热点强化课7 空间几何体球内切球与外切球问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

２．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为１０的球面 上,其上、下底面半径分别为４和５,则该圆台的体 积为　　　． 解析:圆 台 的 下 底 面 半 径 为 ５,故下底面在外接球的大圆 上,如图所示, 设球的球心为O,圆台上底面 的 圆 心 为 O′,则 圆 台 的 高 OO′ ＝ OQ２－O′Q２ ＝ ５２－４２＝３． 据此可得圆台的体积V＝１３π×３× (５２＋５×４＋ ４２)＝６１π． 答案:６１π ３．(２０２５􀅰湖北宜昌市夷陵中学模拟)已知正四面体 ABCD 的表面积为２ ３,且A,B,C,D 四点都在球 O 的球面上,则球O 的体积为　　　　． 解析:正四面体各面都是全等的等边三角形,设正 四面体的棱长为a,所以该正四面体的表面积为S ＝４×１２×a× a ２－ a２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３a２,所以a＝ ２, 又正方体的面对角线可构成正四面体, 若正四面体棱长为 ２,可得正方体的棱长为１, 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球,所 以外接球的直径为 ３,半径为 ３２ ,所以球O 的体积 为 ３ ２π． 答案:３ ２π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P１３０ 　　　空间几何体的内切球问题 ▶[命题点１]　等体积法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋将空间几何体拆分为以内切球球心为顶点的多个几 何体,再利用等体积法求出内切球半径 ,主要用于多 面体内切球问题． [例１]　(２０２５􀅰虎丘区校级模拟)在三棱锥SＧABC 中,SA⊥平面ABC,∠ABC＝９０°,且SA＝３,AB＝４, AC＝５,若球O 在三棱锥SＧABC 的内部且与四个 面都相切(称球O 为三棱锥SＧABC 的内切球),则 球O 的表面积为 (　　) A．３２π２７ B． ４π ９ C． １６π ９ D． １６π ８１ [解析]　因 为 SA⊥平 面 ABC,∠ABC＝９０°, AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以SA⊥AB,SA⊥AC,SA⊥BC, 又BC⊥AB,SA∩AB＝A,SA,AB⊂平面SAB, 所以BC⊥平面SAB,所以BC⊥SB, 所以△SAB,△ABC,△SAC,△SBC 均为直角三 角形, 设球O 的半径为r,则VSＧABC＝ １ ３ (S△SAB＋S△CAB＋ S△SAC＋S△SBC)􀅰r, 而VSＧABC＝ １ ３×３× １ ２×３×４＝６ , S△SAB＝S△CAB ＝ １ ２SA 􀅰AB＝６, S△SAC＝S△SBC＝ １ ２×３×５＝ １５ ２ , 所以１ ３ ６＋６＋ １５ ２＋ １５ ２ æ è ç ö ø ÷ 􀅰r＝６, 解得r＝２３ , 所以球O 的表面积为S＝４πr２＝４π× ２３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１６π９ ． [答案]　C [例２]　已知点O 到直三棱柱ABCＧA１B１C１ 各面的 距离都相等,球O 是直三棱柱ABCＧA１B１C１ 的内切 球,若球O的表面积为１６π,△ABC的周长为４,则三 棱锥A１ＧABC 的体积为 (　　) A．４３ B． １６ ３ C． ８ ３ ３ D． １６ ３ ３ [解析]　设直三棱柱ABCＧA１B１C１ 的高为h,AB ＝c,BC＝a,AC＝b,内 切 球 O 的 半 径 为r,则h ＝２r, 由题意可知球O 的表面积为１６π＝４πr２, 解得r＝２,∴h＝４, 又△ABC 的周长为４,即a＋b＋c＝４, ∴连接OA,OB,OC,OA１,OB１, OC１,可 将 直 三 棱 柱 ABCＧ A１B１C１ 分成５个棱锥, 即三个以原来三棱柱侧面为底 面,内 切 球 球 心 为 顶 点 的 四 棱 锥,两个以原来三棱柱底面为底 面,内 切 球 球 心 为 顶 点 的 三 棱锥, ∴ 由 体 积 相 等 可 得 直 三 棱 柱 ABCＧA１B１C１ 的体积为S△ABCh＝ １ ３ahr＋ １ ３bhr＋ １ ３chr＋２× １ ３S△ABCr , 即４S△ABC＝ １ ３ (a＋b＋c)hr＋４３S△ABC , ∴S△ABC＝４, ∴三棱锥A１ＧABC 的体积为 １ ３S△ABCh＝ １ ３×４×４ ＝１６３． [答案]　B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００２􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 球内切多面体问题以球心为顶点,以多面体各面为 底进行体积分割,可由公式１ ３S多面体表面积 􀅰R内切球半径 ＝V多面体体积 来计算内切球半径． ▶[命题点２]　独立截面法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 主要用于旋转体中,通过独立截面(过球心的截面), 在截面中求出内切球的半径． [例３]　(２０２５􀅰全国模拟)轴截面为正三角形的圆 锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为２,求球 的体积． [解]　如图,作出轴截面,圆O 和AC 相切于点D, 因为△ABC 是正三角形,所以 OA＝OB,AD＝１２AC＝２ , BD＝４× ３２＝２ ３ , 设内切球半径为R,在直角△AOD 中可得,AO２＝ AD２＋OD２,所以(２ ３－R)２＝２２＋R２, 解得R＝２ ３３ ,V＝４３π ２ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝３２ ３π２７ ,所以内切 球体积为３２ ３π ２７ ． [例４]　如图,在三棱锥VＧABC 中,∠AVB＝∠BVC＝∠CVA ＝６０°,VA＝VB＝VC,若三棱 锥VＧABC 的内切球O 的表面 积为６π,则此三棱锥的体积为 (　　) A．６ ３ B．１８ ３ C．６ ２ D．１８ ２ [解析]　连接VO,并延长交 底面ABC 于点E,连接AE,并 延长交BC 于点D, ∵ 在 三 棱 锥 VＧABC 中, ∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝ ６０°,VA＝VB＝VC, ∴三棱锥VＧABC 是正四面体,∴E 是△ABC 的中 心,∴VE⊥平面ABC, ∵三棱锥VＧABC 的内切球O 的表面积为６π, ∴４πr２＝６π,解得球O 的半径r＝OE＝ ６２ , 设AB＝a,则AE＝２３AD＝ ２ ３ a ２－ a２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３a３ , VE＝ a２－ ３a ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ６３a , ∴AO＝VO＝ ６３a－ ６ ２ , ∵OE⊥AE,∴AE２＋OE２＝AO２, ∴ ３a ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ６ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ６ ３a－ ６ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ , 解得a＝６,∴VE＝ ６３×６＝２ ６ , ∴此三棱锥的体积为V＝１３S△ABC 􀅰VE ＝１３× １ ２×６×６×sin６０°×２ ６＝１８ ２． [答案]　D 　　　空间几何体的外接球问题 ▶[命题点１]　补形法(补长方体或正方体) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(１)墙角模型(三条线两两垂直) 图示过程 (２r)２＝a２＋b２＋c２(其中r为长方体或正方体的 外接球半径)． (２)对棱相等模型(补形为长方体) 题设:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相 等,求外接球半径(AB＝CD,AD＝BC,AC＝BD) 图示过程如下图: [例５]　(２０２５􀅰河南开封三模)在三棱锥 PＧABC 中,PA＝AB,PA⊥平面ABC,∠ABC＝π２ ,AB＋ BC＝６,则三棱锥PＧABC 外接球体积的最小值为 (　　 ) A．８ ６π B．１６ ６π C．２４ ６π D．３２ ６π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 [解析]　[根 据 题 意 三 棱 锥 PＧABC 可以补成分别以BC, AB,PA 为 长、宽、高 的 长 方 体,其 中 PC 为 长 方 体 的 对 角线, 则三 棱 锥 PＧABC 的 外 接 球 球心即为PC 的中点,要使三棱锥 PＧABC 的外接 球的体积最小,则PC 最小． 设AB＝x,则PA＝x,BC＝６－x, |PC|＝ AB２＋PA２＋BC２＝ ３(x－２)２＋２４, 所以当x＝２时,|PC|min＝２ ６,则有三棱锥 PＧABC 的外接球的球半径最小为 ６, 所以Vmin＝ ４ ３πR ３＝８ ６π． [答案]　A [例６]　(２０２５􀅰全国模拟)在三棱锥PＧABC 中,PA ＝BC＝４,PB＝AC＝５,PC＝AB＝ １１,则三棱锥 PＧABC 的外接球的表面积为 (　　) A．２６π B．１２π C．８π D．２４π [解析]　在三棱锥PＧABC 中,PA＝BC＝４,PB＝ AC＝５,PC＝AB＝ １１, 构造长方体,使得面上的对角 线长分别为４,５,１１,则长方 体 的 对 角 线 长 等 于 三 棱 锥 PＧABC外接球的直径,如图, 设长方体的棱长分别为x,y, z,则x２＋y２＝１６,y２＋z２＝２５,x２＋z２＝１１, 则x２＋y２＋z２＝２６, 因此三棱锥PＧABC 外接球的直径为 ２６, 所以 三 棱 锥 PＧABC 外 接 球 的 表 面 积 为 ４π􀅰 ２６ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝２６π． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 外接球补形法 (１)墙角型:由一个顶点出发的三条棱两两互相垂 直,可补形为长方体或正方体,再利用公式法求 解外接球问题; (２)对棱相等型:如果一个多面体的对棱都相等,可 以补形为长方体,或正方体,再利用公式法求解 外接球问题． ▶[命题点２]　外接球单面定球心法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例７]　(２０２５􀅰 安徽安庆校联考)已 知 三 棱 锥 PＧABC的各侧棱长均为２ ３,且AB＝３,BC＝ ３, AC＝２ ３,则三棱锥PＧABC 的外接球的表面积为 　　　　． 解析:如图１: 　 　　图１　　　　　　　图２　　 过P 点作平面ABC 的垂线,垂足为 M, 则△PMA,△PMB,△PMC 都是直角三角形, 又因为 PA＝PB,∴△PMA≌△PMB,同理可得 △PMA≌△PMC,∴MA＝MB＝MC, 所以 M 点是△ABC 的外心． 又∵AB２＋BC２＝１２＝AC２, ∴△ABC 是以AC 斜边的直角三角形, ∴２P 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M,如 图２: 则PM＝ PC２－CM２＝ (２ ３)２－(３)２＝３, 设三棱锥PＧABC 外接球的球心为O,半径为r, 则O 在PM 上,则OC２＝OM２＋CM２, 即(３－r)２＋(３)２＝r２,得r＝２,外接球的表面积 为４πr２＝１６π． 答案:１６π [例８]　(２０２５􀅰 贵州贵阳模拟预测)在 三 棱 锥 AＧBCD中,已知AC⊥BC,AC＝BC＝２,AD＝BD ＝ ６,且平面ABD⊥平面ABC,则三棱锥AＧBCD 的外接球表面积为 (　　 ) A．８π B．９π C．１０π D．１２π [解析]　如图,设外接球的半径为 R,取AB 的中点O１,连接O１D,则 由AD＝BD,得O１D⊥AB, 因为平面ABD⊥平面ABC, 平面ABD∩平面 ABC＝AB,O１D ⊂平面ABD, 所以O１D⊥平面ABC,则球心O 在直线O１D 上． 连接OA,则OD＝OA＝R, 因为AC⊥BC,AC＝BC＝２,所以AB＝２ ２; 因为AD＝BD＝ ６,所以AO１＝ ２,O１D＝２． 因为O１D＞AO１,所以球心在线段O１D 上． 在Rt△O１OA 中,由勾股定理, 得OO２１＋O１A２＝OA２, 即(２－R)２＋２＝R２,解得R＝３２ , 所以三棱锥AＧBCD 的外接球表面积为４πR２＝ ４π× ３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝９π． [答案]　B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２０２􀅰 高考总复习　数学(BS) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 外接球单面定球心法 第一步:选定一个底面(如图中底面三角形ABC), 求出三角形ABC外接圆圆心O１ 如图,若△ABC 为直角三角形,则外接圆圆心O１ 在斜边的中点上; ①若△ABC为正三角形,则外接圆圆心O１ 在重心 位置; 若△ABC为普通三角形,则利 用正弦定理 a sinA＝２r ,确定出 O１ 的位置; ②第二步:过点 O１ 作出平面 ABC的垂线,如图为 PO１,则 球心O 在直线PO１ 上;③计算:在Rt△AO１O 中, 利用勾股定理求出外接球半径R． ▶[命题点３]　外接球双面定球心法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例９]　(２０２５􀅰河南省杞县模拟)在边长为６的菱形 ABCD 中,∠A＝π３ ,现将△ABD 沿BD 折起到 △PBD 的位置,当三棱锥PＧBCD 的体积最大时, 三棱锥PＧBCD 的外接球的表面积为 (　　) A．６０π B．４５π C．３０π D．２０π [解析]　当 三 棱 锥 PＧBCD 的体积最大值时,平面PBD ⊥平面BCD,如图, 取 BD 的 中 点 为 H,连 接 PH,CH,则PH⊥BD． 设 O１,O２ 分 别 为△PBD, △BCD 外接圆的圆心, O 为三棱锥PＧBCD 的外接球的球心, 则O１ 在 PH 上,O２ 在CH 上,且 PO１＝２O１H＝ ２ ３PH＝２ ３ , 且O２H⊥BD,OO１⊥平面PBD,OO２⊥平面BCD． ∵平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD ＝BD, PH⊂平面PBD,PH⊥BD, ∴PH⊥平面BCD,PH∥O２O,同理CH∥O１O, ∴四边形O１OO２H 为平行四边形, ∵PH⊥平面BCD,O２H⊂平面BCD, ∴PH⊥O２H,即四边形O１OO２H 为矩形． ∴OO２＝O１H＝ ３CO２＝ ２ ３× ３ ２×６＝２ ３ , ∴外接球半径R＝ OO２２＋CO２２＝ ３＋１２＝ １５, ∴外接球的表面积为４πR２＝６０π． [答案]　A [例１０]　(２０２５􀅰湖南邵阳市第二中学期末)一边长 为４ 的 正 方 形 ABCD,M 为 AB 的 中 点,将 △AMD,△BMC 分别沿 MD,MC 折起,使 MA, MB 重合,得到一个四面体,则该四面体外接球的 表面积为 (　　) A．７６π３ B．４８π C．８１π D． １９ ５７π ９ [解析]　如图所示, 由图可知在四面体 AＧCDM 中,由正方形 ABCD, M 为AB 的中点,可得 MA⊥AD,MA⊥AC,AC∩ AD＝A,故 MA⊥平面ACD． 将图形旋转得到如图所示的三棱锥 MＧACD,其中 △ACD 为等边三角形,过△ACD 的中心O１ 作平 面ACD 的垂线l１,过线段 MC 的中点O２ 作平面 MAC 的垂线l２,由球内截面的性质可得直线l１ 与 l２ 相交,记l１∩l２＝O,则O 即为三棱锥MＧACD 外 接球的球心． 设外接球的半径为R,连接OC,O１C,可得 O１C＝ ４ ３ ,OO１＝ １ ２MA＝１ , 在Rt△OO１C 中,OC２＝OO２１＋O１C２＝ １９ ３＝R ２, 故该外接球的表面积S＝４πR２＝４π×１９３＝ ７６ ３π． [答案]　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 外接球双面定球心法 ①第一步:选定一个底面(如底面三角形ABC),求 出三角形ABC外接圆圆心O１ 若△ABC为直角三角形,则外接圆圆心O１ 在斜边 的中点上; 若△ABC 为正三角形,则外接圆圆心O１ 在重心 位置; 若△ABC为普通三角形,则利用正弦定理 asinA ＝２r,确定出O１ 的位置; ②第二步:过点O１ 作出平面ABC的垂线; ③第三步:重复上述两步,再做一条垂线; ④第四步:两条垂线的交点为球心O． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量