(x)十f(4),且函数f(x 即g(-x)=-g(x),所以g(x)-ln(1+9x} 2)的图象关于直线x三2对称,f(1)一3,则 一3.x)为奇函数,所以f(x)十g(x)为非奇非偶 f(2025)一 函数,A错误; 解析:因为函数f(x一2)的图象关于直线x-2 f(-x)·g(-x)=-[f(x)·g(x)],所以 对称,所以函数f(x)的图象关于直线x一0对 称,即函数f(x)是偶函数,则有f(x)一f(一x); f(x)·8(c)为奇函数,B正确;(一) /(-.) 因为对任意xCR,都有f(x+8)=f(x)十f(4). 令x=-4,得f(-4+8)=f(-4)十f(4)→ f() f(-4)-f(4)-0. 令H(x)一g(f(x)),H(-x)-g(f(一x))- 所以对任意xER,都有f(x十8)一f(x)十 g(f(x))一H(x),H(x)为偶函数,D错误。] f(4)一f(x),即函数f(x)的周期为8, 8.(多选)(2025·长春市第二中学校考期末)已知定 则f(2025)-f(253×8+1)-f(1)-3 义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断,目满足 答案:3 /(x十2)一f(x),则以下结论成立的是 ( ) 12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它 A.函数f(x)的周期T一2 的图象关于直线x一1对称. B. f(2023)-f(2024)-0 (1)求证:f(x)是周期为4的周期函数; C.点(1,0)是函数y一f(x)图象的一个对称中心 (2)若f(x)-(0<x<1),求x[-5.-4] D.f(x)在[一2,2]上有4个零点 时,函数f(x)的解析式. [由定义在R上的奇函数f(x)的 解析:ABC 解:(1)证明:由函数f(x)的图象关于直线x-1 图象连续不断,且满足/(x十2)一f(x). 对称,有f(x十1)一f(1一x). 所以函数f(x)的周期为T一2,所以A正确; 即有f(一x)-/(x十2). 由f(-1+2)=f(-D,即f(1)=f(-1)=-f(1). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数. 故有/(一x)一一f(x). 所以f(1)=f(-1)=0,且f(0)-0. 又由f(2023)=f(1)-0,f(2024)-f(0)-0. 故f(x十2)一一/(x). 所以f(2023)-f(2024)-0,所以B正确; 从而f(x十4)一-f(x十2)-f(x). 即f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x十2)=f(x)=-f(一x),可得点(1,0)是 y一f(x)图象的一个对称中心,所以C正确; (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有 f(0)-0. 由f(x)在[-2,2]上有f(-2)-f(-1)-f(0) x[-1,0)时,-xE(0,1],f(x)=-f(-x) -f(1)-f(2)-0,所以函数f(x)在[-2,2]上有5 个零点,所以D错误,] =-一. 故x[-1,0]时,f(x)---. 9.(2025·广东惠州月考)写出一个包含有e的偶 函数/(x)一 x[-5,-4]时,x十4[-1,0], 解析:根据题意,要求f(x)包含e,且是偶函 f(x)=f(c+4)--v-x-4. 数,则f(x)一e十e. 从而,x[一5.-4]时,函数f(x) 答案:e十e(答案不唯一) ·398. 主题二 第二章 函 数 [能力提升组] 解析:因为f(x)的图象关于点(1,1)对称,所 13.(多选)(2025·重庆巴蜀中学月考)定义在B 以f(一x)十/(x+2)-2. 上的偶函数f(x)满足f(x十2)=一f(x),且 则f(-x)-2(-x)+f(x+2)-2(x+2)--2. 在[一2,0]上是增函数,下面关于f(x)的判断 即g(-x)十g(x+2)=-2. 正确的是 ( ) 又因为g(x)的图象关于直线x一2对称, A.f(x)的图象关于点P(1,0)对称 则g(x十4)一g(一x). B.f(0)是函数f(x)的最大值 所以g(x+4)十g(x+2)=-2. C.f(c)在[2,3]上是减函数 即g(x+2)+g(x)=-2,可得g(x+4)= D. f(x。)=f(4十x.),kZ g(x),则g(x)是以4为周期的函数. 解析:ABD[.'f(x+2)=-f(x)..f(x十4) 因为g(0)-f(0)-2×0-0. 一f(x十2)一f(x),所以函数f(x)是以4为周 由f(一x)+f(x十2)-2, 期的周期函数,·.偶函数f(x)在[一2,0]上是 令x=-1,得f(1)-1, 增函数...f(x)在[0,2]上是减函数,f(x)在 所以g(1)-f(1)-2--1. [一2,2]上的最大值为f(0),f(x)是以4为 g(2)--2-g(0)=-2,g(3)-g(1)--1. 周期的周期的函数,../(0)是函数的最大值, 所以/(1)十f(2)十...十f(50)=g(1)十 故B正确; g(2)+.-+g(50)+2(1+2十...+50) '.f(一x)-f(x),f(x十2)--f(x). --4×12-1-2+2550-2499. ./(x十2)十f(-x)-0. 答案:2499 .'.f(x)图象关于点(1,0)对称,故A正确 16.函数/(x)的定义域为D一xlx关0),且满足对于 :f(x)在[-2,0]上是增函数, 任意x,r.ED,有f(x·x)=f(x.)十f(x) '. f(x)在[2,4]上是增函数,故C错误 因为T一4,所以f(x。)一f(4十x。),kZ,故 (1)求f(1)的值; D正确.] (2)判断f(c)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)-1,f(x-1)2,且f(x)在 (0,十)上单调递增,求x的取值范围. 函数,g(x)-bx-log。(4+1)为偶函数,则 解:(1)因为对于任意x.,x。D,有f(x·x。 f(ab)一 ) 一f(x)十f(x。). #A.7 B. C. # .-3}# 所以令x=x,=1,得f(1)-2f(1). 所以/(1)-0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 则有f(一x)十f(x)一0. f(x)的定义域关于原点对称, #2+)#(2#)# 令x.=x。=-1,有f(1)-f(-1)十f(-1). -0,解得a--1. 因为g(x)-b-log(4十1)为偶函数, 则g(x)-g(-x). 令x=-1,x=x,得f(一x)=f(-1)十f(x) 即bx-log。(4+1)-b(-x)-log(4+1), 所以f(一x)一f(x),所以f(x)为偶函数. 解得b-1,则ab=-1,f(ab)=f(-1)=2-1- (3)依题设有f(4×4)=f(4)十f(4)-2. 由(2)知f(x)是偶函数, 所以f(x-1)<2等价于f(x-1)f(16) 15.(2025·广西南宁模拟)定义域为R的函数 又f(x)在(0,十o)上单调递增 f(x)的图象关于点(1,1)对称,函数g(x) 所以0<x-1<16. f(x)一2x的图象关于直线x一2对称,若f(0) 解得-15<x17且x-1. -0,则f(1)十f(2)十...十f(50)= 所以x的取值范围是(-15,1)(1,17). ·399.