课时3 不等式的性质-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版2019）

第３节　不等式 课时冲关３　不等式的性质 学生用书　P２４３ [基础训练组] １．(２０２５􀅰崇明模拟)如果a＜０,b＞０,那么下列不 等式中正确的是 (　　) A．a２＜b２ B．－a＜b C．|a|＞|b| D．１a＜ １ b 解析:D　[对于 A,B,若a＝－２,b＝１,则a２＜ b２,－a＜b不成立,故 A,B错误;对于 C,若a ＝－１,b＝２,则|a|＞|b|不成立,故 C错误;对 于 D,因为１a＜０＜ １ b ,故 D正确．] ２．已知x＞０,y＞０,M＝ x ２ x＋２y ,N＝４ (x－y) ５ ,则 M 和N 的大小关系为 (　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．以上都有可能 解析:A　[因 为 x＞０,y＞０,所 以 M－N＝ x２ x＋２y－ ４(x－y) ５ ＝ x２－４xy＋８y２ ５(x＋２y) ＝ (x－２y)２＋４y２ ５(x＋２y) ＞０ ,即 M＞N．] ３．(２０２５􀅰安徽黄山模拟)设实数a、b满足a＞b, 则下列不等式一定成立的是 (　　) A．a２＞b２ B．ba＜ b＋１ a＋１ C．ac２＞bc２ D．３a＋３－b＞２ 解析:D　[对于 A,当a＝２,b＝－４时不成立, 故 A 错误;对于B,当a＝－１２ ,b＝－１,所以ba ＝２,b＋１a＋１＝０ ,即b a ＞ b＋１ a＋１ ,故 B错误;对于 C, 当c＝０时不成立,故 C错误;对于 D,因为a＞ b,所以３a＞３b＞０,又３－b＞０,所以３a＋３－b＞ ３b＋３－b≥２ ３b×３－b ＝２(等 号 成 立 的 条 件 是 b＝０),故 D正确．] ４．(２０２５􀅰鹰潭模拟)若１a＜ １ b＜０ ,则下列结论正 确的是 (　　) A．a２＞b２ B．１＞ １２ æ è ç ö ø ÷ b ＞ １２ æ è ç ö ø ÷ a C．ba＋ a b＜２ D．ae b＞bea 解析:D　[由题意,b＜a＜０,则a２＜b２,１２ æ è ç ö ø ÷ b ＞ １ ２ æ è ç ö ø ÷ a ＞１,ba＋ a b＞２ , ∵b＜a＜０,∴ea＞eb＞０,－b＞－a＞０, ∴－bea＞－aeb,∴aeb＞bea．] ５．(２０２５􀅰山西模拟)若α＜β＜０,则下列结论中正 确的是 (　　) A．α２＜β ２ B．βα＋ α β ＞２ C．１２ æ è ç ö ø ÷ α ＜ １２ æ è ç ö ø ÷ β D．sinα＜sinβ 解析:B　[∵α＜β＜０,∴－α＞－β＞０,∴α ２＞ β ２,故 A 错误; ∵α＜β＜０,∴ α β ＞０,βα ＞０ ,∴βα ＋ α β ≥ ２ βα 􀅰α β ＝２．∵α≠β,∴βα＋ α β ＞２,故B正确; ∵０＜１２＜１ ,α＜β,∴ １ ２ æ è ç ö ø ÷ α ＞ １２ æ è ç ö ø ÷ β ．故C错误; 令α＝－π,β＝－ π ２ ,此时sinα＝０,sinβ＝－１, sinα＞sinβ．故 D错误．] ６．设a＞b＞１,则下列不等式成立的是 (　　) A．alnb＞blna B．alnb＜blna C．aeb＜bea D．aeb＞bea 解析:C　[观察 A,B两项,实际上是在比较lnbb 和lna a 的大小,引入函数y＝lnxx ,x＞１．则y′＝ １－lnx x２ ,可见函数y＝lnxx 在(１,e)上 单 调 递 增,在(e,＋∞)上 单 调 递 减．函 数y＝lnxx 在 (１,＋∞)上不单调,所以函数在x＝a 和x＝b 处的函数值无法比较大小．对于C,D两项,引入 函数f(x)＝e x x ,x＞１,则 f′(x)＝xe x－ex x２ ＝ (x－１)ex x２ ＞０,所以函数f(x)＝e x x 在(１,＋∞)上 单调递增,又因为a＞b＞１,所以f(a)＞f(b), 即e a a＞ eb b ,所以aeb＜bea．] ７．(２０２５􀅰上饶市模拟)已知a,b∈R,a＞b＞０,则 下列不等式中一定成立的是 (　　) A．ab＞ a－１ b－１ B． １ a－b＞ １ b C．ab＞ a＋１ b＋１ D．a－ １ b＞b－ １ a 解析:C　[ab－ a－１ b－１＝ a(b－１)－b(a－１) b(b－１) ＝ b－ab(b－１) ,因为a＞b＞０,所以b－a＜０,b＞０, 但b－１的正负不确定, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８３􀅰 高考总复习　数学(BS) 所以a b ＞ a－１ b－１ 不 一 定 成 立,即 选 项 A 错 误; １ a－b－ １ b＝ b－(a－b) b(a－b)＝ ２b－a b(a－b) ,因为a＞b＞ ０,所以a－b＞０,b＞０,但２b－a的正负不确定, 所以 １ a－b＞ １ b 不一定成立,即选项B错误;ab－ a＋１ b＋１＝ a(b＋１)－b(a＋１) b(b＋１) ＝ a－b b(b＋１) ,因为a＞b ＞０,所以a－b＞０,b＞０,b＋１＞０, 所以a b＞ a－１ b－１ 一定成立,即选项 C正确;a－１b － b－１a æ è ç ö ø ÷＝ (a－b)(ab－１) ab ,因为a＞b＞０,所 以a－b＞０,ab＞０,但ab－１的正负不确定, 所以a－１b＞b－ １ a 不一定成立,即选项D错误．] ８．(多选)(２０２５􀅰广西模拟)已知实数a,b,c满足 a＞b＞c,且a＋b＋c＝０,则下列结论中正确 的是 (　　 ) A．a＋b＞０ B．ac＞bc C．１a－b＞ １ b－c D． (a－c)(b－c)＜９４c ２ 解析:AD　[a＋b＋c＝０且a＞b＞c,则a＞０,c ＜０,则a＋b＞０,A 正确; 因为a＞b,c＜０,所以ac＜bc,B错误; 因为a＞b＞c,a－b＞０,b－c＞０,(a－b)－(b－c)＝ a＋c－２b＝－３b,当b＞０时,０＜a－b＜b－c,则 １ a－b＞ １ b－c ;当b＜０时,a－b＞b－c＞０,则 １a－b ＜ １b－c ;当b＝０时,a－b＝b－c,则 １a－b＝ １ b－c , 故C错误;因为(a－c)(b－c)－９４c ２＝(a－c) (－a－２c)－９４c ２＝－a２－ac－１４c ２ ＝－ a＋１２c æ è ç ö ø ÷ ２ ≤０, 当且仅当a＝－１２c 时,等号成立,此时由a＋b ＋c＝０,可得b＝－１２c ,不符合a＞b＞c,所以 － a＋１２c æ è ç ö ø ÷ ２ ＝０不成立,故－ a＋１２c æ è ç ö ø ÷ ２ ＜０, 即(a－c)(b－c)＜９４c ２,D正确．] ９．(多选)(２０２５􀅰重庆市育才中学模拟)若a＞b＞ ０＞c,则 (　　) A．ca＞ c b B． b－c a－c＞ b a C．ac＞bc D．a－c＞２ －bc 解析:ABD　[A 项,ca － c b ＝ (b－a)c ab ,∵a＞b ＞０＞c,∴ab＞０,b－a＜０,c＜０,∴ (b－a)c ab ＞０ , ∴ca＞ c b ,故 A 正确; B项,b－ca－c－ b a＝ a(b－c)－b(a－c) (a－c)a ＝ (b－a)c (a－c)a , ∵a＞b＞０＞c,∴a－c＞０,a＞０,b－a＜０,c＜０, ∴ (b－a)c (a－c)a＞０ ,∴b－ca－c＞ b a ,故B正确; C项,y＝xc,c＜０时,y 在(０,＋∞)上单调递 减,∵a＞b,∴ac＜bc,故C错误; D项,∵a＞b＞０＞c,∴－c＞０, ∴a－c＞b－c＝b＋(－c)≥２ －bc,∵a≠b,故 等号取不到,故a－c＞２ －bc,故 D正确．] １０．(２０２５􀅰浙江模拟)A 杯中有浓度为a％的盐 水x 克,B 杯中有浓度为b％的盐水y 克, 其中 A 杯中的盐水更咸一些．若将 A、B 两 杯盐水混 合 在 一 起,其 咸 淡 的 程 度 可 用 不 等式表示为　　　　． 解析:由题意,将A、B 两杯盐水混合在一起后 浓度为ax＋by x＋y , ∵ax＋byx＋y －a＝ (b－a)y x＋y , ax＋by x＋y －b＝ (a－b)x x＋y , ∵A 杯中的盐水更咸一些, ∴a＞b,∴b＜ax＋byx＋y ＜a． 答案:b＜ax＋byx＋y ＜a １１．(２０２５􀅰河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥０, 且x＋y＋z＝４,２x－y＋z＝５,则 M＝４x＋ ３y＋５z的取值范围是　　　　　　　　． 解析:因为x＋y＝４－z,２x－y＝５－z, 故x＝３－２z３ ,y＝１－z３ , 由x,y,z≥０,得 ３－２z３≥０ , １－z３≥０ , z≥０, ì î í ï ï ï ï ïï ,解得０≤z≤３, 故 M＝４x＋３y＋５z＝４３－２z３ æ è ç ö ø ÷＋３１－z３ æ è ç ö ø ÷＋ ５z＝４z３＋１５∈ [１５,１９]． 答案:[１５,１９] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主题一　第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 １２．已知f(n)＝ n２＋１－n,g(n)＝n－ n２－１, φ(n)＝ １ ２n (n∈N＋ ,n＞２),则f(n),g(n),φ(n) 的大小关系是　　　　． 解析:f(n)＝ n２＋１－n＝ １ n２＋１＋n ＜ １２n ＝φ(n), g(n)＝n－ n２－１＝ １ n＋ n２－１ ＞１２n＝φ (n), ∴f(n)＜φ(n)＜g(n)． 答案:f(n)＜φ(n)＜g(n) [能力提升组] １３．(２０２５􀅰全国模拟)已 知a＝２０２２２０２４,b＝ ２０２３２０２３,c＝２０２４２０２２,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c 解析:C　[∵lnalnb＝ ２０２４ln２０２２ ２０２３ln２０２３＝ ln２０２２ ２０２３ ln２０２３ ２０２４ , 构造 函 数 f(x)＝ lnxx＋１ (x≥e２),f′(x) ＝ (x＋１)－xlnx x(x＋１)２ , 令g(x)＝(x＋１)－xlnx,则g′(x)＝－lnx＜０, ∴g(x)在[e２,＋∞)上单调递减, ∴g(x)≤g(e２)＝１－e２＜０, 故f′(x)＜０,所以f(x)在[e２,＋∞)上单调递减, ∴f(２０２２)＞f(２０２３)＞０⇒lnalnb＝ ln２０２２ ２０２３ ln２０２３ ２０２４ ＝ f(２０２２) f(２０２３)＞１⇒lna＞lnb⇒a＞b , 同理可得lnb＞lnc⇒b＞c,故a＞b＞c．] １４．(２０２５􀅰四川凉山模拟)已知a＝４＋２５ln２ , b＝２＋２１．２,c＝２２．１,则 (　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b 解析:D　[因为b－c＝２＋２１．２－２２．１＝２＋２􀅰 ２０．２－２２􀅰２０．１＝２[１－２􀅰２０．１＋(２０．１)２] ＝２(１－２０．１)２＞０,所以b＞c; 令f(x)＝x－１－lnx(x＞１),f′(x)＝１－１x＞０ , 所以f(x)在(１,＋∞)上单调递增, 因为２０．２＞１,所以f(２０．２)＞f(１), 即２０．２－１－ln２０．２＞０, 所以b－a＝２＋２１．２－４－２５ln２＝２ 􀅰２０．２－２－ ２ln２０．２＝２(２０．２－１－ln２０．２)＞０,所以b＞a; 同理２０．１＞１,所以f(２０．１)＞f(１),即２０．１－１－ ln２０．１＞０,也即１－２０．１＋ln２０．１＜０, 所以a－c＝４＋２５ln２－２ ２．１＝４＋４ln２０．１－２２􀅰 ２０．１＝４(１＋ln２０．１－２０．１)＜０,所以a＜c． 综上,a＜c＜b．] １５．近来鸡蛋价格起伏较大,每两周的价格均不相同, 假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、 b元/斤,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同: 家庭主妇甲每周买３斤鸡蛋,家庭主妇乙每周 买１０元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠 (两次平均价格低视为更优惠)　　　　(在横线 上填甲或乙即可)． 解析:由 题 意 得 甲 购 买 产 品 的 平 均 单 价 为 ３a＋３b ６ ＝ a＋b ２ ,乙 购 买 产 品 的 平 均 单 价 为 ２０ １０ a＋ １０ b ＝２aba＋b ,由条件得a≠b． ∵a＋b２ － ２ab a＋b＝ (a－b)２ ２(a＋b)＞０ ,∴a＋b２ ＞ ２ab a＋b , 即乙的购买方式更优惠． 答案:乙 １６．(２０２５􀅰河北邯郸模拟)记 min{x,y,z}表示x, y,z 中 最 小 的 数．设 a ＞ ０,b ＞ ０,则 mina,１b ,１ a＋３b{ }的最大值为　　　　　． 解析:若a≤１b ,则ab≤１,此时 mina,１b ,１ a＋３b{ }＝mina, １ a＋３b{ }, 因为a １a＋３b æ è ç ö ø ÷＝１＋３ab≤４,所以a和１a＋３b 中至少有一个小于等于２, 所以 mina,１a＋３b{ }≤２, 又当a＝２,b＝１２ 时,a＝１b＝ １ a＋３b＝２ , 所以 mina,１b ,１ a＋３b{ }的最大值为２． 若a＞１b ,则ab＞１,此时 mina,１b ,１ a＋３b{ } ＝min １b ,１ a＋３b{ }, 因为１ b １ a＋３b æ è ç ö ø ÷＝１ab＋３＜４ ,所以１ b 和１ a＋３b 中至少有一个小于２, 所以 mina,１b ,１ a＋３b{ }＜２． 综上,mina,１b ,１ a＋３b{ }的最大值为２． 答案:２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８３􀅰 高考总复习　数学(BS)