6.4 复数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第４节　复　数 ★[课程标准] １．理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件． ２．了解复数的代数表示法及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的 点或向量所对应的复数用代数形式表示． ３．能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加,相减的几何意义． 　　　　　　　　学生用书　P１２３ １．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 形如a＋bi(其中a,b∈R)的 数叫作复数,通常用字母z表 示,即z＝a＋bi(a,b∈R),其 中a称为复数z的实部,记作 Rez,b称为复数z 的虚部,记 作Imz 若b＝０,则a ＋bi为实数; 若a＝０且b ≠０,则a＋bi 为纯虚数 复数 的分类 复数a＋bi(a,b∈R) 实数(b＝０) 虚数(b≠０) 纯虚数(a＝０) 非纯虚数(a≠０){ ì î í ïï ï 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d (a,b,c,d∈R) 共轭 复数 若两个复数的实部相等,而虚 部互为相反数,则称这两个复 数互为共轭复数．复数z的共 轭复数用􀭵z 表示 复平面 通过建立直角坐标系来表示 复数的平面称为复平面,x轴 叫做实轴,y 轴叫做虚轴．显 然,实轴上的点都表示实数; 除了原点外,虚轴上的点都表 示纯虚数 复数 的模 向量OZ → 的模称为复数z＝a ＋bi(a,b∈R)的模,记作|z| 或|a＋bi| |z|＝|a＋bi| ＝ a２＋b２ ２．复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一 对应的,复数集 C与复平面内所有以原点O 为起 点的向量组成的集合也是一一对应的,即 (１)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a, b)(a,b∈R)． (２)复数z＝a＋bi(a,b∈R) 平面向量OZ → ． ３．复数的运算 复数的加、减法法则及几何意义与运算律 任意两个复数z１＝a＋bi和z２＝c＋di(a,b,c,d∈R) 加法 减法 运 算 法 则 (a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i (a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i 两个复数的和仍是一 个复数,两个复数的和 的实部是它们的实部 的和,两个复数的和的 虚 部 是 它 们 的 虚 部 的和 两个复数的差仍是一个 复数,两个复数差的实 部是它们实部的差,两 个复数的差的虚部是它 们的虚部的差 几 何 意 义 复数的加法可以按照 向量的加法来进行,这 是 复 数 加 法 的 几 何 意义 复数的差z１－z２ 与向 量OZ１ → －OZ２ → ＝Z２Z１ → 的 坐标对应 运 算 律 结合律:(z１＋z２)＋z３＝z１＋(z２＋z３) 交换律:z１＋z２＝z２＋z１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第六章　平面向量、复数 ４．复数的乘法 任意两个复数a＋bi和c＋di(a,b,c,d∈R),(a＋ bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． ５．复数的除法 对任意的复数z１＝a＋bi(a,b∈R)和非零复数z２＝ c＋di(c,d∈R),则 z１ z２ ＝a＋bic＋di＝ (a＋bi)(c－di) (c＋di)(c－di) ＝ac＋bd c２＋d２ ＋bc－ad c２＋d２ i． ６．复数乘法的运算律 (１)对任意z１,z２,z３∈C,有 ①交换律:z１z２＝z２z１; ②结合律:(z１z２)z３＝z１(z２z３); ③ 乘 法 对 加 法 的 分 配 律:z１ (z２ ＋z３)＝ z１z２＋z１z３． (２)对复数z１,z２,z３ 和正整数m,n,有:zmzn＝zm＋n, (zm)n＝zmn,(z１z２)n＝zn１zn２． (３)i的 乘 方 运 算:i４n ＝１,i４n＋１ ＝i,i４n＋２ ＝ －１, i４n＋３＝－i． (４)互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这 个复数(或其共轭复数)模的平方． 即若z＝a＋bi,则z􀅰􀭵z＝|z|２＝|􀭵z|２, 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．(１±i)２＝±２i;１＋i１－i＝i ;１－i １＋i＝－i． ２．－b＋ai＝i(a＋bi)． ３．|z１􀅰z２|＝|z１||z２|, z１ z２ ＝ |z１| |z２| ,|zn|＝|z|n． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)任何数的平方都不小于０． (　　) (２)已知z＝a＋bi(a,b∈R),当a＝０时,复数z为 纯虚数． (　　) (３)两个虚数的和还是虚数． (　　) (４)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模． (　　) (５)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较 大小． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)√　(５)× ◆[小题查验] １．(２０２４􀅰北京卷)若复数z满足zi＝－１－i ,则z＝ (　　) A．－１－i　　　　B．－１＋i C．１－i D．１＋i 解析:C　[zi＝－１－i ,则z＝i(－１－i)＝－i－i２ ＝１－i．] ２．设a,b∈R．“a＝０”是“复数a＋bi是纯虚数”的 (　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析:B　[当a＝０,且b＝０时,a＋bi不是纯虚数; 若a＋bi是纯虚数,则a＝０．故“a＝０”是“复数a＋ bi是纯虚数”的必要而不充分条件．] ３．(多选)已知复数z＝－１＋ ３i(i为虚数单位),􀭵z为 z的共轭复数,若复数 w＝ 􀭵z z ,则下列结论正确 的是 (　　) A．w 在复平面内对应的点位于第二象限 B．|w|＝１ C．w 的实部为－１２ D．w 的虚部为 ３２i 解析:ABC　[w＝ 􀭵z z＝ －１－ ３i －１＋ ３i ＝ (－１－ ３i)(－１－ ３i) (－１＋ ３i)(－１－ ３i) ＝－２＋２ ３i４ ＝－ １ ２＋ ３ ２i , w 在复平面内对应的点的坐标为 －１２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷,位于 第二象限,|w|＝ １４＋ ３ ４＝１ ,w 的实部为－１２ ,虚 部为 ３ ２． ] ４．(BSD必修第二册P１６７练习T３ 改编)在复平面内, 向量AB → 对应的复数是２＋i,向量CB → 对应的复数是 －１－３i,则向量CA → 对应的复数是　　　　． 解析:因为CA → ＝CB → ＋BA →,所以CA → 对应的复数是 (－１－３i)＋(－２－i)＝－３－４i． 答案:－３－４i ５．(对复数的模理解不透致误)设x(１＋i)＝１＋yi,其 中x,y为实数,则|x＋yi|＝　　　　． 解析:因为x(１＋i)＝１＋yi,所以x＋xi＝１＋yi, x＝１,y＝x＝１,|x＋yi|＝|１＋i|＝ ２． 答案:２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９１􀅰 高考总复习　数学(BS) 　　　　　　　　学生用书　P１２５ 　　　复数的有关概念 １．(多选)若复数z＝ ２１＋i ,其中i为虚数单位,则下列 结论正确的是 (　　) A．z的虚部为－１　　B．|z|＝ ２ C．z２ 为纯虚数 D．z的共轭复数为－１－i 解析:ABC　[由题意得z＝ ２１＋i＝ ２(１－i) (１＋i)(１－i)＝ １－i．对于A,由z＝１－i得复数z的虚部为－１,故 A正确;对于B,|z|＝|１－i|＝ ２,故B正确;对于 C,由于z２＝(１－i)２＝－２i,所以z２ 为纯虚数,故C 正确;对于D,z＝１－i的共轭复数􀭵z＝１＋i,故D不 正确．] ２．(２０２５􀅰广东省深圳市模拟)若复数z＝１＋ia＋i－i 为 纯虚数,则实数a的值为 (　　) A．－１ B．－１２ C．０ D．１ 解析:A　[化简原式可得:z＝１＋ia＋i－i ＝ (１＋i)(a－i) a２＋１ －i＝a＋１＋ (a－a２－２)i a２＋１ , z为纯虚数时,a＋１ a２＋１ ＝０,a－a２－２≠０即a＝－１, 选项A正确,选项B、C、D错误．] ３．(２０２４􀅰上海卷)已知虚数z,其实部为１,且z＋２z ＝m(m∈R),则实数m 为　　　　． 解析:设z＝１＋bi(b∈R,且b≠０), 所以z＋２z＝１＋bi＋ ２ １＋bi＝１＋bi＋ ２􀅰(１－bi) １＋b２ ＝１＋ ２ １＋b２ ＋ b－ ２b１＋b２ æ è ç ö ø ÷i, 因为m∈R,所以b－ ２b １＋b２ ＝０,解得b＝±１, 所以m＝１＋ ２ １＋b２ ＝１＋１＝２． 答案:２ ４．(２０２５􀅰浙江省临安中学模拟)复数z满足(１＋i)z ＝４－２i,则z的虚部为　　　　,|z|＝　　　　． 解析:因 为(１＋i)z＝４－２i,所 以 z＝４－２i１＋i＝ (４－２i)(１－i) (１＋i)(１－i)＝ ２－６i ２ ＝１－３i , 则z的虚部为－３,|z|＝ １２＋(－３)２＝ １０． 答案:－３　 １０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概 念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相 关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形 式,即a＋bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列方程 (组)求解． 　　　复数的几何意义 １．(２０２５􀅰湖北恩施模拟预测)若复数z满足(２＋３i)z＝ i２０２４＋８i２０２５,则复数􀭵z在复平面内对应的点位于 (　　 ) A．第一象限　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析:D　[因为(２＋３i)z＝i２０２４＋８i２０２５, 所以z＝i ２０２４＋８i２０２５ ２＋３i ＝ １＋８i ２＋３i＝ (１＋８i)(２－３i) (２＋３i)(２－３i) ＝２＋i,所以􀭵z＝２－i,所以复数􀭵z在复平面内对应 的点为(２,－１),位于第四象限．] ２．已知i为虚数单位,且复数z满足z－２i＝ １１－i ,则 复数z在复平面内的点到原点的距离为 (　　) A．１３２　　　B． ２６ ２ 　　　C． １０ ２ 　　　D． ５ ２ 解析:B　[由z－２i＝ １１－i ,得z＝２i＋ １１－i＝２i＋ １＋i (１－i)(１＋i)＝ １ ２＋ ５ ２i ,∴复数z在复平面内的点 的坐 标 为 １ ２ ,５ ２ æ è ç ö ø ÷,到 原 点 的 距 离 为 １ ４＋ ２５ ４ ＝ ２６２ ． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第六章　平面向量、复数 ３．(２０２５􀅰江苏扬中市模拟)若i为虚数单位,复数z 满足１≤|z＋１＋i|≤ ２,则|z－１－i|的最大值为 　　　　． 解析:复数z满足１≤|z＋１＋i| ≤ ２,即１≤|z－(－１－i)| ≤ ２, 即复 数 z 对 应 的 点 Z 到 点 C(－１,－１)的距离d满足１≤ d≤ ２, 设P(１,１),|z－１－i|表示复数z对应的点Z 到点 P(１,１)的距离, 数形结合可知|z－１－i|的最大值|AP|＝|CP|＋ ２＝ ２２＋２２＋ ２＝３ ２． 答案:３ ２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对复数几何意义的理解及应用 (１)复数z、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系, 即z＝a＋bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔OZ → ． (２)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关 系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一 起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解 决更加直观． 　　　复数的代数运算 [典例]　(１)(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)若 zz－１＝１＋i ,则 z＝ (　　) A．－１－i B．－１＋i C．１－i D．１＋i [解析]　由题知z＝(１＋i)(z－１),z＝１＋ii ＝１－i． [答案]　C (２)(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知z＝１－i２＋２i ,则z－z＝ (　　) A．－i B．i C．０ D．１ [解析]　因为z＝１－i２＋２i＝－ １ ２i ,所以z＝１２i ,所以 z－z＝－i． [答案]　A (３)已知复数z＝ ３＋i (１－ ３i)２ ,􀭵z是z 的共轭复数,则 z􀅰􀭵z＝　　　． 解析:∵z＝ ３＋i (１－ ３i)２ ＝ ３＋i －２－２ ３i ＝ ３＋i －２(１＋ ３i) ＝ (３＋i)(１－ ３i) －２(１＋ ３i)(１－ ３i) ＝２ ３－２i－８ ＝－ ３ ４＋ １ ４i ,故􀭵z＝－ ３４－ １ ４i , ∴z􀅰􀭵z＝ －３４＋ １ ４i æ è ç ö ø ÷ －３４－ １ ４i æ è ç ö ø ÷＝３１６＋ １ １６＝ １ ４． 答案:１ ４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 复数代数形式运算问题的解题策略 (１)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则 运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项, 不含i的看作另一类同类项,分别合并即可． (２)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分 母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最 简形式． 提醒:在进行复数的代数运算时,记住以下结 论,可提高计算速度． (１)(１±i)２＝±２i;１＋i１－i＝i ;１－i １＋i＝－i ; (２)－b＋ai＝i(a＋bi); (３)i４n＝１,i４n＋１＝i,i４n＋２＝－１,i４n＋３＝－i, i４n＋i４n＋１＋i４n＋２＋i４n＋３＝０,n∈N＋ ． 复数z满足z＝ ３＋i １－ ３i æ è ç ö ø ÷ １００ ＋ ３i,则|z|＝ (　　) A．５ B．２ ３ C．５ D．２ 解析:D　[因为 ３＋i １－ ３i ＝ (３＋i)(１＋ ３i) (１－ ３i)(１＋ ３i) ＝３＋４i＋３i ２ ４ ＝i ,则 ３＋i １－３i æ è ç ö ø ÷ １００ ＝i１００＝(i４)２５＝１, 所以z＝ ３＋i １－ ３i æ è ç ö ø ÷ １００ ＋ ３i＝１＋ ３i, 因此,|z|＝ １２＋(３)２＝２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９１􀅰 高考总复习　数学(BS)