7.3 平行关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第３节　平行关系 ★[课程标准] １．以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． ２．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题． 　　　　　　　　学生用书　P１３６ １．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条 直线与此平面内 的一直线平行,那 么该直线与此平 面平行 ∵l∥a, a⊂α, l⊄α, ∴l∥α 性质 定理 一条直线与一个 平面平行,如果过 该直线的平面与 此平面相交,那么 该 直 线 与 交 线 平行 ∵l∥α, l⊂β, α∩β＝b, ∴l∥b ２．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内 的两条相交直线 与另一个平面平 行,那么这两个平 面平行 ∵a∥β, b∥β, a∩b＝P, a⊂α, b⊂α, ∴α∥β 性质 定理 两个平面平行,如 果另一个平面与 这两个平面相交, 那 么 两 条 交 线 平行 ∵α∥β, α∩γ＝a, β∩γ＝b, ∴a∥b 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平 行于另一个平面． ２．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． ３．经 过 平 面 外 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 平 面平行． ４．两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段 成比例． ５．如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个 平面互相平行． ６．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一 个平面内的两条直线,那么这两个平面平行． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平 面,那么这两个平面平行． (　　) (２)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内 的两条直线平行或异面． (　　) (３)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α． (　　) (４)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P 且平行于直 线a 的直线有无数条． (　　) (５)若平面α∥平面β,直线a∥平面α,则直线a∥ 平面β． (　　) 答案:(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)× ◆[小题查验] １．(BSD必修第二册P２２３习题６－４A组T１(３)改编)如果 直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的 (　　) A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 解析:D　[因为直线a∥平面α,直线a与平面α 无 公共点,因此直线a和平面α 内的任意一条直线都 不相交．] ２．在正方体EFGHＧE１F１G１H１ 中,下列四对截面彼 此平行的一对是 (　　) A．平面E１FG１ 与平面EGH１ B．平面FHG１ 与平面F１H１G C．平面F１H１H 与平面FHE１ D．平面E１HG１ 与平面EH１G 解析:A　[由正方体可得EG∥E１G１,E１F∥GH１, EG∩GH１＝G,E１G１∩E１F＝E１,由面面平行的判 定定理可知平面E１FG１ 与平面EGH１ 平行．] ３．如 图 所 示,四 棱 锥 PＧABCD 中,点 G,E,F,H 分 别 是 棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四 点,BC∥平面GEFH,则GH 与EF 的位置关系为 (　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 解析:B　[因 为 BC∥平 面 GEFH,BC⊂平 面 PBC,且平面PBC∩平面GEHF＝GH,所以GH ∥BC,同理可证EF∥BC,因此GH∥EF．] ４．在长方体ABCDＧA１B１C１D１中,过直线AC１的平面 交直线BB１于点E,交直线DD１于点F,则四边形 AEC１F 的形状为　　　　． 解析:由面面平行的性质定理可得 AE∥C１F,AF ∥C１E,故四边形AEC１F 为平行四边形． 答案:平行四边形 ５．(空间图形位置关系考虑不全面致误) ①若a⊥α,a⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ③若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;④若α∥β,α∩γ＝a, β∩γ＝b,则a∥b． 其中正确命题的序号有　　　　． 解析:②中α,β可能平行可能相交．③a,b可能平行 可能异面,①④正确． 答案:①④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１３７ 　　　平行关系的基本问题 １．(２０２５􀅰贵州遵义模拟)已知平面α,β,γ满足α⊥β, β⊥γ,α⊥γ,下列结论正确的是 (　　 ) A．若直线l⊥α,则l∥β或l∥γ B．若直线l∥α,则l与β和γ 相交 C．若l⊂α,则l⊥β,且l⊥γ D．若直线l过空间某个定点,则与α,β,γ成等角的 直线l有且仅有４条 解析:D　 [在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,平面 ABCD,平面 ADD１A１,平 面 CDD１C１ 两 两 垂直, 令 平 面 ABCD 为 平 面α,平 面 ADD１A１ 为平面β,平面CDD１C１ 为平面γ, 对于A,直线DD１⊥α,DD１⊂β,DD１⊂γ,当l为直 线DD１ 时,l⊂β,l⊂γ,A错误; 对于B,A１B１∥α,当l为直线AB 时,l∥γ,B错误; 对于C,AB⊂α,当l为直线AB 时,l∥γ,C错误; 对于D,在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,直线AC１, A１C,BD１,B１D 相交于点O, 它们与平面 ABCD,平面 ADD１A１,平面CDD１C１ 所成的角都相等, 而正方体过其中心的直线有且只有４条直线与该 正方体各个面所成的角相等, 过空间给定点作直线平行于直线AC１,A１C,BD１, B１D 之一,所得直线与α,β,γ所成角相等, 因此直线l过空间某个定点,与α,β,γ成等角的直 线l有且仅有４条,D正确．] ２．(２０２５􀅰陕西西北工业大学附 属中学模拟)如图,在正方体 ABCDＧA′B′C′D′中,M,N 分 别是A′D′,D′C′的中点,则直 线AM 与平面BND 的位置关 系是 (　　) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 解析:B　[连接 AC 交BD 于 点 E,连 接 MN,EN, A′C′,而 M,N 分 别 是 A′D′,D′C′的中点, 所以 MN∥A′C′∥AC,即 MN∥AE,且２MN＝A′C′ ＝AC＝２AE,即MN＝AE, 则AENM 为平行四边形,故AM∥EN, 由AM⊄平面BND,EN⊂平面BND,则AM∥平 面BND．] ３．在正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,M,N,Q 分别是棱 D１C１,A１D１,BC 的中点,点 P 在 BD１ 上且 BP＝ ２ ３BD１ ,则下面说法正确的是　　　　(填序号)． ①MN∥平面APC;②C１Q∥平面APC;③A,P,M 三点共线;④平面MNQ∥平面APC． 解析:如图,对于①,连接 MN, AC,则 MN ∥ AC,连 接 AM,CN, 易 得 AM,CN 交 于 点 P,即 MN⊂平面 APC,所以 MN∥ 平面APC 是错误的． 对于②,由①知 M,N 在平面APC 内,由题易知 AN∥C１Q,且AN⊂平面APC,C１Q⊄平面APC． 所以C１Q∥平面APC 是正确的． 对于③,由①知,A,P,M 三点共线是正确的．对于 ④,由①知 MN⊂平面APC,又 MN⊂平面 MNQ, 所以平面 MNQ∥平面APC 是错误的． 答案:②③ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决有关线面平行,面面平行的判定与性质的基本 问题要注意: (１)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件,如 线面平行的条件中线在面外易忽视． (２)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断． (３)会举反例或用反证法推断命题是否正确． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１２􀅰 高考总复习　数学(BS) 　　　直线与平面平行的判定与性质 ▶[命题点１]　直线与平面平行的判定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例１]　(２０２５􀅰陕西商洛模拟预测)如图,在四棱 锥PＧABCD 中,四边形ABCD 是矩形,M,N 分别 是PD 和BC 的中点,平面PAB⊥平面ABCD,PA ＝PB＝AB＝AD＝２． (１)证明:MN∥平面PAB; (２)求三棱锥MＧABC 的体积． 解:(１)如图,取PA 的中点E,连接EB,EM, 因为 ME 是△PAD 的中位线, 所以 ME∥AD,且 ME＝１２AD , 又因为BN∥AD 且BN＝１２AD , 所以 ME∥BN 且ME＝BN, 所以四边形 MEBN 是平行四边形, 所以 MN∥BE, 又因为 MN⊄平面PAB,BE⊂平面PAB, 所以 MN∥平面PAB． (２)取AB 的中点F,连接PF, 因为PA＝PB＝AB,所以PF⊥AB,且PF＝ ３, 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面 ABCD＝AB, PF⊂平面PAB,所以PF⊥平面ABCD, 因为S△ABC＝ １ ２ 􀅰AB􀅰BC＝２,PF＝ ３, 所以VPＧABC＝ １ ３ 􀅰S△ABC􀅰PF＝ ２ ３ ３ , 又因为 M 是PD 的中点,所以VMＧABC ＝ １ ２VPＧABC ＝ ３３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 判定线面平行的四种方法 (１)利用线面平行的定义(无公共点); (２)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b ⇒a∥α); (３)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (４)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β)． １．(２０２５􀅰四川成都模拟)在四 棱 锥 PＧABCD 中,四 边 形 ABCD 为矩形,点E,F 分别 在线段CB,AP 上,且CE＝ EB,AF＝FP． 求证:EF∥平面PCD． 证明:如图,取PD 的中点G, 连接GF,GC． 在△PAD 中,点G,F 分别为PD,AP 的中点, ∴GF∥AD 且GF＝１２AD． 在矩形ABCD 中,点E 为BC 的中点,∴CE∥AD 且CE＝ １ ２AD , ∴GF∥EC 且GF＝EC． ∴四边形GFEC 是平行四边 形,∴GC∥EF． 又∵GC⊂平面PCD,EF⊄平面PCD, ∴EF∥平面PCD． ▶[命题点２]　直线与平面平行的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典 例 ２]　 如 图,四 棱 锥 PＧABCD的底面是边长为８ 的正方形,四条侧棱长均为 ２ １７．点G,E,F,H 分别是 棱PB,AB,CD,PC上共面的 四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH． (１)证明:GH∥EF; (２)若EB＝２,求四边形GEFH 的面积． [解]　(１)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面 PBC,且平面PBC∩平面GEFH＝GH,所以GH ∥BC,同理可证EF∥BC,因此GH∥EF． (２)连接AC,BD 交于点O, BD 交 EF 于 点 K,连 接 OP,GK,因为 PA＝PC,点 O 是AC 的中点,所以PO⊥ AC,同理可得 PO⊥BD,又 BD∩AC＝O,且 AC,BD 都在平面ABO 内,所以 PO⊥平面ABCD, 又因为平面GEFH⊥平面ABCD, 且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH, 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK, 所以PO∥GK,且GK⊥平面 ABCD,从而GK⊥ EF,所以GK 是梯形GEFH 的高,由 AB＝８,EB ＝２,得 EB∶AB＝KB∶DB＝１∶４,从而 KB＝ １ ４BD＝ １ ２OB ,即点 K 是OB 的中点．再由 PO∥ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 GK,得 GK＝１２PO ,即点 G 是PB 的中 点,同 理 GH＝１２BC＝４ ,由 已 知 可 得 OB＝４ ２,PO＝ PB２－OB２＝ ６８－３２＝６,所以GK＝３,故四边形 GEFH 的面积S＝GH＋EF２ 􀅰GK＝４＋８２ ×３＝１８． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 线面平行的性质定理是用来证明线线平行的,其关 键是转化为该线与过该线的一个平面与该平面的 交线平行． ２．(２０２５􀅰江苏模拟预测)如图,直四 棱柱 ABCDＧA１B１C１D１ 被平面α 所截,截面为CDEF,且EF＝DC, DC＝２AD＝４A１E＝２,∠ADC＝ π ３ ,平面EFCD 与平面ABCD 所 成角的正切值为４ ３ ３． 证明:AD∥BC． 解:在直四棱柱ABCDＧA１B１C１D１ 中,平面ABCD ∥平面A１B１C１D１, 平面ABCD∩α＝CD,平面A１B１C１D１∩α＝EF, 则EF∥CD, 而C１D１∥CD 且C１D１＝CD, 又因为EF＝CD,因此C１D１∥EF 且C１D１＝EF, 则四边形EFC１D１ 是平行四边形, 所以A１D１∥B１C１,又因为A１D１∥AD,BC∥B１C１, 所以AD∥BC． 　　　平面与平面平行的判定与性质 ▶[命题点１]　平面与平面平行的判定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例１]　(２０２５􀅰甘肃武威模 拟)如 图,在 三 棱 柱 ABCＧ A１B１C１ 中,E,F 分别为线段 AC１,A１C１ 的中点． (１)求证:EF∥平面BCC１B１; (２)在线段BC１ 上是否存在一点G,使平面EFG∥ 平面ABB１A１? 请说明理由． [解]　(１)证明:因为E,F 分别为线段AC１,A１C１ 的中点,所以EF∥A１A．因为B１B∥A１A,所以EF ∥B１B．又 因 为 EF⊄平 面 BCC１B１,B１B⊂平 面 BCC１B１,所以EF∥平面BCC１B１． (２)取BC１ 的中点G,连接GE,GF(图略)．因为E 为AC１ 的中点,所以GE∥AB． 因为GE⊄平面 ABB１A１,AB⊂平面 ABB１A１,所 以GE∥平面ABB１A１, 同理可得,EF∥平面ABB１A１,又因为EF∩EG＝ E,EG,EF ⊂ 平 面 EFG,所 以 平 面 EFG ∥ 平面ABB１A１． 故在 线 段 BC１ 上 存 在 一 点 G,使 平 面 EFG∥ 平面ABB１A１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 判定面面平行的方法 方法一 利用定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法二 利用面面平行的判定定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法三 利用线线平行直接证面面平行 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法四 利用面面平行的传递性(α∥β,β∥γ⇒α∥γ) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法五 利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β⇒α∥β) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 提醒:利用面面平行的判定定理证明两平面平行 时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行． １．(２０２５􀅰山东模拟)如图,在 长 方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,AB＝４,BC＝BB１＝２, 点 E,F 分 别 为 边 AA１, DD１ 的中点． (１)求三棱锥EＧA１BC的体积; (２)证明:平面CFA１∥平面BDE． 解:(１)显然三棱锥EＧA１BC 与三 棱 锥CＧA１BE 的 体 积 相等,即VEＧA１BC＝VCＧA１BE, ∵长方体ABCDＧA１B１C１D１, ∴三 棱 锥 CＧA１BE 的 高 为 BC,且三棱锥CＧA１BE的底面面积即△A１BE 的面 积为S＝１２×１×４＝２ ,∴ 三棱锥EＧA１BC 的体积 V＝１３Sh＝ １ ３×２×２＝ ４ ３． (２)证明:∵长方体ABCDＧA１B１C１D１, ∴AA１∥DD１,AA１＝DD１, ∵点E,F 分别为边AA１,DD１ 的中点, ∴A１E＝DF,A１E∥DF, ∴四边形A１EDF 为平行四边形,∴A１F∥ED, 又A１F⊄平面BDE,ED⊂平面BDE, ∴A１F∥平面BDE, 如图,连接 AC 交BD 于点 O,连接EO, ∴点O 为AC 的中点, ∴EO∥A１C, 又A１C⊄平面BDE,EO⊂ 平面BDE, ∴A１C∥平面BDE, ∵A１C∩A１D＝A１,∴平面CFA１∥平面BDE． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１２􀅰 高考总复习　数学(BS) ▶[命题点２]　平面与平面平行的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例２]　(２０２５􀅰江苏模拟)在三棱柱ABCＧA１B１C１ 中,点 D,D１ 分 别 是 AC,A１C１ 上 的 点,且 平 面 BC１D∥平面AB１D１,试求 AD DC 的值． [解]　连接A１B 交AB１ 于点 O,连接OD１,如图所示, 由棱 柱 的 性 质 可 知,四 边 形 AA１B１B 为平行 四 边 形,所 以 O 为A１B 的中点, 因 为 平 面 BC１D ∥ 平 面 AB１D１,平 面 A１BC１ ∩ 平 面 BC１D＝BC１, 平面A１BC１∩平面AB１D１＝OD１, ∴OD１∥BC１,则D１ 为A１C１ 的中点, 则D１C１＝ １ ２A１C１ , ∵平面BC１D∥平面AB１D１,平面AA１C１C∩平面 BC１D＝C１D,平面AA１C１C∩平面AB１D１＝AD１, 所以AD１∥C１D, 又因为AD∥D１C１,所以四边形ADC１D１ 为平行四 边形, 所以AD＝C１D１＝ １ ２A１C１＝ １ ２AC ,因此AD DC＝１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．面面平行的性质 (１)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一 平面． (２)若一平面与两平行平面相交,则交线平行． ２．线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解 决与平行有关的问题的指导思想,解题中既要注 意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件, 选择正确的转化方向． ２．(２０２５􀅰陕西宝鸡市模拟)如图,在四棱锥PＧABCD 中,AB⊥AD,BC∥AD,AD＝２BC＝２PA＝２AB＝ ２,E,F,G 分别为线段AD,DC,PB 的中点, 证明:直线PF∥平面ACG． 证明:如图,连接EC、EB,EB 与AC 相交于点O, 连接OG, 因 为 BC∥AD,AB⊥ AD,E 为线段AD 的中 点,AD＝２BC＝２AB, 所以四边形ABCE 为矩 形,O 为EB 的中点, 因为 G 为PB 的 中 点, 所以OG 为△PBE 的中位线,OG∥PE, 因为OG⊄平面PEF,PE⊂平面PEF,所以OG∥ 平面PEF, 因为E,F分别为线段AD,DC的中点,所以EF∥AC, 因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,所以AC∥ 平面PEF, 因为OG⊂平面ACG,AC⊂平面ACG,AC∩OG＝O, 所以平面PEF∥平面ACG, 因为PF⊂平面PEF,所以PF∥平面ACG． 　　　空间平行的综合问题 [典例]　(２０２５􀅰云南昆明一中模拟)在如图所示的 五面体ABCDEF 中,△ADF 是正三角形,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC＝２π３ ,EF∥平面ABCD,AB ＝２EF＝２,点M 为BC 中点． (１)在直线CD 上是否存在一点G,使得平面EMG ∥平面BDF,请说明理由; (２)请在下列两个条件中任选一个,求该五面体 ABCDEF 的体积． ①cos∠BDF＝１４ ;②EM＝２． [解]　(１)连接AC 交BD 于点O,连接OM,OF, 取CD 的中点G,连接GM,GE, 因为 EF∥平 面 ABCD,EF⊂平 面 ABEF,平 面 ABEF∩平面ABCD＝AB,所以EF∥AB, 因为OM∥AB∥EF,OM＝１２AB＝EF ,所以四边 形OMEF 是平行四边形,所以OF∥EM, 因为EM⊄平面BDF,OF⊂平面BDF,所以EM∥ 平面BDF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 因为点G 与点M 分别为CD 与BC 的中点,所以 GM∥BD, 因为GM⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,所以GM ∥平面BDF, 又 GM,EM⊂平 面 EMG,GM∩EM ＝M,平 面 EMG∥平面BDF． (２)选择①:在△BDF 中,BD＝DF＝２,cos∠BDF ＝１４ ,所以BF＝ ６,取AD 中点N,连接FN,BN, 在△BNF 中,BN＝FN＝ ３,BF＝ ６, 所以BN⊥FN, 因为△ABD 是正三角形,所以BN⊥AD, 因为AD∩FN＝N,AD,FN⊂平 面 ADF,所 以 BN⊥平面ADF, 因为BN⊂平面ABCD, 所以平面ADF⊥平面ABCD, 如图,五面体ABCDEF 可由三棱柱ADFＧBCP 截 去三棱锥EＧBCP 得到, 所以VABCDEF＝VADFＧBCP－VEＧBCP ＝５６VADFＧBCP＝ ５ ６ 􀅰S△ADF􀅰BN ＝５６× １ ２×２× ３× ３＝ ５ ２． 选择②:由(１)有OF＝EM＝２,取AD 中点N,连接 FN,ON,BN, 在△ONF 中,FN＝ ３,ON＝１,OF＝２, 所以ON⊥FN, 因为△ADF 是正三角形,所以AD⊥FN, 因为AD∩ON＝N,AD,ON⊂平面 ABCD,所以 FN⊥平面 ABCD,又FN⊂平面 ADF,所以平面 ADF⊥平面ABCD, 因为△ABD 是正三角形,所以BN⊥AD, 因为平 面 ADF∩平 面 ABCD＝AD,BN⊂平 面 ADF,所以BN⊥平面ADF, (选择②求体积时,需多证一组线面垂直,即证明 dBＧADF＝BN) 下同①,略． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 平行关系中的探索性问题,主要是对点的存在性问 题的探索,一般用转化方法求解,即先确定点的位 置．把问题转化为证明问题,而证明线面平行时又 有两种转化方法,一是转化为线线平行,二是转化 为面面平行． (２０２５􀅰上海嘉定三模)在长方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,AD＝DD１ ＝１,AB＝ ３,E、F、G 分别为AB、 BC、C１D１ 的中点． (１)求三棱锥AＧGEF 的体积; (２)点 P 在矩形ABCD 内,若直线 D１P∥平面 EFG,求线段D１P 长度的最小值． 解:(１)依题意有S△AEF＝ １ ２ 􀅰AE􀅰BF ＝１２× ３ ２× １ ２＝ ３ ８ , 所以三棱锥AＧGEF 的体积VAＧGEF＝VGＧAEF ＝１３ 􀅰S△AEF􀅰DD１＝ １ ３× ３ ８×１＝ ３ ２４． (２)如图,连接D１A,AC,D１C, ∵E,F,G 分别为AB,BC,C１D１ 的 中点, ∴AC∥EF,EF⊄平面 ACD１,AC ⊂平面ACD１, ∴EF∥平面ACD１ ∵EG∥AD１,EG⊄平面ACD１,AD１⊂平面ACD１, ∴EG∥平面ACD１, ∵EF∩EG＝E,∴平面EFG∥平面ACD１, ∵D１P∥平面EFG, ∴点P 在直线AC 上,在△ACD１ 中,AD１＝ ２,AC ＝２,CD１＝２, S△AD１C＝ １ ２× ２× ２ ２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ７２ , ∴当D１P⊥AC 时,线段D１P 的长度最小,最小值 为 S△AD１C １ ２×AC ＝ ７ ２ １ ２×２ ＝ ７２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１２􀅰 高考总复习　数学(BS)