7.4 垂直关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第４节　垂直关系 ★[课程标准] １．以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． ２．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 　　　　　　　　学生用书　P１４１ １．直线和平面垂直的定义 一般地,如果直线l与平面α 内的任何一条直线都 垂直,那么称直线l与平面α垂直,直线l称为平面 α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们唯一的公 共点P 称为垂足． ２．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一 条 直 线与一 个 平 面内的 两条 相交直线 垂 直,那么该直 线与此 平 面 垂直 l⊥a l⊥b a∩b＝O a⊂α b⊂α ü þ ý ï ï ï ï ï ï ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于 同 一 个平面 的 两 条直线平行 a⊥α b⊥α}⇒a∥b ３．直线与平面的夹角 定义:平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的 锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角． 规定:一条直线垂直于平面,它们的夹角是直角;一条 直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是０°的 角．若直线与平面的夹角为θ,则０°≤θ≤９０°． ４．二面角 (１)定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两 部分,其中的每一部分都称为半平面．从一条直线 出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．这 条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面 角的面． (２)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,则 这两条射线所成的角称为二面角的平面角．平面 角是直角的二面角叫做直二面角．记法:棱为l、面 分别为α,β的二面角记为αＧlＧβ． 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角 的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度．我 们规定,二面角的取值范围是[０,π]． ５．平面与平面垂直 (１)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就 说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直,记 作α⊥β． 画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖 边画成与水平平面的横边垂直．如图所示． (２)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一 个 平 面过另 一 个 平面的垂线, 那么这 两 个 平面垂直 l⊥α l⊂β}⇒α⊥β 性质 定理 两个平 面 垂 直,如果一个 平面内 有 一 条直线 垂直 于这两 个 平 面的交线,那 么这条 直 线 与另一 个 平 面垂直 α⊥β α∩β＝a l⊥a l⊂β ü þ ý ï ïï ï ï ⇒l⊥α 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这 个平面内的任意直线． ２．若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条 也垂直于这个平面． ３．垂直于同一条直线的两个平面平行． ４．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． ５．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)l与平面α内的两条直线垂直,则直线l⊥平面α． (　　) (２)垂直于同一个平面的两平面平行． (　　) (３)若两条直线与一个平面的夹角相等,则这两条 直线平行． (　　) (４)当α⊥β时,直线l过α内一点且与交线垂直,则 l⊥β． (　　) (５)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一 条直线垂直于另一个平面． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)× ◆[小题查验] １．若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (　　) A．α∥γ　　　　　　　　　　B．α⊥γ C．α与γ 相交但不垂直 D．以上都有可能 解析:D　[若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则α, γ可以平行,垂直,相交且不垂直．] ２．已知两个平面垂直,下列命题: ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的 任意一条直线;②一个平面内的已知直线必垂直于 另一个平面的无数条直线;③一个平面内的任一条 直线必垂直于另一个平面;④过一个平面内任意一 点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是 (　　) A．３　　　　B．２　　　　C．１　　　　D．０ 解析:C　[如图,在正方体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,对 于 ①,AD１⊂平 面 AA１D１D,BD⊂平面ABCD,AD１ 与 BD 是异面直线,夹角为６０°,①错 误,②正确; 对于③,AD１⊂平面AA１D１D,AD１ 不垂直于平面 ABCD; 对于④,过平面AA１D１D 内点D１,作D１C．∵AD⊥ 平面D１DCC１,D１C⊂平面D１DCC１, ∴AD⊥D１C．但 D１C 不 垂 直 于 平 面 ABCD,故 ④错误．] ３．(２０２５􀅰福建泉州模拟)已知m,n是两条不同的直 线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题是真命题 的是 (　　 ) A．若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B．若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ C．若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β D．若m∥n,m∥α,则n∥α 解析:C　[对于A,因为α⊥β,设α∩β＝l, 又因为m⊂α,n⊂β,则当m∥l,n∥l时,m∥n,故A 错误; 对于B,若α∩γ＝l,且l⊥β,则有α⊥β,β⊥γ,故B 错误; 对于C,因为m⊥α,m∥n, 故n⊥α,又由n∥β,故存在直线a⊂β,且a∥n, 此时a⊥α,由面面垂直的判定定理知α⊥β,故C 正确; 对于D,当 m∥n,m∥α,则n∥α或者n⊂α,故D 错误．] ４．(BSD必修第二册P２３０练习T２(１)改编)“直线a与平 面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α 垂直”的　　　　条件． 解析:根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平 面α内的无数条直线都垂直”⇒/ “直线a 与平面α 垂直”,反之则可以,所以应是必要不充分条件． 答案:必要不充分 ５．(忽视平面到空间的变化致误)已知直线a,b,c,若 a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系为　　　　． 解析:若a,b,c在同一个平面内,由题设条件可得 a∥c;若在空间中,则直线a 与c 的位置关系不确 定,平行、相交、异面都有可能． 答案:平行、相交或异面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１２􀅰 高考总复习　数学(BS) 　　　　　　　　学生用书　P１４２ 　　　垂直关系的基本问题 １．(２０２５􀅰江西模拟)如图,在四面 体ABCD 中,AB⊥CD,AB＝CD ＝１,BD＝ ２,BC＝AD＝ ３,则 四面体中存在面面垂直关系的对 数为 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ 解析:B　[因为 AB＝１,BD＝ ２,AD＝ ３,所以 AB２＋BD２＝AD２,所 以 AB⊥BD,又 AB⊥CD, BD∩CD＝D,BD⊂平面BCD,CD⊂平面BCD．所 以AB⊥平面BCD．又AB⊂平面ABC,AB⊂平面 ABD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平 面BCD．因为CD＝１,BD＝ ２,BC＝ ３,所以CD２ ＋BD２＝BC２,所以CD⊥BD．又CD⊥AB,BD∩ AB＝B,BD⊂平面 ABD,AB⊂平面 ABD,所以 CD⊥平 面 ABD,又 CD⊂平 面 ACD,所 以 平 面 ACD⊥平面ABD,综上可知有３对．] ２．(２０２５􀅰湖南模拟)已知下面给出的四个图都是正 方体,A,B 为顶点,E,F 分别是所在棱的中点, 则满足直线AB⊥EF 的图形的个数为 (　　 ) A．１　　　　B．２　　　　C．３　　　　D．４ 解析:D　[对于①:如下图所示,点C 为所在棱的 中点,由中位线定理及等腰三角形的性质, 易证AB⊥FC,由CE⊥平面ACF,得出EC⊥AB, FC,EC⊂平面ECF, FC∩EC＝C,从而由线面垂直的判定得出AB⊥平 面ECF,则AB⊥EF,故①正确; 图１ 对于②:如下图所示,点 D 为所在棱的中点,由中 位线定理及等腰三角形的性质, 易证 AB⊥DE,由 DF⊥平 面 BDE,得 出 DF⊥ AB,DE,DF⊂平面DEF, DE∩DF＝D,从而由线面垂直的判定得出 AB⊥ 平面DEF,则AB⊥EF,故②正确; 图２ 对于③:如下图所示,由中位线定理及等腰三角形 的性质, 易证EF⊥AG,由BG⊥平面EFG,得出EF⊥BG, AG,BG⊂平面ABG, AG∩BG＝G,从而由线面垂直的判定得出EF⊥平 面ABG,则AB⊥EF,故③正确; 图３ 对于④:如下图所示,点 H 为所在棱的中点,由③ 可知,AB⊥HE, 由中位线定理及等腰三角形的性质, 易证BM⊥FH,由 AM⊥平面FHM,得出 AM⊥ FH,AB,AM⊂平面ABM, AB∩AM＝A,从而由线面垂直的判定得出FH⊥ 平面ABM,则AB⊥FH, HE,FH⊂平面EFH,HE∩FH＝H,由线面垂直 的判定可得AB⊥平面EFH, 则AB⊥EF,故④正确．] 图４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决垂直关系的基本问题要注意 (１)作图要熟练,借助几何图形来说明线面关系要 做到作图快、准,甚至无需作图在头脑中形成印 象来判断． (２)善于寻找反例,若存在反例,结论就被驳倒了． (３)要思考完整,反复验证所有可能的情况,必要时 要运用判定或性质定理进行简单说明． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 　　　直线与平面垂直的判定与性质 ▶[命题点１]　直线与平面垂直的判定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例１]　(２０２５􀅰四川乐山 三模)如 图,平 行 六 面 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,底面 ABCD 是边长为２的菱形, 且∠BAD＝６０°,AA１＝ ６, ∠A１AB＝∠A１AD,AA１ 与平面ABCD 所成的角 为４５°,AC与BD 交于点O．证明:A１O⊥平面ABＧ CD． 解:连接BC１,DC１, ∵底 面 ABCD 是 边 长 为２ 的菱形,∴AB＝AD． ∵∠A１AB＝∠A１AD,AA１ ＝AA１, ∴△A１AB≌△A１AD,∴BA１＝DA１． ∵点O 为线段BD 中点,∴A１O⊥BD． ∵ABCD 为菱形,∴AC⊥BD,AC∩A１O＝O,AC, A１O⊂平面AA１C,∴BD⊥平面AA１C, 又BD⊂平面ABCD, ∴平面A１AC⊥平面ABCD, ∴AA１ 在平面ABCD 上的射影为AC, ∴∠A１AO 为直线AA１ 与平面 ABCD 所成的角, 即∠A１AO＝４５°． 在△A１AO 中,AA１＝ ６,AO＝ １ ２AC＝ ３ ,∠A１AO ＝４５°, ∴cos∠A１AO＝ ２ ２＝ A１A２＋OA２－A１O２ ２×A１A×OA , ∴A１O＝ ３． 则A１A２＝OA２＋A１O２,∴A１O⊥OA． 又OA∩BD＝O,OA⊂平 面 ABCD,BD⊂平 面 ABCD, ∴A１O⊥平面ABCD． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理; ②垂直于平面的传递性a∥b,a⊥α⇒b⊥α;③面面 平行的性质a⊥α,α∥β⇒a⊥β;④面面垂直的性质 α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β⇒l⊥α． １．如 图,在 直 三 棱 柱 ABCＧ A１B１C１ 中,AC ＝ BC ＝１, ∠ACB＝９０°,D 是A１B１ 的中 点,F 在BB１ 上． (１)求证:C１D⊥平面AA１B１B; (２)在下列给出三个条件中选 取哪两个条件可使 AB１⊥平 面C１DF? 并证明你的结论． ①F 为BB１ 的中点;②AB１＝ ３;③AA１＝ ２． 解:(１)证 明:∵ABCＧA１B１C１ 是直三棱柱, ∴A１C１＝B１C１＝１,且∠A１C１B１ ＝９０°． 又D 是A１B１ 的中点, ∴C１D⊥A１B１． ∵AA１⊥平面 A１B１C１,C１D⊂ 平面A１B１C１, ∴AA１⊥C１D,又A１B１∩AA１＝A１,A１B１,AA１⊂ 平面AA１B１B, ∴C１D⊥平面AA１B１B． (２)选①③能证明AB１⊥平面C１DF． 连接DF,A１B,∴DF∥A１B, 在△ABC 中,AC＝BC＝１, ∠ACB＝９０°,则AB＝ ２,又AA１＝ ２, 则A１B⊥AB１,∴DF⊥AB１, ∵C１D⊥平面AA１B１B,AB１⊂平面AA１B１B, ∴C１D⊥AB１． ∵DF∩C１D＝D,DF,C１D⊂平面C１DF, ∴AB１⊥平面C１DF． ▶[命题点２]　直线与平面垂直的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例２]　(２０２５􀅰山东省莱 西市第一中学模拟)如图, EA 和 DC 都 垂 直 于 平 面 ABC,且 EA＝２DC,AC＝ BC,F 是EB 的中点． (１)求证:DF∥平面ABC; (２)求证:DF⊥平面EAB． [证明]　(１)取AB 的中点 G,连接CG,FG, ∵F 是EB 的中点,∴FG∥ EA,FG＝１２EA , ∵EA 和DC 都垂直于平面 ABC,∴EA∥DC, ∵EA＝２DC,∴FG∥DC,FG＝DC, ∴四边形CDFG 为平行四边形,从而DF∥CG, ∵DF⊄平 面 ABC,CG⊂平 面 ABC,∴DF∥平 面ABC． (２)∵EA 垂直于平面ABC,CG⊂平面ABC, ∴CG⊥EA, ∵AC＝BC,∴CG⊥AB, ∵EA∩AB＝A,EA,AB⊂平面EAB,∴CG⊥平 面EAB, 由(１)可知:DF∥CG,∴DF⊥平面EAB． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂 直则需借助线面垂直的性质．因此,判定定理与性 质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２２􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．(２０２５􀅰辽宁沈阳二十中模拟)已 知 四 棱 锥 PＧABCD 中,平 面 PAB⊥平面ABCD,底面ABCD 为矩形,点E 在AD 上,且AE ＝１３AD ,BC＝３,O 为AB 的 中点,PA＝PB,AB＝２３AD． 证明:EC⊥PE． 证明:连接OE(图略), 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,且 PA＝PB,O 为 AB 的中点,所以 PO⊥AB,所以 PO⊥平面 ABＧ CD,因为EC⊂平面ABCD,所以PO⊥EC,因为四 边形 ABCD 为矩形,BC＝AD＝３,CD＝AB＝２３ AD＝２,所以AE＝１３AD＝１ ,DE＝２, 且EC＝ ２２＋２２＝２ ２,OE＝ １２＋１２＝ ２, OC＝ １２＋３２＝ １０, 所以OE２＋EC２＝OC２,所以OE⊥EC, 又因为PO∩OE＝O 且PO,OE⊂平面POE, 所以EC⊥平面POE, 因为PE⊂平面POE,所以EC⊥PE． 　　　　平面与平面垂直的判定与性质 [典例]　如 图,已 知 在△BCD 中,∠BCD＝９０°,BC＝CD＝１, AB⊥平面BCD,∠ADB＝６０°, E,F分别是AC,AD 上的动点, 且AE AC＝ AF AD＝λ (０＜λ＜１)． 求证:(１)不论λ为何值,恒有 平面BEF⊥平面ABC; (２)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD? [证明]　(１)∵AB⊥平面BCD．∴AB⊥CD． ∵CD⊥BC 且AB∩BC＝B,AB,BC⊂平面ABC, ∴CD⊥平面ABC． 又∵AEAC＝ AF AD＝λ (０＜λ＜１)．∴不论λ为何值,恒 有EF∥CD． ∴EF⊥平面ABC,又∵EF⊂平面BEF． ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC． (２)由(１)知,BE⊥EF． 又∵平面BEF⊥平面ACD．∴BE⊥平面ACD． ∴BE⊥AC． ∵BC＝CD＝１,∠BCD＝９０°,∠ADB＝６０°． ∴BD＝ ２,AB＝ ２tan６０°＝ ６． ∴AC＝ AB２＋BC２＝ ７,由 AB２＝AE×AC,得 AE＝６ ７ ．∴λ＝AEAC＝ ６ ７． 故当λ＝６７ 时,平面BEF⊥平面ACD． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直,利用判 定定理来证明．也可作出二面角的平面角,证明 平面角为直角,利用定义来证明． ２．已知两个平面垂直时,在其中一个平面内过一点作 交线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线 垂直于另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂 直,由此得出结论:两个相交平面同时垂直于第三 个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面． (２０２３􀅰全国甲卷)如图,在三棱 柱ABCＧA１B１C１ 中,A１C⊥平面 ABC,∠ACB＝９０°． (１)证 明:平 面 ACC１A１ ⊥ 平 面BB１C１C; (２)设AB＝A１B,AA１＝２,求四 棱锥A１ＧBB１C１C的高． 解:(１)证 明:因 为 A１C⊥平 面 ABC,BC⊂平 面 ABC,所以A１C⊥BC, 又因为∠ACB＝９０°,即AC⊥BC, A１C,AC⊂平面ACC１A１,A１C∩AC＝C, 所以BC⊥平面ACC１A１, 又因为BC⊂平面BB１C１C, 所以平面ACC１A１⊥平面BB１C１C． (２)如图,过点A１ 作A１O⊥ CC１,垂足为O． 因为 平 面 ACC１A１⊥平 面 BCC１B１,平 面 ACC１A１∩ 平 面 BCC１B１＝CC１,A１O ⊂平面ACC１A１, 所以A１O⊥平面BCC１B１, 所以四棱锥A１ＧBB１C１C 的 高为A１O． 因为A１C⊥平面ABC,AC,BC⊂平面ABC, 所以A１C⊥BC,A１C⊥AC, 又因为A１B＝AB,BC 为公共边, 所以△ABC≌△A１BC,所以A１C＝AC． 设A１C＝AC＝x,则A１C１＝x, 所以O 为CC１ 中点,OC１＝ １ ２AA１＝１ , 又因为A１C⊥AC,所以A１C２＋AC２＝AA２１, 即x２＋x２＝２２,解得x＝ ２, 所以A１O＝ A１C２１－OC２１＝ (２)２－１２＝１, 所以四棱锥A１ＧBB１C１C 的高为１． 　　　线面夹角与二面角 [典例]　(２０２５􀅰山东泰 安市模拟)如图,在三棱 柱 ABCＧA１B１C１ 中,平 面 ACC１A１ ⊥ 平 面 ABC,AC⊥BC,AC＝ BC＝CC１＝４． (１)证明:平面 A１BC⊥ 平面AB１C１; (２)若A１B１ 与平面AB１C１ 夹角的正弦值为 ２ ４ ,求二 面角A１ＧACＧB１ 的余弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 [解]　(１)证明:由题知,四边形 ACC１A１ 为菱形, 则AC１⊥CA１, 又平面ACC１A１⊥平面ABC,且AC 为交线, AC⊥BC, 则BC⊥平面ACC１A１,又AC１⊂平面ACC１A１,则 BC⊥AC１,又 BC ∩CA１ ＝C,BC,CA１ ⊂ 平 面A１BC, 则AC１⊥平面 A１BC,又 AC１⊂平面 AB１C１,所以 平面A１BC⊥平面AB１C１． (２)设 A１C∩AC１ ＝E,由 (１)知,A１E ⊥ 平 面AB１C１, 则∠A１B１E 即为A１B１ 与平面AB１C１ 的夹角, sin∠A１B１E＝ A１E A１B１ ＝ ２４ , 由AC＝BC＝CC１＝４,结合(１)中 结 论 有,AB＝ A１B１＝４ ２, 则A１E＝２,A１C＝４,三角形ACA１ 为正三角形,在 菱形ACC１A１ 中, AC１＝４ ３,∠ACC１＝１２０°,∠CAC１＝３０°, 由(１)知,B１C１⊥平面ACC１A１,则B１C１⊥AC, 延长AC,作C１F⊥AC 于点F,则C１F＝ AC１sin∠CAC１＝２ ３, AC⊥平面B１C１F,从而AC⊥B１F, 则∠B１FC１ 即为二面角A１ＧACＧB１ 的平面角, 则tan∠B１FC１＝ B１C１ C１F ＝ ４ ２ ３ ＝２ ３３ , 则cos∠B１FC１＝ ２１ ７ , 即二面角A１ＧACＧB１ 的余弦值为 ２１ ７ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．斜线与平面的夹角,首先作出面的垂线,才得出 斜线在面内的射影,才可得出斜线与平面的夹 角,转化为直角三角形求解． ２．作二面角的平面角的常用方法有 ①直接法:根据平面角的概念直接作,如二面角 的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱 的中点; ②垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂 面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是 二面角的平面角或其补角; ③垂线法:过二面角的一个半平面内一点A 作 另一个半平面的垂线,再从垂足B 向二面角的 棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于 这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC 也与二面角的棱垂直,∠ACB 就是二面角的平 面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角 三角形,是求解二面角最基本、最重要的方法． 　(２０２５􀅰贵州黔东南模拟)如图,已 知 AA１⊥平面 ABC,BB１∥AA１, AB＝AC＝３,BC＝２ ５,AA１＝ ７, BB１＝２ ７,点E 为BC 的中点． (１)求证:AE∥平面A１CB１; (２)求直线A１B１ 与平面BCB１ 所成角的大小． 解:(１)取BB１ 中点 M,连接AM, ME,B１M＝ １ ２BB１＝ ７＝AA１ ,如图所示, 又因为BB１∥AA１, 所以B１M∥AA１, 所以四边形AA１B１M 为平行四边形, 所以A１B１∥AM, 又A１B１⊂平面A１B１C,AM⊄平面A１B１C, 所以AM∥平面A１B１C, 因为点E,M 为BC,BB１ 的中点,所以 ME∥B１C, 又B１C⊂平面A１B１C,ME⊄平面A１B１C, 所以 ME∥平面A１B１C, 又 ME∩AM＝M,ME,AM⊂平面AME, 所以平面AME∥平面A１B１C, 又AE⊂平面AME,所以AE∥平面A１B１C． (２)因为AA１⊥平面ABC,BB１∥AA１, 所以BB１⊥平面ABC, 因为BB１⊂平面BCB１, 所以平面BCB１⊥平面ABC, 因为AB＝AC,点E 为BC 的中点, 所以AE⊥BC, 因为平面BCB１∩平面ABC＝BC, AE⊂平面ABC, 所以AE⊥平面BCB１, 由(１)得四边形AA１B１M 为平行四边形, 所以AM∥A１B１, 所以直线A１B１ 与平面BCB１ 所成角和直线AM 与 平面BCB１ 所成角相等, 因为AE⊥平面BCB１, 所以∠AME 即为直线AM 与平面BCB１ 所成角, 因为点E 为BC 的中点,BC＝２ ５, 所以BE＝ ５,AE＝ ３２－５＝２,EM＝ ５＋(７)２ ＝２ ３, 所以tan∠AME＝ ２ ２ ３ ＝ ３３ ,由∠AME∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷, 所以∠AME＝π６ , 所以直线A１B１ 与平面BCB１ 所成的角为 π ６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２２􀅰 高考总复习　数学(BS)