6.2 平面向量基本定理及坐标表示-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版2019）

第２节　平面向量的基本定理及坐标表示 ★[课程标准] １．了解平面向量的基本定理及其意义．２．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．３．会用坐标表示平面向量的 加、减与数乘运算．４．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 　　　　　　　　学生用书　P１１７ １．平面向量的基本定理 (１)平面向量基本定理:如果e１,e２ 是同一平面内的两 个不共线的向量,那么对该平面内的任意一个向 量a,存 在 唯 一 的 一 对 实 数λ１,λ２,使a＝λ１e１ ＋λ２e２． (２)基:把不共线的向量e１,e２ 叫作表示这一平面内所 有向量的一组基,记作{e１,e２}． (３)正交基:若基中的两个向量互相垂直,则称这组基 为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交 分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量, 则称这组基为标准正交基． ２．平面向量的坐标运算 (１)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝(x１＋x２, y１＋y２),a－b＝(x１－x２,y１－y２),λa＝(λx１, λy１),|a|＝ x２１＋y２１． (２)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量 的坐标． ②设A(x１,y１),B(x２,y２),则AB → ＝(x２－x１,y２－y１), |AB → |＝ (x２－x１)２＋(y２－y１)２． ３．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a∥b⇔x１y２－x２y１＝０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．若a与b不共线,λa＋μb＝０,则λ＝μ＝０． ２．已知P 为线段AB 的中点,若 A(x１,y１),B(x２, y２),则P 点坐标为 x１＋x２ ２ ,y１＋y２ ２ æ è ç ö ø ÷． ３．已知△ABC 的顶点A(x１,y１),B(x２,y２),C(x３, y３),则△ABC的重心G 的坐标为 x１＋x２＋x３ ３ ,y１＋y２＋y３ ３ æ è ç ö ø ÷． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里 打“√”,错误的打“×”． (１)平面内的任何两个向量都可以作为一组基． (　　) (２)在△ABC中,向量AB →,BC → 的夹角为∠ABC．(　　) (３)同一向量在不同基下的表示是相同的． (　　) (４)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a∥b的充要条 件可表示成 x１ x２ ＝y１y２ ． (　　) (５)若a,b不共线,且λ１a＋μ１b＝λ２a＋μ２b,则λ１＝λ２, μ１＝μ２． (　　) 答案:(１)×　(２)×　(３)×　(４)×　(５)√ ◆[小题查验] １．(多选)在下列各组向量中,不可以作为基的是 (　　) A．e１＝(０,０),e２＝(１,－２) B．e１＝(－１,２),e２＝(５,７) C．e１＝(３,５),e２＝(６,１０) D．e１＝(２,－３),e２＝ １ ２ ,－３４ æ è ç ö ø ÷ 答案:ACD ２．(共线的条件不清致误)设向量a＝(x１,y１),b＝ (x２,y２),则 x１ x２ ＝y１y２ 是a∥b的　　　　条件 (　　) A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 解析:C　[若 x１ x２ ＝y１y２ ,则x１y２－x２y１＝０,∴a∥b, 若a∥b,有可能x２ 或y２ 为０．] ３．若P１(１,３),P２(４,０)且P 是线段P１P２ 的一个三 等分点,则点P 的坐标为 (　　) A．(２,２) B．(３,－１) C．(２,２)或(３,－１) D．(２,２)或(３,１) 解析:D　[由题意得P１P → ＝１３P１P２ → 或P１P → ＝２３P１P２ →, P１P２ → ＝(３,－３)．设P(x,y),则P１P → ＝(x－１,y－３),当 P１P → ＝１３P１P２ → 时,(x－１,y－３)＝１３ (３,－３),所以x＝ ２,y＝２,即P(２,２);当P１P → ＝２３P１P２ → 时,(x－１,y－３) ＝２３ (３,－３),所以x＝３,y＝１,即P(３,１)．] ４．(BSD必修第二册P１００习题２－４B组T１ 改编)已知 向量a＝(２,３),b＝(－１,２),若ma＋nb 与a－２b 共线,则m n＝　　　　． 解析:由向量a＝(２,３),b＝(－１,２), 得ma＋nb＝(２m－n,３m＋２n),a－２b＝(４,－１)． 由ma＋nb 与a－２b共线,得２m－n４ ＝ ３m＋２n －１ ,所 以m n＝－ １ ２． 答案:－１２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８７１􀅰 高考总复习　数学(BS) ５．e１,e２ 是不共线向量,且a＝－e１＋３e２,b＝４e１＋ ２e２,c＝ －３e１＋１２e２,若b,c 为 一 组 基,则a＝ 　　　　(b,c线性表示)． 解析:设a＝λ１b＋λ２c, 则－e１＋３e２＝λ１(４e１＋２e２)＋λ２(－３e１＋１２e２), 即－e１＋３e２＝(４λ１－３λ２)e１＋(２λ１＋１２λ２)e２, ∴ ４λ１－３λ２＝－１, ２λ１＋１２λ２＝３,{ 解得 λ１＝－ １ １８ , λ２＝ ７ ２７ , ì î í ï ï ïï ∴a＝－１１８b＋ ７ ２７c． 答案:－１１８b＋ ７ ２７c 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　学生用书　P１１８ 　　　平面向量基本定理的应用 [典例]　(１)(２０２５􀅰河南期中)已知△ABC 为等边 三角形,分别以CA,CB 为边作正六边形,如图所 示,则 (　　 ) A．EF→＝９２AD → ＋４GH→　　B．EF→＝７２AD → ＋３GH→ C．EF→＝５AD→＋４GH→ D．EF→＝９２AD → ＋３GH→ [解析]　选取AB→,AC→为基底, EF→＝EH→＋HF→＝３AB→＋AC→, AD→＝BG→＝２BC→＝－２AB→＋２AC→, GH→＝GB→＋BH→＝２CB→＋AB→＝２AB→－２AC→＋AB→ ＝３AB→－２AC→, 设EF→＝xAD→＋yGH → ＝－２xAB→＋２xAC→＋ ３yAB → －２yAC → ＝(－２x＋３y)AB → ＋(２x－２y)AC →, ∴ －２x＋３y＝３, ２x－２y＝１,{ ∴ x＝９２ , y＝４, { 即EF→＝９２AD → ＋４GH→． [答案]　A (２)(２０２５􀅰 重庆八中模 拟)如 图,在 平 行 四 边 形 ABCD 中,E 是 BC 的 中 点,CF → ＝２FD →,DE 与BF 相交于O．若AD＝２,AO → 􀅰(３AD → －２AB →)＝－７,则AB 的长为 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ [解析]　在平行四边形 ABCD 中,E 是BC 的中 点,CF → ＝２FD →,DE 与BF 相交于O． 设DO → ＝λDE →(０＜λ＜１),BO → ＝μBF →(０＜μ＜１), 则AD → ＋DO → ＝AD → ＋λDE → ＝AD → ＋λ AB → －１２AD →æ è ç ö ø ÷＝ １－１２λ æ è ç ö ø ÷AD → ＋λAB →, AB → ＋BO → ＝AB → ＋μBF → ＝AB → ＋μ AD → －２３AB →æ è ç ö ø ÷ ＝ １－２３μ æ è ç ö ø ÷AB → ＋μAD →, 由AO → ＝AD → ＋DO → ＝AB → ＋BO →,可得 １－２３μ æ è ç ö ø ÷AB → ＋ μAD → ＝ １－１２λ æ è ç ö ø ÷AD → ＋λAB →, 则 １－１２λ＝μ , １－２３μ＝λ , ì î í ï ï ïï 解之得 λ＝１２ , μ＝ ３ ４ , ì î í ï ï ïï 则AO → ＝AD → ＋DO → ＝３４AD → ＋１２AB →, 则AO →􀅰(３AD → －２AB →)＝ ３４AD → ＋１２AB →æ è ç ö ø ÷􀅰 (３AD → －２AB →)＝９４|AD → |２－|AB → |２＝－７, 又AD＝２,则９－|AB → |２＝－７,解之得|AB → |＝４,即 AB 的长为４． [答案]　C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 平面向量基本定理的实质及应用思路 (１)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、 减或数乘运算． (２)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是: 先选择一组基,并运用该基将条件和结论表示 成向量的形式,再通过向量的运算来解决． 在△ABC中,点P 是AB 上一点,且CP → ＝２３CA → ＋ １ ３CB →,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M,又 CM → ＝tCP →,则实数t的值为　　　　． 解析:因为CP → ＝２３CA → ＋ １ ３CB →,所以３CP → ＝２CA → ＋ CB →,即２CP → －２CA → ＝CB → － 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第六章　平面向量、复数 CP →,所以２AP → ＝PB → ． 即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点), 又因为A,M,Q 三点共线,设AM → ＝λAQ → ． 所以CM → ＝AM → －AC → ＝λAQ → －AC → ＝λ １２AB → ＋１２AC →æ è ç ö ø ÷－AC → ＝λ２AB → ＋λ－２２ AC →, 又CM → ＝tCP → ＝t(AP → －AC →)＝t １３AB → －AC →æ è ç ö ø ÷ ＝t３AB → －tAC → ． 故 λ ２＝ t ３ , λ－２ ２ ＝－t , ì î í ï ï ïï 解得 t＝３４ , λ＝１２． ì î í ï ï ïï 故t的值是３４． 答案:３ ４ 　　　平面向量的坐标运算 １．(２０２５􀅰福建泉州模拟预测)如图,直线OA、AB与 x轴正方向的夹角分别为θ和３０°,|OA→|＝|AB→|＝２, θ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,则AB→的坐标是　　　　． 解析:如图所示,过点 A、B 分别作垂线,垂足分别 为C、D, 由题得A 的坐标为(２cosθ,２sinθ), 由于|BD|＝１,|AD|＝ ３,所 以 点 B 的 坐 标 为 (２cosθ＋ ３,２sinθ＋１), 所以AB→的坐标为(２cosθ＋ ３－２cosθ,２sinθ＋１－ ２sinθ),即(３,１)． 答案:(３,１) ２．(２０２５􀅰江苏模拟)在正方形ABCD 中,M 是BC的中 点．若AC → ＝λAM → ＋μBD →,则λ＋μ的值为 (　　) A．４３ B． ５ ３ C． １５ ８ D．２ 解析:B　[在正方形 ABCD 中, 以点A 为原点,直线 AB,AD 分 别为x,y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,如图,令|AB|＝２,则 B(２, ０),C(２,２),D(０,２),M(２,１),AC → ＝(２,２),AM → ＝ (２,１),BD → ＝(－２,２), λAM → ＋μBD → ＝(２λ－２μ,λ＋２μ), 因AC → ＝λAM → ＋μBD →, 于是得 ２λ－２μ＝２, λ＋２μ＝２,{ 解得λ＝ ４ ３ ,μ＝ １ ３ ,λ＋μ＝ ５ ３ , 所以λ＋μ的值为 ５ ３． ] ３．已知A(－２,４),B(３,－１),C(－３,－４)．设AB → ＝a,BC → ＝b,CA → ＝c,且CM → ＝３c,CN → ＝－２b． (１)求３a＋b－３c; (２)求满足a＝mb＋nc的实数m,n; (３)求M,N 的坐标及向量MN → 的坐标． 解:由已知得a＝(５,－５),b＝(－６,－３),c＝(１,８)． (１)３a＋b－３c＝３(５,－５)＋(－６,－３)－３(１,８) ＝(１５－６－３,－１５－３－２４)＝(６,－４２)． (２)法一:∵mb＋nc＝(－６m＋n,－３m＋８n), ∴ －６m＋n＝５, －３m＋８n＝－５,{ 解得 m＝－１, n＝－１．{ 法二:∵a＋b＋c＝０,∴a＝－b－c, 又∵a＝mb＋nc,∴mb＋nc＝－b－c,∴ m＝－１, n＝－１．{ (３)设O 为坐标原点,∵CM → ＝OM → －OC → ＝３c, ∴OM → ＝３c＋OC → ＝(３,２４)＋(－３,－４)＝(０,２０), ∴M(０,２０)． 又∵CN → ＝ON → －OC → ＝－２b, ∴ON → ＝－２b＋OC → ＝(１２,６)＋(－３,－４)＝(９,２), ∴N(９,２),∴MN → ＝(９,－１８)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 平面向量坐标运算的技巧 (１)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运 算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端 点的坐标,则应先求向量的坐标． (２)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这 一原则,通过列方程(组)来进行求解． 　　　平面向量共线的坐标表示 ▶[命题点１]　由坐标判断是否共线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例１]　(多选)(２０２５􀅰全国模拟)已知点A(４,６), B －３,３２ æ è ç ö ø ÷,与向量AB → 平行的向量的坐标可以是 (　　) A．１４３ ,３æ è ç ö ø ÷ B．７,９２ æ è ç ö ø ÷ C．－１４３ ,－３æ è ç ö ø ÷ D．(７,９) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８１􀅰 高考总复习　数学(BS) [解析]　由点A(４,６),B －３,３２ æ è ç ö ø ÷, 则AB → ＝ －７,－９２ æ è ç ö ø ÷, 选项A,－７×３－ －９２ æ è ç ö ø ÷×１４３＝０ ,所以 A选项正 确;选项B,－７×９２－ － ９ ２ æ è ç ö ø ÷×７＝０,所以B选项 正确;选项C,－７×(－３)－ －９２ æ è ç ö ø ÷× －１４３ æ è ç ö ø ÷＝０, 所以C选项正确;选项D,－７×９－ －９２ æ è ç ö ø ÷×７≠０, 所以选项D不正确． [答案]　ABC ▶[命题点２]　利用向量共线求向量或点的坐标 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例２]　(１)O 为坐标原点,A(６,３),若点P 在直线 OA 上,且 OP→ ＝１２ PA → ,P 是OB 的中点,则点 B 的坐标为　　　　． [解析]　由题可知,A(６,３),点P 在直线OA 上, 则OP→∥PA→, 又∵ OP→ ＝１２ PA → ,∴OP→＝±１２PA →, 设点P(m,n),B(a,b), 则OP→＝(m,n),PA→＝(６－m,３－n), ①当OP→＝１２PA → 时,则(m,n)＝１２ (６－m,３－n), ∴ m＝１２ (６－m), n＝１２ (３－n), ì î í ï ï ï ï 解得 m＝２, n＝１,{ ∴P(２,１), ∵P 是OB 的中点, ∴ ０＋a ２ ＝２ , ０＋b ２ ＝１ , ì î í ï ï ï ï 解得 a＝４, b＝２,{ ∴B(４,２)． ②当OP→＝－１２PA → 时,则(m,n)＝－１２ (６－m,３－n), ∴ m＝－１２ (６－m), n＝－１２ (３－n), ì î í ï ï ï ï 解得 m＝－６, n＝－３,{ ∴P(－６,－３), ∵P 是OB 的中点, ∴ ０＋a ２ ＝－６ , ０＋b ２ ＝－３ , ì î í ï ï ï ï 解得 a＝－１２, b＝－６,{ ∴B(－１２,－６), 综上可得,点B 的坐标为(４,２)或(－１２,－６)． [答案]　(４,２)或(－１２,－６) (２)已知点A(－１,４),B(２,６),C(３,０),则满足 GA → ＋GB → ＋GC → ＝０的G 的坐标为　　　． [解析]　设G 的坐标为(x,y),且A(－１,４), B(２,６),C(３,０), 因为GA → ＋GB → ＋GC → ＝０,可得(－１－x,４－y)＋ (２－x,６－y)＋(３－x,－y)＝(０,０), 可得x＝－１＋２＋３３ ＝ ４ ３ ,y＝４＋６＋０３ ＝ １０ ３ , 所以G 的坐标为 ４３ ,１０ ３ æ è ç ö ø ÷． [答案]　 ４３ ,１０ ３ æ è ç ö ø ÷ ▶[命题点３]　 利用向量共线求参数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[典例３]　(２０２５􀅰广东东莞市东方明珠学校模拟) 已知a＝(１,０),b＝(２,１)． (１)当k为何值时,ka－b与a＋２b共线; (２)若AB → ＝２a＋３b,BC → ＝a＋mb,且A,B,C三点共 线,求m 的值． [解]　(１)由a＝(１,０),b＝(２,１), 可得ka－b＝k(１,０)－(２,１)＝(k－２,－１), a＋２b＝(１,０)＋２(２,１)＝(５,２), 因为ka－b与a＋２b共线, 所以２(k－２)－(－１)×５＝０, 即２k－４＋５＝０,解得k＝－１２． (２)因为A,B,C 三点共线,所以AB → ＝λBC →,λ∈R, 即２a＋３b＝λ(a＋mb),所以 ２＝λ, ３＝mλ,{ 解得m＝ ３ ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 １．向量共线的两种表示形式 设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２):①a∥b⇒a＝λb(b ≠０);②a∥b⇔x１y２－x２y１＝０．至于使用哪种形 式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐 标的应用②． ２．两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的 问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列 出方程(组),求出未知数的值． １．(２０２５􀅰云南昆明模拟)已知点A(４,０),B(４,４), C(２,６),O 为坐标原点,则AC 与OB 的交点P 的 坐标为　　　　． 解析:法一:由O,P,B 三点共线,可设OP→＝λOB→ ＝(４λ,４λ),则AP→＝OP→－OA→＝(４λ－４,４λ), 又因为AC→＝OC→－OA→＝(－２,６), 由AP→,AC→共线,得(４λ－４)×６－４λ×(－２)＝０, 解得λ＝３４ ,所以OP→＝３４OB → ＝(３,３), 所以点P 的坐标为(３,３)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 主题三　第六章　平面向量、复数 法二:设点P(x,y),则OP → ＝(x,y), 因为OB→＝(４,４),且OP→与OB→共线, 所以４x－４y＝０,即x＝y． 又因为AP→＝(x－４,y),AC → ＝(－２,６),且AP→,AC→共 线,所以(x－４)×６－y×(－２)＝０,解得x＝y＝３,所 以点P 的坐标为(３,３)． 答案:(３,３) ２．(２０２５􀅰山东省潍坊市高三期中)平面内给定三个 向量a＝(３,２),b＝(－１,２),c＝(４,１)． (１)若(a＋kc)∥(２b－a),求实数k; (２)若向量满足(d－c)∥(a＋b),且|d－c|＝ ５,求 向量d的坐标． 解:(１)a＋kc＝(３＋４k,２＋k),２b－a＝(－５,２), 由题意得２×(３＋４k)－(－５)×(２＋k)＝０, 解得k＝－１６１３． (２)设d＝(x,y),则d－c＝(x－４,y－１), 又a＋b＝(２,４),|d－c|＝ ５, ∴ ４(x－４)－２(y－１)＝０, (x－４)２＋(y－１)２＝５,{ 解得 x＝３, y＝－１{ 或 x＝５, y＝３．{ ∴d的坐标为(３,－１)或(５,３)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　平面向量的数量积与平面向量应用举例 ★[课程标准] １．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ２．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ３．掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算． ４．能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． ５．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ６．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 　　　　　　　　学生用书　P１１９ １．向量的夹角及范围 已知两个非零向量a和b,在平面内任选一点O,作 OA → ＝a,OB → ＝b,则θ＝∠AOB(０°≤θ≤１８０°)称为向 量a与b 的夹角．当θ＝０°时,a与b 同向;当θ＝ １８０°时,a与b反向;当θ＝９０°时,a与b 垂直．规定 零向量可与任一向量垂直,即对任意向量a,都 有０⊥a． ２．平面向量的数量积及几何意义 (１)平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b,作OA → ＝a,OB → ＝b, 向量a 与b 的 夹 角∠AOB 记 为‹a,b›或 θ(０°≤θ≤１８０°)．|a||b|cosθ称作a 与b的数 量积(或内积) 记法 记作a􀅰b,即a􀅰b＝|a||b|cos‹a,b› ＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为０ (２)当０°≤‹a,b›＜９０°时,a􀅰b＞０;当‹a,b›＝９０°时, a􀅰b＝０;当９０°＜‹a,b›≤１８０°时,a􀅰b＜０;当‹a, b›＝０°时,a􀅰b＝|a||b|;当‹a,b›＝１８０°时,a􀅰b ＝－|a||b|． (３)投影向量 投影向量:已知两个非零向量a,b,作OA → ＝a,OB → ＝b,过点A 向直线OB 作垂线,垂足为A′,得到a 在b上的投影γ＝OA′ →,γ称为投影向量．设向量a 与b的夹角为θ,则|a|cosθ称为投影向量γ 的数 量,也称为向量a在向量b 方向上的投影数量,可 以表示为a􀅰 b|b|． 所以投影数量是数量积的特殊 情况． (４)投影向量的表示 向量a在向量b上的投影向量为|a|􀅰cosθ􀅰 b|b| 或a􀅰b |b| 􀅰 b |b|． ３．平面向量数量积的性质及其坐标运算 已知非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),θ为向量 a、b的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 a􀅰b＝|a||b|cosθ a􀅰b＝x１x２＋y１y２ 模 |a|＝ a􀅰a |a|＝ x１２＋y１２ 夹角 cosθ＝ a 􀅰b |a||b| cosθ＝ x１x２＋y１y２ x２１＋y２１􀅰 x２２＋y２２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８１􀅰 高考总复习　数学(BS)