热点强化课2 函数的构造问题-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

高考总复习数学(BS) [热点是化课2]函薮中的肉造问题 学生用书P56 近几年高考数学客观题压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围，这类试题具有结构 独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函 数的规律方法进行归类总结，并举例说明。 题型1 加减型 [解析]令x=0,则2f(0)+0>0,∴.(0)>0，则 A错误： [例1](2025·青海玉树模拟)定义在R上的可导 令g(x)=xf(.x),则g'(x)=2xf(x)+xf(x), 函数f(x)满足(x)<2,若f(m)-f(1-2m)≥ 当x>0时，由2f(x)+xf(x)>0, 6m一2，则m的取值范围是 ∴.2.xf(.x)+x(.x)>0.则g(.x)在(0，十∞)上单 A.(-∞，-1] (,】 调递增， 又因为偶函数f(x)的定义战为R, C.[-1,+∞) D哈+∞ g(x)=xf(x)为偶函数，g(x)在(0，十o∞)上单 [解析]令g(x)=f(x)-2x,则g'(x)=f(x) 调递增， 2<0,则g(x)在R上单调递减，又f(m)一f(1一 ·g(-3)=g(3)>g(1),9f(-3)>f(1),故B错误： 2m)≥6m-2等价于f(m)-2m≥f(1-2m）-2(1 ,g(2)>g(-1),4f(2)>f(-1),故C正确： -2),即g(m)≥g(1一2)，由单调性得m≤1 由题意，不妨假设f(x)=c>0(c为常数)符合题 意，此时f(1)=f(2)=c,故D错误. 2m,解得m≤3 -1 [答案]C [答案]B [例4](2025·河南濮阳模拟)已知函数f(x十1)为 [例2】(2025·山东济南历城二中月考)已知f(.x)是 定义域在R上的偶函数，且当x≥1时，函数f(x) 定义在R上的奇函数，f(x)是函数f(x)的导函数且 满足f)+2f()=.f6)=0则 在[0，十∞)上f(x)<1,若f(2024-m)-f(m)≥ 4ef(x)<1的解集是 ( 2024一2m,则实数m的取值范围为 A.[-1012,1012] A.(-o∞，2-√e)U(e,+∞)B.(2-eWe) B.[1012,+c∞) C.(-o∞，2-e)U(e,+o∞)D.(2-e,e) C.(-∞，-1012] [解析]由题可知，当x≥1时，[xf(x)门'=h D.(-o∞，-1012]U[1012,+∞) [解析]设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f(x)-1, 令g(x)=x2f(x),则fx)=gx2 又x∈[0，十o∞)上，(x)<1,则g'(x)<0,即函数 f(r)=g()-2rg(2)_In-2g(x) g(x)在x∈[0，+∞)上单调递减， 又f(.x)是定义在R上的奇函数，则函数g(x)为R 令A(x)=1nx-2g（x).N(x)=-2g（ 上的奇函数，故g(x)在R上单调递减， 又f(2024-m)-f(m)≥2024-2m, -1-21nx ∴.f(2024-m)-(2024-m)≥f(m)-m, 令h'(x)=0,解得x=E.可知函数h(x)在(We,十o∞) 即g(2024-m)≥g(m), 可得2024-m≤m,解得m≥1012. 上单调递减，在(1WE)上单调递增. [答案]B 又h(e)=ln√e-2g(e)=0,所以h(.x)≤0， 方法指导 f(x)≤0，所以函数f(x)在[1，十∞)上单调递减， 在求解抽象函数不等式中，若已知条件出现f(x) 4cf)<1,可化为f)<0-fO,又画教 >k或f'(x)<k,可构造函数g(x)=f(x)-kx f(x)关于x=1对称， 题型2 加乘型 故|x-1>1We-1|,x-1<1-e或x-1>6-1,所 [例3] (2025·江苏省淮安市模拟)已知偶函数 以不等式的解集为（一∞，2一√e)U(We,十c∞）. f(x)的定义域为R,导函数为f(x),若对任意x∈ [答案]A [0,+∞)，都有2f(x)十xf(x)>0恒成立，则下 方法指导 列结论正确的是 ( 1.出现f(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=e·fx): A.f(0)<0 B.9f(-3)<f(1) 2.出现f(x)十kf(x)>0(<0),构造g(x)=e· C.4f(2)>f(-1) D.f(1)<f(2) f(x): ·86· 主题二第三章导数及其应用 3.出现了(x)-f(x)>k(<k),构造g(x) 方法指导 =e[f(x)-k]: 1.出现x·(x)-f(x)>0(<0),构造g(.x) 4.出现(x)lnx+fD>0(<0),构造g(x) =f(r) lnx·f(x). 2.出现x·f(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x) 题型3 减除型 _f(x) [例5](2025·浙江省绍兴市新昌中学模拟)若定 3.出现f(x)-f(x)>0(<0),构造g(x) 义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且满足 f(x)>f(x),f(2024)=e24,则不等式 =f(x) e (行n小近的解集为 ( 4.出现了(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x) A.(0,e3o2) B.(0,e2o2) f(r) C.(e224,+∞) D.(e52,+co) [解析]由题可设F(x)= 巴，周为了) 题型4 三角函数型 f(r)0.F(c)=f(r)e-f(r)e [例7] (2025·湖北模拟)奇函数f(x)定义域为 e (一π，0)U(0,π)，其导函数是f(x).当0<x<π =f(x)-fx2>0. 时，有f(x)sinx-f(x)cosx<0,则关于x的不 e 所以函数F(x)在R上单调递增，又F(2024) 等式f(x)<巨sin的解集为 f(2024) e22 1,不等式f(传n小版可转化为 A( c(-ouo.)n(ou( F3nz<1=F(202).所以3nx<2024, [解析]令F(x)= ,因为当0<x<元时，有 sin x f'(x)sin x-f(x)cos x<0. 解得0<x<e,所以不等式fnx近的解 所以当0<x<π时， 集为(0e37). F()=f()sin af()cos < [答案]A sin'x [例6](2025·河南省部分学校)已知f(x)是定义 所以函数F)=f卫在(O,)上为单调递减函数， 在R上的函数f(x)的导数，且f(x)一f(x)<0, sin x 则下列不等式一定成立的是 所以当0<x<π时，关于x的不等式f(x) A.ef(-2)>f(1) B.f(-2)<e2f(1) C.ef(1)<f(2) D.f(1)<ef(2) 即F(x)< [解析]设g(x)=f2, fimx可化为fe< sin t sin e' 4 则g(r)=f(x)-f(2 e F所以>x>不 因为f(x)-f(x)<0,所以g'(x)>0,则g(x)在 当一r<x<0时，0<一x<π，则关于x的不等式 R上单调递增. 因为-2<1，所以g(-2)<g(1),即f-22< sin sin 1D,所以ef(-2)<f(1),则A错误： e 因为f(-2),f(1)的大小不能确定，所以f(一2)， ef(1)的大小不能确定，则B错误： sin(-x) sin 因为1<2，所以g1)<g(2),则D<f②，所以 e e ef(1)<f(2),则C正确： 因为函数f(D)为奇函教，故长二) sin(-x) 因为f(1),f(2)的大小不能确定，所以f(1), sin ef(2)不能确定，则D错误. [答案]C 即F(-x)>F ,所以一x<开，即x>- ·87· 高考总复习数学(BS) 所以一 <x<0.综上，原不等式的解集 当x>e时，f(x)<0,此时函数f(x)单调递减， (0(任x 对于A选项，：e<,则f(e)>f(x),即上>lnπ 所以r>elnπ，A错误； [答案]D [例8](2025·全国高三月考)定义在R上的连续 对于B选项，：e<π，则f(e)>f(π2)，即1> e 函数f(x)的导函数为f(x),且cos af'(.x)< 2ln元，所以元2>2elnr,B正确： (cosx十sinx)f(x)成立，则下列各式一定成立 π2 的是 ( 对于C选项，：0<元<e,则f(√示)<f(e), A.f(0)=0 B.f(0)<0 即ny压_nx<1 C.f(π)>0 Df()=0 元2√元 e. 所以0<elnr<2√，所以elnπ<4π，C错误； [解析]由题可得cos af'(x)一sin rf(.x)< 对于D选项，：π2>c>e,则f(π)<f(e),即 cos xf(x),所以(cos rf(.x)'<cos xf(x), 设g(x)=cost·(x) n元_2n<lne=二，所以2>e1n元，D错误. e e [答案]B (r-(cos f())-cos f(). [例10](2025·吉林长春模拟预测)已知4=e1一1， 所以g)在R上单调递减，且受)=0， 6员c=n1.1则 ( A.b<a<c B.c<a<b 由g0)>g受>g).可得0)>0> f(π) e C.c<b<a D.b<c<a 所以f(0)>0,f(π)>0，所以选项A,B错误，选项 解析：D[设f(x)=e一x-1,f(x)=e-1, x∈（一∞，0）时，f(x)<0,f(x)为单调递减， C正确：把x= 号代入osxf)K(cosr+sin x∈(0，十∞)时，f(x)>0,f(x)为单调递增，所以 fx,可得f( >0,所以选项D错误. f(x)≥f(0)=0,f0.1)>0,即e1-1>0.1. [答案]C 设g(x)=lnx-x+1,g'(x)=1-1=1x, 方法指导 x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)为单调递增， 1.出现sinx·f(x)+cosx·f(x)>0(<0), x∈(1，十∞)时，g(.x)<0,g(x)为单调递减， 构造g(x)=f(x)·sinx. 所以g(x)≤g(1)=0,g(1.1)<0, 2.出现cosx·f(x）-sinx·f(x)>0(<0). 即ln1.1<0.1,所以a>c. 构造g(x)=f(x)·cosx. 设h()=n(x十D-千2()= 3.出现sinx·f(x)-cosx·f(x)>0(<0), 4 构造g(x)= f(x) sinx (x十2)F (x+1)(x+2)>0,h(x)为单调递增， 4.出现cosx·f(.x)+sinx·f(x)>0(<0), 所以h(0.1)>h(0)=0,所以1n1.1>2 2 构造g(x)=x 即c>b.] cos x 方法指导 题型5 比较大小中的同型构造 结合题目特征，发掘题中所给结构式的相似性，并 [例9](2025·辽宁省实验中学期末)下列结论正 进行等价变形，构造函数，利用函数单调性比较函 确的是 数值的大小，是此较大小很重要的方法. A.r<elnπ B.x2>2elnπ 题型6 函数零点问题中同型构造 C.elnπ>4r D.π2<elnr [例11](2025·全国模拟)在数学中，我们把仅有 [解析] 构造函数(x)=ln”,其中x>0, 变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构 则∫(x)=1-lnx 式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为 同构不等式.若关于u的方程ae=e和关于b的 当0<x<e时，f(x)>0,此时函数f(x)单调 方程b(lnb-2)=e4-(a,b,入∈R)可化为同构方 递增， 程，则入= ,In(ab)= ·88 主题二第三章导数及其应用 [解析]对ae=e两边取自然对数得lna十a=6,① 2.结合指数运算和对数运算的法则，掌握下述结论 对bnb-2)=e-两边取自然对数得lnb+ln(lnb (其中x>0): 2)=3x-1,即lnb-2+ln(1nb-2)=3x-3.② (1)re'=e'+h :x+In r=In(xe'), 因为方程①，②为两个同构方程，所以3入一3=6，解 (2)e=e'-h ir-In x=In e 得入=3.设f(x)=lnx+x(x>0),则f(x)=1+ (3)x'e'=e"te :x+2In x=In(r'e'), 1>0, 《子>e。=e—如2， =ef-2n 所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以方程 f(x)=6的解只有一个，所以a=lnb-2, 题型7 双元构造 所以ab=(lnb-2)b=b(1nb-2)=e3x3-1=e°，故 [例13]对于任意x1x∈[1，十o∞)，当x2>x1时， In(ab)=In e"=8. 恒有aln2<2(x,一x)成立；则实数a的取值范 [答案]38 围是 ) [例12](2025·全国模拟)已知函数f(x)=xe A.(-∞，0] B.(-,1] 2a(nx+x)有两个零点，则a的最小整数值为( C.(-∞，2] D.(-c∞，3] A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]对于任意x1,x,∈[1，十o∞)，当x2>x [解析]f(x)=xe-2a(lnx+x) 时，恒有aln<2(x,-x)成立， =eti -2a(In x+r), C, 即alnx2-2.x2<alnt,-2.x,成立， 设1=x十1nx(x>0),/=1十1>0，即函数在 令f(x)=alnx-2.x,∴.f(x)<f(x1) ∴.f(x)在[1，十∞)上单调递减， (0,十○)上单调递增，易得t∈R,于是问题等价于函 数g(t)=e-2at在R上有两个零，点，g'(t)=e-2a, .f(.x)=4-2≤0在[1，十o∞)上恒成立， 若a≤0，则g'(t)>0,函数g(t)在R上单调递增， .u≤2x在[1，十o∞)上恒成立， 至多有1个零点，不合题意，含去： 当x≥1,2x≥2， 若a>0,则x∈(-o∞，ln2a)时，g'(t)<0,g(t)单调递 ∴.实数a的取值范围为（一o∞，2]. 减，.x∈(n2a,+o∞)时，g'(t)>0,g(t)单调递增. [答案]C 因为函数g(t)在R上有两个零点，所以g(t)im= …方法指导 双元，可以借助相同结构来构造对应“统一函数” gn2a)=2a1-ln2a)<0>a>, [例14](2025·全国高三专题练习)若对于任意的 而g(0)=1>0, 0<,<,<,都有n二ln>2,则u的 TI 限定t>1,记(t)=c-t,'(t)=e-1>0,即(t) 最大值为 在(1，十o∞)上单调递增，于是9(t)=e-t>g(1) A.1 B.e =e-1>0pe>1,则>2时>专e>行，此 [解析]0<x1<x<a,x1一x<0,…xlnx 时g0)>号-2al=1-8a),周为a>气，所以 -xln<2a,-xn_ln西<2-2 8a>4e>1,于是t>8a时，g(t)>0. :n+2<n+2,画数f(x)=ln+2在 综上，当a>受时，有两个交点口的最小整数值为2 定义域(0，a)上单调递增， [答案]C f(x)=1-nr+2=-lnx-1≥0在(0，a) x x 方法指导 上恒成立，由-lnx-1≥0，解得0<x≤，故a的 1.如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征， 则a,b可视为方程f(x)=0的两个根或函数y 最大位是日 =f(.x)的两个零点. [答案]C ·89·