7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第２节　空间点、直线、平面之间的位置关系 ★[课程标准] １．理解空间直线、平面位置关系的定义． ２．了解可以作为推理依据的基本事实和定理． ３．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 　　　　　　　　学生用书　P１３２ １．空间图形的基本位置关系 (１)点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在 直线外．点B 在直线b 上,但在直线a 外,记作: B∈b,B∉a． (２)点与平面的位置关系有两种:点在平面内和点在 平面外．点B 在平面α内,点A 在平面α外,记作: B∈α,A∉α． ２．直线与直线的位置关系 (１)从是否有公共点的角度来分: 没有公共点———平行或异面 有且仅有一个公共点———相交{ (２)从是否共面的角度来分: 在同一平面内——— 平行 相交{ 不同在任何一个平面内———异面 ì î í ïï ï (３)异面直线的概念 ①定义:不同在任何一个平面内(不共面)的两条 直线． ②异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②所示,为了表示异面直线不共面的特点, 作图时,通常用一个或两个平面来衬托． (４)异面直线的夹角 定 义 前提 两条异面直线a,b 作法 过空间任一点O 作直线a′∥a,b′∥b 结论 我们把a′与b′所成的不大于９０°的角称 为异面直线a与b的夹角 范围 记异 面 直 线a 与b 的 夹 角 为θ,则 ０°＜θ≤９０° 特殊情况 当θ＝９０°时,a 与b 互 相 垂 直,记 作:a⊥b ３．直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直 线与平面相交和直线与平面平行． 直线a在平面β 内,即直线上的每个点都在平面 内,记作:a⊂β;直线l与平面α 相交,记作:l∩α＝ A;直线a与平面α无公共点,称直线a与平面α平 行,记作:a∥α⇔a∩α＝⌀． ４．平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有两种:平面与平面不相交 和平面与平面相交．若平面α和平面β 不相交,则 称这两个平面平行,记作:α∥β⇔α∩β＝⌀． ５．空间图形中的基本事实 基本 事实 内容 图形 符号 作用 基 本 事 实 １ 过不在 一 条 直 线上的三个点, 有且只 有 一 个 平面 推论１:一条直 线和 该 直 线 外 一点 确 定 一 个 平面 推论２:两条相 交直线 确 定 一 个平面 推论３:两条平 行直线 确 定 一 个平面 A,B,C 三 点 不 共 线 ⇒ 存 在 唯 一 的 平 面 α 使 A,B,C ∈α 用 来 确 定 一 个 平面 基 本 事 实 ２ 如果一 条 直 线 上的 两个点 在 一个平面内,那 么这条 直 线 在 这个平面内 A∈l,B ∈l,且 A∈α,B ∈α,则l ⊂α 用来证 明直线 在平面 内 基 本 事 实 ３ 如果两 个 不 重 合的平 面 有 一 个公共点,那么 它们有 且 只 有 一条 过 该 点 的 公共直线 P∈α,P ∈β⇔α ∩β＝l, 且P∈l 用 来 证 明 空 间 的 点 共 线 和 线 共点 ６．基本事实４ (１)文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相 平行． (２)符号表示: a∥b b∥c}⇒a∥c． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０２􀅰 高考总复习　数学(BS) ７．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过 该点的直线是异面直线． ２．唯一性定理 (１)过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线平行． (２)过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 直 线垂直． (３)过 平 面 外 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 平 面平行． (４)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面 垂直． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分． (　　) (２)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于 A 点,记作α∩β＝A． (　　) (３)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (　　) (４)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合． (　　) (５)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那 么c与b不可能是平行直线． (　　) (６)没有公共点的两条直线是异面直线． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)√　(４)×　(５)√ (６)× ◆[小题查验] １．(多选)下列命题中,真命题的是 (　　) A．如果两个平面有三个不在一条直线上的公共 点,那么这两个平面重合 B．两条直线可以确定一个平面 C．空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若M∈α,M∈β,α∩β＝l,则M∈l 解析:AD　[根据基本事实１,可判断A是真命题; 两条异面直线不能确定一个平面,故B是假命题; 在空间中,相交于同一点的三条直线不一定共面 (如墙角),故C是假命题;根据平面的性质可知D 是真命题．综上所述,真命题为AD．] ２．若直线l在平面α 外,则l与平面α 的公共点个 数为 (　　) A．０ B．０或１ C．１ D．２ 解析:B　[直线l在平面α外,则直线l与平面α相交 或者平行,当直线l与平面α相交时,公共点的个数是 １个,当直线l与平面α平行时,公共点的个数是 ０个．] ３．在长方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,直线A１C 与平面 AB１D１ 的交点为M,A１C１ 与B１D１ 交于点O,则下 列结论正确的是 (　　 ) A．A,M,O 三点确定一个平面 B．A,M,O 三点共线 C．D,D１,O,M 四点共面 D．A,B１,B,M 四点共面 解析:B　[如图所示: 根据题意,连接A１C１,AC,则A１C１∥AC, 所以A１,C１,C,A 四点共面, 所以A１C⊂平面ACC１A１, 又因为 M∈A１C,所以 M∈平面ACC１A１, 又 因 为 M ∈ 平 面 AB１D１,所 以 点 M 在 平 面 ACC１A１ 与平面AB１D１ 的交线上面, 同理可得点O 在面ACC１A１ 与平面AB１D１ 的交线 上面, 所以A,M,O 三 点 共 线,故 A 选 项 错 误,B选 项 正确; 由异面直线判定定理可知C选项中OM,DD１ 为异 面直线,故C选项错误; 由异面直线判定定理可知D选项中AM,BB１ 为异 面直线,故D选项错误．] ４．(BSD必修第二册P２１５习题６－３B组T１ 改编)在长方 体ABCDＧA１B１C１D１ 中,AB＝３,AD＝４,AA１＝２,则异 面直线AC和BC１ 所成角的余弦值是　　　　． 解析:如图,连接 AD１,CD１,则 ∠D１AC(或其补角)就是异面直 线AC 和 BC１ 所 成 的 角,易 知 AC＝５,AD１＝２５,CD１＝ １３, 由余弦定理得cos∠D１AC ＝ AD２１＋AC２－CD２１ ２AD１􀅰AC ＝８ ５２５． 答案:８ ５ ２５ ５．(基本事实掌握不准致误)如图, 在正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中, 点P、Q 分别是B１C１、CC１ 的中 点,则直线A１P 与DQ 的位置关 系是　　　　(填“平行”“相交” 或“异面”)． 解析:∵在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,点P、Q 分 别是B１C１、CC１ 的中点,∴PQ∥A１D, ∴直线A１P 与DQ 共面, 又∵PQ＝１２A１D ,∴四边形A１DQP 是梯形, ∴直线A１P 与DQ 相交． 答案:相交 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 　　　　　　　　学生用书　P１３３ 　　　平面的基本性质及应用 ▶[命题点１]　证明点、线共面 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．如图,平面ABEF⊥平面ABCD, 四边形 ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形,∠BAD＝∠FAB ＝９０°,BC∥AD 且BC＝１２AD , BE∥AF 且BE＝１２AF ,G,H 分 别为FA,FD 的中点． (１)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (２)C,D,F,E 四点是否共面? 为什么? 解:(１)证明:由题设知,因为G、H 分别为FA、FD 的中点,所以GH∥AD 且GH＝１２AD , 又BC∥AD 且BC＝１２AD , 故GH∥BC 且GH＝BC, 所以四边形BCHG 是平行四边形． (２)C,D,F,E 四点共面．理由如下: 由BE∥AF 且BE＝１２AF ,G 是FA 的中点知BE ∥GF 且BE＝GF,所以四边形EFGB 是平行四边 形,所以EF∥BG． 由(１)知BG∥CH,所以EF∥CH, 故EC,FH 共面．又点D 在直线FH 上, 所以C,D,F,E 四点共面． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 点、线共面的常用判定方法 (１)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先 由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或 直线也在这个平面内． (２)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α, 再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α, β重合． (３)反证法． 　提醒:在选择已知条件确定平面时,要看其余的 点或线在确定的平面内是否能证明． １．(２０２５􀅰安徽马鞍山二中模 拟)在四棱锥PＧABCD 中, 平面 PCD⊥平 面ABCD, PD ＝PC,∠DPC ＝９０°, AD ∥BC,∠ABC ＝９０°, AD＝AB＝１,BC＝２,M 为 PC 的中点,PN → ＝２ND → ． 求证:A,B,M,N 四点共面． 证明:延长CD,BA 交于点Q(图略)． 因为AD＝１２BC 且AD//BC, 所以BA＝AQ,CD＝DQ, 连接 PQ,在△PQC 中,D,M 分 别 为CQ,PC 的 中点, 故QM 与PD 的交点为△PQC 的重心,设为G, 所以PG → ＝２GD →, 因为PN → ＝２ND →,所以点G 与点N 重合, 所以A,B,M,N 四点都在平面QBM 中, 故A,B,M,N 四点共面． ▶[命题点２]　证明三线共点 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(２０２５􀅰上海模拟)如图,在正方体 ABCDＧA１B１C１D１中,M 为棱D１C１ 的中点．设AM 与平面BB１D１D 的 交点为O,则 (　　) A．三点D１,O,B 共线,且OB＝２OD１ B．三点D１,O,B 不共线,且OB＝２OD１ C．三点D１,O,B 共线,且OB＝OD１ D．三点D１,O,B 不共线,且OB＝OD１ 解析:A　 [在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１中,连接 AD１,BC１,如 图,C１D１∥CD∥AB,连接 BD１, 平面 ABC１D１∩平面 BB１D１D＝ BD１,因 M 为棱D１C１的中点,则 M∈平面ABC１D１,而A∈平面ABC１D１,即AM⊂ 平面ABC１D１,又O∈AM,则O∈平面ABC１D１,因 AM 与平 面BB１D１D 的 交 点 为 O,则 O∈平 面 BB１D１D,于是得O∈BD１,即D１,O,B 三点共线, 显然D１M∥AB 且D１M＝ １ ２D１C１＝ １ ２AB ,于是得 OD１＝ １ ２BO ,即OB＝２OD１, 所以三点D１,O,B 共线,且OB＝２OD１．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这 点,把问题化归为证明点在直线上的问题．通常是 先证两条直线的交点在两个平面的交线上,而第三 条直线恰好是两个平面的交线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０２􀅰 高考总复习　数学(BS) ２．(２０２５􀅰贵州凯里实验高级中学月考)已知长方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,对角线AC１ 与平面A１BD 交 于点O,则O 为△A１BD 的 (　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:C　[如图,平面ACC１A１ 与平面A１BD 的交 线为A１E,显然点E 是BD 的中点,且点O 在A１E 上,故点O 在BD 的中线上, 同理可得点O 在A１D,A１B 的中线上, 即点 O 是△A１BD 三 边 中 线 的 交 点,即 点 O 为 △A１BD 的重心．] ▶[命题点３]　证明三点共线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．(２０２５􀅰全国模拟)如图,在正方 体ABCDＧA１B１C１D１ 中,O 为正 方形ABCD 的中心,H 为直线 B１D 与 平 面 ACD１ 的 交 点．求 证:D１,H,O 三点共线． 证明:如图,连接BD,B１D１, 则BD∩AC＝O, 因为BB１∥DD１,BB１＝DD１, 所以四 边 形 BB１D１D 为 平 行 四 边形, 又 H∈B１D,B１D⊂平面BB１D１D, 则 H∈平面BB１D１D, 因为平面ACD１∩平面BB１D１D＝OD１, 所以 H∈OD１． 即D１,H,O 三点共线． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 证明三点共线的两种方法 (１)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两 个平面的公共点,则这三点都在交线上,即三点 共线． (２)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点 也在这条直线上,从而得三点共线． ３．(２０２５􀅰贵州毕节三模)如图,在长 方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,点E,F 分别是B１C１ 和C１D１ 的中点． (１)证明:E,F,D,B 四点共面; (２)对角线 A１C 与平面BDC１ 交于点O,AC,BD 交于点M,求证:点C１,O,M 共线; (３)证明:BE,DF,CC１ 三线共点． 解:(１)连接EF,BD,B１D１, ∵ABCDＧA１B１C１D１ 是长方体,∴B１D１∥BD, ∵E,F 分别是B１C１ 和C１D１ 的中点, ∴EF∥B１D１,∴EF∥BD,∴E,F,D,B 四点共面． (２)∵AA１∥CC１, ∴A,A１,C,C１ 确定一个平面AA１C１C, ∵O∈A１C,A１C⊂平面AA１C１C, ∴O∈平面AA１C１C, ∵对角线A１C 与平面BDC１ 交于点O, ∴O∈平面BDC１, 即点O 在平面AA１C１C 与平面BDC１ 的交线上, ∵AC∩BD＝M, ∴M∈平面AA１C１C 且M∈平面BDC１, 又∵C１∈平面AA１C１C 且C１∈平面BDC１, ∴平面AA１C１C∩平面BDC１＝C１M,∴O∈C１M, 即点C１,O,M 共线． (３)延长DF,BE 交于点G, ∵DF⊂面DCG,∴G∈DF∴G∈面DCG, ∵BF⊂面BCG,∴G∈BF,∴G∈面BCG, ∵面DCG∩面BCG＝CC１,∴G∈CC１, ∴BE,DF,CC１ 三线共点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 　　　空间两直线的位置关系 １．(２０２５􀅰福建福州模拟)在底面半径为１的圆柱OO１ 中,过旋转轴OO１ 作圆柱的轴截面ABCD,其中母线 AB＝２,E是BC ︵ 的中点,F是AB的中点,则 (　　) A．AE＝CF,AC与EF 是共面直线 B．AE≠CF,AC与EF 是共面直线 C．AE＝CF,AC与EF 是异面直线 D．AE≠CF,AC与EF 是异面直线 解析:D　[由题意,圆柱的轴 截面ABCD 为边长为２的正 方形, E 是BC ︵ 的中点,F 是AB 的 中点, 所以AC⊂平面 ABC,EF 与 平面ABC 相交,且与AC 无交点, 所以AC 与EF 是异面直线, 又CF＝ １２＋２２＝ ５,AD＝ ２２＋(２)２＝ ６,所以 AE≠CF．] ２．(２０２５􀅰全国模拟)过正方形ABCDＧA１B１C１D１ 的 顶点A 作直线l,使得l与直线B１C,C１D 的夹角均 为６０°,则这样的直线l的条数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 解析:C　 [因 为 B１C∥ A１D,所 以 过 顶 点 A 作 直 线l,使 得l 与 直 线B１C, C１D 的夹角均为６０°,即过 点A 在空间作直线l,使得 l与直线A１D,C１D 的夹角 均为６０°． 因为∠A１DC１＝６０°,∠A１DC 的 外 角 平 分 线 与 DA１,DC１ 的 夹 角 相 等,均 为 ６０°,所 以 在 平 面 A１C１D 内有一条满足要求． 因为∠A１DC１ 的角平分线与 DA１,DC１ 的夹角相 等均为３０°,将角平分线绕点D 向上转动到与平面 A１C１D 垂直的过程中,存在两条直线与直线DA１, DC１ 的夹角都等于６０°． 故符合条件的直线有３条．] ３．(２０２５􀅰江苏常州模拟)已知直线m,n是平面α 的 两条斜线,若m,n为不垂直的异面直线,则m,n在 平面α内的射影m′,n′ (　　) A．不可能平行,也不可能垂直 B．可能平行,但不可能垂直 C．可能垂直,但不可能平行 D．可能平行,也可能垂直 解析:D　[如图１,在正方体中,即 AD１ 为 m,EF 为n,底面ABCD 为平面α,则 m,n在平面α 内的 射影AD 和CD 垂直; 　 图１　　　　　　　图２ 如图２,在正方体中,即 AD１ 为 m,BG 为n,底面 ABCD 为平面α,则m,n在平面α 内的射影AD 和 BC 平行; 综上,m,n在平面α内的射影m′,n′可能平行,也可 能垂直．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行 和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反 证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线 的性质、基本事实４及线面平行与面面平行的性质 定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质 来解决． 提醒:(１)“不同在任何一个平面内”指这两条直线 不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行, 也不相交; (２)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两 条直线． 　　　异面直线的夹角 [母题]　如图,在底面为正方形,侧棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,AA１＝２AB＝２,则异 面直线A１B 与AD１ 夹角的余弦值为 (　　) A．１５ B． ２ ５ C． ３ ５ D． ４ ５ [解析]　 连 接 BC１,易 证 BC１ ∥AD１, 则∠A１BC１ 即 为 异 面 直 线 A１B 与AD１ 所成的角．连接 A１C１,由 AB＝１,则 AA１＝２,A１C１＝ ２, A１B＝BC１＝ ５, 故cos∠A１BC１＝ ５＋５－２ ２× ５× ５ ＝４５． [答案]　D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０２􀅰 高考总复习　数学(BS) [子题１]　将母题条件“AA１＝２AB＝２”改为“AB＝１, 若平面ABCD 内有且仅有一点到顶点A１ 的距离 为１”,则异面直线A１B 与AD１ 夹角的余弦值为 　　　　． 解析:由平面ABCD 内仅有一点到A１ 的距离为１, 则AA１＝１．此 时 正 四 棱 柱 变 为 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１,由图知 A１B 与AD１ 夹角为∠A１BC１, 连接A１C１． 则△A１BC１ 为等边三角形,∴∠A１BC１＝６０°, ∴cos∠A１BC１＝ １ ２ ,故异面直线A１B 与AD１ 夹角 的余弦值为１ ２． 答案:１ ２ [子题２]　将母题条件“AA１＝２AB＝２”改为“AB＝１, 若异面直线A１B与AD１ 夹角的余弦值为 ９ １０ ”,则AA１ AB 的值为　　　　． 解析:设AA１ AB ＝t ,则AA１＝tAB． ∵AB＝１,∴AA１＝t,由 题 意 知∠A１BC１ 即 为 所求, 又A１C１＝ ２,A１B＝ t２＋１＝BC１, ∴cos∠A１BC１＝ t２＋１＋t２＋１－２ ２× t２＋１× t２＋１ ＝９１０ , ∴t＝３,即 AA１ AB ＝３． 答案:３ [子题３]　在母题条件下,若点P 在平面A１B１C１D１ 内 且 不 在 对 角 线 B１D１ 上,过 点 P 在 平 面 A１B１C１D１ 内作一直线m,使m 与直线BD 的夹角 为α,且α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷．这样的直线可作　　　　条． 解析:在平面 A１B１C１D１ 内作 m,使 m 与B１D１ 的 夹角为α．∵BD∥B１D１,∴直线 m 与BD 也成α 角,即m 为所求．且m 与BD 是异面直线,当α＝π２ 时,m 只有１条,当α≠π２ 时,这样的直线有２条． 答案:２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 异面直线夹角的求解技巧 求异面直线夹角采用“平移线段法”,平移的方法一 般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用 特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平 移．计算异面直线夹角通常放在三角形中进行．其 求解一般步骤为: (１)平移:选择适当的点,线段的中点或端点,平移 异面直线中的一条或两条成为相交直线; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (２)证明:证明所作的角是异面直线的夹角; (３)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三 角形,并解之; (４)取舍:因为异面直线所成角θ的取值范围是 ０,π２ æ è ç ],所以所作的角为钝角时,应取它的补 角作为异面直线的夹角． １．(２０２５􀅰江苏南京期中)已知矩形ABCD 中,AB＝１, BC＝ ２,E 是边BC 的中点．AE 和BD 交于点M, 将△ABE 沿AE 折起,在翻折过程中当AB 与MD 垂直时,异面直线BA 和CD 所成角的余弦值为 (　　 ) A．１６ B． １ ４ C． ５ １２ D． ２ ３ 解析:D　[如图１,在矩形ABCD 中,AB＝１,BC＝ ２,E 是边BC 的中点, 故BE＝ ２２ ,故BE AB＝ AB AD , 又 因 为 ∠BAD ＝ ∠ABE ＝ ９０°,故 △ABE ∽△DAB, 所以∠BAE＝∠ADB, 则∠BAE＋∠ABD＝∠ADB＋∠ABD＝９０°, 故AE⊥MD． 如图２,将△ABE 沿AE 折起,点 B 的对应 点 为 B′,在翻折过程中,当AB′与MD 垂直时, 因为AE∩AB′＝A,AE,AB′⊂平面AB′E, 所以 MD⊥平面AB′E, 因为 MD⊂平面AECD, 所以平面AB′E⊥平面AECD, 因为B′M⊥AE,B′M⊂平面 AB′E,平面 AB′E∩ 平面AECD＝AE, 所以B′M⊥平面AECD, 连接B′B,因为AB∥CD, 所以∠B′AB 或其补角即为异面直线B′A 和CD 所成角, 因为１ ２AB 􀅰BE＝１２AE 􀅰BM,所以BM＝ ３３ , 故B′M＝ ３３ ,则BB′＝ BM２＋B′M２＝ ６３ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０２􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第七章　立体几何与空间向量 又因为AB′＝AB＝１, 故cos∠B′AB＝AB ２＋B′A２－B′B２ ２AB􀅰AB′ ＝ １＋１－２３ ２ ＝２３ ,即所求角的余弦值为２ ３． ] ２．(多选)(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P, 底面圆心为O,AB 为底面直径,∠APB＝１２０°,PA ＝２,点C在底面圆周上,且二面角PＧACＧO 为４５°, 则 (　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为４ ３π C．AC＝２ ２ D．△PAC的面积为 ３ 解析:AC　[如图,由∠APB＝１２０°,AP＝２可知, 底面直径AB＝２３,高PO＝１,故该圆锥的体积为π, 故A正确;该圆锥的侧面积为２３π,故B错误;连接 CB,取 AC 中 点 为 Q,连 接 QO,PQ,易 证 二 面 角 PＧACＧO的平面角为∠PQO＝４５°,所以QO＝PO＝１, PQ＝ ２,所以BC＝２,所以AC＝２ ２,故C正确; S△PAC＝ １ ２AC 􀅰PQ＝２,故D错误．] 截面问题 [典例]　(２０２５􀅰福建省厦门集美中学模拟预测)在 正方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,棱 长 为３,E 为 棱 BB１ 上靠近B１ 的三等分点,则平面AED１ 截正方 体ABCDＧA１B１C１D１ 的截面面积为 (　　) A．２ １１ B．４ １１ C．２ ２２ D．４ ２２ [解析]　延长AE,A１B１ 交 于点F,连接D１F交B１C１ 于 点G,如图,在正方体ABCDＧ A１B１C１D１ 中,平面 ADD１A１∥平面BCC１B１, ∵平面AFD１∩平面 ADD１A１＝AD１,平面AFD１∩平面BCC１B１＝EG, ∴AD１∥GE,又∵AD１＝３ ２,GE＝ ２, ∴四边形AEGD１ 是梯形,且为平面AED１ 截正方 体ABCDＧA１B１C１D１ 的截面． 又∵D１G＝AE＝ １３,在等腰梯形AEGD１ 中,过G 作GH⊥AD１, ∴GH＝ D１G２－D１H２＝ １１, ∴S梯形AEGD１＝ １ ２ 􀅰(AD１＋EG)􀅰GH ＝１２× (２＋３ ２)× １１＝２ ２２． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两 点可引直线;②凡是相交的直线都要画出它们的 交点;③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (２)作交线的方法有如下两种:①利用基本事实３ 作交线;②利用线面平行及面面平行的性质定 理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质 作出交线． (２０２５􀅰 四 川 泸 州 三 模)已 知 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 的棱长为２,P 为DD１ 的中点,过A,B, P 三点作平面α,则该正方体的外接球被平面α截 得的截面圆的面积为 (　　 ) A．１３π５ B． １６π ５ C．３π D． １４π ５ 解析:D　[正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 的外接球球 心是BD１ 的中点O,而BD１∩α＝B, 则点O 到平面α的距离h 等于点D１ 到平面α的距 离的一半,又因为平面α过线段DD１ 的中点P, 因此点D１ 与点D 到平面α 的距离相等,由 AB⊥ 平面ADD１A１,AB⊂α,得α⊥平面ADD１A１, 在平面ADD１A１ 内过点D 作DE⊥AP 于点E,而 α∩平面ADD１A１＝AP,于是DE⊥α, 又因为AP＝ ２２＋１２＝ ５,从而h＝１２DE＝ １ ２× AD􀅰DP AP ＝ １ ５ ,又由球O 的半径R＝１２BD１＝ ３ , 则正方体的外接球被平面α截得的截面圆半径r, 有r２＝R２－h２＝３－１５＝ １４ ５ , 所以正方体的外接球被平面α截得的截面圆的面 积S＝πr２＝１４π５ ． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１２􀅰 高考总复习　数学(BS)