课时5 一元二次函数与一元二次不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关５　一元二次函数与一元二次不等式 学生用书　P２４６ [基础训练组] １．(２０２５􀅰河北、河南重点中学联考)已知集合 M ＝ x x－３x－１≤０}{ ,N＝{x|y＝log３(－６x ２＋１１x －４)},则M∩N＝ (　　) A．１,４３[ ]　　　　　　B． １ ２ ,３æ è ç ] C．１,４３ æ è ç ö ø ÷ D．４３ ,２æ è ç ö ø ÷ 解析:C　[易得集合M＝ x x－３x－１≤０}{ ＝{x|１＜x ≤３},集合N＝{x|y＝log３(－６x２＋１１x－４)}＝{x| －６x２＋１１x－４＞０}＝ x １２＜x＜ ４ ３}{ , 所以 M∩N＝ x １＜x＜４３}{ ．] ２．(２０２５􀅰甘肃张掖模拟预测)不等式|x２－３x|＜ ２－２x的解集是 (　　 ) A．－１,１２ æ è ç ö ø ÷　　　　B．－１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ C．－１,５－ １７２ æ è ç ö ø ÷ D．５－ １７ ２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 解析:C　[当x２－３x≥０,即x≥３或x≤０时, 不等式|x２－３x|＜２－２x 等价于x２－３x＜２－ ２x,即x２－x－２＜０, 解得－１＜x＜２,所以－１＜x≤０; 当x２－３x＜０,即０＜x＜３时,不等式|x２－３x| ＜２－２x等价于不等式３x－x２＜２－２x, 即x２ －５x＋２＞０,解 得 x＞５＋ １７２ 或 x＜ ５－ １７ ２ ,所以０＜x＜５－ １７２ ． 综上,不 等 式|x２ －３x|＜２－２x 的 解 集 是 －１,５－ １７２ æ è ç ö ø ÷．] ３．(２０２５􀅰全国模拟)若不等式x２－２x－m＜０在 x∈ １２ ,２[ ]上有解,则实数m 的取值范围是 (　　) A．[－１,＋∞) B．(－１,＋∞) C．－３４ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ D．(０,＋∞) 解析:B　[因为不等式x２－２x－m＜０在x∈ １ ２ ,２[ ] 上有解,所以不等式 m＞x２－２x 在x∈ １ ２ ,２[ ] 上有解,令t＝x２－２x＝(x－１)２－１,则 tmin＝－１,所以 m＞－１,所以实数 m 的取值范 围是(－１,＋∞)．] ４．(２０２５􀅰海拉尔区模拟)关于x 的不等式x２－ (a＋１)x＋a＜０的解集中,恰有３个整数,则a 的取值范围是 (　　) A．(４,５) B．(－３,－２)∪(４,５) C．(４,５] D．[－３,－２)∪(４,５] 解析:D　[∵关于x的不等式x２－(a＋１)x＋a＜０, ∴不等式化为(x－１)(x－a)＜０, 当a＞１时,得１＜x＜a,此时解集中的整数为 ２,３,４,则４＜a≤５, 当a＜１时,得a＜x＜１,此时解集中的整数为－２, －１,０,则－３≤a＜－２, 故a的取值范围是[－３,－２)∪(４,５]．] ５．(２０２５􀅰湖南岳阳模拟)已知关于x 的不等式 ax２＋２bx＋４＜０的解集为 m,４m æ è ç ö ø ÷,其中m＜０, 则b ４a＋ ４ b 的最小值为 (　　) A．－２ B．１ C．２ D．８ 解析:C　[ax２＋２bx＋４＜０的解集为 m,４m æ è ç ö ø ÷, 则ax２＋２bx＋４＝０的两根为m,４m , ∴m􀅰４m＝ ４ a ,∴a＝１,m＋４m＝－２b , 则２b＝－m＋ ４－m≥４ ,即b≥２, b ４a＋ ４ b ＝ b ４ ＋ ４ b ≥２ ,当 且 仅 当b＝４ 时 取 “＝”．] ６．(２０２５􀅰重庆巴蜀中学模拟)若关于x 的不等式 sinx－２ x２＋ax＋b ＞０的解集是(－１,２),则a􀅰b＝ (　　) A．３ B．２ C．－２ D．－３ 解析:B　[∵sinx－２＜０恒成立,故x２＋ax＋ b＜０的解集为(－１,２),即方程x２＋ax＋b＝０ 的两根为－１和２,由韦达定理可知－１＋２＝－a, －１×２＝b,所以a＝－１,b＝－２,故a􀅰b＝２．] ７．(２０２５􀅰泰安模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x－y)＝f(x)－f(y),且当x＜０时, f(x)＞０,则关于x的不等式f(mx２)＋f(２m)＞ f(m２x)＋f(２x)(其中０＜m＜２)的解集为 (　　) A．x m＜x＜２m{ } B．x x＜m 或x＞ ２ m{ } C．x ２m＜x＜m{ } D．xx＞m或x＜ ２ m{ } 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 解析:A　[任取x１＜x２,由已知得f(x１－x２)＞ ０,即f(x１)－f(x２)＞０,所以函数f(x)单调递 减．由f(mx２)＋f(２m)＞f(m２x)＋f(２x),可 得f(mx２)－f(２x)＞f(m２x)－f(２m), 即f(mx２－２x)＞f(m２x－２m),所以mx２－２x ＜m２x－２m,即mx２－(m２＋２)x＋２m＜０, 即(mx－２)(x－m)＜０, 又因为０＜m＜ ２,所以２m＞m ,此时原不等式的 解集为 x m＜x＜２m{ }．] ８．(多选)设区间[m,n]的长度为n－m．已知一元 二次不等式(x＋a)x－５a æ è ç ö ø ÷ ≤０(a＞０)的解集 的区间长度为l,则 (　　 ) A．当a＝１时,l＝６ B．l的最小值为４ C．当a＝１时,l＝５ D．l的最小值为２ ５ 解析:AD　[因 为 一 元 二 次 不 等 式 (x＋a)􀅰 x－５a æ è ç ö ø ÷≤０(a＞０)的解集为 －a,５a[ ], 所以l＝５a－ (－a)＝a＋５a , 当a＝１时,l＝６,故 A 正确,C错误;因为a＞０, 所以l＝a＋５a≥２ a 􀅰５ a＝２ ５ (当且仅当a＝ ５ a ,即a＝ ５时,等号成立),所以l的最小值为 ２ ５,故 D正确,B错误．] ９．(多选)已知函数f(x)＝x２＋ax＋b(a＞０)有且 只有一个零点,则 (　　) A．a２－b２≤４ B．a２＋１b≥４ C．若不等式x２＋ax－b＜０的解集为(x１,x２), 则x１x２＞０ D．若不等式x２＋ax＋b＜c的解集为(x１,x２), 且|x１－x２|＝４,则c＝４ 解析:ABD　[因为f(x)＝x２＋ax＋b(a＞０)有且只 有一个零点,故可得Δ＝a２－４b＝０,即a２＝４b＞０． 对于 A,a２－b２≤４等价于b２－４b＋４≥０,显然 (b－２)２≥０,故 A 正确;对于B,a２＋１b＝４b＋ １ b≥２ ４b× １ b＝４ ,当且仅当４b＝１b＞０ ,即b＝ １ ２ 时,等号成立,故B正确;对于 C,因为不等式 x２＋ax－b＜０的解集为(x１,x２),故x１x２＝－b ＜０,故C错误;对于 D,因为不等式x２＋ax＋b ＜c的解集为(x１,x２),且|x１－x２|＝４,则方程 x２＋ax＋b－c＝０ 的 两 根 为 x１,x２,故 可 得 (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ a２－４(b－c)＝ ４c＝ ２c＝４,故可得c＝４．故 D正确．] １０．(２０２５􀅰福建省大田县第一中学期中)若关于x 的不等式－x２＋(a＋２)x－２a＞０恰有１个正 整数解,则a的取值范围是　　　　　　 　． 解析:不等式－x２＋(a＋２)x－２a＞０等价于x２－ (a＋２)x＋２a＜０．令x２－(a＋２)x＋２a＝０,解得x ＝２或x＝a． 当a＞２时,不等式x２－(a＋２)x＋２a＜０的解集 为(２,a),要想恰有１个正整数解,则３＜a≤４; 当a＝２时,不等式x２－(a＋２)x＋２a＜０无 解,所以a＝２不符合题意; 当a＜２时,不等式x２－(a＋２)x＋２a＜０的解 集为(a,２),则a＜１． 综上,a的取值范围是(－∞,１)∪(３,４]． 答案:(－∞,１)∪(３,４] １１．(２０２５􀅰济南模拟)若不等式ax２＋５x＋１≤０ 的 解 集 为 x －１２≤x≤－ １ ３{ },则 不 等 式 ３x－a x－３＜０ 的解集为　　　　． 解析:由 不 等 式 ax２ ＋５x＋１≤０ 的 解 集 为 x －１２≤x≤－ １ ３{ }, 可知方程ax２＋５x＋１＝０有两根x１＝－ １ ２ ,x２ ＝－１３ ,故a＝６, 则不等式３x－a x－３＜０ ,即３x－６ x－３＜０ 等价于 ３(x－２)􀅰(x－３)＜０, 不等式３(x－２)(x－３)＜０的解集为{x|２＜x＜３}, 则不等式３x－a x－３＜０ 的解集为{x|２＜x＜３}． 答案:{x|２＜x＜３} １２．设函数f(x)＝ x２＋１－ax,其中a＞０．解不 等式f(x)≤１． 解:因为f(x)＝ x２＋１－ax(a＞０), 不等式f(x)≤１等价于 x２＋１≤１＋ax, 又因为 x２＋１≥１,所以１≤１＋ax,即ax≥０, 其中a＞０,所以x≥０, 所以原不等式等价于 x２＋１≤(１＋ax)２, x≥０,{ 即 (a２－１)x２＋２ax≥０, x≥０,{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８３􀅰 高考总复习　数学(BS) 所以当０＜a＜１时,不等式组 (a２－１)x２＋２ax≥０, x≥０{ 的解集为 ０, ２a １－a２[ ]; 当a≥１时,不等式组 (a２－１)x２＋２ax≥０, x≥０{ 的 解集为[０,＋∞)． 综上,当０＜a＜１时,不等式f(x)≤１的解集 为 ０,２a １－a２[ ]; 当a≥１时,不等式f(x)≤１的解集为[０,＋∞)． [能力提升组] １３．(２０２５􀅰辽宁丹东模拟)已知二次函数f(x)＝ mx２－４mx＋１２m－３(m＜０),若对任意x１≠ x２,则 (　　 ) A．当x１＋x２＝４时,f(x１)＝f(x２)恒成立 B．当x１＋x２＞４时,f(x１)＜f(x２)恒成立 C．∃x０ 使得f(x０)≥０成立 D．对任意x１,x２,均有f(xi)≤８m－３(i＝１,２) 恒成立 解析:AD　[依题意,二次函数f(x)＝mx２－ ４mx＋１２m－３(m＜０)的对称轴为x＝－－４m２m ＝２． 因为m＜０,所以其函数图象为开口向下的抛 物线, 对于 A 选项,当x１＋x２＝４时,x１,x２ 关于直 线x＝２对称, 所以f(x１)＝f(x２)恒成立,所以 A 选项正确; 对于B选项,当x１＋x２＞４,若x１＞x２,则不等 式可化为x１－２＞２－x２, 所以f(x１)＜f(x２); 若x１＜x２,则不等式可化为x２－２＞２－x１,所 以f(x２)＜f(x１),所以B选项错误; 对于C选项,因为 m＜０,所以Δ＝(－４m)２－ ４m(１２m－３)＝－３２m２＋１２m＜０,所以二次函 数f(x)＝mx２－４mx＋１２m－３(m＜０)的图象 开口向下,且二次函数与x 轴无交点,所以不 存在x０ 使 得 f(x０)≥０ 成 立,所 以 C 选 项 错误; 对于 D选项,f(x)max＝f(２)＝４m－８m＋１２m －３＝８m－３, 所以对任意x１,x２,均有f(xi)≤８m－３(i＝１, ２)恒成立,所以 D选项正确．] １４．设奇函数f(x)在[－１,１]上是单调函数,且 f(－１)＝－１．若函数f(x)≤t２－２at＋１对所 有的x∈[－１,１]都成立,则当a∈[－１,１]时, t的取值范围是　　　　　． 解析:∵f(x)为奇函数,f(－１)＝－１, ∴f(１)＝－f(－１)＝１． 又∵f(x)在[－１,１]上是单调函数, ∴－１≤f(x)≤１, ∴当a∈[－１,１]时,t２－２at＋１≥１恒成立, 即t２－２at≥０恒成立． 令g(a)＝t２－２at,a∈[－１,１], ∴ t２－２t≥０, t２＋２t≥０,{ 解得t≥２或t＝０或t≤－２． 答案:(－∞,－２]∪{０}∪[２,＋∞) １５．(２０２５􀅰 青 岛 模 拟)已 知 函 数 f (x)＝ ln(x＋１),x≥０, －２x２,x＜０,{ 则不等式f(x＋２)＜f(x ２＋２x) 的解集是　　　　． 解析:函数f(x)＝ ln(x＋１),x≥０, －２x２,x＜０,{ 可得x≥０, f(x)递增; 当x＜０时,f(x)递增;且x＝０时函数连续, 所以f(x)在R上递增, 不等式f(x＋２)＜f(x２＋２x), 可化为x＋２＜x２＋２x,即x２＋x－２＞０,解得 x＞１或x＜－２, 则原不等式的解集为(－∞,－２)∪(１,＋∞)． 答案:(－∞,－２)∪(１,＋∞) １６．(２０２５􀅰全国模拟)已知关于x的不等式(kx－ k２－４)(x－４)＞０,其中k∈R． (１)当k变化时,试求不等式的解集A; (２)对于不等式的解集A,若满足A∩Z＝B(其 中Z为整数集)．试探究集合B 能否为有限集? 若能,求出使得集合B 中元素个数最少的k 的 所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请 说明理由． 解:(１)当k＝０时,A＝{x|x＜４};当k＞０且k ≠２时,A＝ x x＜４或x＞４k＋k}{ ; 当k＝２时,A＝{x|x≠４};当k＜０时, A＝ xk＋４k＜x＜４}{ ． (２)由(１)知,当k≥０时,集合B 中的元素的个 数有无限个;当k＜０时,集合B 中的元素的个 数有限,此时集合B 为有限集． 因为k＋４k＝－ (－k)＋ ４(－k)[ ] ≤－４,当且 仅当k＝－２时取等号, 所以当k＝－２时,集合B 中的元素个数最少, 此时A＝{x|－４＜x＜４},故集合B＝{－３,－２, －１,０,１,２,３}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式