课时4 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

课时冲关４　基本不等式 学生用书　P２４４ [基础训练组] １．(２０２５􀅰河北模拟)已知实数a,b满足条件３a＋３b ＝(６)a＋b,则a２＋b２ 的最小值为 (　　) A．８　　　　B．６　　　　C．４　　　　D．２ 解析:D　[因为３a＋３b＝(６)a＋b≥２ ３a＋b,当 且仅当３a＝３b,即a＝b时取等号, 所以６a＋b≥４􀅰３a＋b,所以２a＋b≥４,a＋b≥２, a２＋b２≥１２ (a＋b)２＝２,当且仅当a＝b＝１时等 号成立,所以a２＋b２ 的最小值为２．] ２．(２０２５􀅰黑龙江哈九中模拟)已知x,y 都是正 数,且x≠y,则下列选项不恒成立的是 (　　) A．x＋y２ ＞ xy B． x y＋ y x＞２ C．２xyx＋y＜ xy D．xy＋ １ xy＞２ 解析:D　[x,y 都是正数,由基本不等式,x＋y２ ≥ xy,yx ＋ x y ≥２ ,２xy x＋y≤ ２xy ２ xy ＝ xy,这三 个不等式都是当且仅当x＝y时等号成立,而题 中x≠y,因此等号都取不到,所以 ABC三个不 等式恒成立;xy＋ １xy≥２ 中当且仅当xy＝１时 取等号,如x＝１２ ,y＝２即可取等号,D中不等式 不恒成立．] ３．(２０２５􀅰河南漯河期末)下列不等式一定成立 的是 (　　 ) A．lgx２＋１４ æ è ç ö ø ÷＞lgx(x＞０) B．sinx＋ １sinx≥２ (x≠kπ,k∈Z) C．x２＋１≥２|x|(x∈R) D． １ x２＋１ ≥１(x∈R) 解析:C　[当x＝１２ 时,有x２＋１４＝x ,故不等式 不一定成立,故 A 错误;当sinx＝－１,即x＝ ２kπ＋３π２ (k∈Z)时,有sinx＋ １sinx＝－２＜２ ,故 不等式不一定成立,故B错误;x２＋１－２|x|＝(|x| －１)２≥０恒成立,故C正确;当x＝１时,有 １ x２＋１ ＝１２＜１ ,故不等式不一定成立,故 D错误．] ４．(２０２５􀅰全国模拟)已知a,b为非负数,且满足 ２a＋b＝６,则(１＋a２)(４＋b２)的最大值为(　　) A．４０ B．１６７４ C．４２ D． １６９ ４ 解析:D　[(１＋a２)(４＋b２)＝４＋４a２＋b２＋a２b２ ＝４a２＋b２＋４ab－４ab＋a２b２＋４ ＝(２a＋b)２＋(ab－２)２＝３６＋(ab－２)２, 又０≤ab＝１２ 􀅰２a􀅰b≤１２ ２a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝９２ ,当且 仅当a＝３２ ,b＝３时取“＝”,则３６＋(ab－２)２≤ ３６＋ ９２－２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１６９４ , 所以当a＝３２ ,b＝３时,(１＋a２)(４＋b２)的最大 值为１６９ ４ ． ] ５．(２０２５􀅰湖北十堰模拟)函数f(x)＝１６x＋１４x ＋ １ ２x－１ 的最小值为 (　　) A．４ B．２ ２ C．３ D．４ ２ 解析:A　[因为１６x＋１ ４x ≥２ １６ x ４x ＝２×２x,当且 仅当１６x＝１ ４x ,即x＝０时等号成立, ２×２x＋ １ ２x－１ ＝２×２x＋２ ２x ≥２ ４＝４, 当且仅当２×２x＝２ ２x ,即x＝０时等号成立, 所以f(x)的最小值为４．] ６．若正数a,b满足１a＋ １ b＝１ ,则 ４ a－１＋ １６ b－１ 的最 小值为 (　　) A．１６ B．２５ C．３６ D．４９ 解析:A　[因为a,b＞０,１a＋ １ b＝１ ,所以a＋b ＝ab,所以 ４a－１＋ １６ b－１＝ ４(b－１)＋１６(a－１) (a－１)(b－１) ＝ ４b＋１６a－２０ ab－(a＋b)＋１＝４b＋１６a－２０． 又 ４b＋１６a＝ ４(b＋４a)＝ ４ (b ＋ ４a) １a＋ １ b æ è ç ö ø ÷ ＝ ２０ ＋ ４ ba＋ ４a b æ è ç ö ø ÷≥２０＋４×２ ba 􀅰４a b ＝３６ ,当且仅当 b a＝ ４a b 且１ a＋ １ b＝１ ,即a＝３２ ,b＝３时取等号． 所以 ４ a－１＋ １６ b－１≥３６－２０＝１６． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 ７．(多选)(２０２５􀅰江苏泰州模拟)下列函数中最小 值为６的是 (　　) A．y＝lnx＋ ９lnx B．y＝６|sinx|＋ ３２|sinx| C．y＝３x＋３２－x D．y＝x ２＋２５ x２＋１６ 解析:BC　[对于 A 选项,当x∈(０,１)时,lnx ＜０,此时lnx＋ ９lnx＜０ ,故 A 不正确;对于 B 选项,y＝６|sinx|＋ ３２|sinx|≥２ ９＝６ ,当且仅 当６|sinx|＝ ３２|sinx| ,即|sinx|＝１２ 时 取 “＝”,故 B 正确;对于 C 选项,y＝３x＋３２－x≥ ２ ３２＝６,当 且 仅 当 ３x ＝３２－x,即x＝１ 时 取 “＝”,故C正确;对于 D 选项,y＝x ２＋１６＋９ x２＋１６ ＝ x２＋１６＋ ９ x２＋１６ ≥２ ９＝６,当 且 仅 当 x２＋１６＝ ９ x２＋１６ ,即x２＝－７无解,故 D 不 正确．] ８．(多选)(２０２５􀅰浙江湖州期末)已知正数a,b满 足a(a＋b)＝１,下列结论中正确的是 (　　 ) A．a２＋b２ 的最小值为２ ２－２ B．２a＋b的最小值为２ C．１a＋ １ b 的最小值为３ ３ ２ D．a－b的最大值为１ 解析:AC　[由a(a＋b)＝１,可得１a－a＝b , a２＋b２＝a２＋ １a－a æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２a２＋１ a２ －２≥ ２ ２－２,当且仅当２a２＝１ a２ 时,即a＝ ４ １ ２ , b＝ ４ ２－ ４ １ ２ 时取等号,故 A 正确; ２a＋b＝２a＋１a－a＝a＋ １ a≥２ ,当且仅当a＝１a 时,即a＝１时等号成立,但此时b＝０,故等号取 不到,故 B 错 误;１a ＋ １ b ＝ １ a ＋ １ １ a－a ＝ １ a(１－a２) ,记f(a)＝a(１－a２)(１＞a＞０), f′(a)＝(１－a２)－２a２＝１－３a２, 当０＜a＜ ３３ ,f′(a)＞０,f(a)单调递增, 当 ３ ３＜a＜１ ,f′(a)＜０,f(a)单调递减, 故f(a)max＝f ３３ æ è ç ö ø ÷＝２ ３９ , 故１ a＋ １ b＝ １ a(１－a２) 的最小值为 ９ ２ ３ ＝３ ３２ ,故 C正确;由于１a－a＝b＞０⇒０＜a＜１ ,b＞０, a－b＜１,故 a－ b的最大值不可能为１,故 D错误．] ９．(多选)(２０２５􀅰云南昆明第十二中学校考)十六 世纪中叶,英国数学加雷科德在«砺智石»一书 中先把“＝”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥 特首次使用“＜”和“＞”符号,并逐步被数学界接 受,不等号的引入对不等式的发展影响深远,若 a＞０,b＞０,则下面结论正确的是 (　　) A．若a＞b,则１a＜ １ b B．若１a＋ ４ b＝４ ,则a＋b有最小值９４ C．若ab＋b２＝２,则a＋b≥４ D．若a＋b＝２,则ab有最大值１ 解析:ABD　[对于 A,a＞b＞０, 则a ab＞ b ab ,即１ a＜ １ b ,A 正确; 对于B,a＞０,b＞０,１a＋ ４ b＝４ ,则 a＋b＝１４ １ a＋ ４ b æ è ç ö ø ÷(a＋b)＝１４ ５＋ b a＋ ４a b æ è ç ö ø ÷ ≥１４ ５＋２ b a 􀅰４a b æ è ç ö ø ÷＝９４ , 当且仅 当 b a ＝ ４a b ,即b＝２a＝ ３２ 时 取 等 号, B正确; 对于C,a＞０,b＞０,由ab＋b２＝２得:a＝２b－b ＞０,有０＜b＜ ２,则a＋b＝２b＞ ２ ,C不正确; 对于D,a＞０,b＞０,a＋b＝２,则ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１, 当且仅当a＝b＝１时取等号,D正确．] １０．若函数f(x)＝２x ２－a x－１ (a＜２)在区间(１,＋∞) 上的最小值为６,则实数a的值为　　　　． 解析:由题意得f(x)＝２x ２－a x－１ ＝２ (x－１)２＋４(x－１)＋２－a x－１ ＝２ (x－１)＋ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８３􀅰 高考总复习　数学(BS) ２－a x－１＋４≥２ ２ (x－１)􀅰２－ax－１＋４＝２４－２a ＋４,当且 仅 当 ２(x－１)＝２－ax－１ ,即 x＝１＋ ２－a ２ 时,等号成立,所以２ ４－２a＋４＝６,即 a＝３２． 答案:３ ２ １１．(２０２５􀅰陕西咸阳模拟)已 知 函 数 f(x)＝ ２０２４x－２０２４－x,若m＞０,n＞０,且f(m－２) ＋f (n)＝f(０),则 ３m＋１＋ １ n＋１ 的 最 小 值为　　　　． 解析:函数f(x)＝２０２４x－２０２４－x的定义域 为R,f(－x)＝２０２４－x－２０２４x＝－f(x),即 函数f(x)是奇函数,又因为函数y＝２０２４x,y ＝－２０２４－x都是 R上的增函数,则f(x)在R 上递增,由f(m－２)＋f(n)＝f(０),得f(m－２)＝ ０－f(n)＝f(－n),于是m－２＝－n, 即m＋n＝２, 则(m＋１)＋(n＋１)＝４,而m＞０,n＞０, 即有m＋１＞１,n＋１＞１, 因此 ３ m＋１＋ １ n＋１＝ １ ４ [(m＋１)＋(n＋１)] ３ m＋１＋ １ n＋１ æ è ç ö ø ÷＝１４ ４＋ ３(n＋１) m＋１ ＋ m＋１ n＋１[ ]≥ １ ４ ４＋２ ３(n＋１) m＋１ 􀅰m＋１ n＋１ é ë êê ù û úú ＝１＋ ３ ２ ,当 且 仅 当３(n＋１) m＋１ ＝ m＋１ n＋１ ,即m＋１＝ ３(n＋１)＝２(３ － ３)时取等号,所以当 m＝５－２ ３,n＝２ ３ －３时, ３m＋１＋ １ n＋１ 取得最小值１＋ ３２． 答案:１＋ ３２ １２．(２０２５􀅰天津大港一中模拟)设m＞n＞０,那么 １＋m４ (m－n)n 的最小值是　　　　． 解 析:∵ m ＞n ＞０,所 以 (m －n)n ≤ (m－n)＋n ２[ ] ２ ＝m ２ ４ ,当且仅当m－n＝n,即m ＝２n时取等号; 所以 １(m－n)n≥ ４ m２ ,所以 １＋m ４ (m－n)n≥ (１＋m４)× ４ m２ ＝４ m２ ＋４m２≥２ ４ m２ 􀅰４m２＝８,当且仅当 ４ m２ ＝４m２,即m＝１时取等号,所以 １＋m ４ (m－n)n≥８ , 当且仅当m＝１,n＝１２ 时取等号． 答案:８ [能力提升组] １３．(２０２５􀅰安徽芜湖期末)«几何原本»第二卷中 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成 了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过 这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实 现证明,并称之为无字证明．现有如图所示的 图形,点F 在半圆O 上,且OF⊥AB,点C 在 直径AB 上运动．作CD⊥AB 交半圆O 于点 D．设AC＝a,BC＝b,则由FC≥CD 可以直接 证明的不等式为 (　　 ) A．a＋b２ ≥ ab (a＞０,b＞０) B．a２＋b２≥２ab(a＞０,b＞０) C．２aba＋b≤ a２＋b２ ２ (a＞０,b＞０) D． ab≤ a ２＋b２ ２ (a＞０,b＞０) 解析:D　[连 接 AD, BD,由 题 图 知 CD ⊥ AB,AD⊥DB, 所以 ∠ADC＋∠CDB ＝ ∠CDB ＋ ∠CBD, 即∠ADC＝∠CBD, 因为∠ACD＝∠DCB＝９０°, 所以△ACD∽△DCB, 所以AC DC＝ CD BC ,即CD＝ ab, 因为AC＝a,BC＝b, 所以OF＝a＋b２ ,OC＝a－a＋b２ ＝ a－b ２ , 所以FC＝ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ a－b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ a ２＋b２ ２ , 所以由FC≥CD 可以证明 ab≤ a ２＋b２ ２ (a＞０,b＞０)．] １４．(２０２５􀅰山东济南模拟)中 共中央办公厅、国务院办 公厅印发了«关于构建更 高水平的全民健身公共服 务体系的意见»,再次强调 持续推进体育公园建设． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 如图,某市拟建造一个扇形体育公园,其中 ∠AOB＝π３ ,OA＝OB＝２千米．现需要在OA, OB,AB ︵ 上分别取一点D,E,F,建造三条健走 长廊DE,DF,EF,若 DF⊥OA,EF⊥OB,则 DE＋EF＋FD 的最大值为　　　　千米． 解析:在 四 边 形 DOEF 中,∠AOB ＝ π３ , ∠FDO＝π２ ,∠FEO＝π２ ,可知O、D、F、E 四 点共圆,且圆的直径为OF＝２,故DE＝２sinπ３ ＝ ３． 又∠DFE＝２π３ ,在 △DEF 中,由余 弦 定 理 得 DE２＝DF２＋EF２－２DF􀅰EF􀅰cos２π３ , 即DE２＝DF２＋EF２＋DF􀅰EF, DE２＝(DF＋EF)２－DF􀅰EF, DF􀅰EF＝(DF＋EF)２－DE２≤ (DF＋EF)２ ４ , 当且仅当DF＝EF＝１时取等号, ∴(DE＋EF)２≤４３DE ２ 即DF＋EF≤２ ３３ DE ,DF＋EF＋DE≤２ ３３ DE＋ DE＝２＋ ３． 答案:２＋ ３ １５．(２０２５􀅰杭师大附中模拟)已知对任意正实数 x,y,恒有x２＋y２≤a(x２－xy＋y２),则实数a 的最小值是　　　　． 解析:因为x＞０,y＞０, 则x２－xy＋y２＝(x－y)２＋xy＞０, 则x２＋y２≤a(x２－xy＋y２), 即 x ２＋y２ x２－xy＋y２ ≤a, 又 x ２＋y２ x２－xy＋y２ ＝ １ １－ xy x２＋y２ , 因为x２＋y２≥２xy,所以１－ xyx２＋y２ ≥１２ , 所以 １ １－ xy x２＋y２ ≤２,即 x ２＋y２ x２－xy＋y２ ≤２, 当且仅当x＝y时,取等号, 所以 x ２＋y２ x２－xy＋y２ æ è ç ö ø ÷ max ＝２,所以a≥２,即实数 a的最小值是２． 答案:２ １６．(２０２５􀅰安徽工业大学附属中学校考)为响应 国家“降碳减排”号召,新能源汽车得到蓬勃发 展,而电池是新能源汽车最核心的部件之一． 湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历 史性机遇,决定开发生产一款新能源电池设 备．生产这款设备的年固定成本为２００万元, 每生产x台(x∈N＋ )需要另投入成本a(x)(万 元),当年产量x 不足４５台时,a(x)＝１２x ２＋ ３０x－３００万元,当年产量x 不少于４５台时, a(x)＝６１x＋２５００x＋１－９００ 万元．若每台设备的 售价与销售量的关系式为 ６０＋１００x æ è ç ö ø ÷ 万元,经 过市场分析,该企业生产新能源电池设备能全 部售完． (１)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函 数关系式; (２)年产量x 为多少台时,该企业在这一款新 能源电池设备的生产中获利最大? 最大利润 是多少万元? 解:(１)当x＜４５,x∈N＋ 时, y＝ ６０＋１００x æ è ç ö ø ÷x－２００－a(x) ＝６０x＋１００－２００－ １２x ２＋３０x－３００æ è ç ö ø ÷ ＝－１２x ２＋３０x＋２００; 当x≥４５,x∈N＋ 时, y＝ ６０＋１００x æ è ç ö ø ÷x－２００－a(x) ＝６０x＋１００－２００－ ６１x＋２５００x＋１－９００ æ è ç ö ø ÷ ＝－x－２５００x＋１＋８００ ; 综上所述,y＝ －１２x ２＋３０x＋２００,x＜４５, －x－２５００x＋１＋８００ ,x≥４５ ì î í ï ï ïï (x∈N＋ )． (２)当x＜４５,x∈N＋ 时,y＝－ １ ２x ２＋３０x＋ ２００,则当x＝３０时,y的最大值为６５０; 当x≥４５,x∈N＋ 时, y＝－x－２５００x＋１＋８００＝－ (x＋１)＋２５００x＋１[ ]＋ ８０１≤－２ (x＋１)􀅰２５００x＋１＋８０１＝７０１ (当且 仅当x＋１＝２５００x＋１ ,即x＝４９时等号成立)． ∴当年产量为４９台时,该企业在这款新能源 电池设备的生产中获利最大,最大利润是７０１ 万元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８３􀅰 高考总复习　数学(BS)