6.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

法二:设点P(x,y),则OP → ＝(x,y), 因为OB→＝(４,４),且OP→与OB→共线, 所以４x－４y＝０,即x＝y． 又因为AP→＝(x－４,y),AC → ＝(－２,６),且AP→,AC→共 线,所以(x－４)×６－y×(－２)＝０,解得x＝y＝３,所 以点P 的坐标为(３,３)． 答案:(３,３) ２．(２０２５􀅰山东省潍坊市高三期中)平面内给定三个 向量a＝(３,２),b＝(－１,２),c＝(４,１)． (１)若(a＋kc)∥(２b－a),求实数k; (２)若向量满足(d－c)∥(a＋b),且|d－c|＝ ５,求 向量d的坐标． 解:(１)a＋kc＝(３＋４k,２＋k),２b－a＝(－５,２), 由题意得２×(３＋４k)－(－５)×(２＋k)＝０, 解得k＝－１６１３． (２)设d＝(x,y),则d－c＝(x－４,y－１), 又a＋b＝(２,４),|d－c|＝ ５, ∴ ４(x－４)－２(y－１)＝０, (x－４)２＋(y－１)２＝５,{ 解得 x＝３, y＝－１{ 或 x＝５, y＝３．{ ∴d的坐标为(３,－１)或(５,３)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　平面向量的数量积与平面向量应用举例 ★[课程标准] １．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ２．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ３．掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算． ４．能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． ５．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ６．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 　　　　　　　　学生用书　P１１９ １．向量的夹角及范围 已知两个非零向量a和b,在平面内任选一点O,作 OA → ＝a,OB → ＝b,则θ＝∠AOB(０°≤θ≤１８０°)称为向 量a与b 的夹角．当θ＝０°时,a与b 同向;当θ＝ １８０°时,a与b反向;当θ＝９０°时,a与b 垂直．规定 零向量可与任一向量垂直,即对任意向量a,都 有０⊥a． ２．平面向量的数量积及几何意义 (１)平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b,作OA → ＝a,OB → ＝b, 向量a 与b 的 夹 角∠AOB 记 为‹a,b›或 θ(０°≤θ≤１８０°)．|a||b|cosθ称作a 与b的数 量积(或内积) 记法 记作a􀅰b,即a􀅰b＝|a||b|cos‹a,b› ＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为０ (２)当０°≤‹a,b›＜９０°时,a􀅰b＞０;当‹a,b›＝９０°时, a􀅰b＝０;当９０°＜‹a,b›≤１８０°时,a􀅰b＜０;当‹a, b›＝０°时,a􀅰b＝|a||b|;当‹a,b›＝１８０°时,a􀅰b ＝－|a||b|． (３)投影向量 投影向量:已知两个非零向量a,b,作OA → ＝a,OB → ＝b,过点A 向直线OB 作垂线,垂足为A′,得到a 在b上的投影γ＝OA′ →,γ称为投影向量．设向量a 与b的夹角为θ,则|a|cosθ称为投影向量γ 的数 量,也称为向量a在向量b 方向上的投影数量,可 以表示为a􀅰 b|b|． 所以投影数量是数量积的特殊 情况． (４)投影向量的表示 向量a在向量b上的投影向量为|a|􀅰cosθ􀅰 b|b| 或a􀅰b |b| 􀅰 b |b|． ３．平面向量数量积的性质及其坐标运算 已知非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),θ为向量 a、b的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 a􀅰b＝|a||b|cosθ a􀅰b＝x１x２＋y１y２ 模 |a|＝ a􀅰a |a|＝ x１２＋y１２ 夹角 cosθ＝ a 􀅰b |a||b| cosθ＝ x１x２＋y１y２ x２１＋y２１􀅰 x２２＋y２２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８１􀅰 高考总复习　数学(BS) 向量表示 坐标表示 a⊥b的 充要条件 a 􀅰b＝０ x１x２＋y１y２＝０ |a􀅰b|与 |a||b|的 关系 |a􀅰b|≤|a||b| (当且仅当a∥b 时等号成立) |x１x２＋y１y２|≤ x２１＋y２１􀅰 x２２＋y２２ ４．平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ,则 (１)交换律:a􀅰b＝b􀅰a; (２)与数乘结合律:(λa)􀅰b＝a􀅰(λb); (３)分配律:(a＋b)􀅰c＝a􀅰c＋b􀅰c． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．平面向量数量积运算的常用公式 (１)(a＋b)􀅰(a－b)＝a２－b２; (２)(a±b)２＝a２±２a􀅰b＋b２． ２．有关向量夹角的两个结论 (１)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a􀅰b＞０,反 之不成立(因为夹角为０时不成立); (２)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a􀅰b＜０,反 之不成立(因为夹角为π时不成立)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、 数乘运算的运算结果是向量． (　　) (２)向量a在向量b上的投影向量一定是数量．(　　) (３)由a􀅰b＝０可得a＝０或b＝０． (　　) (４)(a􀅰b)c＝a(b􀅰c)． (　　) (５)两个向量的夹角的范围是 ０,π２[ ]． (　　) 答案:(１)√　(２)×　(３)×　(４)×　(５)× ◆[小题查验] １．(BSD必修第二册P１０７练习T１ 改编)设向量a,b满 足|a|＝|b|＝１且|３a－２b|＝ ７,则a与b 的夹 角为 (　　) A．π３ B． π ６ C． π ４ D． ２π ３ 解析:A　[设a与b的夹角为θ,由题意得(３a－２b)２ ＝７,所以９|a|２＋４|b|２－１２a􀅰b＝７．又|a|＝|b|＝１, 所以a􀅰b＝１２ ,所以|a||b|cosθ＝１２ ,即cosθ＝１２． 又θ∈[０,π],所以a与b 的夹角为π３． ] ２．已知|a|＝２,向量a与向量b的夹角为１２０°,向量b 的单位向量为e,则向量a在向量b 方向上的投影 向量等于 (　　) A．２e B．e C．－e D．－２e 解析:C　[|a|cos１２０°e＝２cos１２０°e＝－e．] ３．(向量夹角与平面角混淆致误)设平面向量a＝ (－２,１),b＝(λ,－１),若a与b的夹角为钝角,则λ 的取值范围是 (　　) A．－１２ ,２æ è ç ö ø ÷∪(２,＋∞) B．(２,＋∞) C．－１２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ D．－∞,－１２ æ è ç ö ø ÷ 解析:A　[由a与b 的夹角为钝角,所以a􀅰b＜０, 即－２λ－１＜０,解得λ＞－１２ , 又当a与b 共线且反向时,２－λ＝０,得λ＝２． 所以λ的取值范围是λ＞－１２ 且λ≠２．] ４．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(０,１),b＝(２,x), 若b⊥(b－４a),则x＝ (　　) A．－２　　　B．－１　　　C．１　　　　D．２ 解析:D　[因为b⊥(b－４a),所以b􀅰(b－４a)＝０, 则４＋x２－４x＝０,解得x＝２．] ５．已知向量a＝(３,１),b＝(１,０),c＝a＋kb．若a⊥c, 则k＝　　　　． 解析:c＝a＋kb＝(３,１)＋k(１,０)＝(k＋３,１),由 a⊥c得a􀅰c＝０,所 以３(k＋３)＋１＝０,解 得 k＝－１０３． 答案:－１０３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１２０ 　　　平面向量的数量积运算 １．(２０２５􀅰四川绵阳模拟预测)如图所示,三个边长为２ 的等边三角形有一条边在同一直线上,边B３C３ 上有 １０个不同的点P１,P２,􀆺,P１０,记 Mi＝AB２ →􀅰APi →(i ＝１,２,􀆺,１０),则M１＋M２＋􀆺＋M１０＝ (　　 ) A．１８　　B．１８０　　C．－１８　　D．－１８０ 解析:B　[以A 为坐标原点,AC１ 所在直线为x轴 建系,如图所示: 则B１(１,３),B２(３,３),B３(５,３),C３(６,０), 直线B３C３ 的方程为y＝－ ３(x－６), 设Pi(xi,yi),(i＝１,２,􀆺,１０),则有 ３xi＋yi＝ ６ ３,AB２ → ＝(３,３),APi → ＝(xi,yi), 则 Mi＝AB２ →􀅰APi → ＝３xi＋ ３yi＝ ３(３xi＋yi) ＝１８,所以 M１＋M２＋􀆺＋M１０＝１０×１８＝１８０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第六章　平面向量、复数 ２．(２０２５􀅰全国模拟预测)已知向量a与b 不共线,且 a􀅰(a＋b)＝２,|a|＝１,若(２a－b)⊥(２a＋b),则 b􀅰(a－b)＝　　　　． 解析:由a􀅰(a＋b)＝a２＋a􀅰b＝１＋a􀅰b＝２, 得a􀅰b＝１, 由(２a－b)⊥(２a＋b),得(２a－b)􀅰(２a＋b)＝４a２ －b２＝０,所以|b|＝２, 则b􀅰(a－b)＝b􀅰a－b２＝１－４＝－３． 答案:－３ ３．(２０２５􀅰江苏南京模拟)在△ABC中,AB →􀅰AC → ＝０, |AB → |＝３,|AC → |＝４,O 为△ABC 的重心,D 在边 BC 上,且AD⊥BC,则AD →􀅰AO → ＝　　　　． 解析:因为O 为△ABC 的重心, 所以AO → ＝１３ (AB → ＋AC →), 因为AB →􀅰AC → ＝０,所以AB⊥AC, 则|BC|＝ |AB|２＋|AC|２＝５, 因为AD⊥BC,所以S△ABC＝ １ ２|AB| 􀅰|AC| ＝１２|AD| 􀅰|BC|, 即１ ２×３×４＝ １ ２|AD|×５ ,所以|AD|＝１２５ , 在Rt△ADB 中,|DB|＝ |AB|２＋|AD|２ ＝ ９－１４４２５＝ ９ ５． 法一:因为AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋９２５BC → ＝AB → ＋９２５ (AC → －AB →)＝９２５AC → ＋１６２５AB →, 所以AD →􀅰AO → ＝１３ (AB → ＋AC →)􀅰 ９ ２５AC → ＋１６２５AB →æ è ç ö ø ÷＝１３× ９ ２５AC →２ ＋１６２５AB →２æ è ç ö ø ÷＝９６２５． 法二:以 A 为坐标原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴建立平面 直角坐标系, 则AC → ＝(４,０),AB → ＝(０,３), 由法 一 可 知AD → ＝ ９２５AC → ＋ １６ ２５AB → ＝ ３６２５ ,４８ ２５ æ è ç ö ø ÷,AO → ＝１３ (AB → ＋AC →)＝ ４３ ,１æ è ç ö ø ÷, 所以AD →􀅰AO → ＝４３× ３６ ２５＋１× ４８ ２５＝ ９６ ２５． 答案:９６ ２５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 向量数量积的两种运算方法 (１)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解, 即a􀅰b＝|a||b|cos‹a,b›． (２)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a􀅰b＝x１x２＋y１y２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 (１)在向量数量积的运算中,若a􀅰b＝a􀅰c(a≠０),则 不一定得到b＝c． (２)实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积 的运算不满足乘法结合律,即(a􀅰b)􀅰c不一 定等于a􀅰(b􀅰c)． 　　　平面向量数量积的简单应用 ▶[命题点１]　平面向量的模 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．(１)(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|＝１, |a＋２b|＝２,且(b－２a)⊥b,则|b|＝ (　　) A．１２ B． ２ ２ C． ３ ２ D．１ 解析:B　[将条件|a＋２b|＝２平方得１＋４a􀅰b＋ ４b２＝４,由(b－２a)⊥b得b２－２a􀅰b＝０,所以b２＝ １ ２ ,|b|＝ ２２． ] (２)已知a,b是单位向量,a􀅰b＝０．若向量c满足 |c－a－b|＝１,则|c|的最大值为　　　　． 解析:建立如图所示的直角坐 标系,由题意知a⊥b,且a与 b 是单位向量,∴可设OA → ＝a ＝(１,０),OB → ＝b＝(０,１),OC → ＝c＝(x,y), ∴c－a－b＝(x－１,y－１)． ∵|c－a－b|＝１, ∴(x－１)２＋(y－１)２＝１,即点C(x,y)的轨迹是以 点M(１,１)为圆心,１为半径的圆． 而|c|＝ x２＋y２,∴|c|的最大值为|OM|＋１, 即|c|max＝ ２＋１． 答案:２＋１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 利用数量积求向量模 (１)求向量的模的方法:① 公 式 法,利 用|a|＝ a􀅰a及(a±b)２＝|a|２±２a􀅰b＋|b|２,把向量 的模的运算转化为数量积运算;②几何法,利 用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行 四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余 弦定理等方法求解． (２)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求 的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法 求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示 的几何意义,结合动点表示的图形求解． ▶[命题点２]　平面向量的夹角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(１)(２０２５􀅰福建宁德模拟)已知e１,e２ 是两个单位 向量,若e１ 在e２ 上的投影向量为 １ ２e２ ,则e１ 与e１－ e２ 的夹角为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８１􀅰 高考总复习　数学(BS) 解析:由题意可得e１ 􀅰e２ 　　　 　　　|e２| 􀅰 e２　　　 　　　|e２| ＝１２e２ , 即e１􀅰e２＝ １ ２ , |e１－e２|＝ (e１－e２)２＝ |e１|２－２e１􀅰e２＋|e２|２ ＝ １－２×１２＋１＝１ , 则cos‹e１,e１－e２›＝ e１􀅰(e１－e２) 　　　　　　　　 　　　　　　　　|e１|􀅰|e１－e２| ＝ |e１|２－e１􀅰e２ １×１ ＝１－ １ ２＝ １ ２ , 故e１ 与e１－e２ 的夹角为 π ３． 答案:π ３ (２)(２０２３􀅰全国甲卷)向量|a|＝|b|＝１,|c|＝ ２, 且a＋b＋c＝０,则cos‹a－c,b－c›＝ (　　) A．－１５ B．－ ２ ５ C． ２ ５ D． ４ ５ 解析:D　[由a＋b＋c＝０,得a＋b＝－c, 所以(a＋b)２＝(－c)２, 即a２＋２a􀅰b＋b２＝c２, 又|a|＝|b|＝１,|c|＝ ２, 所以a􀅰b＝０,所以a⊥b． 如图所示,a－c＝CA →, b－c＝CB →,由余弦定理得|CA| ＝|CB|＝ ５,所以cos∠ACB ＝５＋５－２ ２ ５× ５ ＝４５ , 即cos‹a－c,b－c›＝４５． ] (３)若向量a＝(k,３),b＝(１,４),c＝(２,１),已知２a－３b 与c的夹角为钝角,则k的取值范围是　　　　． 解析:∵２a－３b与c的夹角为钝角, ∴(２a－３b)􀅰c＜０, 即(２k－３,－６)􀅰(２,１)＜０,解得k＜３． 又若(２a－３b)∥c, 则２k－３＝－１２,即k＝－９２． 当k＝－９２ 时,２a－３b＝(－１２,－６)＝－６c, 此时２a－３b与c反向,不合题意． 综上,k的取值范围为 －∞,－９２ æ è ç ö ø ÷∪ －９２ ,３æ è ç ö ø ÷． 答案:－∞,－９２ æ è ç ö ø ÷∪ －９２ ,３æ è ç ö ø ÷ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 根据平面向量数量积的性质:若a,b为非零向量, cosθ＝ a 􀅰b |a||b| (夹角公式),可知平面向量的数量 积可以用来解决有关角度问题． 提醒:数量积大于０说明不共线的两向量的夹角为 锐角,数量积等于０说明不共线的两向量的夹角为 直角,数量积小于０且两向量不共线时两向量的夹 角为钝角． ▶[命题点３]　平面向量的垂直 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．(１)(２０２５􀅰辽宁模拟预测)若a,b是夹角为６０°的 两个单位向量,λa＋b与２a－b垂直,则λ＝ (　　 ) A．０ B．２ C．－１ D．－２ 解析:A　[a,b是夹角为６０°的两个单位向量, 则|a|＝|b|＝１,a􀅰b＝１×１×cos６０°＝１２ , 因为λa＋b与２a－b垂直, 则(λa＋b)􀅰(２a－b)＝２λa２＋(２－λ)a􀅰b－b２＝０, 即２λ－１＋(２－λ)×１２＝０ ,解得λ＝０．] (２)(２０２５􀅰海南海口模拟)已知向量a,b的夹角为 ４５°,|a|＝ ２,且a􀅰b＝２,若(λa＋b)⊥b,则λ＝ 　　　　． 解析:因为a􀅰b＝|a||b|cos４５°＝２,得|b|＝２, 又因为(λa＋b)⊥b, 所以(λa＋b)􀅰b＝λa􀅰b＋b２＝２λ＋４＝０,所以λ＝－２． 答案:－２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件 是:a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔|a－b|＝|a＋b|． 　　　平面向量的综合问题 [典例]　(２０２５􀅰河北唐山二模)已知|a|＝|b|＝２, |c|＝１,(a－c)􀅰(b－c)＝０,则|a－b|的取值范 围是 (　　 ) A．[６－１,６＋１]　　　B． ７－１ ２ ,７＋１ ２ é ë êê ù û úú C．[７－１,７＋１] D． ６－１ ２ ,６＋１ ２ é ë êê ù û úú 解析:C　[如 图,设a＝OA→,b＝ OB→,c＝OC→,点C 在圆x２＋y２＝１ 上,点A,B 在圆x２＋y２＝４上,则 a－c＝CA→,b－c＝CB→,由(a－c)􀅰 (b－c)＝０,可得CA⊥CB, 作矩形ACBD,则|a－b|＝|OA→－OB→|＝|BA→|． 下证:|OA→| ２ ＋|OB→| ２ ＝|OC→| ２ ＋|OD→| ２ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第六章　平面向量、复数 设AB,CD 交于点P,连接 OP,因为OA→＝OP→＋ PA→,则OA→ ２ ＝OP→ ２ ＋PA→ ２ ＋２OP→􀅰PA→, 同理可得OB→ ２ ＝OP→ ２ ＋PB→ ２ ＋２OP→􀅰PB→,两式左右 分别相加得: OA→ ２ ＋OB→ ２ ＝２OP→ ２ ＋PA→ ２ ＋PB→ ２ ＝２OP→ ２ ＋１２BA →２ ＝２OP→ ２ ＋BA →２ ４ æ è ç ö ø ÷＝２OP→ ２ ＋DC →２ ４ æ è ç ö ø ÷, ２ OC → ＋OD→ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ OC → －OD→ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ [ ]＝OC→ ２ ＋OD→ ２ ． 即|a|２＋|b|２＝|c|２＋|OD→| ２ , 故|OD→|＝ ４＋４－１＝ ７． 又因为|CD→|－|OC→|≤|OD→|≤|OC→|＋|CD→|, 因为|CD→|＝|BA→|＝|a－b|,|OC→|＝１, 即|a－b|－１≤ ７≤１＋|a－b|, 故有|a－b|∈[７－１,７＋１]． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 处理平面向量的模长范围问题,常用的方法有: (１)坐标法:即通过建立直角坐标系,通过向量坐标 运算求得; (２)基向量表示法:即通过选设平面的基底,用基底 表示相关向量,运算求得; (３)构造几何图形法:即根据模长定值构造圆形,由 向量点乘等于零得到两向量垂直． (２０２４􀅰天津卷)在边长为１的正方形ABCD 中,E 为线段CD 的三等分点,CE＝１２DE ,BE→＝λBA→＋ μBC →,则λ＋μ＝　　　　;F 为线段BE 上的动点, G 为AF 中点,则AF→􀅰DG → 的最小值为　　　　． 解析:因为CE＝１２DE ,即CE→＝１３BA →, 则BE→＝BC→＋CE→＝１３BA → ＋BC→, 可得λ＝１３ ,μ＝１,所以λ＋μ＝ ４ ３ ; 由题意可知:|BC→|＝|BA→|＝１,BA→􀅰BC→＝０, 因为F 为线段BE 上的动点, 设BF→＝kBE→＝１３kBA → ＋kBC→,k∈[０,１], 则AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋kBE→ ＝ １３k－１ æ è ç ö ø ÷BA→＋kBC→, 又因为G 为AF 中点, 则DG→＝DA→＋AG→＝－BC→＋１２AF → ＝１２ １ ３k－１ æ è ç ö ø ÷BA→＋ １２k－１ æ è ç ö ø ÷BC→, 可得AF→􀅰DG→＝ １３k－１ æ è ç ö ø ÷BA→＋kBC→[ ]􀅰 １ ２ １ ３k－１ æ è ç ö ø ÷BA→＋ １２k－１ æ è ç ö ø ÷BC→[ ] ＝１２ １ ３k－１ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋k １２k－１ æ è ç ö ø ÷＝５９ k－ ６ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ －３１０ , 又因为k∈[０,１],可知:当k＝１时,AF→􀅰DG→取到 最小值－５１８． 答案:４ ３　－ ５ １８ 　　　平面向量的实际应用 [典例]　(２０２５􀅰眉山模拟)如 图 甲 是 世 界 最 高 桥———贵州北盘江斜拉桥．图乙是根据图甲作的简 易侧视图(为便于计算,侧视图与实物有区别)．在 侧视图中,斜拉杆PA,PB,PC,PD 的一端P 在垂 直于水平面的塔柱上,另一端A,B,C,D 与塔柱上 的点O 都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝ ８m,BO＝１６m,PO＝１２m,PB →􀅰PC → ＝０．根据物 理学知识得１ ２ (PA → ＋PB →)＋１２ (PC → ＋PD →)＝２PO →, 则CD＝ (　　) A．２８m　 B．２０m　 C．３１m　 D．２２m [解析]　因为PB →􀅰PC → ＝０,所以PB⊥PC, 因为PO⊥BC,所以△POC∽△BOP, 所以PO OB＝ OC PO ,所以PO２＝OB􀅰OC, 因为BO＝１６m,PO＝１２m,所以OC＝９m, 设 M,N 分别为AB,CD 的中点, 因为１ ２ (PA → ＋PB →)＋１２ (PC → ＋PD →)＝２PO →, 所以PM → ＋PN → ＝２PO →,所以O 为MN 的中点, 因为AB＝８m,BO＝１６m,所以OM＝２０m, 所以ON＝２０m, 所以CN＝ON－OC＝２０－９＝１１m, 所以CD＝２CN＝２２m． [答案]　D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８１􀅰 高考总复习　数学(BS) 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老 的传统民间艺术之一,每年新春佳节,我国许多地 区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、 渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的 愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形 剪纸窗花,已知图二中正六边形ABCDEF 的边长 为２,圆O 的圆心为正六边形的中心,半径为１,若 点P 在正六边形的边上运动,MN 为圆的直径,则 PM →􀅰PN → 的取值范围是 (　　) 图一　　　　图二 A．[１,２] B．[２,３] C．３２ ,４[ ] D．３２,３[ ] 解析:B　[如 图,取 AF 的 中 点 Q,根 据 题 意, △AOF 是边长为２的正三角形,易得|OQ|＝ ３, 又PM →􀅰PN → ＝(PO → ＋OM →)􀅰(PO → ＋ON →) ＝|PO → |２＋PO →􀅰ON → ＋PO →􀅰OM → ＋OM →􀅰ON → ＝|PO → |２＋PO →􀅰(ON → ＋OM →)－１＝|PO → |２－１, 根据图形可知,当点P 位于正六边形各边的中点时 |PO|有最小值为 ３,此时|PO → |２－１＝２,当点P 位 于正六 边 形 的 顶 点 时|PO|有 最 大 值 为２,此 时 |PO → |２－１＝３,∴２≤PM →􀅰PN → ≤３．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P１２２ 等和(高)线定理 (１)由三点共线结论推导等和(高) 线定理:如图,由三点共线结论 可知,若OP → ＝λOA → ＋μOB →(λ, μ∈R),则λ＋μ＝１,由△OAB 与△OA′B′相似,必存在一个常数k,k∈R,使得 OP′ → ＝kOP →,则OP′ → ＝kOP → ＝kλOA → ＋kμOB →,又 OP′ → ＝xOA → ＋yOB →(x,y∈R),∴x＋y＝kλ＋kμ ＝k;反之也成立． (２)平面内一个基底{OA →,OB →}及任一向量OP′ →,OP′ → ＝λOA → ＋μOB →(λ,μ∈R),若点P′在直线AB 上或 在平行于AB 的直线上,则λ＋μ＝k(定值);反之 也成立,我们把直线AB 以及与直线AB 平行的 直线称为等和(高)线． ①当等和线恰为直线AB 时,k＝１; ②当等和线在O 点和直线AB 之间时,k∈(０,１); ③当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(１,＋∞); ④当等和线过O 点时,k＝０; ⑤若两等和线关于O 点对称,则定值k１,k２ 互为 相反数; ⑥定值k的变化与等和线到O 点的距离成正比． [典例]　(１)在矩形ABCD 中,AB＝１,AD＝２,动点 P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP → ＝ λAB → ＋μAD →,则λ＋μ的最大值为 (　　) A．３ B．２ ２ C．５ D．２ [解析]　如图,由平面向量基底等 和线定理可知,当等和线l与圆相 切时,λ＋μ最大,此时λ＋μ＝ AF AB＝ AB＋BE＋EF AB ＝ ３AB AB ＝３． [答案]　A (２)在扇形OAB 中,∠AOB＝６０°,C 为AB ︵ 上的一 个动点,若OC → ＝xOA → ＋yOB →,则３x＋y 的取值范 围是　　　　． [解析]　如图,取点 D 使得OD → ＝ １ ３OA →,OC → ＝xOA → ＋yOB → ＝３xOD → ＋yOB →,作一系列与BD 平行的直 线与圆弧相交,当点C 与点B 重合 时,３x＋y取得最小值１;当点C 与 点A 重合时,３x＋y 取得最大值３,故３x＋y 的取 值范围是[１,３]． [答案]　[１,３] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 由平 面 向 量 基 本 定 理,OP → ＝ λOA → ＋μOB →,当点P 不在直线 AB 上时,可以过点 P 作直线 AB 的平行线,且与OA,OB 所 在的直线分别交于M,N 两点, 则由三点P,M,N 共线,不难得出:OP → ＝xOM → ＋ yON →,且x＋y＝１,又由平行线分线段成比例定 理,得:OM → ＝kOA →,ON → ＝ kOB → 其中k＝|OM||OA| æ è ç ö ø ÷,则OP → ＝xOM → ＋yON → ＝ kxOA → ＋kyOB →,即λ＝kx,μ＝ky,故λ＋μ＝k(x＋y)＝ k．把过点P作直线AB的平行线MN称为等和线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第六章　平面向量、复数 如 图,在 正 六 边 形 ABCDEF 中,P 是△CDE 内(包括边界) 的动点,设AP → ＝αAB → ＋βAF → (α,β∈R),则α＋β的取值范围 是　　　　． 解析:当 P 在△CDE 内时,直 线EC 是最近的平行线,过 D 点的平 行 线 是 最 远 的,所 以α ＋β∈ AN AM ,AD AM[ ]＝[３,４]． 答案:[３,４] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 学生用书　P１２３ 如图,已知P 为△ABC 内一点,则有S△PBC􀅰PA → ＋ S△PAC􀅰PB → ＋S△PAB􀅰PC → ＝０． 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似,所 以我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面 向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积 和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用． [典例]　(１)已知O 是△ABC内部一点,满足OA → ＋ ２OB → ＋mOC → ＝０,且 S△AOB S△ABC ＝４７ ,则实数m 等于 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ [解析]　由奔驰定理得S△BOC 􀅰OA → ＋S△AOC 􀅰OB → ＋S△AOB􀅰OC → ＝０, 又OA → ＋２OB → ＋mOC → ＝０, ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝１∶２∶m． ∴ S△AOB S△ABC ＝ m１＋２＋m＝ ４ ７ , 解得m＝４． [答案]　C (２)已知O是面积为４的△ABC内部一点,且有OA → ＋ OB → ＋２OC → ＝０,则△AOC的面积为　　　． 解析　方法一　如图,设AC 的中点为M,BC 的中 点为N． 因为OA → ＋OB → ＋２OC → ＝OA → ＋OC → ＋OB → ＋OC → ＝０, 所以２OM → ＋２ON → ＝０, 即OM → ＋ON → ＝０, 所以O 为线段MN 的中点, 所以S△AOC＝ １ ２S△ANC ＝ １ ２× １ ２S△ABC ＝ １ ２× １ ２×４ ＝１． 方法二　因为OA → ＋OB → ＋２OC → ＝０,根据奔驰定理 可得,S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝１∶１∶２,所以 S△AOC S△ABC ＝ １１＋１＋２＝ １ ４ ,又S△ABC＝４,所以S△AOC＝１． [答案]　１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 利用平面向量“奔驰定理”解题时,要严格按照定 理的格式,注意定理中的点P 为△ABC 内一点; 定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三 角形的面积之比． 已知点A,B,C,P在同一平面内,PQ → ＝１３PA →,QR → ＝ １ ３QB →,RP → ＝１３RC →,则S△ABC∶S△PBC等于 (　　) A．１４∶３ B．１９∶４ C．２４∶５ D．２９∶６ 解析:B　[由QR → ＝１３QB → 可得PR → －PQ → ＝１３ (PB → －PQ →), 整理可得PR → ＝１３PB → ＋２３PQ → ＝１３PB → ＋２９PA →, 由RP → ＝１３RC → 可得RP → ＝１３ (PC → －PR →), 整理可得PR → ＝－１２PC →, 所以－１２PC → ＝１３PB → ＋２９PA →, 整理得４PA → ＋６PB → ＋９PC → ＝０, 由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(４＋６＋９)∶４ ＝１９∶４．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８１􀅰 高考总复习　数学(BS)